2.2一元二次方程的解法 同步讲义（含解析）八年级数学下册浙教版

专题2.2 一元二次方程的解法
1、掌握一元二次方程的解法，直接开方法，配方法，公式法和因式分解法解一元二次方程；
2、掌握根的判别式确定一元二次方程根的情况，会利用根的判别式求一元二次方程的参数；
3、掌握换元法解一元二次方程；
知识点01 直接开方法解一元二次方程
【知识点】
开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解．
形如的方程的解法：
当时，；
当时，；
当时，方程无实数根．
【典型例题】
例1．
（2021秋·陕西安康·九年级校考期末）
1．一元二次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
例2．
（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）
2．若代数式的值为9，则的值为 ．
例3．
（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）
3．已知是方程的一个根，求常数m的值及该方程的另一根．
【即学即练】
（2022秋·全国·九年级专题练习）
4．方程的解为（　　）
A． B． C． D．
（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）
5．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．，
（2022秋·湖北黄冈·九年级校考阶段练习）
6．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A． B．1 C．1或 D．2
（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）
7．方程是关于的一元二次方程，则 ．
（2022秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）
8．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有，如：．若，则实数x的值是 ．
（2022秋·浙江·七年级专题练习）
9．求下列各式中的x：
(1)；
(2)．
知识点02 配方法解一元二次方程
【知识点】
配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解．
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；
④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解．
【典型例题】
例1．
（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）
10．若用配方法解方程，则方程变形为（ ）
A． B． C． D．
例2．
（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）
11．用配方法解方程，方程可变形为，则 ， ．
例3．
（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）
12．用配方法解方程：
【即学即练】
（2022秋·甘肃庆阳·九年级统考期中）
13．用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）
14．如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）
15．一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·广东佛山·九年级统考期中）
16．用配方法解方程，配方得，常数m的值是 ．
（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）
17．已知在中，，，，则 ．
（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期末）
18．用配方法解下列方程
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
知识点03 公式法解一元二次方程
【知识点】
公式法：一元二次方程的根
当时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；
当时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为；
当时，方程无实数根．
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根．
（因为这样可以减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程．）
【典型例题】
例1．
（2023秋·重庆北碚·九年级重庆市兼善中学校考期末）
19．设为一元二次方程较大的实数根，则（　　）
A． B． C． D．
例2．
（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）
20．设与为一元二次方程的两根，则的值为 ．
例3．
（2022秋·山东枣庄·九年级校考阶段练习）
21．解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化①，解得，，当时，即，解得，，当时，即，解得，所以原方程的解为，，，．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用____法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
(2)请利用上述这种方法解方程：．
(3)应用求值：已知实数，满足，则_____．
【即学即练】
（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）
22．已知关于的一元二次方程的较大的一根小于1，则实数的取值范围是（ ）
A．一切实数 B． C． D．
（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）
23．在关于x的一元二次方程中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是，则方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．不能确定
（2021秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）
24．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里x被称为乐观系数，经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）
25．关于的方程的正实数根的取值范围是，则整数的最小值为 ．
（2022秋·全国·九年级阶段练习）
26．已知整数m满足，如果关于x的一元二次方程有有理根，求m的值 ．
（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）
27．解方程：．
知识点04 因式分解法解一元二次方程
【知识点】
因式分解法：
①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；
②因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解．
（5）选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题．
②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦．
（6）解含有字母系数的方程
（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；
（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论．
【典型例题】
例1．
（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）
28．三角形两边长分别为和，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是( )
A． B．或 C． D．和
例2．
（2023秋·四川达州·八年级统考期末）
29．阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
．
理解运用：如果，那么，即有或，
因此，方程和的所有解就是方程的解．
解决问题：求方程的解为 ．
例3．
（2022秋·江苏泰州·九年级校考期中）
30．已知关于x的一元二次方程
(1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根；
(2)当时，
①若代数式，则___________；
②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值；
(3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小．
【即学即练】
（2021春·山东威海·八年级校考期中）
31．方程的解为（ ）
A．， B． C．，1 D．
（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）
32．某规则为，根据这个规则，方程的解是（　　）
A． B．
C．或 D．或
（2022秋·河北唐山·九年级统考期中）
33．已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（　　）
A．1 B． C．0或1 D．1或
（2022秋·湖南郴州·九年级校考期末）
34．已知关于的方程有一个根为2，则的值为 ．
（2022秋·四川宜宾·九年级校考阶段练习）
35．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （填序号即可）．
①方程是倍根方程；
②方程是倍根方程；
③若是倍根方程，则；
④若点（p，q）在反比例函数的图象上，则关于x方程是倍根方程．
（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）
36．对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
(1)代数式的不变值是______，______．
(2)说明：代数式没有不变值；
(3)已知代数式，若，求的值．
知识点05 根据判别式判断一元二次方程根的情况
【知识点】
了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围．
（1）=
（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（）
①当方程有实数根；
（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）
②当方程无实数根；
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理．
【典型例题】
例1．
（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）
37．一元二次方程根的判别式的值为（ ）．
A．56 B．16 C．36 D．28
例2．
（2022春·安徽六安·八年级校考期中）
38．实数满足方程，则的值等于 ．
例3．
（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）
39．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根？
(2)在等腰三角形中，，若、为方程的两个实数根，求的值．
【即学即练】
（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）
40．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）
41．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
（2022秋·河北唐山·九年级统考期中）
42．已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．不能确定
（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）
43．一元二次方程的根的判别式的值为 ．
（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）
44．已知一元二次方程．下列说法：
①若，则方程一定有两个不相等的实数根；
②若，则一定是这个方程的实数根；
③若，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若c是方程的一个根，则一定有成立，
其中正确的是 （填相应序号）
（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）
45．已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
知识点06 根据一元二次方程根的情况求参数
【典型例题】
例1．
（2023秋·山东济宁·九年级校考期末）
46．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则二次项系数的取值范围是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．
例2．
（2022秋·四川成都·九年级统考期末）
47．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
例3．
（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）
48．关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若k为正整数，求此时方程的根．
【即学即练】
（2023秋·新疆巴音郭楞·九年级校考期末）
49．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A． B．且 C．且 D．
（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）
50．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
（2022秋·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）
51．若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，且关于y的等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）
52．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么满足条件的所有非负整数k的和为 ．
（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）
53．（1）关于的方程．
①有实数根，则m的取值范围是 ；
②有两实数根，则m的取值范围是 ．
（2）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
（2023秋·北京石景山·八年级校考期末）
54．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．
知识点07 换元法解一元二次方程
【知识点】
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的“元”去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，从而解决问题．
【典型例题】
例1．
（2023秋·山东菏泽·九年级校考期末）
55．已知，则的值为（　　）
A．0 B．4 C．4或 D．
例2．
（2022秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）
56．已知关于x的方程（a、m、p为常数，）的解是，，那么方程的解为 ．
例3．
（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）
57．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值；
解：设，则原方程可变形为．即
∴得，
∴或
已知，求的值．
【即学即练】
（2022秋·全国·九年级专题练习）
58．已知，，且，则的值为（　　）
A．4 B． C．或1 D．或4
（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期中）
59．若，则的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．3或4
（2023秋·天津和平·九年级天津一中校考阶段练习）
60．关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）
61．已知的解是1，，则方程的解为 ．
（2021春·浙江绍兴·八年级绍兴市元培中学校考期中）
62．若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为 ．
（2021春·河南郑州·八年级校考期中）
63．阅读下列材料．
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（ ）．
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________．
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
(4)当__________时，多项式存在最__________值（填“大”或“小”），这个最值是__________．
题组A 基础过关练
（2023秋·河北廊坊·九年级校联考期末）
64．已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·云南玉溪·九年级统考期中）
65．若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）
66．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．0 B． C．4 D．0或4
（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）
67．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期中）
68．小星用配方法对一元二次方程进行求解时，将其化为的形式，
（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）
69．代数式的最小值为 ．
（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）
70．用因式分解法解一元二次方程时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是 ，一元二次方程的解是 ．
（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）
71．将代数式变形为（其中，为常数），则 ．
（2022秋·云南玉溪·九年级统考期中）
72．用合适的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
（2022秋·天津和平·九年级天津二十中校考期末）
73．已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围．
题组B 能力提升练
（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）
74．一元二次方程的根是（ ）
A．0或3 B．0 C．0或2 D．2
（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）
75．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）
76．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
（2022秋·河南安阳·九年级校考期中）
77．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
（2022秋·辽宁本溪·九年级校考阶段练习）
78．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．
（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）
79．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值等于 ．
（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）
80．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ．
（2023秋·北京石景山·八年级校考期末）
81．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是 ．
（2022秋·甘肃酒泉·九年级校考期中）
82．用适当的方法解下列一元二次方程．
(1)
(2)（用配方法）
(3)
(4)（用公式法）
（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）
83．已知关于的方程．
(1)若此方程的一个根为，求它的另一个根及的值；
(2)求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
题组C 培优拔尖练
（2021春·山东淄博·九年级校考期中）
84．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
（2022秋·重庆江北·八年级校考期末）
85．对于二次三项式（且m为常数）和，下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则；
②无论x取任何实数，若等式恒成立，则；
③当时，，，则；
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）
86．若实数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
（2022秋·全国·八年级专题练习）
87．已知四个多项式，，，，下列说法中正确的个数为（ ）
①若，则
②若，则
③若x为正整数，且为整数，则
④若对任意x都有，则当时，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022秋·四川内江·九年级校考期中）
88．若a，b，c满足，则 ；
（2023秋·四川内江·九年级统考期末）
89．已知关于的一元二次方程的两根为、，则方程的两根为 ．
（2022秋·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）
90．对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
（2020·浙江金华·七年级期中）
91．当 ， 时，多项式有最小值，这个最小值是 ．
（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期中）
92．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根大于2，求k的取值范围．
（2022秋·江苏·九年级统考期中）
93．阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】利用直接开平方法解方程即可求解．
【详解】解∶，
解得：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
2．或1##1或
【分析】根据题意列出方程，再利用直接开平方法解答，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
解得：．
故答案为：或1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．，另一个根为．
【分析】将代入方程求出m的值，再利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：将代入，得：，
解得，
方程为，
则，
，，
，另一个根为．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程解的意义，以及运用解的定义解决相关问题的能力，根据方程的解的定义求得m的值是解题的关键．
4．A
【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．
【详解】解：方程，
开方得：或，
解得：．
故选：A．
【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．
5．B
【分析】直接用开平方法解方程即可．
【详解】解：，
开平方得：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确进行计算．
6．A
【分析】直接将0代入求解即可．
【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是0，
∴，
解得，，
∵当时不是一元二次方程，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题时注意．
7．
【分析】根据一元二次方程的定义知，，且，据此可以求得的值．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
，且，
解得；
故答案是：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
8．8或2
【分析】先根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
故答案为；8或2．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意得到是解题的关键．
9．(1)
(2)，
【分析】（1）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可；
（2）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可．
【详解】（1）∵，
∴二次项系数化1，可得：，
方程两边开平方，可得：；
（2）∵，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程，熟练掌握并学会灵活变形是解题关键．
10．D
【分析】先将常数项移到等号右边，再将方程两边同时除以2，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理成完全平方式即可．
【详解】解：
故选D．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方的方法是解题关键．
11． 5 32
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
即，
∴，．
故答案为：5，32
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．
12．，
【分析】移常数项，加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解.
【详解】解：，
，
，
，
∴，．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键．
13．B
【分析】方程两边加上得到，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：方程两边加上得到：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
14．A
【分析】根据配方法的步骤，逐步进行判断即可．
【详解】解：①
②
∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误；
故选A．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的解题步骤是解题的关键．
15．C
【分析】运用配方法将原方程转化为，运用直接开平方法可以转化为两个一元一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴，即
∴，
∴或
∴另一个一元一次方程为
故选：C
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．
【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
则．
故答案为：．
【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
17．或
【分析】作，根据等腰三角形的性质，得到，设，则，由勾股定理求得，再利用勾股定理分别计算即可得到答案．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
，
，
设，
，
在中，，
，
，，
当，即，
，
当，即，
，
综上所述，或，
故答案为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练运用勾股定理是解题关键．
18．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【分析】（1）根据配方法的步骤求解即可；
（2）根据配方法的步骤求解即可；
（3）根据配方法的步骤求解即可；
（4）根据配方法的步骤求解即可．
【详解】（1）解：原方程可化为，
∴，即，
∴，
∴，；
（2）解：原方程可化为，
∴，即，
∴，
∴，；
（3）解：原方程可化为，
∴，即，
∴，
∴，；
（4）解：原方程可化为，
∴，即，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程：把原方程化为一般形式，方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边，方程两边再同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，进一步通过直接开平方法求出方程的解．
19．C
【分析】先解一元二次方程，得到的值，在估算实数的取值范围．
【详解】解：解方程，可得，
∵为一元二次方程较大的实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程、实数的估算，关键是掌握解一元二次方程的方法——公式法．
20．20
【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
【详解】解：∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．
21．(1)换元
(2)，
(3)
【分析】（1）根据题目解题的过程，设，将二次换元为一次，由此即可求解；
（2）设，则原方程可化，因式分解法解一元二次方程即可求解；
（3）设，则原方程可化，因式分解法解一元二次方程即可求解；
【详解】（1）解：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：换元．
（2）解：设，则原方程可化，即
∴，，
当时，，方程无实数解；
当时，，解方程得，，，
∴原方程的解为：，．
（3）解：设，则原方程可化，则，
∴，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解高次方程，掌握换元思想，进行降次方法解高次方程是解题的关键．
22．D
【分析】用公式法求出方程的解，根据题意得出关于b的不等式，解不等式可得答案．
【详解】解：解方程得：，
∵一元二次方程的较大的一根小于1，
∴，
∴，
两边平方得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，能够根据题意得出关于b的不等式是解题的关键．
23．A
【分析】根据求根公式比较再结合a、b、c是有理数即可发现规律．
【详解】∵关于x的一元二次方程的解为，，且a、b、c是有理数，且方程的一个根是
∴当时，，
此时另一个解：
∴当时，，
此时另一个解：
∴方程的另一个根是．
故选：A
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，解此题的关键是根据a、b、c是有理数把求根根式的结果与已知解对应．
24．D
【分析】由得到：，再根据，可得，再列方程，解方程可得答案．
【详解】解：由得到：，
即：，
，
，
，
，
解得：，，
，
不合题意，
，
故选D．
【点睛】本题考查了等式的变形，一元二次方程的解法等知识，关键是根据已知条件，变形为，从而可转化为关于x的一元二次方程．
25．5
【分析】先求出一元二次方程的正实数解，进而即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程的正实数根为：，
∵，
∴，
∵，
∴的最小值为3，
∴整数的最小值为5．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，无理数的估算，不等式的性质，掌握公式法解一元二次方程是关键．
26．2或6或12
【分析】根据一元二次方程的求根公式，求出方程的根的表达式，再根据方程有有理根且m为整数，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∵一元二次方程有有理根，
∴为有理数，，则，
∵m为整数，
∴，解得：或6或12．
故答案为：2或6或12．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式以及有理数和整数的定义．
27．
【分析】根据公式法解得即可．
【详解】解：
∴
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟悉公式法．
28．C
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长．
【详解】解：由，
解得：或，
当第三边长为时，
由三角形三边关系可知：，
故不能组成三角形，
当第三边为时，
由三角形三边关系可知：，能够组成三角形，
这个三角形的周长为：，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长．
29．，，
【分析】解法一：利用材料所给信息，将方程转化为：后，把写成可得：，把进行因式分解得，再进一步提公因式进行因式分解即可得到答案；
解法二：直接将进行分组进行因式分解即可得到答案．
【详解】解：解法一：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴或或，
解得：或或；
解法二：，
，
，
，
，
∴或或，
解得：或或；
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了高次方程和利用因式分解解一元二次方程的解法，看懂和理解给出的内容是解决本题的关键．
30．(1)，另一根为；
(2)①；②0或1
(3)
【分析】（1）把代入方程求得a的值，再把a的值代入方程，解一元二次方程便可求得方程的另一根；
（2）①把代入方程，根据多项式恒等原理列出p、q的方程求得P、q，进而求得代数式的值；
②求出原式，由原式的值为正整数，得代数式的值为1，2，算出和的解即可；
（3）根据已知条件用m、n分别表示，，再得出，根据差的正负判断，的大小．
【详解】（1）解：把代入原方程，
得，
解得，
把代入原方程，
得，
，
解得，，，
∴方程的另一根为；
（2）①把代入，
得，
即，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
②原式
，
∵不论x为何值，
∴原式
∵代数式的值为正整数，
∴代数式的值为1，2，
当时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；
当时，或1，
故x的值是0或1；
（3）解：当时，得，
∴，
当时，得，
∴，
∴
∵，，，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程的解的应用，配方法的应用，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，灵活应用配方法和差值法解题．
31．A
【分析】因式分解法求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
32．C
【分析】根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法则解一元二次方程的一般步骤，准确计算．
33．A
【分析】把解代入所给的方程，得到关于m的一元二次方程，解方程，再结合即可求出m的值．
【详解】解：把代入，
可得，
整理得，
解得：，，
当时，，关于x的方程不是一元二次方程，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，解一元二次方程等，难度不大．解题的关键是不要忽略．
34．0或4##4或0
【分析】根据题意先把代入方程即可求得k的值．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴或4．
故答案为：0或4．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键，本题还考查了解一元二次方程．
35．②③④
【分析】①②均是求出方程的两个根，根据倍根方程的定义进行判断即可，求出③中方程的两个根，根据倍根方程的定义，分两种情况求出m和n的关系，代入后面的式子即可判断，④根据点在反比例函数的图象上，可以求出p和q的关系，代入解方程即可判断对错．
【详解】解：①方程的解为，此方程不是倍根方程，此结论错误；
②方程的解为，此方程是倍根方程，此结论正确；
③∵是倍根方程，且，
∴或，
∴或，
∵，此结论正确．
④关于x的一元二次方程是“倍根方程”，
理由：∵点（p，q）在反比例函数 的图象上，
∴，
解方程得：，
∴，此结论正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题属于新定义题，掌握解一元二次方程的方法、理解新定义是解题的关键．
36．(1)和4，7
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再做差后可求出的值；
（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程没有实数根，进而可得出代数式没有不变值；
（3）由可得出方程有两个相等的实数根，进而可得出，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：依题意，得：，即
解得：，，
，
故答案为：和4，7；
（2）解：依题意，得：即，
，
没有实数根，
代数式没有不变值；
（3）解：依题意，得：即有两个相等的实数根，
，
整理得：，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．
37．A
【分析】将该方程整理为一元二次方程的一般形式，进而即可根据其根的判别式求解．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式和一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．
38．
【分析】根据换元法解一元二次方程即可求解，最后要检验．
【详解】解：设，原方程可化为
即
解得：，
即或
当时，即，，无实数解，
当，即，，原方程有实数解，
∴的值等于，
故答案为：．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．
39．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据题意求出判别式的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式的关系即可得出答案；
（2）根据△ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代入方程即可求出k的值．
【详解】（1）证明：∵
，
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当为腰时，则或有一条边为腰，
的解为3，
∴，
解得：，
当为底时，则，为腰，
方程有两个相等的实数根，
由（1）得无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况不存在；
综上所述，．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．
40．B
【分析】算一元二次方程根的判别式进而即可求解．
【详解】解：，
∴一元二次方程的根的情况是没有实数根，
故选：B．
【点睛】题考查了一元二次方程(，a，b，c为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
41．A
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解】解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
42．C
【分析】分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．
【详解】解：当腰为4时，
把代入得，
，
解得；
当底为4时，则方程有两相等的实数根，
∴，
∴，
解得，
综上所述， m的值为4或3．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、解一元二次方程以及根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
43．4
【分析】根据一元二次方程根的判别式公式可直接得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的公式．
44．①②③
【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解．
【详解】解：①∵，，
∴a、c异号，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，故①正确；
②∵当时，，
∴时，一定有一个根是1，故②正确；
③∵，
∴，
当a，c异号时，，
∴，
∴，
当a，c同号时，，且，
∴，
∴，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
④∵c是的一个根，
∴，
∴，
∴或，故④错误．
∴正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系数的关系、解的意义是解题关键．
45．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）先计算△，化简得到，易得，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
【详解】（1）解：证明：
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
（2），
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
46．B
【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得到且二次项系数，继而可求得的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为零且当时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
47．
【分析】先将一元二次方程可转化为一般形式，再根据一元二次方程解的根的判别式的意义得到，然后求出a的取值范围．
【详解】一元二次方程可转化为，
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
∴
∴
【点睛】本题考查一元二次方程解的根的判别式的意义，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
48．(1)
(2)，
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）由（1）可得．从而得到该方程为，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根，
∴，即．
解得．
（2）解：由（1）得，，
又∵k为正整数，
∴．
∴该方程为．
解得，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法是解题的关键．
49．C
【分析】根据一元二次方程有两个实数根可知判别式，解出a的范围，再综合一元二次方程的定义即可得到答案．
【详解】 关于x的一元二次方程有两个实数根
且
且
故选：C．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围，注意“有两个实数根”包括“有两个相等的实数根”（即）的情况；另外还要注意当参数在二次项系数的位置上时，还要考虑二次项系数不为0．
50．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式且列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式且是本题的关键．
51．A
【分析】先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得的取值范围为且，再根据不等式组的解集求得，从而得到，且，即可求得a的整数值，从而可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
即且，
∵
解①得：
解②得：
∵不等式组的解集为y ＜1，
∴
∴，
∴，且，
∵a为整数，
∴，0，1，3，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了根据不等式组的解集确定参数取值范围．
52．3
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，，以及二次项的系数不为0，求出的取值范围，再进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
又∵方程为一元二次方程，
∴，
∴，
∴满足条件的所有非负整数k：，
∴满足条件的所有非负整数k的和为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求出参数．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程的二次项系数不为0，是解题的关键．
53． 且##且 且##且
【分析】（1）①讨论：，即时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当，利用根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围；②方程有2个实数解，方程一定为一元二次方程，利用根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）与（1）中②小题一样求解．
【详解】解：（1）①当，即时，方程化为，
解得；
当且，
解得且，
综上所述，的取值范围为；
故答案为：；
②根据题意得且，
解得且，
即的取值范围为且；
故答案为：且；
（2）根据题意得且，
解得且，
即的取值范围为且；
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
54．(1)
(2)当时，方程的两个整数根为，
【分析】（1）根据根的判别式即可求出m的取值范围；
（2）根据题意写一个m的值，然后代入方程求出方程的根即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得：．
（2）解：∵，
由题意，是平方数，
设，
原方程为，
即，
∴或，
解得：，．
∴当时，方程的两个整数根为，．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法，掌握当时，方程有两个不相等的实数根，是解题的关键．
55．B
【分析】令，原式化为，解关于的一元二次方程，即可求解．
【详解】令，，
原式化为，
即
∴
解得：或（舍去）
故选：B．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
56．，##，
【分析】理解方程解的含义，在中解是x，则在中解是，进行换元计算即可．
【详解】解：关于x的方程（a、m、p为常数，）的解是，，
方程变形为，即此方程中的或，解得，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握如何换元是解题的关键．
57．6
【分析】设，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．
【详解】解：设，则原方程可变形为，即
∴，
解得：；
又∵
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题目给出的解方程的方法，是解题的关键．注意：．
58．A
【分析】将与的值代入，以为整体，求出它的值即可．
【详解】解：，，
，
，
，
解得或4，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键注意．
59．B
【分析】根据题意，采用换元法，令，将转化为，即，得到，解得或，再结合，即可确定，从而确定答案．
【详解】解：令，
将转化为，
，即，解得或，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及换元法、解一元二次方程等知识，熟练掌握换元法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键．
60．C
【分析】根据关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），可知或，进一步求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），
在方程中，
或，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键．
61．，
【分析】利用换元法，解一元二次方程即可．
【详解】解：令，
则：方程转化为： ，
∵的解是1，，
∴的解为：，
即：或，
解得：，；
故答案为：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键．
62．
【分析】对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
【详解】解∶由得到，对于一元二次方程，设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故答案为∶
【点睛】本题考查了一元二次方程的解.正确计算是解题的关键．
63．(1)C；
(2)；
(3)见解析；
(4)1，小，．
【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）结合材料，用换元法进行分解因式；
（4）利用还原法把原式变形、分解，由即可得解．
【详解】（1）由第二步到第三步是运用了完全平方公式法，
故选C；
（2）
设，
原式
故答案为：；
（3）设，
原式
；
（4）设，
原式
即：当时，多项式存在最小值，为：．
【点睛】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
64．C
【分析】根据题意可设这个方程为，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两根是，
可设这个方程为，
∴这个方程可以为．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
65．D
【分析】由一元二次方程没有实数根得到判别式，解该不等式即可求出m的取值范围．
【详解】解：由题意可知：，，．
判别式，
∵方程没有实数根，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式的应用，对应一元二次方程，若判别式，则方程有两个不相等的实数根；若判别式，则方程有两个相等的实数根；若判别式，则方程没有实数根．
66．A
【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程的根的定义将代入，得到关于的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：由一元二次方程的定义可得，则，
将代入，得
，
即，
∴，
解得：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
67．D
【分析】先整理，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：原方程整理得：，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
68．15
【分析】利用解一元二次方程——配方法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
∴，，
∴，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键．
69．1
【分析】根据完全平方公式将原式变形为，然后利用完全平方式的非负性分析其最值．
【详解】解：
∵
∴
∴代数式的最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构及其非负性是解题关键．
70． ，
【分析】根据，方程可以分解成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是，解这两个一元一次方程即可得一元二次方程的解．
【详解】解：∵，
∴要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是；
由得，由得，
故一元二次方程的解是，，
故答案为：；，
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
71．
【分析】利用完全平方公式配方可求得的值，进一步计算即可求解．
【详解】解：
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
72．(1)，
(2)，
【分析】（1）移项后，利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：移项得，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
或
或 ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
73．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：根据题意知，
即：
解得：，
故k的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
74．A
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴，即：
解得：；
故选A．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
75．C
【分析】先确定a，b，c的值，根据得出的符号，再利用一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根求解，代入公式求出即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴
∴方程没有实数根，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的应用在中考中是热点问题，特别注意运算的正确性．
76．A
【分析】求出的值，再进行判断即可求解．
【详解】
一元二次方程有两个不相等的实数根
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键．
77．A
【分析】先根据新定义得到方程，再根据方程有两个实数根，即可利用根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴方程有两个实数根，
∴方程有两个实数根，
∴，
∴且，
故选A．
【点睛】本题主要考查了新定义，一元二次方程根的判别式，正确根据新定义得到方程是解题的关键．
78．且
【分析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得a的范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵方程是一元二次方程，
∴，
∴a的范围是：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是要考虑两方面：一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．
79．1
【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再根据方程的根的定义可得一个关于m的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可得．
【详解】解：由一元二次方程的定义得：，
解得，
关于x的一元二次方程有一个根为0，
∴，
解得或（与不符，舍去），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及其定义、利用因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的定义和方程的解法是解题关键．
80．
【分析】将代入代数式，根据配方法即可求解．
【详解】解：∵
∴
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
81．16
【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形的三边关系得出底和腰，然后计算三角形的周长即可．
【详解】解：，
，
，
或，
∴，，
∵等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，
又∵，不符合三角形的三边关系，
∴等腰三角形的底为2，腰是7，
则等腰三角形的周长为：．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的解法，等腰三角形的性质和三角形三边的关系，解得关键是利用因式分解法求出方程的两个根，．
82．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用直接开平方法求解；
（2）利用配方法求解；
（3）利用因式分解法求解；
（4）利用公式法求解．
【详解】（1）
；
（2）
（3）
或
∴；
（4）
∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
83．(1)方程的另一个根为，的值为
(2)证明过程见详解
【分析】（1）把代入方程，可求出的值，从而得出方程的一般式，根据解一元二次方程的方法，即可求解；
（2）根据方程根的判别式，恒大于零，则方程有两个不相等的实数根，即可求证．
【详解】（1）解：把代入方程得，，
∴，
∴关于的方程，
去分母得，，
因式分解得，，
∴原方程的解为：，，
∴方程的另一个根为，的值为．
（2）解：关于的方程，，，，
∴，
令，
∵，即原方程的判别式恒大于零，
∴关于的方程，不论取何实数，方程有两个不相等的实根．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．
84．C
【分析】当底为5时，另外两边长相等，有两个相等的实数根，求出的值，检验三边能否构成等腰三角形；当腰为5时，有一个根是5，求出的值，检验三边能否构成等腰三角形．
【详解】解：当底为5时，另外两边长相等，且为的根，
即有两个相等的实数根，
解得
；
，，
，，能构成等腰三角形；
当腰为5时，5为的根，
即
解得
，，
，
，，能构成等腰三角形；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程解得情况以及构成三角形的条件；分底为5时或腰为5时讨论是解题的关键．
85．D
【分析】①将代入代数式，计算即可；②根据，得，进而即可求解；③根据，令，则，一元二次方程即可求解．
【详解】解：①将代入，得，
∵
∴，
∴或，
故①不正确；
②∵，
∴
∴
∴，
故②不正确
③当时，，
∴
令，则，
∴，
解得：或，
即或，故③不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减，因式分解的应用，完全平方公式，解一元二次方程，掌握以上运算法则以及完全平方公式是解题的关键．
86．D
【分析】根据，得出，根据已知条件，求得，即可求解．
【详解】∵
，
当时，取得最大值，
又，
∴，
∴的最大值为为．
故选D．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，不等式的性质，解一元二次方程，掌握绝对值不等式的性质是解题的关键．
87．B
【分析】运用解一元一次方程，解一元二次方程，整除的性质，不等式的性质，恒等式的变形等知识逐个判断即可．
【详解】解：①∵，，，
∴
解得：，
故①错误；
②∵，，，，，
∴
化简得：，
因式分解得：
∴，
∴，
故②错误；
③∵，，，
∴，
∵x为正整数，且为整数，
∴，
∴，
故③正确；
④∵，，，
∴，
化简得：，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
即，
故④正确．
故正确的有：③④，共两个，
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元二次方程，整除的性质，不等式的性质，恒等式的变形等知识，综合性较大，要求知识全面，掌握相关知识是解题的关键．
88．
【分析】先配成平方和等于0的性质，再利用平方的非负性求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查平方的非负性，配方法的应用，算术平方根等知识，将原方程配成平方和等于0的形式，是解题的关键．
89．
【分析】因为方程的两个根为和，所以方程可以化为为，得出，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为、，
∴，
整理得，
∴
解得：，
∴方程为，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，求得是解题的关键．
90．或
【分析】求出一元二次方程的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴，或，
∴，，或，，
当，时根据，
∴，
当，时根据，
∴，
故答案为：或
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．
91． 4 3 15
【分析】利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】解：
=
=
=
∴当a=4，b=3时，多项式有最小值15．
故答案为：4，3，15．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
92．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先计算判别式的值，利用非负数的性质判断，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根据方程有一根大于2，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程为，
∴，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
解得，
∵此方程恰有一个根大于2，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
93．(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【详解】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页