2.3一元二次方程的应用 同步讲义（含解析）八年级数学下册浙教版

专题2.3 一元二次方程的应用
1．掌握一元二次方程的应用，增长率问题，传播问题，营销问题，动态几何问题，行程问题和其他类型的应用题；
2．掌握一元二次方程的综合应用，学会用一元二次方程的知识点解决相关实际问题；
知识点01 一元二次方程的应用之增长率问题
【知识点】
增长率问题涉及的公式有:
（1）
（2）若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则．
【典型例题】
例1．
（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）
1．据统计，从2019年至2021年我国高铁的年运营总里程中万千米增加到4万千米．设我国从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
例2．
（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）
2．某种商品原价每件元，经两次降价，现售价每件元，设该种商品平均每次降价的百分率为，则可列方程 ．
例3．
（2022秋·广西桂林·九年级统考期中）
3．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均匀增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．
【即学即练】
（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）
4．某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由81元降为64元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　）
A． B． C． D．
（2023秋·湖北黄石·九年级校联考期末）
5．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·广西防城港·九年级统考期中）
6．某校为了加强学校“信息化”建设，计划用三年时间对全校的信息化设施和设备进行全面改造和更新，年该校已投资万元人民币，若每年投资的增长率相同，预设年投资万元人民币，那么每年投资的增长率为 ．
（2023秋·广东广州·九年级广州市天河区汇景实验学校校考期末）
7．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 ．
（2023秋·四川成都·九年级统考期末）
8．某市从年起连续投入资金用于建设美丽城市，改造老旧小区．已知每年投入资金的增长率相同，其中年投入资金万元，年投入资金万元．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)年老旧小区改造的平均费用为每个万元．年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用计划增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市年最多可以改造多少个老旧小区？
知识点02 一元二次方程的应用之传播问题
【知识点】
1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感．第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x（1+x）=（1+x） 人患了流感．
2、树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x 个枝．
【典型例题】
例1．
（2020秋·四川凉山·九年级校考期中）
9．在疫情期间，某地有一人确诊为患者，经过两天后确诊人数有121人（不考虑新输入性患者），若每人每天传染人数相同，则每人每天传染（　　）人．
A．12 B．11 C．10 D．9
例2．
（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）
10．网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为 人．
例3．
（2022秋·广西南宁·九年级统考期中）
11．某种病毒具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患病毒（假设每轮传染的人数相同），求每轮传染中平均每个人传染的人数．
【即学即练】
（2022秋·新疆伊犁·九年级校考阶段练习）
12．九年级（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·广东广州·九年级校考期末）
13．有一人患了新冠流感，经过两轮传染后共有400人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　）
A．18人 B．19人 C．20人 D．21人
（2022秋·四川内江·九年级校考期中）
14．若有一人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有121人被传染，则三轮传染后共有 人成为新冠肺炎病毒的携带者；
（2022秋·宁夏吴忠·九年级校考期中）
15．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则 ．
（2022秋·广东江门·九年级统考期末）
16．新冠病毒传染性很强，疫情防控稍有疏忽，很容易导致大面积感染！现假设某地有2人同时患了新冠病毒肺炎．经过两轮传染后共有200人感染，那么每轮传染中平均一个人传染多少人？请你用一元二次方程的知识解答这道题．
知识点03 一元二次方程的应用之营销问题
【知识点】
利润问题常用公式如下
（1）利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价．
（2）利润率=
（3）销售额=销售价×销售量．
（4）销售利润=（销售价–成本价）×销售量
【典型例题】
例1．
（2022秋·广东深圳·九年级统考期末）
17．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（ ）
A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元或20元 D．5元或10元
例2．
（2022秋·河南平顶山·九年级校考期中）
18．某商店销售一批保暖衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，商店采取适当的降价措施，经调查发现，在一定的范围内，保暖衬衫的单价每降1元，商店平均每天可多售出2件，如果商店通过销售这批保暖衬衫每天要盈利1200元，尽量减少库存，保暖衬衫的单价应降 元．
例3．
（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期中）
19．六一节前某市场以每盒60元的价格购进1000盒拼装玩具．四月份以单价100元销售，售出了300盒．五月份如果销售单价不变，预计仍可售出300盒，市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低3元，可多售出6盒，但最低销售单价应高于购进的价格．五月份结束后，批发商将对剩余的玩具一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设五月份销售单价降低x元．
(1)填空：五月销售量为______件，清仓销售量为______件．
(2)如果市场希望通过销售这批玩具获利15200元，那么五月份的销售单价应是多少元？
【即学即练】
（2022秋·山西忻州·九年级统考期末）
20．王阿姨的水果店以4元/千克的价格购入了一批苹果，再以6元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，王阿姨决定降价销售，销售过程中发现，这种苹果每降价0.2元/千克，每天可多售出20千克，另外，每天的房租等固定成本为50元，若王阿姨每天要想盈利250元，设应将每千克苹果的售价降低x元，则以下方程正确的为（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）
21．文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．
小张：该工艺品的进价是每个20元；
小李：当销售价为每个36元时，每天可售出150个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出90个．
经理：为了实现平均每天3600元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？
设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
（2022秋·全国·九年级专题练习）
22．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件．但要求销售单价不得超过65元．要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为 元．
（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛实验初级中学校考阶段练习）
23．某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，设每张书签应降价元．根据题意可列方程为 ．
（2023秋·四川成都·九年级统考期末）
24．某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
(1)当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？
(2)若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
知识点04 一元二次方程的应用之动态几何问题
【知识点】
利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形
【典型例题】
例1．
（2022秋·全国·九年级专题练习）
25．在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
例2．
（2022秋·九年级单元测试）
26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是 秒．
例3．
（2022秋·辽宁锦州·九年级统考期中）
27．如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒．
(1)经过几秒时，的面积等于平方厘米？
(2)经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？
【即学即练】
（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）
28．如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
A． B．或 C． D．
（2022春·浙江温州·八年级校考期中）
29．在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
（2021秋·江苏徐州·九年级统考期中）
30．如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用一根长为5m的木材，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，，现为了增加支撑效果，底端向前移动m，问：顶端需上移多少米？在这个问题中，设顶端上移x米，则可列方程为 ．
（2022秋·山东枣庄·九年级统考期中）
31．如图， cm，OC是一条射线，，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则 秒钟后，两只蚂蚁所处位置与O点组成的三角形面积为100．
（2022秋·天津南开·九年级校考期末）
32．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．
(1)用含的式子表示： ， ， ，
， ；
(2)当的面积为时，求运动时间；
(3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
知识点05 一元二次方程的应用之行程问题
【知识点】
牢记公式：路程=时间×速度
【典型例题】
例1．
（2022春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）
33．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？
A． B． C．1.5 D．
例2．
（2021春·浙江·八年级统考阶段练习）
34．如图，甲、乙两点分别从直径的两端点，出发以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为.则甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是 .
例3．
（2022秋·江西南昌·九年级统考期中）
35．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：）
【即学即练】
（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）
36．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
（2020秋·八年级课时练习）
37．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　）
A．1s B．1.2s C．2s D．4s
（2022秋·四川达州·九年级校考期中）
38．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
（2020秋·江苏南通·九年级统考期末）
39．再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为 s.
（2023春·八年级课时练习）
40．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
知识点06 一元二次方程的应用之其他问题
【典型例题】
例1．
（2023·全国·九年级专题练习）
41．据贵阳市自然资源和规划局公示，贵阳轨道交通4号线从贵阳北出发，依次为贵阳北﹣贵阳东﹣龙洞堡﹣……﹣白云区．从贵阳北到白云区共设计了156种往返车票，这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
例2．
（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校联考期中）
42．果园有棵果树，平均每棵树结个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，讨论发现，每多种一棵桃树，平均每颗桃树的产量就会减少2个，要使总产量增加，应多种 棵桃树．
例3．
（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）
43．新年到了，为增进同学友谊，某班主任规定本班同学间，每两个人必须相互通电话1次
(1)若本班人数为20，则共通话________次，若本班人数为（，且为正整数），则共通话________次；
(2)若同学们共通话1225次，求该班同学的人数；
(3)王峰同学由打电话问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点、），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
【即学即练】
（2022秋·湖北武汉·九年级统考期中）
44．一个直有三角形的两条直角边相差，面积是，则较长的直角边的长为（ ）．
A． B． C．3 D．6
（2022秋·安徽宿州·九年级统考期中）
45．“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次活动，群内所有人共收到个红包，则该群一共有（　　）人．
A． B． C． D．
（2023·江苏泰州·九年级校考期末）
46．九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签平均分成A，B两组，在每一组中进行单循环的小组赛（每两个班之间比赛一场），再从每组的前4名选出进行比赛，最后进行决赛得出名次；若A组共进行了21场小组赛，则九年级共有 个班．
（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）
47．如下图，社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为160平方米．求通道的宽是 米．
（2022秋·广东东莞·九年级校考阶段练习
48．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．
(1)求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？
题组A 基础过关练
（2022秋·甘肃庆阳·九年级校考期中）
49．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排6天，每天安排4场比赛，设比赛组织者邀请了个队参赛，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）
50．某种药品的原来价格是每盒220元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都为，且第二次降价后每盒价格为168元，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）
51．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400，设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则x的值为（ ）
A．10 B．8 C．7 D．5
（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考期中）
52．“绿水青山就是金山银山”，某地为打造绿色产业，实行退耕还林，若计划2022年退耕还林10万公顷，以后退耕还林面积逐年递减，递减率均为10%，那么预计2024年退耕还林的面积为（　　）
A．10万公顷 B．9万公顷 C．万公顷 D．万公顷
（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）
53．某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为 ．
（2022秋·贵州遵义·九年级校考阶段练习）
54．在一次同学聚会上，参加聚会的每两个同学都要握手一次．若所有参加聚会的同学共握手45次，则参加此次聚会的同学有 人．
（2022秋·山西·九年级校联考期末）
55．如图，李大斧要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇宽的门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为 ．
（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）
56．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2020年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2022年底贫困人口减少至1万人．设2020年底至2022年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得 ．
（2021秋·广东云浮·九年级校考期中）
57．某农场去年种植了亩地的南瓜，亩产量为，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的，设南瓜种植面积的增长率为．
(1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______（用含的代数式表示）
(2)今年南瓜的总产量为，求南瓜亩产量的增长率．
（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市育源中学校考期末）
58．光明中学准备在校园里利用围墙（墙长19m）和42m长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽度的花池．已知，劳动基地的总面积（不包含花池）为132，求的长是多少？
题组B 能力提升练
（2022秋·云南玉溪·九年级统考期中）
59．中秋节当天，九年级数学组的老师每两人相互送一个月饼，共送出72个月饼，九年级数学组老师的人数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
（2023秋·四川雅安·九年级校考期中）
60．某厂家2022年1月～5月份的口罩产量统计图如图所示，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长量为x，根据题意可的方程（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）
61．如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）
62．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有个人患了流感；②第2轮又增加个人患流感；③依题意可得方程；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
（2022春·广西钦州·八年级阶段练习）
63．随着近期国家抑制房价新政策的出台，某小区房价两次下跌，由原来的每平方米元降至每平方米元，设每次降价的百分率为，则所列方程为 ．
（2022秋·陕西汉中·九年级校考阶段练习）
64．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成六块作试验田，要使实验田总面积为570，问道路应为多宽 ．
（2023秋·河北·九年级校联考期末）
65．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.38万户．设全市5G用户数年平均增长率为，则的值为 ；预计按此平均增长率，到今年（2022）底全市5G用户数累计达到 户．（用科学记数法表示）
（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期中）
66．深秋时节，甜糯的板栗深受人们的喜爱，某商贩购进时的价格是40元/千克．根据调查：在一段时间内，销售单价（元/千克）与销售量（千克）之间满足的关系如图所示．
（1）写出关于的函数关系式 ；
（2）要使该商店销售这种板栗获得8000元的销售利润且让利于顾客，则该板栗的销售单价应定为 ．
（2022秋·河南南阳·九年级校考期末）
67．某商店将进价为元的商品按每件元出售，每天可出售件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高元，那么每天的销售量就减少件．
(1)将每件商品的售价定为多少元时，才能使每天的利润为元？
(2)店主想要获得每天元的利润，小红认为不可能，你是否同意小红的说法，请说明理由．
（2022春·福建宁德·九年级校考阶段练习）
68．一个批发商销售成本为25元/千克的某产品，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克） … 50 60 70 80 …
销售量y（千克） … 100 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)该批发商若想获得3750元的利润，应将售价定为多少元？
题组C 培优拔尖练
（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）
69．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，出售价格每涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价（ ）元
A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元
（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）
70．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图（1），大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则图（2）是下列哪个方程的几何解法？（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·山东济南·九年级平阴县第四中学校考阶段练习）
71．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…依此规律，若第n个图形有114个小圆，则n的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
（2022秋·江西南昌·九年级统考期中）
72．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出，的中点，，再沿过点的直线折叠，使点A落在线段上（即处），折痕为，点在边上，连接，，则长度恰好是方程的一个正根的线段为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·河南安阳·九年级校考期中）
73．从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽，竖着比城门高，另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度为 ．
（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）
74．为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是 ．
（2023秋·重庆江北·九年级字水中学校考期末）
75．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
（1）求甲品牌的洗衣液的进价 元；
（2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为 元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？
（2022秋·全国·八年级专题练习）
76．已知在长方形纸片中，，，现将两个边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为；若时，则 ；若再在边长为大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图3），当时，则图3中阴影部分的面积 ．
（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）
77．随着疫情管控的放开，甲、乙两支队伍计划自驾去西藏旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地汇合．甲队走路线，全程2400千米，乙队走路线，全程3200千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，这样乙队可以比甲队提前2天到达目的地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720元，求的值．
（2022秋·福建三明·九年级统考期中）
78．有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
(1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）；
若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据“从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为x”即可列出方程．
【详解】解：∵从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为x，
∴方程为，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．
2．
【分析】设降价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次降价后降至每件32.4元，可列方程求解．
【详解】解：设降价百分率为x，列方程：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，根据题意列出方程是解题的关键．
3．(1)
(2)校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析
【分析】（1）根据进馆人次的月平均增长率相同列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可．
【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
，
，
，或舍，
答：进馆人次的月平均增长率为．
（2）解：∵进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：，
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．
4．A
【分析】利用经过两次降价后的价格=原价×（1降价率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．C
【分析】列出第二个月和第三个月的人次后相加即可．
【详解】解：第二个月：，第三个月：，则三个月累计人次为：，列方程为：．
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次函数的应用，注意求的是三个月的累计．
6．
【分析】设每年投资的增长率为，利用年的投资金额年的投资金额每年投资的增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设每年投资的增长率为，根据题意得
，
解得：，不符合题意，舍去，
每年投资的增长率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．20%
【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．
【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，
解得，（舍去）
所以，增长率为20%
故答案为：20%
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
8．(1)
(2)18个
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据“2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同”列出方程，即可求解；
（2）设该市在2023年可以改造y个老旧小区，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
（2）解：设该市在2023年可以改造y个老旧小区，
依题意得：，
解得：，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2023年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．
9．C
【分析】设每人每天传染人，则第一天传染中有人被传染，第二天传染中有人被传染，根据“某地有一人确诊为患者，经过两天后确诊人数有121人”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设每人每天传染人，则第一天传染中有人被传染，第二天传染中有人被传染，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元二次方程．
10．12
【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：依题意，得：，
解得：(不合题意，舍去)．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．每轮传染中平均每个人传染13人
【分析】设每轮传染中平均每个人传染人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据“经过两轮传染后共有196人患病毒”建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染13人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
12．B
【分析】根据题意，该题为二次方程解决实际问题中的“互赠贺卡”问题，设全班有名同学，其中每一名同学除了自己以外需要赠送给剩余名同学每人一张贺卡，从而由全班共互赠了5112张得出方程，从而得到答案．
【详解】解：设全班有名同学，则由题意知，每一名同学要送出贺卡张；
∵全班共互赠了5112张，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．
13．B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有400人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．10
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有人被传染，根据经过两轮传染后共有112人患新冠肺炎，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有人被传染，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
则三轮传染后共有10人成为新冠肺炎病毒的携带者，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．10
【分析】第一次小明邀请个好友，第二次n个人分别邀请个好友，列一元二次方程计算即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得：（舍去），，
故答案为：10人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题时注意小明也被包含在“111人”之中．
16．9
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x人，根据经过两轮传染后共有200人感染，列出方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，
由题意得：，
解得：（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染9人．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系列出方程是关键．
17．D
【分析】设每千克应该涨价元，根据题意，列一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设每千克应该涨价元，由题意可得：
，
解得或
即每千克应该涨价5元或10元．
故选：D
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．
18．20
【分析】设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．
【详解】解：设每件衬衫应降价元，
根据题意得，
整理得
解得：，．
因为尽量减少库存，，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
19．(1)，
(2)五月份的销售单价应是80元
【分析】（1）设五月份销售单价降低x元，则十月份销售单价为元，再根据销售单价每降低3元，可多售出6盒求出五月份的销售量即可求出清仓销售的数量；
（2）根据“销售这批玩具获利15200元”，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设五月份销售单价降低x元，则
五月份销售单价为元， 销售量为件，
五月份结束后，剩余的玩具的数量为件，
故答案为：，
（2）解：依题意得：
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）
当时，，符合题意．
答：五月份的销售单价应是80元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
20．B
【分析】设每千克苹果的售价降低x元，根据总利润=单个的利润×销售量，列出方程即可．
【详解】解：设应将每千克苹果的售价降低x元，根据题意得：
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握总利润=单个的利润×销售量．
21．C
【分析】根据题意，求得每天的售价以及对应的销售量，即可求解．
【详解】解：设这种工艺品的销售价每个应降低x元，则每个售价为元，每个利润为元，对应的每天销售量为个，
则由题意可得：，
故选：C
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确求得每件的售价、利润以及每天的销售量．
22．55
【分析】设每件工艺品售价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售这种工艺品获得的利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合销售单价不得超过65元，即可得出结论．
【详解】解：设每件工艺品售价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又销售单价不得超过65元，
，
每件工艺品售价应为55元．
故答案为：55．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（0.5 x）（2000x+500）＝270
【分析】设每张书签应降价x元，则每张可获利（0.5 x）元，平均每天可售出（2000x+500）张，利用批发商销售书签平均每天获得的利润＝每张的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设每张书签应降价x元，则每张可获利（0.5 x）元，平均每天可售出500+×200＝（2000x+500）张，
依题意得：（0.5 x）（2000x+500）＝270，
故答案为：（0.5 x）（2000x+500）＝270．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．(1)当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元
(2)按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到500元
【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可；
（2）由（1）所得的算式，使得总利润等于列式计算即可．
【详解】（1）解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得，
，
即
解得：，
答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元
（2）解：，
即
∵，原方程无解，
∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当时，方程无实数根”．
25．A
【分析】设点运动的时间为，则，，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间．
【详解】解：设点运动的时间为，则，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当到达点时两点同时停止运动，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．1
【分析】设P、Q运动的时间是秒，根据已知条件得到cm，cm ，则cm ，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm ，cm
∵△PQC的面积为3cm2，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．
故答案为：1
【点睛】本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
27．(1)秒或秒
(2)秒或秒
【分析】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，则厘米，厘米，根据三角形的面积公式结合的面积等于8平方厘米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，则厘米，，根据三角形、矩形的面积公式及的面积等于矩形面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，
则厘米 ，厘米，
根据题意，得，
整理，得 ，
解得 ， ．
故经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．
（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，
则厘米，厘米，
根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ，．
故经过秒或秒时，的面积等于直角三角形面积．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
28．A
【分析】当运动时间为t秒时，cm，cm，根据的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：当运动时间为ts时，cm，cm，
∴cm．
依题意得：，
即，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：当的面积为时，点P运动的时间是2s．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．A
【分析】设点运动的时间为，则，，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间．
【详解】解：设点运动的时间为，则，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当到达点时两点同时停止运动，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．或
【分析】在中，利用勾股定理可求出的长，设顶端上移x米，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：在中，，
∴．
设顶端上移米， 如图，
∴
依题意得：
故答案为：或．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
31．10或
【分析】可以分两种情况进行讨论：（1）当蚂蚁在上运动；（2）当蚂蚁在上运动．根据三角形的面积公式即可列方程求解．
【详解】解：有两种情况：
（1）如图1，当蚂蚁在上运动时，
设x s后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100，
由题意，得，
整理，得，
解得；
（2）如图2，当蚂蚁在上运动时，
设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100，
由题意，得，
整理，得，
解得，（舍去）．
答：10s或s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为100．
故答案为：10或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．分两种情况进行讨论是难点．
32．(1)，，，，
(2)或
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可；
（2）根据，求出，即可；
（3）根据，求出；再根据，即可．
【详解】（1）∵从点开始沿边向点以的速度移动，
∴，
∵，
∴，
∵动点从点开始沿边向点以的速度移动，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，，，，．
（2）由（1）得，
∴当的面积为时，
∴，
∴，，
∴当的面积为时，求运动时间为：或．
（3）由（1）得，，
当四边形的面积等于，，
∴，（舍），
∵，
∴四边形的面积不能等于时．
【点睛】本题考查一元二次方程的知识，动点和几何的综合，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，动点的运动轨迹，三角形的性质．
33．A
【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案
【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得：
BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，
因为BC2+DC2＝BD2，
则（10﹣16x）2+（12x）2＝62，
解得：x1＝x2＝0.4．
答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km．
故选A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
34．
【分析】由题意可知乙的运动路程为，甲、乙第一次相遇时一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，利用总路程等于甲的路程加乙的路程列方程即可.
【详解】如下图所示：红色线为甲走的路程，蓝色线为乙走的路程，虚线位置是第一次相遇时，箭头位置是第二次相遇时，
由图可知：甲、乙第一次相遇时，一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，故甲、乙行驶的总路程为：
∵乙以的速度匀速运动
∴乙的运动路程为，
根据总路程等于甲的路程加乙的路程列方程
∴
解得：（不符合实际，舍去）
故答案为
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用：行程问题，解决此题的关键是找到图中的等量关系是列出方程.
35．(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动约用了秒
【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，
答：小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：设小球滚动约用了秒，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动约用了秒．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
36．C
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴．
故乙走的步数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
37．A
【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：设约用了x秒．
汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8，
∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．
∴（20﹣4x）×x=16，
解得：x1=1，x2=4，
∵20﹣8x＞0，
∴x=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值．
38．
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，即甲走的步数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
39．
【分析】根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t．然后由“平均速度时间t”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t的值．
【详解】依题意得s=×t=t2，
把s=18代入，得18=t2，
解得 t=，或t=-（舍去）．
故答案为
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
40．(1)7分钟
(2)15分钟
【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟．
【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70，
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70，
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键．
41．B
【分析】设有x个站点，根据每两个站点之间有来往两种车票，共要设计156中往返票，可列出方程．
【详解】解：设有x个站点，则
．
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总票张数作为等量关系列方程求解．
42．20
【分析】根据题意桃树量乘以每棵产量等于总产量列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：设多种x棵桃树，由题意可得，
，
解得,
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程解应用题，解题的关键是找到等量关系式．
43．(1)190，
(2)50人
(3)
【分析】（1）利用通话总次数本班人数（本班人数），即可得出结论；
（2）根据同学们共通话1225次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）利用线段的总数点的个数（点的个数），即可用含m的代数式表示出线段的总数．
【详解】（1）解：根据题意得：若本班人数为20，则共通话次，
若本班人数为，则共通话；
故答案为：190，
（2）解：由题意得：，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该班同学的人数为50人．
（3）解：线段上共有个点（包含端点、），则相当于通话人数为，
所以线段总数为（条）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出通话总数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出线段总数．
44．D
【分析】设较长的直角边的长为，则较短的直角边的长为，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程取其正值即可．
【详解】解：设较长的直角边的长为，则较短的直角边的长为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，即较长的直角边的长为，
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
45．B
【分析】设该群一共有x人，则每个人要发其他张红包，则共有张红包，等于个，由此可列方程，解方程即可．
【详解】解：设该群一共有x人，
依题意得：，
解得：（舍去）或，
即这个群一共有人，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
46．14
【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），设A组有x个班，则可得方程，计算出A组班数乘以2，即可得到答案．
【详解】解：设A组共有x个班级．依题意得：
解得：
∴九年级共有个班级．
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数（队数），进而得出方程是解题关键．
47．3
【分析】设通道的宽为米，则停车位可以合成长为米，宽为米的矩形，根据铺花砖的面积为160平方米，即可得出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：设通道的宽为米，则停车位可以合成长为米，宽为米的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或（舍）．
故答案为：3
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列出一元二次方程是解题的关键．
48．(1)
(2)8
【分析】（1）设花圃的宽为，面积为，则的长为米，然后根据长方形的面积公式，即可求解；
（2）根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设花圃的宽为，面积为，则的长为，
∴，
∵，
∴．
∴S与x的函数关系式为．
（2）解：根据题意得：，
即，
解得：．
∵，
∴．
答：要围成面积的花圃，的长是8米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列函数关系式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
49．B
【分析】利用比赛总场数来建立等式即可求解．
【详解】解：∵每个队之间都要比赛一场，比赛组织者邀请了 x 个队参赛，
∴一共要比场，
由于赛程计划安排6天，每天安排4场比赛，
∴共比赛场，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是找到相等关系．
50．C
【分析】根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：若每次降价的百分率都为x，则可列方程，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到下调后价格的关系式是解决本题的关键．
51．D
【分析】设金色纸边的宽度为厘米，得到，进而得出结论．
【详解】设金色纸边的宽度为厘米，
则，
化简为：，
解得：（不合题意舍去），，
故选：D．
【点睛】本题考查用一元二次方程解决实际问题，正确列出方程是解题的关键．
52．C
【分析】根据题意列式计算即可．
【详解】解：由题意得：
2024年退耕还林的面积为：万公顷；
故选C．
【点睛】本题考查平均变化率问题．根据题意正确的列出算式是解题的关键．
53．
【分析】设每件降价元，表示出每件盈利元，平均每天可销售件，根据总利润与单件利润的关系立方程即可．
【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可销售件，
依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际问题——销售问题；根据所设未知数表示出每件利润和每天的销售量是解题的关键．
54．10
【分析】设参加此次聚会的同学有x人，根据每两个同学都要握手一次，所有参加聚会的同学共握手45次列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设参加此次聚会的同学有x人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴参加此次聚会的同学有10人．
故答案为：10．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
55．
【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为米时，羊圈面积为80平方米，此时所围矩形与墙平行的一边长为米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合住房墙的长度为12米，即可确定所围矩形与墙垂直的一边长的长度．
【详解】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为米时，羊圈面积为80平方米，此时所围矩形与墙平行的一边长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
即：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，羊圈面积为80平方米．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
56．
【分析】等量关系为：2020年底年贫困人口乘以等于2022年年底的年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
，
故答案是：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，由实际问题得到2年内变化情况的等量关系，列出一元二次方程是关键．
57．(1)，
(2)
【分析】（1）南瓜种植面积的增长率为，去年种植了亩地的南瓜，可求出南瓜种植面积，南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的，则南瓜亩产量的增长率为，由此即可求解；
（2）去年南瓜亩产量为，今年南瓜的总产量为，南瓜亩产量的增长率为，由此列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：去年种植了亩地的南瓜，南瓜种植面积的增长率为，
∴今年南瓜的种植面积为，
∵去年种植南瓜亩产量为，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的，
∴南瓜亩产量的增长率是，
∴今年南瓜亩产量为，
故答案为：，．
（2）解：根据题意得：，
∴，解方程得，或（舍去），
∴南瓜亩产量的增长率为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，掌握题目中的数量关系列方程是解题的关键．
58．
【分析】设的长是xm，则，，由题意：劳动基地的总面积（不包含水池）为100，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设的长是xm，则，，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
答：的长是．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
59．A
【分析】设老师共有人，则每人需要送出个月饼，根据共送出72个月饼，即可列出一元二次方程，解方程，得到正整数解即可．
【详解】解：设老师共有人，则每人需要送出个月饼，根据题意得
整理得
解得（不符合题意，舍去）
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
60．B
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的110万只，4月份的产量将达到270万只”，即可得出方程．
【详解】从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系．
61．B
【分析】设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为米、宽为米的矩形，根据矩形的面积公式结合绿地的面积为5750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为米、宽为米的矩形，
根据题意得： ，
整理得：，
解得：60（舍去），．
即垂钓通道的宽度为5米．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
62．A
【分析】第一轮的传染源是1个人，他传染了x人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为81，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
则第一轮后共有人患了流感，故①正确；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，
则第2轮又增加个人患流感，故②错误；
依题意，得，即，故③正确；
解方程，得，（舍去）．
每轮传染中平均每人传染了8人．
经过三轮一共会有人感染，故④错误；
综上可知，正确的结论有①③，
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列出一元二次方程．
63．
【分析】等量关系为：原价降价的百分率现价，把相关数值代入即可．
【详解】解：第一次降价后的价格为：元；
第二次降价后的价格为：元；
两次降价后的价格为元，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
64．m
【分析】本题中，试验地的面积＝矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．
【详解】解：设道路为x米宽，
由题意得：，
整理得： ，
解得：，
经检验是原方程的解，但是，因此不合题意舍去．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
65．
【分析】先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底用户的数量，然后根据题意即可得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】解：设全市用户数年平均增长率为，根据题意，得：
，
解这个方程，得：，（不合题意，舍去）．
∴x的值为．
2022年底全市用户数
故答案为：；．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
66． 60
【分析】（1）设关于的函数关系式为，用待定系数法列方程组求解即可；
（2）根据利润＝（售价－进价）×销量，列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：（1）设关于的函数关系式为，
由图可知，点，在，
，
解得，
关于的函数关系式为，
故答案为；
（2）根据题意可得：
，
解得：或，
让利于顾客，
，
板栗的销售单价应定为60元，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程解决问题．
67．(1)每件售价定为元或元；
(2)同意小红的说法, 理由见解析
【分析】（1）首先设将每件商品提价元，则每天可售出该商品件，然后根据题意列出方程，即可得解；
（2）首先设将每件商品提价元，则每天可售出该商品件，然后根据题意列出方程，由根的判别式得出方程无解，即可得解.
【详解】（1）设将每件商品提价元，则每天可售出该商品件，
根据题意，得，
解得．
∴或16，
答：每件售价定为元或元；
（2）同意小红同学的说法，理由如下：
设将每件商品提价元，则每天可售出该商品件，
根据题意，得，
整理，得，
∵，
∴该方程无实数解，即小红的说法正确．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，正确的列出一元二次方程是解题的关键．
68．(1)
(2)75元
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用总利润=每千克的利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为，
将代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：应将售价定为75元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据给定的数量，利用待定系数法找出y与x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
69．A
【分析】设每千克水果涨了x元，那么就少卖了千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6 000元，可列方程求解；
【详解】解：设每千克水果涨了x元，根据题意，得
，
解得或．
因为同时又要使顾客得到最大优惠，所以应该上涨5元．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用及理解题意的能力，关键是以利润作为等量关系列方程求解．
70．A
【分析】根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案．
【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为9，
大正方形面积为，边长为7，
∴图2是，即的几何解法，
故选：A
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键．
71．C
【分析】第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意可知第1个图形有小圆个；
第2个图形有小圆个；
第3个图形有小圆个；
第4个图形有小圆个；
第5个图形有小圆个；
故第6个图形有小圆个；
…
∴第n个图形有小圆个．
由题意：，解得或（舍）．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
72．B
【分析】设，则，由折叠的性质可知≌，是的中点，则，，再由勾股定理得，然后由，求出，即可解决问题．
【详解】解：设，则，
由折叠的性质可知：≌，是的中点，
，，
根据勾股定理得：，
，
，
解得：，
的解为：，
取正值为，
这条线段是线段．
故选B．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
73．
【分析】设竹竿的长为x米，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程，解一元二次方程即可．
【详解】解：设竹竿的长为x米，
由题意得：，
解得：，（舍去），
故答案为：．
【点睛】考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．
74．
【分析】设该公司每个季度的下降率是x ，根据该公司第一季度及第三季度的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解∶设该公司每个季度的下降率是x，
依题意，得∶，
解得∶， （不符合题意，舍去）．
即该公司每个季度的下降率是，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
75． 30 80
【分析】（1）设甲品牌洗衣液的进价为x元，乙品牌洗衣液的进价为元，根据“用元购进的甲种品牌洗衣液与用元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同”列出方程，解方程即可求出结论；
（2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为a元，则乙种品牌的洗衣液每天可售出瓶，根据“两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到元”列出方程，解之即可求出结论．
【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液的进价为x元，乙品牌洗衣液的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
∴甲品牌洗衣液的进价为元，乙品牌洗衣液的进价为元，
（2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为a元，
根据题意得：，
化简得，
解得：，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到元．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元二次方程．
76． 3 6.5##
【分析】先将，，用用a，b表示，再分别根据与，计算即可．
【详解】解：在图1中，根据题意得：，
∴，
同理在图2中，，
∴
∴，
又∵，
∴．
又∵，即，
将代入方程中得：
解得：（舍去），
∴．
在图3中，
∴
故答案为：3；．
【点睛】本题考查列代数式，整式的混合运算，解一元二次方程，掌握相关知识和技巧是解题的关键．本题难度较大，所列式子较复杂，需要较强的阅读理解能力和对数学思想的运用能力．
77．(1)甲队计划的天数为6天，则乙队计划天数为4天
(2)5
【分析】（1）设甲队计划的天数为x天，则乙队计划天数为天，根据“乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，这样乙队可以比甲队提前2天到达目的地”可列出分式方程，求解方程即可得出结果；
（2）设甲队后来总人数是个，乙队总人数是个，根据“两队共需花费18720元”列方程求解即可．
【详解】（1）设甲队计划的天数为x天，则乙队计划天数为天，根据题意得，
整理得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，
所以，甲队计划的天数为6天，则乙队计划天数为4天
（2）设甲队后来总人数是个，乙队总人数是个，根据题意得，
整理得，
解得，或
∵
∴，即的值为5
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时寻找方程的等量关系是关键．
78．(1)①②长为米，宽为米
(2)或
【分析】（1）①②根据两条小路的面积之和两个长方形的面积重叠的正方形的面积表示即可；②根据草坪的总面积为，列一元二次方程，求解即可；
（2）根据草坪的总面积为平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的和的值，即可求出的值．
【详解】（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和平方米，
故答案为：平方米；
②根据题意，得，
又∵，
，
原方程化为，
解得（不符合题意，舍去），，
（米），
答：原来矩形场地的长为米，宽为米；
（2）解：根据题意，得，
整理得，
，为正整数，
是正整数且是的约数，是正整数且是的约数，
当时，，
，，
；
当时，，
，，
；
当时，，
，，
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
答案第1页，共2页
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