4.1多边形 同步讲义（含解析）八年级数学下册浙教版

专题4.1 多边形
1．掌握多边形的概念和分类；
2．掌握多边形的内角和公式和外角和定义；
3、掌握平面镶嵌的概念和应用；
知识点01 多边形的概念和分类
【知识点】
由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形．按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等．
【典型例题】
1．下列说法正确的是（ ）
A．等边三角形是正多边形 B．各边都相等的多边形是正多边形
C．经过n边形的一个顶点可引（n2)条对角线 D．各角都相等的多边形是正多边形
2．北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块．
3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
【即学即练】
4．下列说法错误的是（ ）
A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点；
B．四边形有2条对角线；
C．连接对角线，可以把多边形分成三角形；
D．六边形的六个角都相等；
5．我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则 °.
6．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和．
(1)求出表示第四条边长的代数式；
(2)当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗 若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形．
知识点02 多边形的内角和
【知识点】
1、n边形的内角和等于；
【典型例题】
7．若一个多边形每一个内角都是，则这个多边形的边数为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．5
8．如图，在四边形中，、分别是和的补角，且，则 ．
9．如图，在四边形中，平分，平分，若，求的度数．
【即学即练】
10．已知一个n边形的内角和是，从它的一个顶点出发可以作m条对角线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是六边形的一个外角．若，则的度数为 ．
12．如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：.请你继续探索：
(1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？
(2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
知识点03 多边形的外角和
【知识点】
1、任意多边形的外角和等于360°．
【典型例题】
13．正n边形的每一个外角都不大于，则满足条件的多边形边数最少为（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
14．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
15．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)n的值为____________．
(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．
(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．
【即学即练】
16．2022年的足球“世界杯”在卡塔尔举行，足球上面的图形是我们所学的正五边形和正六边形组成的，下面说法错误的是（ ）
A．正五边形的外角和为
B．正五边形的对角线总条数为5条，正六边形为9条
C．正六边形的内角和为
D．正五边形和正六边形都是轴对称图形
17．如图，等边三角形，正五边形，点，，，在的边上，则的度数为 ．
18．已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多．
(1)求这个正多边形的内角和度数；
(2)从这个正多边形的顶点中任意取出三个构成三角形，则其中可以构成多少种大小不同的等腰三角形？（如果两个三角形是全等的，则记为一种，请直接写出答案）
知识点04 多边形的内角和与外角和综合应用
【典型例题】
19．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么该多边形的一个外角是（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
20．一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大，则这个多边形的边数是 ，每个内角的度数是 ．
21．已知一个正多边形的边数为n．
(1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值．
(2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值．
【即学即练】
22．已知一个多边形的每一个外角都等于，下列说法错误的是（ ）
A．这个多边形是二十边形 B．这个多边形的内角和是
C．这个多边形每一个内角都是 D．这个多边形的外角和是
23．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形．
24．已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半，求这个多边形的内角和．
知识点05 平面镶嵌
【知识点】
用若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌（覆盖、铺砌）平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°．最简单的镶嵌是只用一类全等形镶嵌平面．
【典型例题】
25．某同学在学习教材第26页的数学活动时，他任意剪出了一些形状、大小相同的四种纸板，第一种是形状、大小相同的三角形；第二种是形状、大小相同的四边形；第三种是形状、大小相同的正五边形；第四种是形状、大小相同的正六边形，该同学利用其中一种纸板镶嵌，有一种纸板不能镶嵌成一个平面图案，不能镶嵌成一个平面图案的是：（ ）
A．形状、大小相同的三角形 B．形状、大小相同的四边形
C．形状、大小相同的正五边形 D．形状、大小相同的正六边形
26．如图的四边形是某地板厂加工地板时剩下的边角余料，如果用这种相同的四边形木板进行镶嵌，则至少需要 块才能完成镶嵌．
27．数学上可以说明有些正多边形（一种或多种）组合可以铺满地面，有些则不行．以下精美图案隐含着丰富的数学艺术之美，请你仿照这些图案在网格中利用至少两种正多边形进行铺满地面的图案设计．
【即学即练】
28．定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形，在下列四个选项中，能进行平面镶嵌的是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
29．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作；3个正三角形和两个正方形，记作；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案 ．
30．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空隙，又不互相重叠(在数学上叫做平面镶嵌)．这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．
(1)请你根据图中的图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …… n
正多边形每个内角度数 60° 90° 108° 120° ……
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
题组A 基础过关练
31．一个边形的内角和是外角和的倍，则为（　　）
A． B． C． D．
32．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
33．正六边形的每一个外角都等于（ ）
A． B． C． D．
34．如图，将矩形沿着裁剪得到一个四边形和一个三角形，设四边形的外角和与的外角和分别为，则（ ）
A． B． C． D．无法比较与
35．若n边形的外角和为，则 ．
36．若n边形的每一个外角都等于60°，则n= ．
37．若一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是 ．
38．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为 ．
39．如图，在四边形中，，．
(1)当时，求的度数．
(2)的平分线交于点E，当时，求的度数．
40．画图题：
(1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形；
(2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形；
(3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形．
题组B 能力提升练
41．下列命题中错误的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任意一个内角
B．四边形的外角和等于十边形的外角和
C．三角形的一条中线将三角形的面积分为相等的两部分
D．面积相等的两个等边三角形是全等三角形
42．一个多边形每个内角都是150°，这个多边形是（　　）
A．九边形 B．十边形 C．十二边形 D．十八形
43．如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则α的度数为（　　）
A． B． C． D．
44．如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（ ）
A．32° B．38° C．46° D．48°
45．若一个多边形的每个外角都是，则该多边形的边数为 .
46．如下图，将一个等边三角形剪去一个角后得到一个四边形，则图中的度数是 ．
47．如图，在正六边形中，的延长线与的延长线交于点，则的度数为 ．
48．如图，在正六边形中，连接，，则
（1） 度．
（2）若的面积为a，则的面积为 ．（用含a的代数式表示）．
49．如图，若一个正方形和一个正六边形有一边重合．
(1)用无刻度的直尺画出这个图形的对称轴；
(2)求的度数．
50．如图，点M、N分别在正五边形的边上，，连接相交于H．
(1)求证：；
(2)求的度数．
题组C 培优拔尖练
51．若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ）
A． B． C． D．
52．如图，在四边形纸片中，，将纸片折叠，使点、落在边上的点、处，折痕为，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
53．如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连接．的平分线交于点，连接，过点作交于点，作交于点，平分交于点，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
54．如图，在四边形中，，，将沿翻折，得到，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
55．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ．
56．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了50米，则每次旋转的角度为 ．
57．如图所示， 度．
58．如图，点、分别在长方形的边、上．分别与、交于点、，与的交于点，且四边形沿直线翻折后能与四边形重合，．若，则 ．
59．图①为长方形纸带，将长方形纸带的端沿折叠成图②，点折至、点折至，
(1)若，则图． 中的度数是多少？
(2)将纸带的 端沿折叠成图③，点折至，点折至，若，用表示．
60．已知：多边形的外角和的平分线分别为BM，DN．
(1)若多边形为四边形ABCD．
①如图①，，BM与DN交于点P，求的度数；
②如图②，猜测当和满足什么数量关系时，，并证明你的猜想．
(2)如图③，若多边形是五边形ABCDG，已知，BM与DN交于点P，求的度数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据正多边形的定义及多边形的对角线与边数的关系，结合各选项进行判断即可．
【详解】A、等边三角形就是正三角形，也就是正三边形，故本选项正确；
B、没有强调每个角也相等，故本选项错误；
C、n必须要大于3，且由一个顶点引出的对角线为条，故本选项错误；
D、没有强调每个边也相等，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的对角线、正多边形的定义，属于基础知识题．掌握正多边形的定义，是解答本题的关键．
2．12
【分析】设足球上黑皮有x块，则白皮为块，可得五边形的边数共有条，六边形边数有条．由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，可得白皮边数是黑皮边数的2倍，由此列出方程，即可求解．
【详解】解：设足球上黑皮有x块，则白皮为块，
∴五边形的边数共有条，六边形边数有条．
由图形关系得：每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边，
∴白皮的边数为黑皮的2倍，
∴
解得：，
答：白皮20块，黑皮12块．
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关键．
3．见解析
【分析】根据图形的特征作答即可．
【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角；
四边形有4个顶点，4条边，4个内角；
五边形有5个顶点，5条边，5个内角；
……
可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同；
n边形有n个顶点，n条边，n个内角．
【点睛】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念．
4．D
【分析】运用多边形的定义及其内角、对角线等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意；
B、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；；
C、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意；
D、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的定义及其内角、对角线等知识点，解决本题的关键是熟练掌握多边形的定义．
5．18
【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得内角的度数，进而求解．
【详解】正五边形的每个内角的度数为，正方形的每个内角等于90°，
，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了正五边形和正方形的性质，多边形的内角和定理，即，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．(1)第四边的长为：cm.
(2)不能，该图形是一条线段，理由见解析
【分析】（1）先列式表示第三边，第四边的长，再利用周长减去已知的三条边的长可得第四边的长度；
（2）分别求解四条线段的长度，再计算前面三条线段的长，与第四条线段的长度比较，从而可得答案.
【详解】（1）解： 第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和，
第二边为cm，第三边为：cm，
第四边长为：
即第四边的长为：cm.
（2）当时，
即前三条边的长的和等于第四条边的长，
所以当时，这4条线段首尾相连不能得到四边形，该图形是一条线段.
【点睛】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，多边形的含义，掌握“判断四条线段首尾顺次相连构成四边形的条件”是解本题的关键.
7．B
【分析】利用多边形的内角和是，列式计算即可．
【详解】解：设多边形的边数为，由题意，得：，
解得：；
故选B．
【点睛】本题考查多边形的内角和．熟练掌握多边形的内角和是，是解题的关键．
8．##140度
【分析】由四边形内角和得，结合可求出，进而可求出的值．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了邻补角的计算，以及四边形的内角和定理．解题的关键是熟练掌握四边形内角和等于．
9．60°
【分析】根据四边形内角和得出，继而根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：，
，
平分，平分，
，
．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，三角形内角和定理，角平分线的定义，求得是解题的关键．
10．C
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数即可求解．
【详解】解：此多边形的边数为，由题意得：
，
解得，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：，
∴
故选：C．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．
11．##610度
【分析】根据邻补角的定义求出，再根据多边形内角和的计算方法求出六边形的内角和，进而求出其它5个角的度数和．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的内角和，邻补角，掌握多边形的内角和公式是正确解答的前提．
12．(1)
(2)
【分析】（1）连接，由外角的性质得到，做差即可得到答案；
（2）由图形折叠的性质可知，两式相加变形后即可得到答案．
【详解】（1）连接，
∵，，
∴；
（2）由图形折叠的性质可知，
两式相加得，，
即，
∴，
即：．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握角之间的关系是解题的关键．
13．C
【分析】根据正多边形的外角和等于360°，列不等式即可解答．
【详解】解：由正n边形的每一个外角都不大于，可得：
∴，解得：，
满足条件的多边形边数最少为9．
故选C．
【点睛】本题考查了利用外角求正多边形的边数的方法，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度．
14．90
【分析】根据题意可得小明所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：小明第一次回到出发地A点时，他一共转了，且每次都是向左转，
∵，
∴小明共转了9次，
∵一次沿直线前进10米，
∴他第一次回到出发地A点时，一共走了米．
故答案为：90．
【点睛】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，解题的关键是能够理解题意，熟知多边形的外角和是．
15．(1)15
(2)45
(3)
【分析】（1）根据多边形的外角和等于，即可求解；
（2）用多边形的边数乘以的长，即可求解；
（3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：．
故答案为：15
（2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形，
∴这n边形的周长为（米）；
故答案为：45
（3）解：根据题意，得，
解得，
∴这个正m边形的每一个内角的度数为．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键．
16．A
【分析】根据正多边形的对角线，内角和，外角和，逐项进行判断即可．
【详解】解：多边形的外角和为，故A错误；
∵边形的对角线总条数为：，
∴正五边形的对角线总条数为条，
正六边形的对角线总条数为条，故B正确；
∵边形的内角和为：，
∴正六边形的内角和为，故C正确；
正五边形和正六边形都是轴对称图形，故D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，对角线条数，轴对称图形，牢记多边形的内角和与外角和，对角线条数的公式是解决问题的关键．
17．##24度
【分析】先由等边三角形的性质得出，再由正多边形的性质求出，，再利用三角形内角和定理求出，即可求解．
【详解】解：是等边三角形，
．
多边形是正五边形，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形的内角、外角，三角形内角和定理，等边三角形的性质等，解题的关键是会求正多边形的内角和外角．
18．(1)
(2)5
【分析】（1）设正多边形每个外角为，则每个内角为，列方程得，求出每个内角的度数及内角个数，即可求出内角和；
（2）画出图形，根据等腰三角形的定义判断即可．
【详解】（1）解：设正多边形每个外角为，则每个内角为，
解得，
∴每个内角为，共有个内角，
这个正多边形的内角和为；
（2）如图，有形如：，，，，的等腰三角形，共5种大小不同的等腰三角形．
【点睛】此题考查了三角形的内角和与外角的有关计算，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．B
【分析】设这个多边形为n边形，根据多边形内角和公式立方程求出n的值，再根据多边形外角和为360度即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形为n边形，
由题意得，，
∴，
∵，
∴该多边形的一个外角是36°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和和外角和，熟知多边形内角和公式是解题的关键．
20． 八##8 ##135度
【分析】一个多边形的每个外角都相等，每个内角都比外角大，设外角是x，则内角是，列方程求解即可．
【详解】设外角是x，则内角是，由题意得
，
解得，
，
∵任何多边形的外角和为，
∴多边形中外角的个数是，
∴这个多边形的边数是8，每个内角的度数是．
故答案为：八，．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据多边形的内角与外角的关系转化为方程的问题，并利用了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记．
21．(1)n的值为12；
(2)n的值为5．
【分析】（1）根据多边形内角和公式列式计算即可解答；
（2）先求得这个正多边形的每个外角为，根据多边形外角和定理解答即可．
【详解】（1）解：依题意，得，
解得，即n的值为12；
（2）解：∵正多边形的一个内角为，
∴这个正多边形的外角为．
∵多边形的外角和为，
∴，即n的值为5．
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，解题的关键是牢记正多边形的内角和公式与外角和等于360°．
22．B
【分析】用除以每一个外角的度数求出边数，再根据多边形的内角与相邻的外角互为补角和多边形的内角和公式与外角和定理对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：由题意可得：
多边形的边数为：，故A选项不符合题意；
多边形的内角和为：，故B选项符合题意；
每一个内角为：，故C选项不符合题意；
多边形的外角和为：，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，主要利用了多边形的内角和公式与外角和定理，根据外角和求出边数是解题的关键．
23．六或七或八
【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。
【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得：
，
解得：，
如图，剪切有下列三种情况：
①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形；
②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形；
③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。
故答案为：六或七或八。
【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键．
24．
【分析】结合多边形的内角与相邻外角的关系构建方程求出每个外角，根据多边形外角和为360°即可得边数，利用多边形内角和公式即可求出内角和．
【详解】设外角为a，则内角为，
∴，
解得：，
∴这个多边形的边数为：，
∴内角和为：．
∴这个多边形的内角和为
【点睛】本题考查多边形的内角与外角的关系、方程的思想．关键是记住多边形一个内角与相邻外角互补和外角和的特征．
25．C
【分析】根据多边形的内角，结合围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角，据此判断即可．
【详解】解：A、∵三角形的内角和是，∴形状、大小相同的三角形能镶嵌成一个平面图案；
B、∵四边形的内角和是，∴形状、大小相同的四边形能镶嵌成一个平面图案；
C、∵正五边形的一个内角的度数是，不能与整除，∴形状、大小相同的正五边形不能镶嵌成一个平面图案；
D、∵正六边形的一个内角的度数是，能与整除，∴形状、大小相同的正六边形能镶嵌成一个平面图案．
故选：C
【点睛】本题考查了多边形及其内角和，解本题的关键在判断围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角．
26．4
【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为时，就能镶嵌．根据任意四边形的内角和是，只要放在同一顶点的4个内角和为，即可得出答案．
【详解】解：由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为时，就能镶嵌．而任意四边形的内角和是，只要放在同一顶点的个内角和为，则至少需要块才能完成镶嵌．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．因为三角形内角和为，用6个同一种三角形就可以在同一顶点镶嵌，而四边形的内角和为，用4个同一种四边形就可以在同一顶点处镶嵌．
27．见解析
【分析】判断几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成．
【详解】∵正方形每个内角是，正三角形的每个内角是，，
∴围绕每个顶点处用2个正方形，3个正三角形形可以铺满底面．
如图：
【点睛】此题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
28．B
【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
【详解】解：用一种正多边形镶嵌，只有正六边形能镶嵌成一个平面图案，
故选：B．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
29．（答案不唯一）
【详解】正三角形的一个内角度数为60°，正六边形的一个内角度数为120°，那么4个正三角形，一个正六边形能组成镶嵌，记做，
故答案为：（答案不唯一）．
30．(1) (2) 正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形
【分析】（1）利用正多边形一个内角=180-求解；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；
【详解】解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…；
（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；
【点睛】求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
31．B
【分析】边形的内角和公式为，边形的外角和为，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和，外角和定理，掌握内角和的计算公式，外角和等于是解题的关键．
32．A
【分析】利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案．
【详解】解：根据多边形的内角和可得：，
解得：．
则这个多边形是五边形．
故选：A．
【点睛】此题考查多边形的内角和问题，关键是根据n边形的内角和公式．
33．D
【分析】根据正六边形的外角相等，以及外角和是，进行计算即可．
【详解】解：正六边形的每一个外角都等于；
故选D．
【点睛】本题考查求正多边形的外角度数．熟练掌握正多边形的外角相等，外角和是，是解题的关键．
34．C
【分析】利用多边形的外角和都等于，即可得出结论．
【详解】任意多边形的外角和为，
，
,
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角和，正确利用任意多边形的外角和等于是解题关键．
35．4
【分析】根据n边形的外角和等于，列方程求解即可．
【详解】
解得
故答案为4．
【点睛】本题考查了多边形外角和及解一元一次方程，掌握多边形外角和为是解答本题的关键．
36．6
【详解】解：由题意得：n=360°÷60°=6．
故答案为：6．
37．6
【分析】根据外角和求出边数即可．
【详解】解：多边形外角和为，
边数．
故答案为：
【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和是解题关键．
38．2025
【分析】从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形，由此即可解决问题．
【详解】解：从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形，
，
，
故答案为：2025．
【点睛】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形．
39．(1)
(2)
【分析】（1）根据四边形的内角和是，可得，再由即可求出结果；
（2）根据可得，，再利用平分，可求，最后根据三角形的内角和即可求出结果．
【详解】（1）解：，，
，
∵四边形的内角和是，
，
又，
，
．
（2）解：平分，
，
又，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、四边形和三角形的内角和及角平分线的定义，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解决问题的关键．
40．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接两个不相邻的顶点即可；
（2）在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；
（3），在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；
【详解】（1）解：如图①所示，连接一组不相邻的顶点即可；
（2）解：如图②所示，在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；
（3）解：如图③所示，在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；
【点睛】本题考查多边形的对角线问题，能够熟练画出多边形的对角线是解决本题的关键．
41．A
【分析】根据三角形的内角和定理，多边形的外角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、三角形的一个外角不一定大于一个内角，则该命题错误，故本选项符合题意；
B、四边形的外角和等于十边形的外角和，则该命题正确，故本选项不符合题意；
C、三角形的一条中线将三角形的面积分为相等的两部分，则该命题正确，故本选项不符合题意；
D、面积相等的两个等边三角形是全等三角形，则该命题正确，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，三角形的内角和定理，多边形的外角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
42．C
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据正多边形的内角公式，列出方程求解即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴这个多边形是十二边形，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，解题的关键是掌握正多边形的内角．
43．C
【分析】根据正五边形和正方形的内角的度数进行计算即可．
【详解】解：如图，∵正五边形的每个内角是，正方形的每个内角，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角，掌握正五边形和正方形的内角是解题的关键．
44．D
【分析】如图所示，首先求出正五边形的内角，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，
∵是正五边形，
∴内角和为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了正多边形的内角和，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
45．18
【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
【详解】解：，故该多边形的边数为18．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是掌握任何多边形的外角和都是．
46．##240度
【分析】根据等边三角形，可得三角形两个底角都为，再根据四边形的内角和为，即可解出此题．
【详解】解：这是一个等边三角形，
两底角和，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，四边形内角和定理，熟知相关概念是解题的关键．
47．30度##
【分析】根据正六边形可得，，从而得到，，得到，根据三角形内外角和关系即可得到答案；
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正六边形的性质，三角形内外角关系，解题的关键根据正六边形得到相应角度的关系．
48．
【分析】根据正多边形的每个内角相等，可得出，，再根据即可求出的度数，根据含有角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，最后根据三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】解：过点B作于点G，
∵六边形为正六边形，
∴， ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多变形各个内角都相等，各条边都相等．
49．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）连接，交于点，连接，交于点，过点，作直线即可；
（2）根据多边形的内角和可得和的度数，再根据周角是即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，交于点，连接，交于点，
∵正方形、正六边形都是轴对称图形，
∴对称轴经过点和点，
∴直线是这个图形的对称轴．
则直线即为所作．
（2）∵正方形的内角和为：，
∴正方形的每一个内角的度数为：，
∴，
∵正六边形的内角和为：
∴正六边形一个内角的度数为：，
∴，
∴．
∴的度数为．
【点睛】本题考查作图，正多边形的内角和： （且为正整数），角的和差．解题的关键是应用正多边形的性质：正多边形每一个内角都相等，都是轴对称图形，对称轴经过正多边形的中心．
50．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由正五边形的性质得出，再根据证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）∵正五边形，
∴，
∴在和中
，
∴；
（2）由（1）可知，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形的内角度数，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
51．B
【分析】根据多边形内角和公式列出方程，求出的值，即可求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是，利用除以边数可得外角度数．
【详解】解：根据题意，可得，
解得，
所以，外角的度数为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是根据多边形的内角和公式和多边形的外角和为进行解答．
52．D
【分析】根据折叠的性质可求得：，，利用四边形的内角和求出，由补角的定义可求解．
【详解】解：由折叠可知：，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查四边形的内角和外角，折叠的性质，补角．掌握四边形的内角和为是解题的关键．
53．B
【分析】结合角平分线的定义，可得．设，则，由，，可得，，即可证明；再结合题意推导，由“同旁内角互补，两直线平行”可证明，易得，即有，解得可知，在中即可求得的度数．
【详解】解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴中，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直和角平分线的定义和性质、四边形的内角和、三角形的外角性质、平面内角度的计算等知识，理解题意，综合运用相关知识是解题关键．
54．A
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出、，再根据翻折的性质求出和，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵沿MN翻折得，
∴，
在中，．
∵，且，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
55．9或10或11
【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得：
又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1，
原多边形的边数为9或10或11．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．
56．##36度
【分析】根据共走了50米，每前进5米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．
【详解】解：向左转的次数（次），
则左转的角度是．
故答案是：．
【点睛】本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是是关键．
57．360
【分析】首先根据三角形外角的性质可知：图示这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解．
【详解】解：如图，
，，
，
故答案为：360．
【点睛】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和，正确掌握三角形外角的性质是解题关键．
58．##度
【分析】根据邻补角求得，根据对顶角相等得出，根据直角三角形两个锐角互余得出，进而根据折叠的性质得出，最后根据五边形的内角和减去，即可求解．
【详解】解：∵，
∴,
又，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，多边形内角和公式，掌握以上知识是解题的关键．
59．(1)
(2)或
【分析】（1）根据长方形的对边是平行的，所以；在四边形中，，即可得出；
（2）根据（1）的结论，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴
由对折可知：，
在四边形中，，
；
（2）解：时，与（1）同理，，，
则，
∴．
当
∵，，
∴
由对折可知：，
在四边形中，，
∵，，
∴．
综上所述或
【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
60．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由，可推出，由角平分线的性质可得，再由求解即可；
②连接，由可得，进而可得，，求解即可；
（2）延长交于点Q，根据五边形的内角和可得，进而可得，再根据角平分线的性质进一步推导出，求解即可．
【详解】（1）①∵，
∴在四边形ABCD中，，
，
∵多边形的外角和的平分线分别为BM，DN，
∴，
；
②当时，，
证明：如图，连接，
∵，
，
，
即，
，
，
∴；
（2）如图，延长交于点Q，
∵，，
，
∴，
∵平分，平分，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，角平分线的定义，平行线的判定和性质，能够准确找到角之间的关系是解题的关键．
答案第1页，共2页
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