4.2平行四边形及其性质 同步讲义（含解析）八年级数学下册浙教版

专题4.2 平行四边形及其性质
1.掌握平行四边形的定义和性质；
2.掌握平行四边形性质的应用；
知识点01 利用平行四边形的性质求解
【知识点】
知识点、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．
特别说明：
（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系．
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择．
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决．
【典型例题】
1．在平行四边形中，的平分线把边分成长度是6和4的两部分，则平行四边形周长是（ ）
A．32 B．28 C．16或14 D．32或28
2．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，，，则的长为 ．
3．如图，已知的对角线，交于点，过点且与，分别相交于点、．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【即学即练】
4．如图，在中，过点作交延长线于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，平行四边形的周长为36，、相交于点，交于，则的周长为 ．
6．已知：如图，在中，的平分线交于，的平分线交于，交于．
(1)试说明：；
(2)若将分成两部分，且，，求的周长．
知识点02 利用平行四边形的性质证明
【典型例题】
7．如图，点是的对角线上一点，连接，，设的面积为，的面积为，则与的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．如图，在中，点E在边上，对角线于，若，的面积等于8，那么的面积等于 ，四边形的面积等于 ．
9．如图，在平行四边形中，是对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【即学即练】
10．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，的平分线交于点，交的延长线于点，与交于点，连接，下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
11．如图，在中，平分，若，，则 ．
12．如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与，交于点，．求证：．
知识点03 平行四边形性质的其他应用
【典型例题】
13．如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中，不一定正确的是（ ）（填字母序号）
A． B． C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD D．AC与BD互相平分
14．已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有 个．
15．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．
(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．
【即学即练】
16．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．2 D．3
17．在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B C D A运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则四边形ABCD的面积是 ．
18．图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、P、Q均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
(1)在图①中以线段AB为边画一个面积为6的平行四边形ABCD；
(2)在图②中以线段PQ为对角线画一个面积为9的平行四边形PMQN．
题组A 基础过关练
19．如图，的对角线，相交于点，若，，则的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
20．如图，在中，平分∠ABC交于点F，平分交于点E，若则的长度为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
21．如图，在中，，延长至F，延长至E，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．锐角为45°的两个平行四边形的位置如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
23．在中，若，则 ； ； ．
24．在中，，则的度数为
25．如图，在平行四边形中，，问图中有多少个平行四边形？ ．
26．如图，在中，、相交于点O，若的面积为3，则的面积为 ．
27．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，且，，周长为．
(1)求的长．
(2)求的周长．
28．如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，其中端点、均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出平行四边形，点和点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；
(2)在图中画出以为腰的等腰直角，且点在小正方形的顶点上；
(3)连接，直接写出的长．
题组B 能力提升练
29．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
30．如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是(　　)
A． B． C． D．
31．如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
32．如图，P为内一点，且和的面积分别为5和2，则的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
33．三条边长分别为2，3，8的等腰梯形的周长是 ．
34．在平面直角坐标系中，已知点，则以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为 ．
35．如图，在中， 、相交于点,=10 cm,=8 cm, ,则= cm
36．平行四边形的面积为，其中为锐角，、分别为、上的高，若，，则的长为 ．
37．已知：如图，在中，点E、F为对角线BD上的点，．
(1)尺规作图：作的平分线交于点H．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．
38．如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点E
(1)求证：；
(2)若点E是的中点，，求的度数
题组C 培优拔尖练
39．如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的面积是（ ）
A．12 B． C．24 D．30
40．平面直角坐标系内有点，，三点，请确定一点，使以为顶点的四边形为平行四边形，则的点的坐标不可以是（ ）
A． B． C． D．
41．如图，在正方形中，点在对角线上，，连接，于点，交于点，连接、，已知，则的面积为（ ）
A．24 B． C．12 D．
42．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．3.5
43．如图，在平行四边形中，、相交于点O，，，，的周长为 ．
44．如图，在中，，平分交于点，则 ．
45．如图，在平面直角坐标系中，的对角线在轴上，若点坐标为，的面积为，则点的坐标为 ．
46．如图所示，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，点A正好落在上的点F，若的周长为8，的周长为，则的长为__．
47．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)如图1，画出的中线；
(2)如图2，画出的高线=___________；
(3)如图3，在线段上作点F，使；
48．如图，平行四边形，，E、F分别是边上的两个动点，且满足．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)的周长是否存在最小值，若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由平行四边形的性质得，，，再证，然后分两种情况，由、的长可求出平行四边形的周长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
．
平分，
，
，
，，
①当，时，，
平行四边形的周长为：．
②当，时，，
平行四边形的周长为：．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解答本题的关键．
2．5
【分析】根据平行四边形的性质以及角平分线的性质证明是等腰三角形即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
．
平分，
，
，
．
，
，
，
．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及角平分线的性质，熟练运用平行四边形对边平行且相等的性质是解决本题的关键．
3．(1)见解析；
(2)5
【分析】（1）由平行四边形性质可证得，则可证得；
（2）由平行四边形的对角线相互平分得到的长度，然后由勾股定理求得的长度，则．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）在平行四边形中，
∵，
∴，
∵，，
在中，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
4．B
【分析】根据平行四边形的对角相等可得，再利用直角三角形两锐角互余即可得解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余．掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．18
【分析】根据平行四边形性质得出，，，根据线段垂直平分线得出，求出，代入求出即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，．
，
．
平行四边形的周长为36，
．
．
的周长是：．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质的应用，关键是求出，主要培养学生运用性质进行推理的能力，题目较好，难度适中．
6．(1)见解析
(2)32
【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的性质即可得出，是等腰三角形，得到，进而得到求解即可；
（2）首先根据题意求出，然后根据平行四边形的周长公式求解即可．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），，
∴，
∴平行四边形的周长为；
所以平行四边形的周长为32．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．C
【分析】根据平行四边形的性质可以得到两个三角形的高相等，再根据等底等高的两个三角形面积相等求出答案.
【详解】解：根据的性质，点和点到的距离相等，设为
故答案选：
【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质，解题的关键在于理解等底等高的三角形的面积相等的性质，解题的重点在于是否知道两个三角形的高相等.
8． 18 22
【分析】先根据平行四边形的性质得出，进而求出相似比，可得面积比，可求，然后求出，即可求出，再根据可得答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：18，22．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，确定各三角形的面积之间的关系是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以点B和D为圆心，大于二分之一长为半径画弧，即可作的垂直平分线；
（2）在（1）的条件下，利用证明即可得．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
；
（2）证明：∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
由作图过程可知：，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法和得到．
10．D
【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，同理可证，
，
，
，故C正确，
，，
，故A正确，
，
，
，
，
，同理可证，
，
，故B正确，
无法证明，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质解决问题．
11．3
【分析】由平行四边形的性质得ADBC，AB=CD=7，AD=BC=10，再证∠ABE=∠AEB，则AE=AB=7，即可得出结论．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解答本题的关键．
12．证明见解析．
【分析】先根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质、邻补角的定义可得，，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】∵四边形为平行四边形
∴，
∴，
在和中，
∴
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、邻补角的定义、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质，正确找出全等三角形是解题关键．
13．D
【分析】由轴对称的性质和平行四边形的判定与性质即可得出结论．
【详解】解：∵△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，l垂直平分AB，且l垂直平分CD，故选项A、B、C正确；
∵四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴AC与BD不一定互相平分，故选项D不一定正确．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和轴对称的性质是解题的关键．
14．2
【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立．
【详解】解：如图，
∵平行四边形ABCD的底是不变的，
即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化，
∵AB×AB边上的高=1，
∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1，
即E在AD，BC的中点时成立，
故使△ABE的面积为1的点E共有2个．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半．
15．(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可；
（2）根据要求，画出平行四边形即可．
【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求；
由图可知：平行四边形的面积；
（2）解：如图，平行四边形即为所求；
由图可知：平行四边形的面积．
【点睛】本题考查网格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的的关键．
16．B
【分析】先证△BOE≌△DOF(AAS)，得S△BOE=S△DOF，所以S阴影=2S△BOE，又因为，所以S△BOE=S△AOB，再根据平行四边形性质得S△AOB=，所以S阴影=，把=16代入即可求解．
【详解】解：∵□ABCD，
∴OB=OD，ABCD，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF(AAS)，
∴S△BOE=S△DOF，
∴S阴影=2S△BOE，
∵，
∴S△BOE=S△AOB，
∵□ABCD，
∴S△AOB=，
∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，求得S△BOE=S△AOB，S△AOB=是解题的关键．
17．8．
【分析】根据y关于x的函数图象，得△ABC的面积为4，进而可得答案．
【详解】根据y关于x的函数图象，得△ABP的面积的最大值为4，即△ABC的面积是4，
∴S ABCD=2S△ABC=8．
故答案是：8．
【点睛】本题主要考查函数图象与几何图形的综合，掌握平行四边形的性质与函数图象的意义，是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由高为3面积为6可得底为2，据此作底为2，高为3的平行四边形即可．
（2）由高为3面积为9可得底为3，据此作底为3，高为3的平行四边形即可．
【详解】（1）解：如图所示，平行四边形ABCD即为所要求画的；
（2）解：如图所示，平行四边形PMQN即为所要求画的．
【点睛】本题考查网格作图，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质．
19．D
【分析】由平行四边形的性质可得，，再利用三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴在中，，
即，
∴的长可能是．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系．掌握平行四边形的性质和三角形三边关系是解题的关键．
20．A
【分析】先证明，，再根据即可得出答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分交于点F，平分交于点E，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
21．D
【分析】根据平行四边形的性质得出，根据邻补角求出，根据三角形外角的性质得出答案即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行四边形对角相等，求出，是解题的关键．
22．A
【分析】根据平行四边形的性质，利用平行得出角的关系，根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题关键是利用平行线的性质，得出角的相等．
23． ##100度 ##80度 ##100度
【分析】由平行四边形的性质得，，则，即可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
故答案为：，，．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
24．
【分析】根据平行四边形对角相等可得结论．
【详解】解：如图，
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
25．9
【分析】由在平行四边形中，，，即可得出平行四边形共9个．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴， ，
∵，，
∴， ，
∴平行四边形有：，，，，，，，，共9个．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
26．12
【分析】由平行四边形的性质得O为和的中点，则，即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
为和的中点，
，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，根据平行四边形的性质和周长可得，把代入求解即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，由（1）可知，即可求出结果．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，，
∵平行四边形的周长为，
，
，
又，
，
，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
由（1）可知，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
28．(1)画图见详解
(2)画图见详解
(3)
【分析】（1）平行四边形的面积是底乘高，且平行四边形的面积为，由此可确定底和高；
（2）以为腰的等腰直角，求出的长，由此即可求解；
（3）在格点中，点，都在格点上，每个小正方形的边长均为的方格，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：根据平行四边形的面积是底乘高，平行四边形的面积为，，
∴当底是，高是，如图所示，
∴平行四边形即为所求图形．
（2）解：以为腰的等腰直角，且，
∴过点作的垂线，如图所示，
∴点的位置如图，为所求图形．
（3）解：如图所示，
在格点中，点，都在格点上，
∴．
【点睛】本题主要考查格点作图，掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
29．A
【分析】由平行四边形的性质和平行线的性质即可求解．
【详解】解：如下图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
30．C
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解，
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，，，，
，故D正确；
平分，
，
，
，故C错误；
，
，故A正确；
，
，故B正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
31．B
【分析】根据题意可求出是等腰三角形，即，是等腰三角形，即，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，是的角平分线，
∴，
∵，，如图所示，设与交于点，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，即，
∴，
同理，，且，
∴，
∴是等腰三角形，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查矩形，等腰三角形的综合，掌握矩形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
32．A
【分析】过P作，分别交、于M、N，易证，其中，则，由即可求解．
【详解】解：过P作，分别交、于M、N，
则
，
设，
即，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及等积法求不规则图形的面积；解题的关键是利用平行四边形的性质求得．
33．
【分析】在等腰梯形中作出一腰的平行线，将求梯形的周长问题转化为三角形的三边关系进行解答．
【详解】解：如图所示，
在等腰梯形中，过点作腰的平行线，交于点．则四边形是平行四边形．
在等腰梯形中，
（1）若腰长，则，．
那么．故不成立．
（2）若腰长，则，．
那么．故不成立．
（3）若腰长，则，．
符合三角形的两边之和大于第三边．
所以等腰梯形的周长．
故答案为：．
【点睛】本题考查了梯形的定义，平行四边形的性质，三角形三边关系，分类讨论是解题的关键．
34．
【分析】根据题意画出图形，根据平行四边形的性质将点向右平移4个单位得到，即可求解．
【详解】解：∵点，是平行四边形，
∴，
将点向右平移4个单位得到
如图所示，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
35．
【分析】先利用勾股定理求出长，继而求出长，再利用勾股定理求出的长解题．
【详解】∵的对角线与相交于点，
∴，，，
∵，，
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
36．##
【分析】如图，先利用平行四边形的面积公式求出和，再利用勾股定理求出和，即可求解．
【详解】解：如图，作，垂足分别为E、F，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的面积为，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题关键是会利用面积公式求出各边的高，再利用勾股定理求解．
37．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得到，，进一步证明，得到，求出，再根据角平分线的定义即可求出结果．
【详解】（1）解：如图，点H即为所求；
（2）在中，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由作图可知：平分，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过全等得到．
38．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形和平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得，即可得出；
（2）由平行四边形和平行线的性质得出，利用（1）中结论通过等量代换得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，进而可得的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质等，准确识图，熟练掌握平行四边形对边平行且相等、对角相等的性质是解题的关键．
39．C
【分析】根据平行四边形的性质得出，，再由勾股定理逆定理确定是直角三角形，得出，再求面积即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，且，，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
即，
∴面积为：．
故选C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
40．D
【分析】结合平行四边形性质，利用点的平移分三种情况即可得到答案即可得到答案．
【详解】解：平面直角坐标系内有点，，三点，
连接，，构成，过的顶点作其对边平行线，分别交于，如图所示：
①在中，，
，，即向左平移4个单位长度、向上平移2个单位长度得到，
又，
由点的平移可得；
②在中，，
，，即向右平移2个单位长度、向上平移2个单位长度得到，
又，
由点的平移可得；
③在中，，
，，即向左平移2个单位长度、向下平移2个单位长度得到，
又，
由点的平移可得；
综上所述，符合题意的点、或三种情况，
故选：D．
【点睛】本题考查利用点的平移求平行四边形顶点坐标，涉及平行四边形性质及点的平移法则，熟练掌握点的平移法则是解决问题的关键．
41．C
【分析】过点E作于点G，于点H，根据正方形的性质求出，结合，求出，然后证明是等腰直角三角形，求出，，证明， 可得出，根据等腰三角形三线合一的性质求出，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：过点E作于点G，于点H，
∵正方形，，
∴平分，，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
42．A
【分析】根据平行四边形的性质证明，，进而可得和的长，然后可得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
43．16
【分析】根据平行四边形的性质即可求得、，据此即可求解．
【详解】解：在平行四边形中，，，
，
的周长为：，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握和运用平行四边形的性质是解决本题的关键．
44．140
【分析】首先根据平行四边形及平行线的性质，可求得，再根据角平分线的定义及平行线的性质，可求得，据此即可求解．
【详解】四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：140．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
45．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据点坐标为，的面积为，可得出，，再证明，利用全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
∴和都是直角三角形，
∵是的对角线，的面积为，
∴，
即，
∵点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的面积问题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，确定坐标系中点的坐标．掌握确定坐标系中点的坐标的方法是解题的关键．
46．
【分析】由平行四边形可得对边相等，可得，，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得的长．
【详解】解：由折叠可得，，．
∵的周长为8，的周长为，
∴，．
∴平行四边形的周长，
∴
∵的周长为
∴．
故填：．
【点睛】本题考查轴对称和平行四边形的性质，熟练掌握轴对称图形沿某直线翻折后能够相互重合、及平行四边形对边平行且相等的性质是解此题的关键．
47．(1)见解析
(2)画图见解析，
(3)见解析
【分析】（1）找到的中点，连接，则即为所求；
（2）根据网格的特点画出上的高，交于点，根据三角形的高线交于一点，连接并延长交于点，则即为所求，
（3）根据网格的特点构造平行四边形，则，则是等腰三角形，则，点即为所求
【详解】（1）解：如图所示，找到的中点，连接，则即为所求；
（2）解：如图所示，根据勾股定理得出，
连接并延长交于点，则即为所求，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）由（2）可得，
∴
根据网格的特点构造平行四边形，则
∴
∴
∴，点即为所求
【点睛】本题考查了勾股定理与网格，三角形中线的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形高的定义，掌握以上知识是解题的关键．
48．(1)见解析
(2)是等边三角形；理由见解析
(3)存在；最小值为
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件，证明，得出和都为等边三角形，证明，再根据证明即可；
（2）根据，得出，，根据，得出，即可证明是等边三角形；
（3）根据为等边三角形，得出当最小时，周长最小，根据垂线段最短求出的最小值，即可得出的最小值．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴和都为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴是等边三角形；
（3）解：的周长存在最小值，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴当最小时，的周长最小，
过点B作于点M，
∵垂线段最短，
∴当点E在点时，最小，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为，
则周长的最小值为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，解题的关键是根据平行四边形的性质，结合已知条件证明和都为等边三角形．
答案第1页，共2页
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