浙教版数学八年级下册2.2一元二次方程的解法基础检测
一、单选题
1．一元二次方程mx2﹣2x+1=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A．m＞1 B．m≤1 C．m＜1 D．m≤1且m≠0
2．若关于x的方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是 （ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m=0
3．一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．无法确定是否有实数根 D．有两个不相等的实数根
4．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥且k≠2 C．k＞且k≠2 D．k≥且k≠2
5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．已知关于x的方程x2﹣10x+m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）
A．10 B．25 C．﹣25 D．±25
7．（2018九上·北京月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m= D．m＜﹣
8．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k≠0
C．k＜2且k≠0 D．k＞2
9．（2016九上·扬州期末）下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0
C．x2﹣x﹣1=0 D．（x﹣1）2+1=0
10．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1
C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0
11．若关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．﹣ B．
C． D．k≥﹣且k≠0
12．方程2x（x+3）=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
13．（2015八下·绍兴期中）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3=0有两相异实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠1 C．0＜k＜ D．k≠1
14．不解方程，判别方程x2﹣4x+9=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
15．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
二、填空题
16．若（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，则x2+y2= .
17．关于y的一元二次方程2y2﹣4y﹣6=0的解为 .
18．若对于实数a，b，规定a*b=，例如：2*3，因2＜3，所以2*3=2×3﹣22=2．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x1*x2= .
19．一元二次方程x（x+2）=0的解是 .
20．已知一元二次方程x2﹣7x+10=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为
三、解答题
21．x2﹣6x+9=（5﹣2x）2
22．x2+4x+2=0
23．解不等式组
24．（2017·兰州模拟）解方程：x2﹣4x+1=0
25．解不等式组：
26．解方程：x2+6x﹣1=0
27．求不等式组的整数解
28．解方程：x2﹣6x﹣5=0
29．用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0
30．（2016九上·洪山期中）解方程：x2﹣2x﹣2=0．
31．已知a、b、c为整数，且满足4+a2+b2+c2＜ab+3b+2c，求的值．
32．已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根
（1）求（m+5﹣）﹣的值
（2）求+的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x+1=0总有实数根，
∴△≥0，m≠0，
∴（﹣2）2﹣4m≥0，
∴m≤1，
∴m≤1且m≠0．
故选D．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=（﹣2）2﹣4m≥0，然后求出m的取值范围即可．
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故选A．
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5=0，
∴△=9﹣4（﹣5）=29＞0，
∴方程有两个不相等实数根，
故选：D．
【分析】首先找出一元二次方程的a、b和c，利用根的判别式△=b2﹣4ac进行判断即可．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且△=（2k+1）2﹣4（k﹣2）2＞0，
解得：k＞且k≠2．
故选C．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣2≠0且△=（2k+1）2﹣4（k﹣2）2＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣12=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：A．
【分析】计算方程的根的判别式△的值的符号后，判断根的情况．
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
△=（﹣10）2﹣4×1×m=0
解得m=25．
故选：B．
【分析】根据根的判别式的意义得到△=（﹣10）2﹣4×1×m=0，然后解一次方程即可．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣3，c=m，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜．
故选B．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣4）2﹣4×k×2＞0，
解得k＜2且k≠0．
∴k的取值范围为k＜2且k≠0．
故选C．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣4）2﹣4×k×2＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，此方程没有实数根；
B、△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，此方程没有实数根；
C、△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，此方程有两个不相等的实数根；
D、△=b2﹣4ac=4﹣8=﹣4＜0，此方程没有实数根．
故选：C．
【分析】由于一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac，首先逐一求出△的值，然后根据其正负情况即可判定选择项．
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选C．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
11．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，
∴①当k=0时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；
②当k≠0时，方程为一元二次方程，
如果方程有实数根，那么其判别式△=b2﹣4ac≥0，
即（2k+1）2﹣4k2≥0，
∴k≥﹣，
∴当k≥﹣，关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根．
故选B．
【分析】由于关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，
①当k=0时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；
②当k≠0时，方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此即可求出k的取值范围．
12．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程可化为2x2+6x=0，
∵△=b2﹣4ac=36﹣4×2×0=36＞0，
∴方程有两不相等的实数根．
故选A
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式的值与零的大小关系即可判断．
13．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，
所以k＜且k≠1．
故选B．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解两个不等式即可得到满足条件的k的范围．
14．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：这里a=1，b=﹣4，c=9，
∵△=b2﹣4ac=32﹣36=﹣4＜0，
∴方程无实数根．
故选D．
【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．
15．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有实数根，
∴△≥0且k≠1，
∴△=4﹣4（k﹣1）（﹣2）=8k﹣4≥0且k≠1，
∴k≥且k≠1，
故选：D．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义可得4﹣4（k﹣1）（﹣2）=8k﹣4≥0且k≠1，求出k的取值范围即可．
16．【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x2+y2=m，
∵（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，
∴m2﹣3m﹣10=0，
解得：m1=﹣2，m2=5，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=5；
故答案为：5．
【分析】设x2+y2=m，根据（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，得出m2﹣3m﹣10=0，再求出m的值，最后根据x2+y2≥0，即可得出答案．
17．【答案】 y1=3，y2=﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2y2﹣4y﹣6=0，
（2y﹣6）（y+1）=0，
2y﹣6=0，y﹣1=0，
y1=3，y2=﹣1，
故答案为：y1=3，y2=﹣1．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
18．【答案】12或﹣4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0，
∴x=3或﹣1，
当x1=3，x2=﹣1时，
x1*x2=x12﹣x1x2=9+3=12，
当x1=﹣1，x2=3时，
x1*x2=x1x2﹣x12=﹣3﹣1=﹣4，
故答案为12或﹣4．
【分析】首先解出方程x2﹣2x﹣3=0的两根，然后根据新定义解答即可．
19．【答案】 x1=0，x2=﹣2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x=0或x+2=0，
所以x1=0，x2=﹣2．
故答案为：x1=0，x2=﹣2．
【分析】利用因式分解法解方程．
20．【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程x2﹣7x+10=0，
分解得：（x﹣2）（x﹣5）=0，
解得：x=2或x=5，
若2为底边，5为腰，此时△ABC周长为2+5+5=12；
若2为腰，5为底，2+2＜5，不能构成三角形，舍去，
则△ABC周长为12．
故答案为：12
【分析】求出方程的解确定出等腰三角形的底边与腰长，求出三角形周长即可．
21．【答案】解：
（x﹣3）2=（5﹣2x）2，
即（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）=0，
x1=2，x2=．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．
22．【答案】解：x2+4x+22=﹣2+22，
即（x+2）2=，
x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题二次项系数为1，一次项系数为4，适合于用配方法．
23．【答案】解：由①得，x≤﹣4，由②得，x＜2，则不等式组的解集为x≤﹣4．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】分别解出两个不等式的解集，再求出其公用部分．
24．【答案】解：（1）x2﹣4x+4=3，
（x﹣2）2=3，
x﹣2=±，
所以x1=2+，x2=2﹣；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法得到（x﹣2）2=3，然后利用直接开平方法解方程；
25．【答案】解：
由原不等式，得
则该不等式组的解集为：x≥．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先解得两个不等式的解集，然后求其交集即可．
26．【答案】解：方程移项得：x2+6x=1，
配方得：x2+6x+9=10，即（x+3）2=10，
开方得：x+3=±，
解得：x1=﹣3+，x2=﹣3﹣．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解.
【分析】此题考查了利用配方法解方程的问题.
27．【答案】解：由①得，x≥﹣1，由②得，x＜2．故原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．∴不等式组的整数解为：x=﹣1，0，1．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后求得整数解．
28．【答案】解：x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9（x﹣3）2=14x﹣3=∴x1=3+，x2=3﹣；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】将等号左右两边同时加上9，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【分析】此题考查了利用配方法解方程.
29．【答案】解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，
配方得（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x1=1﹣，x2=1+．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
30．【答案】解：移项，得
x2﹣2x=2，
配方，得
x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，
开方，得
x﹣1=±．
解得x1=1+，x2=1﹣．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
31．【答案】解：由a、b、c均为整数，a2+b2+c2+4＜ab+3b+2c，得
a2+b2+c2+3≤ab+3b+2c﹣1
∴4a2+4b2+4c2+12≤4ab+12b+8c﹣4
（4a2﹣4ab+b2）+（3b2﹣12b+12）+（4c2﹣8c+4）≤0
（2a﹣b）2+3（b2﹣4b+4）+4（c2﹣2c+1）≤0
（2a﹣b）2+3（b﹣2）2+4（c﹣1）2≤0
∴2a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，
解得 a=1，b=2，c=1，
∴=．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；配方法的应用
【解析】【分析】由a、b、c为整数，可得应把所给不等式的右边减1，整理为用“≤”表示的形式，进而把得到的不等式整理为一边为0的形式，把另一边整理3个不含分数的完全平方式子的和的形式，让底数为0可得a，b，c的值，进而代入代数式求解即可．
32．【答案】解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m=，n=，
∴m＜n＜0，
原式= ﹣
=﹣
=﹣6﹣2m﹣
=
∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m2+3m+1=0，
∴原式=0；
（2）∵m＜0，n＜0，
∴+=﹣m﹣n=+=（），
∵m+n=﹣3，mn=1，
∴原式=9﹣2=7．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；
（2）根据m和n小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．
1 / 1浙教版数学八年级下册2.2一元二次方程的解法基础检测
一、单选题
1．一元二次方程mx2﹣2x+1=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A．m＞1 B．m≤1 C．m＜1 D．m≤1且m≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x+1=0总有实数根，
∴△≥0，m≠0，
∴（﹣2）2﹣4m≥0，
∴m≤1，
∴m≤1且m≠0．
故选D．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=（﹣2）2﹣4m≥0，然后求出m的取值范围即可．
2．若关于x的方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是 （ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m=0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故选A．
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
3．一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．无法确定是否有实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5=0，
∴△=9﹣4（﹣5）=29＞0，
∴方程有两个不相等实数根，
故选：D．
【分析】首先找出一元二次方程的a、b和c，利用根的判别式△=b2﹣4ac进行判断即可．
4．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥且k≠2 C．k＞且k≠2 D．k≥且k≠2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且△=（2k+1）2﹣4（k﹣2）2＞0，
解得：k＞且k≠2．
故选C．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣2≠0且△=（2k+1）2﹣4（k﹣2）2＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣12=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：A．
【分析】计算方程的根的判别式△的值的符号后，判断根的情况．
6．已知关于x的方程x2﹣10x+m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）
A．10 B．25 C．﹣25 D．±25
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
△=（﹣10）2﹣4×1×m=0
解得m=25．
故选：B．
【分析】根据根的判别式的意义得到△=（﹣10）2﹣4×1×m=0，然后解一次方程即可．
7．（2018九上·北京月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m= D．m＜﹣
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣3，c=m，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜．
故选B．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
8．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k≠0
C．k＜2且k≠0 D．k＞2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣4）2﹣4×k×2＞0，
解得k＜2且k≠0．
∴k的取值范围为k＜2且k≠0．
故选C．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣4）2﹣4×k×2＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
9．（2016九上·扬州期末）下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0
C．x2﹣x﹣1=0 D．（x﹣1）2+1=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，此方程没有实数根；
B、△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，此方程没有实数根；
C、△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，此方程有两个不相等的实数根；
D、△=b2﹣4ac=4﹣8=﹣4＜0，此方程没有实数根．
故选：C．
【分析】由于一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac，首先逐一求出△的值，然后根据其正负情况即可判定选择项．
10．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1
C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选C．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
11．若关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．﹣ B．
C． D．k≥﹣且k≠0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，
∴①当k=0时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；
②当k≠0时，方程为一元二次方程，
如果方程有实数根，那么其判别式△=b2﹣4ac≥0，
即（2k+1）2﹣4k2≥0，
∴k≥﹣，
∴当k≥﹣，关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根．
故选B．
【分析】由于关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，
①当k=0时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；
②当k≠0时，方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此即可求出k的取值范围．
12．方程2x（x+3）=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程可化为2x2+6x=0，
∵△=b2﹣4ac=36﹣4×2×0=36＞0，
∴方程有两不相等的实数根．
故选A
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式的值与零的大小关系即可判断．
13．（2015八下·绍兴期中）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3=0有两相异实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠1 C．0＜k＜ D．k≠1
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，
所以k＜且k≠1．
故选B．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解两个不等式即可得到满足条件的k的范围．
14．不解方程，判别方程x2﹣4x+9=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：这里a=1，b=﹣4，c=9，
∵△=b2﹣4ac=32﹣36=﹣4＜0，
∴方程无实数根．
故选D．
【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．
15．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有实数根，
∴△≥0且k≠1，
∴△=4﹣4（k﹣1）（﹣2）=8k﹣4≥0且k≠1，
∴k≥且k≠1，
故选：D．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义可得4﹣4（k﹣1）（﹣2）=8k﹣4≥0且k≠1，求出k的取值范围即可．
二、填空题
16．若（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，则x2+y2= .
【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x2+y2=m，
∵（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，
∴m2﹣3m﹣10=0，
解得：m1=﹣2，m2=5，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=5；
故答案为：5．
【分析】设x2+y2=m，根据（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，得出m2﹣3m﹣10=0，再求出m的值，最后根据x2+y2≥0，即可得出答案．
17．关于y的一元二次方程2y2﹣4y﹣6=0的解为 .
【答案】 y1=3，y2=﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2y2﹣4y﹣6=0，
（2y﹣6）（y+1）=0，
2y﹣6=0，y﹣1=0，
y1=3，y2=﹣1，
故答案为：y1=3，y2=﹣1．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
18．若对于实数a，b，规定a*b=，例如：2*3，因2＜3，所以2*3=2×3﹣22=2．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x1*x2= .
【答案】12或﹣4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0，
∴x=3或﹣1，
当x1=3，x2=﹣1时，
x1*x2=x12﹣x1x2=9+3=12，
当x1=﹣1，x2=3时，
x1*x2=x1x2﹣x12=﹣3﹣1=﹣4，
故答案为12或﹣4．
【分析】首先解出方程x2﹣2x﹣3=0的两根，然后根据新定义解答即可．
19．一元二次方程x（x+2）=0的解是 .
【答案】 x1=0，x2=﹣2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x=0或x+2=0，
所以x1=0，x2=﹣2．
故答案为：x1=0，x2=﹣2．
【分析】利用因式分解法解方程．
20．已知一元二次方程x2﹣7x+10=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为
【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程x2﹣7x+10=0，
分解得：（x﹣2）（x﹣5）=0，
解得：x=2或x=5，
若2为底边，5为腰，此时△ABC周长为2+5+5=12；
若2为腰，5为底，2+2＜5，不能构成三角形，舍去，
则△ABC周长为12．
故答案为：12
【分析】求出方程的解确定出等腰三角形的底边与腰长，求出三角形周长即可．
三、解答题
21．x2﹣6x+9=（5﹣2x）2
【答案】解：
（x﹣3）2=（5﹣2x）2，
即（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）=0，
x1=2，x2=．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．
22．x2+4x+2=0
【答案】解：x2+4x+22=﹣2+22，
即（x+2）2=，
x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题二次项系数为1，一次项系数为4，适合于用配方法．
23．解不等式组
【答案】解：由①得，x≤﹣4，由②得，x＜2，则不等式组的解集为x≤﹣4．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】分别解出两个不等式的解集，再求出其公用部分．
24．（2017·兰州模拟）解方程：x2﹣4x+1=0
【答案】解：（1）x2﹣4x+4=3，
（x﹣2）2=3，
x﹣2=±，
所以x1=2+，x2=2﹣；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法得到（x﹣2）2=3，然后利用直接开平方法解方程；
25．解不等式组：
【答案】解：
由原不等式，得
则该不等式组的解集为：x≥．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先解得两个不等式的解集，然后求其交集即可．
26．解方程：x2+6x﹣1=0
【答案】解：方程移项得：x2+6x=1，
配方得：x2+6x+9=10，即（x+3）2=10，
开方得：x+3=±，
解得：x1=﹣3+，x2=﹣3﹣．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解.
【分析】此题考查了利用配方法解方程的问题.
27．求不等式组的整数解
【答案】解：由①得，x≥﹣1，由②得，x＜2．故原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．∴不等式组的整数解为：x=﹣1，0，1．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后求得整数解．
28．解方程：x2﹣6x﹣5=0
【答案】解：x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9（x﹣3）2=14x﹣3=∴x1=3+，x2=3﹣；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】将等号左右两边同时加上9，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【分析】此题考查了利用配方法解方程.
29．用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0
【答案】解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，
配方得（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x1=1﹣，x2=1+．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
30．（2016九上·洪山期中）解方程：x2﹣2x﹣2=0．
【答案】解：移项，得
x2﹣2x=2，
配方，得
x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，
开方，得
x﹣1=±．
解得x1=1+，x2=1﹣．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
31．已知a、b、c为整数，且满足4+a2+b2+c2＜ab+3b+2c，求的值．
【答案】解：由a、b、c均为整数，a2+b2+c2+4＜ab+3b+2c，得
a2+b2+c2+3≤ab+3b+2c﹣1
∴4a2+4b2+4c2+12≤4ab+12b+8c﹣4
（4a2﹣4ab+b2）+（3b2﹣12b+12）+（4c2﹣8c+4）≤0
（2a﹣b）2+3（b2﹣4b+4）+4（c2﹣2c+1）≤0
（2a﹣b）2+3（b﹣2）2+4（c﹣1）2≤0
∴2a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，
解得 a=1，b=2，c=1，
∴=．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；配方法的应用
【解析】【分析】由a、b、c为整数，可得应把所给不等式的右边减1，整理为用“≤”表示的形式，进而把得到的不等式整理为一边为0的形式，把另一边整理3个不含分数的完全平方式子的和的形式，让底数为0可得a，b，c的值，进而代入代数式求解即可．
32．已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根
（1）求（m+5﹣）﹣的值
（2）求+的值．
【答案】解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m=，n=，
∴m＜n＜0，
原式= ﹣
=﹣
=﹣6﹣2m﹣
=
∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m2+3m+1=0，
∴原式=0；
（2）∵m＜0，n＜0，
∴+=﹣m﹣n=+=（），
∵m+n=﹣3，mn=1，
∴原式=9﹣2=7．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；
（2）根据m和n小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．
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