浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）基础检测
一、单选题
1．如果x1，x2是一元二次方程x2+8x+3=0的两个实数根，那么x1+x2的值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣8．
故选A．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
2．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2012 D．2013
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1；
又∵a2+a﹣2014=0，
∴a2+a=2014，
∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b）
=2014+（﹣1）
=2013
即a2+2a+b的值为2013．
故选：D．
【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=﹣1；然后根据a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，可得a2+a﹣2014=0，据此求出a2+2a+b的值为多少即可．
3．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则这个方程的另一个根是（ ）
A． B．- C．1 D．-1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得
a2﹣1=0，且a+1≠0
解得a=1；
设关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的另一个根为x2，
则0+x2=﹣，
解得x2=﹣．
故选B．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程求得a的值，然后通过根与系数的关系x1 x2=求得方程的另一个根．
4．已知关于x的方程m2x2+（4m﹣1）x+4=0的两个实数根互为倒数，那么m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．±
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程m2x2+（4m﹣1）x+4=0的两个实数根互为倒数，
∴=1，解得m=2或m=﹣2，
当m=2时，方程变形为4x2+7x+4=0，△=49﹣4×4×4＜0，方程没有实数解，
所以m的值为﹣2．
故选B．
【分析】先根据根与系数的关系得到=1，解得m=2或m=﹣2，然后根据判别式的意义确定满足条件的m的值．
5．如果a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b的值为（ ）
A．-8 B．8 C．-16 D．16
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，ab=﹣4，
所以原式=a2 ab﹣2a ab
=﹣4a2﹣2a （﹣4）
=﹣4a2+8a，
∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的根，
∴a2﹣2a﹣4=0，即a2=2a+4，
∴原式=﹣4（2a+4）+8a
=﹣8a﹣16+8a
=﹣16．
故选C．
【分析】先根据根与系数的关系得到ab=﹣4，再把原式表示得到原式=a2 ab﹣2a ab，利用整体代入的方法可化简得到原式=﹣4a2+8a，接着根据一元二次方程解的定义得到a2=2a+4，然后再次利用整体代入的方法计算即可．
6．下列一元二次方程两实数根和为4的是（ ）
A．x2+2x﹣4=0 B．x2+2x+10=0 C．x2﹣4x+4=0 D．x2+4x﹣5=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、两实数根和为﹣2，所以A选项错误；
B、△=22﹣4×10＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；
C、两实数根和为4，所以C选项正确；
D、两实数根和为﹣4，所以D选项错误；．
故选C．
【分析】根据根与系数的关系对A、C、D进行判断；根据根的判别式对B进行判断．
7．已知方程x2+x﹣3=0，则下列说法中，正确的是（ ）
A．方程两根之和是1 B．方程两根之积是3
C．方程两根之平方和是7 D．方程两根倒数之和是3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2+x﹣3=0，
∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，
则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=1+6=7，+==，
故选C
【分析】由已知方程，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，即可做出判断．
8．已知关于x的一元二次方程x2+6x+5=0有两个根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（ ）
A．5 B．-5 C．1 D．-1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+5=0有两个根为x1和x2，
∴x1x2=5，x1+x2=﹣6，
∴x1x2+x1+x2=﹣1．
故选：D．
【分析】直接根据根与系数的关系求解，得出x1x2，x1+x2代入式子求得答案即可．
9．若x1、x2是x2﹣6x﹣7=0的根，则x1 x2=（ ）
A．-7 B．7 C．6 D．-6
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是x2﹣6x﹣7=0的根，
∴x1 x2=﹣7．
故选：A．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
10．若x1，x2是一元二次方程3x+4=x2的两个根，则x1+x2等于（ ）
A．-3 B．3 C．1 D．-4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由已知方程，得x2﹣3x﹣4=0，
则由韦达定理，得
x1+x2=3．
故选：B．
【分析】先把已知方程转化为一般式方程，然后根据根与系数的关系解答．
11．已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，且+﹣2的值为整数，则整数k的最大值为（ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2=，且16k2﹣16k（k+1）≥0，即k＜0
∴+﹣2=﹣2=﹣2=，
由此式子的值为整数，得到k=﹣5，﹣3，﹣2，0，1，3．
则整数k的最大值为﹣2．
故选：A．
【分析】由x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x1+x2与x1x2，将+﹣2通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后，把表示出x1+x2与x1x2代入，整理后根据此式子的值为整数，即可求出实数k的整数值．
12．已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（ ）
A．-1 B．-5 C．-6 D．6
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴ab=﹣3，a+b=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，
故选C．
【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．
13．下列各项结论中错误的是（ ）
A．二元一次方程x+2y=2的解可以表示为 （m是实数）
B．若是二元一次方程组的解，则m+n的值为0
C．设一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根分别为m、n，则m+n的值为﹣3
D．若﹣5x2ym与xny是同类项，则m+n的值为3
【答案】B
【知识点】代数式求值；二元一次方程的解；二元一次方程组的解；一元二次方程的根与系数的关系；同类项
【解析】【解答】解：A、把x=m代入x+2y=2，得y=1﹣，所以二元一次方程x+2y=2的解可以表示为 （m是实数），故本选项正确，不符合题意；
B、把代入，得，解得，则m+n=﹣1﹣1=﹣2≠0，故本选项错误，符合题意；
C、设一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根分别为m、n，则m+n=﹣3，故本选项正确，不符合题意；
D、若﹣5x2ym与xny是同类项，则m=1，n=2，所以m+n=3，故本选项正确，不符合题意；
故选B．
【分析】根据二元一次方程的解的定义判断A；
先根据二元一次方程组的解的定义，把代入，求出m、n的值，再代入m+n，计算即可判断B；
由根与系数的关系即可判断C；
先根据同类项的定义求出m、n的值，再代入m+n，计算即可判断D．
14．若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，
∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，
∴m=3．
故选A．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．
15．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m+3=0的两根为x1，x2，且满足x1x2﹣x1﹣x2=1，则m的值为（ ）
A．3 B．-3 C． D．-
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=2m﹣1，x1x2=m+3，
∵x1x2﹣x1﹣x2=1，
∴x1x2﹣（x1+x2）=1，
∴m+3﹣（2m﹣1）=1，
∴m=3．
故选A．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2m﹣1，x1x2=m+3，则由x1x2﹣x1﹣x2=1得m+3﹣（2m﹣1）=1，然后解关于m的一元一次方程即可．
二、填空题
16．已知关于x的一元二次方程：x2﹣3x﹣2（m﹣1）=0的两个实数根是x1和x2，且|x1﹣x2|=7，那么m的值是 ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x2﹣3x﹣2（m﹣1）=0的两个实数根是x1和x2，
∴x1+x2=3，x1 x2=﹣2（m﹣1），
∵|x1﹣x2|=7，
∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1 x2=9+8m﹣8=1+8m=49，解和m=6．
故答案为：6．
【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2=3，x1 x2=﹣2（m﹣1），再由（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1 x2=49求解即可．
17．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m+3=0的两根为x1，x2，且满足x1x2﹣x1﹣x2=1，则m的值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=2m﹣1，x1x2=m+3，
∵x1x2﹣x1﹣x2=1，
∴x1x2﹣（x1+x2）=1，
∴m+3﹣（2m﹣1）=1，
∴m=3．
故答案为3．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2m﹣1，x1x2=m+3，则由x1x2﹣x1﹣x2=1得m+3﹣（2m﹣1）=1，然后解关于m的一元一次方程即可．
18．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个根为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2= ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣mx+m﹣2=0的两根，
∴x1+x2=m，x1 x2=m﹣2，
则x1+x2﹣x1 x2=m﹣（m﹣2）=2．
故答案为2．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．
19．已知x1，x2是方程2x2﹣7x+3=0的两根，则x1+x2﹣x1x2= ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣7x+3=0的两根，
∴x1+x2=，x1 x2=，
则x1+x2﹣x1 x2=﹣=2．
故答案为2．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．
20．已知a、b是方程x2﹣x﹣2=0的两个不相等实数根，则a b的值是 ．
【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2﹣x﹣2=0的两个不相等实数根，
∴a b=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】由a，b是方程x2﹣x﹣2=0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系即可求出两根之积．
三、解答题
21．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=﹣p，x1 x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知x1、x2是方程x2+4x﹣2=0的两个实数根，求+的值；
（2）已知方程x2+bx+c=0的两根分别为+1、﹣1，求出b、c的值；
（3）关于x的方程x2+（m﹣1）x+m2﹣3=0的两个实数根互为倒数，求m的值．
【答案】解：（1）∵x1+x2=﹣4，x1 x2=﹣2，
∴=2．
（2）=，=1；
（3）∵m2﹣3=1，
∴m=±2（2分），
当m=2时，方程没有实数根，舍去，
当m=﹣2时，方程有两个实数根互为倒数．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系得出x1+x2=﹣4，x1 x2=﹣2，进一步整理代入求得数值即可；
（2）利用根与系数的关系直接求得答案即可；
（3）利用两个实数根互为倒数得出m2﹣3=1，求得m的数值，进一步判断得出答案即可．
22．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+3）x+a2+8a=0的两个实数根分别为4和b，求ab的值．
【答案】解：根据题意得4+b=a+3，4b=a2+8a，
所以a2+8a=4（a﹣1），
整理得a2+4a+4=0，
解得a=2，
则b=a﹣1=﹣1，
所以ab=﹣2．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到4+b=a+3，4b=a2+8a，再消去b得到关于a的方程a2+8a=4（a﹣1），解得a=2，接着求出b的值，然后计算ab的值．
23．如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则=
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=﹣15，ab=5，
∴===43，
故答案是：43；
（2）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=﹣c，ab=，
∴a、b是方程x2+cx+=0的解，
∴c2﹣4 ≥0，c2﹣≥0，
∵c是正数，
∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，
∴正数c的最小值是4．
（3）存在，当k=﹣2时，．
由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k，
由x﹣y=1变形得：y=x﹣1，把y=x﹣1代入y=x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1=0，
由题意思可知，x1，x2是方程x2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：
即：
解得：k=﹣2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．
（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2﹣4 ≥0，即可求出c的最小值．
（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1 x2=k+1，再解y1y2﹣=2，即可求出k的值．
24．关于x的方程x2+mx+m=0的两个根的平方和为3，求m的值．
【答案】解：设方程两根为a、b，
根据题意得a+b=﹣m，ab=m，
∵a2+b2=3，
∴（a+b）2﹣2ab=3，
∴m2﹣2m﹣3=0，解得m1=3，m2=﹣1，
当m=3时，原方程化为x2+3x+3=0，△=9﹣3×4＜0，方程没有实数解，
∴m的值为﹣1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设方程两根为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=﹣m，ab=m，由于a2+b2=3，利用完全平方公式变形得到（a+b）2﹣2ab=3，所以m2﹣2m﹣3=0，解得m1=3，m2=﹣1，然后根据根的判别式确定满足条件的m的值．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有两个不等的实数根x1和x2
（1）求m的取值范围并证明x1x2=m+2；
（2）若|x1﹣x2|=2，求m的值．
【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有两个不等的实数根x1和x2，
所以△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0
解得m＜﹣1，
根据求根公式，
∴；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=m+2，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，
∴4﹣4（m+2）=4，
解得m=﹣2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0解得m＜﹣1，再利用求根公式解方程，然后计算x1x2；
（2）先根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=m+2，再把|x1﹣x2|=2两边平方得到（x1﹣x2）2=4，接着利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2=4，所以4﹣4（m+2）=4，
然后解关于m的方程即可．
26．若x=1是方程mx2+3x+n=0的根，求（m﹣n）2+4mn的值．
【答案】解：将x=1代入原方程可得：m+n=﹣3，
∵1 x1=n，x1+1=﹣3；
解之得，m=1，n=﹣4；
所以，（m﹣n）2+4mn=（m+n）2=（1﹣4）2=9．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】把x=1代入方程，就得到一个关于m，n的式子，就可以用这个式子把所求的式子表示出来．
27．韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1、x2，则x1+x2=﹣，x1 x2=，阅读下面应用韦达定理的过程：
若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2，求x12+x22的值．
解：该一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×1=24＞0
由韦达定理可得，x1+x2=﹣=﹣=2，x1 x2===﹣
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=22﹣2×（﹣）
=5
然后解答下列问题：
（1）设一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，不解方程，求x12+x22的值；
（2）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的两根分别为α，β，且α2+β2=4，求k的值．
【答案】解：（1）∵一元二次方程的△=b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，由根与系数的关系得：x1+x2=﹣，x1 x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==；（2）由根与系数的关系知：=﹣k﹣1，αβ==k﹣1，α2+β2=（（α+β）2﹣2αβ=（k+1）2﹣2（k﹣1）=k2+3∴k2+3=4，∴k=±1，∵k﹣1≠0∴k≠1，∴k=﹣1，将k=﹣1代入原方程：﹣2x2+4=0，△=32＞0，∴k=﹣1成立，∴k的值为﹣1．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣，x1 x2=﹣，再利用完全平方公式变形得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可；
（2）根据一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的两根分别为α，β，求出两根之积和两根之和的关于k的表达式，再将α2+β2=4变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可．
28．已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1 x2=q．
【答案】证明：∵a=1，b=p，c=q
∴△=p2﹣4q
∴x=即x1=，x2=，
∴x1+x2=+=﹣p，
x1 x2=.=q．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可．
1 / 1浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）基础检测
一、单选题
1．如果x1，x2是一元二次方程x2+8x+3=0的两个实数根，那么x1+x2的值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．3 D．-3
2．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2012 D．2013
3．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则这个方程的另一个根是（ ）
A． B．- C．1 D．-1
4．已知关于x的方程m2x2+（4m﹣1）x+4=0的两个实数根互为倒数，那么m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．±
5．如果a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b的值为（ ）
A．-8 B．8 C．-16 D．16
6．下列一元二次方程两实数根和为4的是（ ）
A．x2+2x﹣4=0 B．x2+2x+10=0 C．x2﹣4x+4=0 D．x2+4x﹣5=0
7．已知方程x2+x﹣3=0，则下列说法中，正确的是（ ）
A．方程两根之和是1 B．方程两根之积是3
C．方程两根之平方和是7 D．方程两根倒数之和是3
8．已知关于x的一元二次方程x2+6x+5=0有两个根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（ ）
A．5 B．-5 C．1 D．-1
9．若x1、x2是x2﹣6x﹣7=0的根，则x1 x2=（ ）
A．-7 B．7 C．6 D．-6
10．若x1，x2是一元二次方程3x+4=x2的两个根，则x1+x2等于（ ）
A．-3 B．3 C．1 D．-4
11．已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，且+﹣2的值为整数，则整数k的最大值为（ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
12．已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（ ）
A．-1 B．-5 C．-6 D．6
13．下列各项结论中错误的是（ ）
A．二元一次方程x+2y=2的解可以表示为 （m是实数）
B．若是二元一次方程组的解，则m+n的值为0
C．设一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根分别为m、n，则m+n的值为﹣3
D．若﹣5x2ym与xny是同类项，则m+n的值为3
14．若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
15．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m+3=0的两根为x1，x2，且满足x1x2﹣x1﹣x2=1，则m的值为（ ）
A．3 B．-3 C． D．-
二、填空题
16．已知关于x的一元二次方程：x2﹣3x﹣2（m﹣1）=0的两个实数根是x1和x2，且|x1﹣x2|=7，那么m的值是 ．
17．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m+3=0的两根为x1，x2，且满足x1x2﹣x1﹣x2=1，则m的值为 ．
18．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个根为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2= ．
19．已知x1，x2是方程2x2﹣7x+3=0的两根，则x1+x2﹣x1x2= ．
20．已知a、b是方程x2﹣x﹣2=0的两个不相等实数根，则a b的值是 ．
三、解答题
21．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=﹣p，x1 x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知x1、x2是方程x2+4x﹣2=0的两个实数根，求+的值；
（2）已知方程x2+bx+c=0的两根分别为+1、﹣1，求出b、c的值；
（3）关于x的方程x2+（m﹣1）x+m2﹣3=0的两个实数根互为倒数，求m的值．
22．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+3）x+a2+8a=0的两个实数根分别为4和b，求ab的值．
23．如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则=
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．
24．关于x的方程x2+mx+m=0的两个根的平方和为3，求m的值．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有两个不等的实数根x1和x2
（1）求m的取值范围并证明x1x2=m+2；
（2）若|x1﹣x2|=2，求m的值．
26．若x=1是方程mx2+3x+n=0的根，求（m﹣n）2+4mn的值．
27．韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1、x2，则x1+x2=﹣，x1 x2=，阅读下面应用韦达定理的过程：
若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2，求x12+x22的值．
解：该一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×1=24＞0
由韦达定理可得，x1+x2=﹣=﹣=2，x1 x2===﹣
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=22﹣2×（﹣）
=5
然后解答下列问题：
（1）设一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，不解方程，求x12+x22的值；
（2）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的两根分别为α，β，且α2+β2=4，求k的值．
28．已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1 x2=q．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣8．
故选A．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1；
又∵a2+a﹣2014=0，
∴a2+a=2014，
∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b）
=2014+（﹣1）
=2013
即a2+2a+b的值为2013．
故选：D．
【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=﹣1；然后根据a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，可得a2+a﹣2014=0，据此求出a2+2a+b的值为多少即可．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得
a2﹣1=0，且a+1≠0
解得a=1；
设关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的另一个根为x2，
则0+x2=﹣，
解得x2=﹣．
故选B．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程求得a的值，然后通过根与系数的关系x1 x2=求得方程的另一个根．
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程m2x2+（4m﹣1）x+4=0的两个实数根互为倒数，
∴=1，解得m=2或m=﹣2，
当m=2时，方程变形为4x2+7x+4=0，△=49﹣4×4×4＜0，方程没有实数解，
所以m的值为﹣2．
故选B．
【分析】先根据根与系数的关系得到=1，解得m=2或m=﹣2，然后根据判别式的意义确定满足条件的m的值．
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，ab=﹣4，
所以原式=a2 ab﹣2a ab
=﹣4a2﹣2a （﹣4）
=﹣4a2+8a，
∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的根，
∴a2﹣2a﹣4=0，即a2=2a+4，
∴原式=﹣4（2a+4）+8a
=﹣8a﹣16+8a
=﹣16．
故选C．
【分析】先根据根与系数的关系得到ab=﹣4，再把原式表示得到原式=a2 ab﹣2a ab，利用整体代入的方法可化简得到原式=﹣4a2+8a，接着根据一元二次方程解的定义得到a2=2a+4，然后再次利用整体代入的方法计算即可．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、两实数根和为﹣2，所以A选项错误；
B、△=22﹣4×10＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；
C、两实数根和为4，所以C选项正确；
D、两实数根和为﹣4，所以D选项错误；．
故选C．
【分析】根据根与系数的关系对A、C、D进行判断；根据根的判别式对B进行判断．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2+x﹣3=0，
∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，
则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=1+6=7，+==，
故选C
【分析】由已知方程，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，即可做出判断．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+5=0有两个根为x1和x2，
∴x1x2=5，x1+x2=﹣6，
∴x1x2+x1+x2=﹣1．
故选：D．
【分析】直接根据根与系数的关系求解，得出x1x2，x1+x2代入式子求得答案即可．
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是x2﹣6x﹣7=0的根，
∴x1 x2=﹣7．
故选：A．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由已知方程，得x2﹣3x﹣4=0，
则由韦达定理，得
x1+x2=3．
故选：B．
【分析】先把已知方程转化为一般式方程，然后根据根与系数的关系解答．
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2=，且16k2﹣16k（k+1）≥0，即k＜0
∴+﹣2=﹣2=﹣2=，
由此式子的值为整数，得到k=﹣5，﹣3，﹣2，0，1，3．
则整数k的最大值为﹣2．
故选：A．
【分析】由x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x1+x2与x1x2，将+﹣2通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后，把表示出x1+x2与x1x2代入，整理后根据此式子的值为整数，即可求出实数k的整数值．
12．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴ab=﹣3，a+b=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，
故选C．
【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．
13．【答案】B
【知识点】代数式求值；二元一次方程的解；二元一次方程组的解；一元二次方程的根与系数的关系；同类项
【解析】【解答】解：A、把x=m代入x+2y=2，得y=1﹣，所以二元一次方程x+2y=2的解可以表示为 （m是实数），故本选项正确，不符合题意；
B、把代入，得，解得，则m+n=﹣1﹣1=﹣2≠0，故本选项错误，符合题意；
C、设一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根分别为m、n，则m+n=﹣3，故本选项正确，不符合题意；
D、若﹣5x2ym与xny是同类项，则m=1，n=2，所以m+n=3，故本选项正确，不符合题意；
故选B．
【分析】根据二元一次方程的解的定义判断A；
先根据二元一次方程组的解的定义，把代入，求出m、n的值，再代入m+n，计算即可判断B；
由根与系数的关系即可判断C；
先根据同类项的定义求出m、n的值，再代入m+n，计算即可判断D．
14．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，
∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，
∴m=3．
故选A．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．
15．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=2m﹣1，x1x2=m+3，
∵x1x2﹣x1﹣x2=1，
∴x1x2﹣（x1+x2）=1，
∴m+3﹣（2m﹣1）=1，
∴m=3．
故选A．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2m﹣1，x1x2=m+3，则由x1x2﹣x1﹣x2=1得m+3﹣（2m﹣1）=1，然后解关于m的一元一次方程即可．
16．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x2﹣3x﹣2（m﹣1）=0的两个实数根是x1和x2，
∴x1+x2=3，x1 x2=﹣2（m﹣1），
∵|x1﹣x2|=7，
∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1 x2=9+8m﹣8=1+8m=49，解和m=6．
故答案为：6．
【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2=3，x1 x2=﹣2（m﹣1），再由（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1 x2=49求解即可．
17．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=2m﹣1，x1x2=m+3，
∵x1x2﹣x1﹣x2=1，
∴x1x2﹣（x1+x2）=1，
∴m+3﹣（2m﹣1）=1，
∴m=3．
故答案为3．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2m﹣1，x1x2=m+3，则由x1x2﹣x1﹣x2=1得m+3﹣（2m﹣1）=1，然后解关于m的一元一次方程即可．
18．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣mx+m﹣2=0的两根，
∴x1+x2=m，x1 x2=m﹣2，
则x1+x2﹣x1 x2=m﹣（m﹣2）=2．
故答案为2．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．
19．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣7x+3=0的两根，
∴x1+x2=，x1 x2=，
则x1+x2﹣x1 x2=﹣=2．
故答案为2．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．
20．【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2﹣x﹣2=0的两个不相等实数根，
∴a b=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】由a，b是方程x2﹣x﹣2=0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系即可求出两根之积．
21．【答案】解：（1）∵x1+x2=﹣4，x1 x2=﹣2，
∴=2．
（2）=，=1；
（3）∵m2﹣3=1，
∴m=±2（2分），
当m=2时，方程没有实数根，舍去，
当m=﹣2时，方程有两个实数根互为倒数．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系得出x1+x2=﹣4，x1 x2=﹣2，进一步整理代入求得数值即可；
（2）利用根与系数的关系直接求得答案即可；
（3）利用两个实数根互为倒数得出m2﹣3=1，求得m的数值，进一步判断得出答案即可．
22．【答案】解：根据题意得4+b=a+3，4b=a2+8a，
所以a2+8a=4（a﹣1），
整理得a2+4a+4=0，
解得a=2，
则b=a﹣1=﹣1，
所以ab=﹣2．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到4+b=a+3，4b=a2+8a，再消去b得到关于a的方程a2+8a=4（a﹣1），解得a=2，接着求出b的值，然后计算ab的值．
23．【答案】解：（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=﹣15，ab=5，
∴===43，
故答案是：43；
（2）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=﹣c，ab=，
∴a、b是方程x2+cx+=0的解，
∴c2﹣4 ≥0，c2﹣≥0，
∵c是正数，
∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，
∴正数c的最小值是4．
（3）存在，当k=﹣2时，．
由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k，
由x﹣y=1变形得：y=x﹣1，把y=x﹣1代入y=x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1=0，
由题意思可知，x1，x2是方程x2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：
即：
解得：k=﹣2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．
（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2﹣4 ≥0，即可求出c的最小值．
（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1 x2=k+1，再解y1y2﹣=2，即可求出k的值．
24．【答案】解：设方程两根为a、b，
根据题意得a+b=﹣m，ab=m，
∵a2+b2=3，
∴（a+b）2﹣2ab=3，
∴m2﹣2m﹣3=0，解得m1=3，m2=﹣1，
当m=3时，原方程化为x2+3x+3=0，△=9﹣3×4＜0，方程没有实数解，
∴m的值为﹣1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设方程两根为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=﹣m，ab=m，由于a2+b2=3，利用完全平方公式变形得到（a+b）2﹣2ab=3，所以m2﹣2m﹣3=0，解得m1=3，m2=﹣1，然后根据根的判别式确定满足条件的m的值．
25．【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有两个不等的实数根x1和x2，
所以△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0
解得m＜﹣1，
根据求根公式，
∴；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=m+2，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，
∴4﹣4（m+2）=4，
解得m=﹣2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0解得m＜﹣1，再利用求根公式解方程，然后计算x1x2；
（2）先根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=m+2，再把|x1﹣x2|=2两边平方得到（x1﹣x2）2=4，接着利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2=4，所以4﹣4（m+2）=4，
然后解关于m的方程即可．
26．【答案】解：将x=1代入原方程可得：m+n=﹣3，
∵1 x1=n，x1+1=﹣3；
解之得，m=1，n=﹣4；
所以，（m﹣n）2+4mn=（m+n）2=（1﹣4）2=9．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】把x=1代入方程，就得到一个关于m，n的式子，就可以用这个式子把所求的式子表示出来．
27．【答案】解：（1）∵一元二次方程的△=b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，由根与系数的关系得：x1+x2=﹣，x1 x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==；（2）由根与系数的关系知：=﹣k﹣1，αβ==k﹣1，α2+β2=（（α+β）2﹣2αβ=（k+1）2﹣2（k﹣1）=k2+3∴k2+3=4，∴k=±1，∵k﹣1≠0∴k≠1，∴k=﹣1，将k=﹣1代入原方程：﹣2x2+4=0，△=32＞0，∴k=﹣1成立，∴k的值为﹣1．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣，x1 x2=﹣，再利用完全平方公式变形得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可；
（2）根据一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的两根分别为α，β，求出两根之积和两根之和的关于k的表达式，再将α2+β2=4变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可．
28．【答案】证明：∵a=1，b=p，c=q
∴△=p2﹣4q
∴x=即x1=，x2=，
∴x1+x2=+=﹣p，
x1 x2=.=q．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可．
1 / 1
