初中数学浙教版八年级下册1.2 二次根式的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·上海期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017八下·高阳期末）下列二次根式不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．化简二次根式 的结果是（ ）
A．﹣a B． C．|a| D．a
4．（2020八上·上海期中）当a<3时，化简 的结果是（ ）
A． 1 B．1 C．7 2a D．2a 7
5．（2020八上·杨浦期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020八上·社旗月考）设 为实数，且 ，则 的值是（ ）
A．1 B．9 C．4 D．5
7．（2020八上·成都期中）估计 的大小应（ ）
A．在2～3之间 B．在3～4之间 C．在4～5之间 D．在5～6之间
8．计算 +|-11|- ，正确的结果是（ ）
A．-11 B．11 C．22 D．-22
二、填空题
9．（2020八下·曾都期末）将二次根式 化为最简二次根式为 .
10．（2020八上·南华月考） = ； = .
11．（2020八上·杨浦期中）如图，化简： ．
12．（2020八上·高新期中）当x＝4时，二次根式 的值是 ．
13．（2020八上·包头期中）已知a为实数，化简 = ．
14．（2020八上·新都月考）若 ，则x的取值范围是 ．
15．（2020八上·上海月考）化简： = 。
16．（2020八下·滨海期末）化简： ＝ ， ＝ ， ＝ ．
三、综合题
17．（2020八上·万州期中）已知 ， 两数在数轴上的表示如图所示，化简： .
18．（2020八下·龙湖期末）计算：
19．（2020八上·青神期中）化简求值： ，其中 ．
20．（2020八上·牡丹期中）已知a、b、c满足|a- |+ +(c-4 )2=0
（1）求a、b、c的值：
（2）判断以a、b、c为边的三角形的形状，并说明理由。
21．（2020八上·昌黎期中）大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，1＜ ＜2，于是可用 来表示 的小数部分．请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b﹣ 的值．
22．（2019八上·惠来期中）先化简，再求值： ，其中 ．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）化简： ；
（3）先化简，再求值： ，其中 ．
23．（2019八上·上海月考）观察下列各式及其化简过程:
= = +1
= = -
（1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，填空： = = -1
（2）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将 化简;
（3）针对上述各式反映的规律，写出 = - ( )中m、n与 之间的关系。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不符合上述条件②，即 ＝2 ，故不是最简二次根式；
B、符合上述条件，故是最简二次根式；
C、不符合上述条件①，即 ＝ ，故不是最简二次根式；
D、不符合上述条件②，即 ＝|x| ，故不是最简二次根式．
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义对选项进行判断即可。
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： = ，
A ，能合并，故本选项错误；
B. ，不能合并，故本选项正确；
C .，能合并，故本选项错误；
D. ，能合并，故本选项错误。
故选B.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式= =|a| ．
故答案为：C
【分析】先分离出被开方数中能开得尽方的因式，再利用二次根式的性质即可获得答案。
4．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a<3
∴a－3＜0，4－a＞0
∴
=
=
=
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质及绝对值的非负性对式子化简即可。
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A． ，故本选项不符合题意；
B． ，故本选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，不能化简，故本选项不符合题意；
D． ，由 ，可得原式= ，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质和运算，分别判断得到答案即可。
6．【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据题意可得: 解得：
当 时，
故答案为：A.
【分析】由二次根式的非负性可得关于x的不等式组，解这个不等式组可求得x的值，把x的值代入等式计算可求得y的值，然后把x、y的值代入所求代数式计算即可求解.
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，16＜24＜25，
∴4＜ ＜5，
即4＜ ＜5，
故答案为：C．
【分析】根据题意，由二次根式的性质，估算其范围即可。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式=11+11-11=11，故选B．
【分析】根据二次根式的性质正确化简二次根式，进行正确的计算是一个基本的要求．
9．【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】根据二次根式的性质： 解答.
10．【答案】4；72
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=4，
=
=
=8×9
=72
故答案为：4；72.
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知：a＜-1
∴ ＜0
∴
故答案为： ．
【分析】根据题意可知，a+1＜0，由二次根式的性质，化简得到答案即可。
12．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当 时， ，
故答案为：3．
【分析】根据题意，将x=4代入二次根式，化简得到答案即可。
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次根式的性质可知， ，
∴
=
=
= ；
故答案为： ．
【分析】由二次根式的性质进行化简，然后进行计算，即可得到答案．
14．【答案】x≤3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，解得x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】根据非负数的性质列出关于x的不等式，求出x的值即可．
15．【答案】2a-2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=+
=（a-1）+（a-1）
=2a-2
【分析】根据题意和二次根式的性质，化简式子得到答案即可。
16．【答案】3；3；-3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ＝3， ＝3， ＝﹣3．
故答案为：3，3，﹣3．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
17．【答案】解：根据题意得，
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据数轴上a、b的位置，分别判断出a+2，b-2，a+b的正负性，再根据二次根式的性质化简解题即可。
18．【答案】解：原式=
=1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=-3+1+2
=1
【分析】根据二次根式的化简以及运算性质，计算得到答案即可。
19．【答案】解：原式＝
＝
当x＝ 时，原式=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】将各个式子化简为最简二次根式，进行合并，代入a的值求出答案即可。
20．【答案】（1）解：根据题意得：a- =0，b-5=0，c-4 =0，
解得：a= ，b=5，c=4
（2）解：以a、b、c为边的三角形是直角三角形，理由如下：
∵a2+b2=( )2+52= 32
c2=(4 )2=32，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据绝对值、偶次幂的非负性以及二次根式的性质，即可得到a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可判断三条边组成的为直角三角形。
21．【答案】（1）5； ﹣5
（2）解：由题意可知：a＝ ﹣3，b＝5，
所以原式＝ ﹣3+5﹣ ＝2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据题意，即可得到所处的范围，即5=＜＜=6，即可表示出整数部分以及小数部分；
（2）根据题意，即可得到a以及b的值，计算得到代数式的答案即可。
22．【答案】（1）小亮
（2）
（3）∵ ，
∴ ，
则原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴1-a=-1006＜0，
∴ =
=2×1007-1
=2013.
∴小亮的解法是错误的；（2）
【分析】（1）由a=1007知1-a=-1006＜0，从而由 =|1-a|=a-1可得答案；（2）根据二次根式的性质 =|a|可得答案；（3）先根据二次根式的性质化简原式，再代入计算可得．
23．【答案】（1）
（2）解： = = = =
（3）解：通过以上规律不难发现：m=a＋b，n=ab.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1） = = = -1，
故填： ；
【分析】观察上述例子可发现，通过把被开方数变成一个完全平方式，再利用二次根式性质化简即可，需注意完全平方公式中的a2＋b2在被开方数中被合并，可以通过2ab去判断a、b的值.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册1.2 二次根式的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·上海期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不符合上述条件②，即 ＝2 ，故不是最简二次根式；
B、符合上述条件，故是最简二次根式；
C、不符合上述条件①，即 ＝ ，故不是最简二次根式；
D、不符合上述条件②，即 ＝|x| ，故不是最简二次根式．
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义对选项进行判断即可。
2．（2017八下·高阳期末）下列二次根式不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： = ，
A ，能合并，故本选项错误；
B. ，不能合并，故本选项正确；
C .，能合并，故本选项错误；
D. ，能合并，故本选项错误。
故选B.
3．化简二次根式 的结果是（ ）
A．﹣a B． C．|a| D．a
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式= =|a| ．
故答案为：C
【分析】先分离出被开方数中能开得尽方的因式，再利用二次根式的性质即可获得答案。
4．（2020八上·上海期中）当a<3时，化简 的结果是（ ）
A． 1 B．1 C．7 2a D．2a 7
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a<3
∴a－3＜0，4－a＞0
∴
=
=
=
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质及绝对值的非负性对式子化简即可。
5．（2020八上·杨浦期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A． ，故本选项不符合题意；
B． ，故本选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，不能化简，故本选项不符合题意；
D． ，由 ，可得原式= ，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质和运算，分别判断得到答案即可。
6．（2020八上·社旗月考）设 为实数，且 ，则 的值是（ ）
A．1 B．9 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据题意可得: 解得：
当 时，
故答案为：A.
【分析】由二次根式的非负性可得关于x的不等式组，解这个不等式组可求得x的值，把x的值代入等式计算可求得y的值，然后把x、y的值代入所求代数式计算即可求解.
7．（2020八上·成都期中）估计 的大小应（ ）
A．在2～3之间 B．在3～4之间 C．在4～5之间 D．在5～6之间
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，16＜24＜25，
∴4＜ ＜5，
即4＜ ＜5，
故答案为：C．
【分析】根据题意，由二次根式的性质，估算其范围即可。
8．计算 +|-11|- ，正确的结果是（ ）
A．-11 B．11 C．22 D．-22
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式=11+11-11=11，故选B．
【分析】根据二次根式的性质正确化简二次根式，进行正确的计算是一个基本的要求．
二、填空题
9．（2020八下·曾都期末）将二次根式 化为最简二次根式为 .
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】根据二次根式的性质： 解答.
10．（2020八上·南华月考） = ； = .
【答案】4；72
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=4，
=
=
=8×9
=72
故答案为：4；72.
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.
11．（2020八上·杨浦期中）如图，化简： ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知：a＜-1
∴ ＜0
∴
故答案为： ．
【分析】根据题意可知，a+1＜0，由二次根式的性质，化简得到答案即可。
12．（2020八上·高新期中）当x＝4时，二次根式 的值是 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当 时， ，
故答案为：3．
【分析】根据题意，将x=4代入二次根式，化简得到答案即可。
13．（2020八上·包头期中）已知a为实数，化简 = ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次根式的性质可知， ，
∴
=
=
= ；
故答案为： ．
【分析】由二次根式的性质进行化简，然后进行计算，即可得到答案．
14．（2020八上·新都月考）若 ，则x的取值范围是 ．
【答案】x≤3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，解得x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】根据非负数的性质列出关于x的不等式，求出x的值即可．
15．（2020八上·上海月考）化简： = 。
【答案】2a-2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=+
=（a-1）+（a-1）
=2a-2
【分析】根据题意和二次根式的性质，化简式子得到答案即可。
16．（2020八下·滨海期末）化简： ＝ ， ＝ ， ＝ ．
【答案】3；3；-3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ＝3， ＝3， ＝﹣3．
故答案为：3，3，﹣3．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
三、综合题
17．（2020八上·万州期中）已知 ， 两数在数轴上的表示如图所示，化简： .
【答案】解：根据题意得，
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据数轴上a、b的位置，分别判断出a+2，b-2，a+b的正负性，再根据二次根式的性质化简解题即可。
18．（2020八下·龙湖期末）计算：
【答案】解：原式=
=1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=-3+1+2
=1
【分析】根据二次根式的化简以及运算性质，计算得到答案即可。
19．（2020八上·青神期中）化简求值： ，其中 ．
【答案】解：原式＝
＝
当x＝ 时，原式=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】将各个式子化简为最简二次根式，进行合并，代入a的值求出答案即可。
20．（2020八上·牡丹期中）已知a、b、c满足|a- |+ +(c-4 )2=0
（1）求a、b、c的值：
（2）判断以a、b、c为边的三角形的形状，并说明理由。
【答案】（1）解：根据题意得：a- =0，b-5=0，c-4 =0，
解得：a= ，b=5，c=4
（2）解：以a、b、c为边的三角形是直角三角形，理由如下：
∵a2+b2=( )2+52= 32
c2=(4 )2=32，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据绝对值、偶次幂的非负性以及二次根式的性质，即可得到a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可判断三条边组成的为直角三角形。
21．（2020八上·昌黎期中）大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，1＜ ＜2，于是可用 来表示 的小数部分．请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b﹣ 的值．
【答案】（1）5； ﹣5
（2）解：由题意可知：a＝ ﹣3，b＝5，
所以原式＝ ﹣3+5﹣ ＝2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据题意，即可得到所处的范围，即5=＜＜=6，即可表示出整数部分以及小数部分；
（2）根据题意，即可得到a以及b的值，计算得到代数式的答案即可。
22．（2019八上·惠来期中）先化简，再求值： ，其中 ．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）化简： ；
（3）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）小亮
（2）
（3）∵ ，
∴ ，
则原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴1-a=-1006＜0，
∴ =
=2×1007-1
=2013.
∴小亮的解法是错误的；（2）
【分析】（1）由a=1007知1-a=-1006＜0，从而由 =|1-a|=a-1可得答案；（2）根据二次根式的性质 =|a|可得答案；（3）先根据二次根式的性质化简原式，再代入计算可得．
23．（2019八上·上海月考）观察下列各式及其化简过程:
= = +1
= = -
（1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，填空： = = -1
（2）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将 化简;
（3）针对上述各式反映的规律，写出 = - ( )中m、n与 之间的关系。
【答案】（1）
（2）解： = = = =
（3）解：通过以上规律不难发现：m=a＋b，n=ab.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1） = = = -1，
故填： ；
【分析】观察上述例子可发现，通过把被开方数变成一个完全平方式，再利用二次根式性质化简即可，需注意完全平方公式中的a2＋b2在被开方数中被合并，可以通过2ab去判断a、b的值.
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