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三角函数-----直角三角形中的线段比的另一种表达
夯实基础，稳扎稳打
1.如图所示，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为α，求高度BC的长．
（结果用含α的三角函数表示）
2.如图，广场上空有一个气球A，若BC=30m，∠ABC=α，求气球A离地面的高度AC的长（结果用含α的三角函数表示）
3．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为α，高为h米，求扶梯的长度
4．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂AC=BC=10m，两臂夹角∠ACB=1000,时，求A，B两点间的距离．
5.如图是温州动车站的一个智能通道闸机，扇形ABC和扇形是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC=∠DEF=28°，半径BA=ED=60cm,通道关闭时AD=10cm，则闸机通道的宽度，求BC与EF的距离
6．数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC//OA，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；根据以上信息，求北纬28°纬线的长度．
7．某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形.若∠ACB=1300，AC=BC=1.2m，CD与地面垂直且CD=3m，求灯顶A到地面的高度
8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，求 OC2的值
连续递推，豁然开朗
9．共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）（参考数据： ， ， ， ）
10.图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，OA=2.5米，AD=0.8米，∠AGC＝32°． (1)求∠GAC的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3 米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62）
思维拓展，更上一层
11．（1）用计算器计算并验证sin25°+sin46°与sin71°之间的大小关系：
（2）若α、β、α+β都是锐角，猜想sinα+sinβ与sin（α+β）的大小关系：
（3）请借助如图的图形证明上述猜想．
12．我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形···,边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6，则π≈l6÷2r=3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，求圆周率π的近似值（保留2位小数）
参考答案
1.解：，（米），
2．解：∵,∴，∵，∴
3．解：米，∴米，即扶梯的长度是米．
4．解：连接，作于D，
∵，，∴是边边上的中线，也是的角平分线，
∴，，
在中，，，
∴，∴AD=10sin500 ,AB=20sin500
5．．【详解】过点A作于点M
∴在中，AM=ABsinABM=60sin280cm,∵扇形和扇形是一样的，
∴点D到的距离也等于的长，为60sin280 cm，
∴与的距离为120sin280+10（cm）
6．解：如图，过点O作，垂足为D，
根据题意，∵，∴，
∵在中， ，∴，
∵，∴由垂径定理可知：，
∴以为直径的圆的周长为2π×6400cos280=12800πcos280米
∴北纬28纬线的长度12800πcos280米
7.解：如图，过点E作于点E，过点C作于点M，
所以，四边形是矩形，∴，∵路灯图是轴对称图形，且，∵
在中，又
∴，∴
即灯顶A到地面的高度为
8.解：∵AB=BC=1 ， 在Rt △OAB中， sinα = ∴OB=
∵在Rt△BCO中，OB2+BC2=OC2∴OC2 =( )2+12=
9.解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，
当CN=90cm时，CM=60cm，∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，
∴sin∠ABE=sin70°= ，∴BC≈64cm，∴CE=BC-BE=64-40=24cm
10．（1）解：∵，∴，
∵，∴．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长交于点，
∵，∴，又∵，∴，
在中，，∴，∴该运动员能挂上篮网．
11.解：（1）sin25°+sin46°＞sin71°sin25°+sin46°=0.423+0.719=1.142，sin71°=0.956，
∴sin25°+sin46°＞sin71°；（2）sinα+sinβ＞sin（α+β）；
（3）证明：∵sinα+sinβ=+，sin（α+β）=，
∵OB＞OA，∴＞，∴+＞+=．
∵AB+BC＞AE，∴＞，∴sinα+sinβ＞sin（α+β）
12.解：∵十二边形是正十二边形，∴，
∵于H，又，∴，
∴圆内接正十二边形的周长，∴
Sin150=≈0.2588, π≈12×0.2588=3.11
12.解：∵十二边形是正十二边形，∴，
∵于H，又，∴，
∴圆内接正十二边形的周长，∴
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造直角------求三角函数值
夯实基础，稳扎稳打
1.如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，求cos∠BAC的值
2．如图，圆O是△ABC的外接圆，AD是圆O的直径，若圆O的半径为2.5，AC=3，求cosB的值
3．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在网格中的格点上，求tanB的值．
4.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，求sin∠BAC的值
连续递推，豁然开朗
5．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝．
（1）求∠B的度数和AB的长．（2）求tan∠CDB的值．
如图，在平面直角坐标系中，过格点、、作一圆弧.
(1)画出该圆弧所在圆的圆心;(2)求弧的长(结果保留);(3)连接、，求的值 .
7.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且间距相等，AB=3，BC=2，求tanα的值
8．如图所示，在△ABC中，∠C=900，D为BC上一点，若∠ADC=450，BD=2CD，求tanB和sin∠BAD的值.
.
思维拓展，更上一层
9．如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F.若点F是CD的中点，求tan∠BAP的值.
10．如图，在矩形 ABCD 中， AE⊥BD 于点 E ，交 BC 边于点 F ． AG 平分 ∠DAF 交 BD 于点 G ，并经过 CD 边的中点 H ．
（1）求证：BG=AB ．（2）求 tan ∠HFC的值．
参考答案
1.如图，AC=，AD=4，则cos∠BAC=.
解：连接CD，在△ACD中，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，
又∵AC=3，AD=5，∴CD=4，∴cosD=，又∵∠D=∠B，∴cosD=cosB=，
3．解：取格点D，连接CD，如图，∵AC=，BC=，∴AC= BC，
∵D为A B的中点，∴ CD⊥AB，∵在Rt△BDC中，CD=， BD=， ∴
4.解：如图，延长CO交⊙O于点D，连接BD，
∵CD为⊙O的直径∴∠CBD=90°，∵BC=2，BD=4，∴由勾股定理得CD=，
∴sin∠BDC＝＝＝，∵∠BAC＝∠BDC，∴sin∠BAC＝sin∠BDC＝.
5.（1）解：作CE⊥AB于E，设CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝ ，∴AE＝2x，∴AC＝ x，∴ x＝ ， 解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝2．在Rt△BCE中，∵sinB＝ ，∴∠B＝45°，∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，∴AB＝AE＋BE＝3，答：∠B的度数为45°，AB的值为3
解：∵CD为中线，∴BD＝ AB＝1.5， ∴DE＝BD－ BE＝0.5，∴tan∠CDE＝2.
6.解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）；
（2）弧AC的半径是=，圆心角是90°，则弧AC长是=；
（3） 如图2, 由勾股定理得AE=, AC=，
由正方形的性质和格点的性质可知,AEC=,则C===
7.解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得，GE∥BF，CE=EF，∴△CEG∽△CFB，∴，
∵，∴，∵BC=2，∴GB=1，∵l3∥l4，∴∠α=∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，∴∠ABG=90°，∴，∴tanα的值为
8解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴， ，，∴，
如图，过点D作于点M，
∴，∴， ∴.
9．如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F.若点F是CD的中点，求tan∠BAP的值.
9.解：∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
又∵∠PFC=∠EFD，∠C=∠EDF=90°，∴△EDF≌△PCF(ASA)，∴CP=DE，PF=EF，
设CF=x，BP=y，则CD=2CF=2x，CP=DE=BC-BP=2x-y，∴ ，
，
∵EH垂直平分AP，∴AE=EP，即： ，
整理得： ，即： ，
令 ，则 ，∴ ，
解得： 或 ，
，
∵点P在正方形ABCD的BC边上，∴ ，即： ，
∴取 符合题意，此时 ，
10．如图，在矩形 中， 于点 ，交 边于点 ． 平分 交 于点 ，并经过 边的中点 ．
（1）求证：BG=AB ．（2）求 的值．
11.（1）证明：∵AG平分∠DAF，∴∠DAG=∠EAG，
∵AE⊥BD，∠BAD=90°，∴∠ABE+∠BAE=∠ABE+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，
∴∠AGB=∠DGH=∠ADB+∠DAG=∠BAE+∠EAG=∠BAG，∴BG=AB.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，BC=AD，∴△ABG∽△HDG，
∴，∵H是CD的中点，∴CH=DH=AB，∴BG=2DG，
∵BG=AB，∴BD=AB，∴AD=，
∵∠ABF=∠BAD=90°，∠BAF=∠ADB，∴△ABF∽△DAB，∴，
∴BF=，∴CF=BC-BF=AB，∴tan∠HFC=
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和三角函数有关的计算专项训练（1）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°(即图2中∠ACB＝20°)时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB＝1.5m，木板超出车厢部分AD＝0.5m，请求出木板CD的长度？
(参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m)
2．如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．
3．如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，求观光塔CD的高度.（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈ ，tan53°≈ ）
如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，求竹竿AB与AD的长度之比
连续递推，豁然开朗
5．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，若CF=4，tan∠EFC=，求折痕AE的值．
6．如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=2a，求 PQ的值
7．如图，以O为圆心的圆与反比例函数 的图象交于 两点，已知点B的坐标为 ，求 的长度
8．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y= ，求图象经过点D的反比例函数的解析式．
思维拓展，更上一层
9．如图，在正六边形ABCDEF中，，点O在对角线AD上，，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AF于点M，N．求的长
10．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连接，交于点P，过点P作于点R.若，，求的值
参考答案
1解：由题意可知：AB⊥BC． ∴在Rt△ABC中，sin∠ACB= ， ∴AC= = = ≈4.39， ∴CD=AC+AD=4.39+0.5=4.89≈4.9（m）．
2.解：作AD⊥BC,垂足为D.
设AD= xm，∵∠ABC=45°，∴BD＝AD= xm，∵∠ACB=30°，∴DC＝ ＝ xm，
∵AD+DC=BC ,且BC＝40m，∴ ，解得， ，
3.解：由题意知，∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，
在Rt△CBD中，tan∠DBC= ，∴BC= ≈ ，
在Rt△CAD中，tan∠A= ，即 =tan37°≈ 解得：CD= ≈8.6.
4解：在Rt△ABC中，AB=， 在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=：=，
5．解：∵四边形为矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∵，∴，
∴，即，
∵，∴，设，则，
在中，由勾股定理得，∴，
∴，解得，∴，∴，
在中，由勾股定理得，
6.解：如图，连接AP、BQ，作BH⊥AP于H，
∵AC、BC为直径，∴∠APC=∠BQC=90°，∴四边形BHPQ为矩形，∴PQ=BH，
∵BH∥CP，∴∠ABH=∠C=30°，∴BH=ABcos30°=2a×=a，∴PQ=a.
7.解：过B作BE⊥y轴于E，过A作AF⊥x轴于F，
∵以O为圆心的圆与反比例函数 的图象都是关于y=x直线成轴对称，
∴A、B两点关于y=x对称，∵B ，∴A ，
在Rt△OBE中，BE=1，OE= ，由勾股定理OB= ，
∴tan∠EOB= ，∴∠EOB=30°，
在Rt△OAF中，AF=1，OF= ，∴tan∠AOF= ，∴∠AOF=30°，
∴∠BOA=90°-∠EOB- ∠AOF=90°-30°-30°=30°，∴ ，
8.【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，
∵tan∠ABO=3，∴AO=3OB。 设OB=a，则AO=3a，
∵∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE， ∴∠OAB=∠CBE，
又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°， ∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），
∴CE=OB=a，BE=AO=3a，
∴OE=BE-BO=3a-a=2a，
∴点C（a，2a），
∵点C在反比例函数y=图象上，
∴2a2=1，解得a1=，a2=-（舍去），
∴CE=OB=，BE=AO=，
同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），
∴DF=AO=，AF=BO=，
∴FO=，
∴D（-，），
设经过D点的反比例函数解析式为y=（d≠0），
∴d=-×=-3，
∴y=-.
9.解：连接OM、ON，过点B作BH⊥AO，垂足为H，
在正六边形ABCDEF中 ，∠BAF=120°，∴∠OAB=∠OAF=60°，
∵， ∴∠BOA=∠AOF=45°，∴∠ABO=∠AFO=180°-60°-45°=75°，
∵OB=OM=OF=ON，∴∠MBO=∠BMO=∠ONF=∠OFN=75°，
∴∠BOM=∠NOF=30°，∴MON=∠BOF-∠BOM-∠NOF=30°，
在Rt△ABH中，∠HAB=60°，AB=BC=2，∴BH=AB=，
在Rt△OBH中，∠BOA=45°，∴OM=BH=，∴的长=；
10.解：如图，过点E作交的延长线于点T，设与交于点Q，
四边形是正方形，是直角三角形，，，
，，，，
，，设，，则，
，，，
由勾股定理得，，即，
，解得，，，
， ，
，四边形是正方形，，，
，，
，
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1．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
2.如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），求ABC的面积的最大值。（结果用含θ的三角函数表示））
3.如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是CD上一点，∠FBE＝45°，
求tan∠FEB的值．
4．飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）．五颗同轨道同步卫星，其位置，，，，，如图2所示．是它们的运行轨道，弧度数为，点到点和点的距离相等，于，交于，交于，连结，，已知一架飞机从飞到的直线距离为4千公里，求（1）轨道的半径，（2）当时，求线段，的长度之和
参考答案
1．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
1.解：当n=1，则a+b＞c；当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，证明如下：∵sinA=，cosA=，而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即+＜1，∴an+bn＜cn．
2．解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，∵A'D⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，sinθ= ，cosθ=，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，∴BC=2BD=2sinθ，A'D=A'O+OD=1+cosθ，
∴S△A'BC=AD BC= 2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．
3.【解答】∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
把△BAF绕点B顺时针旋转90°得到△BCG，如图，
∴∠BCG＝∠BAF＝90°，∠FBG＝∠ABC＝90°，AF＝CG，∴点G、C、E共线，
∵∠EBF＝45°，∴∠GBE＝45°，BG＝BF，
在△BEF和△BGE中， ，∴△BEF≌△BGE（SAS），
∴∠FEB＝∠GEB，设正方形的边长为2a，CE＝x，则AF＝DF＝a，CG＝AF＝a，DF＝2a﹣x，EF＝EG＝x+a，
在Rt△DEF中，∵DF2+DE2＝EF2，∴a2+（2a﹣x）2＝（x+a）2，解得x＝ a，
在Rt△BCE中，tan∠CEB＝ ，∴tan∠FEB＝3．
4解：连接BC，AB，OA，OB，OC，MN，AC，AC与OB的交点记为点P，
∵点B到点C和点A的距离相等，∴BC=AB，∴，∴∠AOB=∠BOC
∵弧AC度数为120°，∴∠AOB=∠BOC=60°，∠AOC=120°，
∵OA=OB=OC，∴△COB和△AOB都是等边三角形，∴OC＝BC＝BA＝OA，
∴四边形OCBA为菱形，
∴AC⊥OB，∠BCP＝∠BAP＝30°，OP＝BP，CP＝AP，
∵，∴∠CDA＝∠AEH＝60°．
∵BC＝BA，∴∠CDB＝∠ADB＝30°，
∵BD⊥CE，∴∠DHC＝60°＝∠AHE，∴△HDC，△AHE为等边三角形，
∴CM＝MH， 同理可证∠AEB＝∠CEB＝30°，则∠HNE＝90°，
∴HN＝AN，∴MN是△AHC的中位线，
∴AC＝2MN＝8，∴CP＝AP＝4，
在Rt△BCP中，∠BCP=30°，∴即，
解之：，∴OB=2BP=；
过C作CQ⊥AD于Q， 设CM＝HM＝x，HN＝AN＝y，则HE=2y，DH=2x，
在Rt△BME中，， 在Rt△BDN中，，
∴，
∴，
∵BE：BD=5：7，∴ 解之：x=3y，
同理，
在Rt△ACQ中 CQ2+AQ2=AC2，∴，∴ 解之：（取正）∴x=
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