(共32张PPT)
4.1.3 黄金分割
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.知道黄金分割的定义，会找一条线段的黄金分割点，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
2.通过找一条线段的黄金分割点，培养理解与动手能力.
3.理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，认识教学与人类生活的密切联系.
复习回顾
【思考】
1.你还记得怎样判断四个数成比例吗？
如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。
2.什么是成比例线段？
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段.
新知讲解
已知 算一算，b2=ac成立吗
∴b2=ac成立
a，b，b，c这四个数成比例吗
新知讲解
a，b，b，c这四个数成比例吗
a：b=b：c
∴a，b，b，c这四个数成比例.
新知讲解
比例中项
一般地，如果三个数a，b，c满足比例式 (或a：b=b：c)，则b就叫做a，c的比例中项.
b2=ac
新知讲解
【做一做】
1. 1是不是 的比例中项？如果是比例中项，请写出相应的比例式.
∴1是 的比例中项.
新知讲解
【做一做】
2.已知线段a=3，b=27，求a，b的比例中项线段.
解：设比例中项为c，则c2=ab=3×27，
∴c=±9，∵c>0，∴c=9，
即a、b的比例中项线段为9.
新知讲解
下图是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.
画面中脸部被围在矩形ABCD内，图中四边形BCEF 为正方形.
量一量点F到点A，B的距离. 相等吗
新知讲解
B
P
A
如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>PB，
且 ，那么称线段AB被点P黄金分割.
点 P叫做线段 AB 的黄金分割点，所分成的较长一条线段 AP 与整条线段 AB 的比叫做黄金比.
新知讲解
例如，下图中， ,它们都是黄金比，又因为BC=BF，所以矩形ABCD的宽与长之比也是黄金比.
新知讲解
应用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值.
新知讲解
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和图案设计等方面.
有趣的是，在自然界中也有很多黄金分割的例子，例如，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度之比接近黄金比的近似值0.618.
图中所示的框住古希腊神庙图形的长方形，它的宽与长之比就等于黄金比.
新知讲解
【例5】如图，已知线段 AB= ，点P是它的黄金分割点，
AP>PB. 分别求AP，BP的长.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，若a＝4，b＝9，
则c＝( )
A．4 B．6 C．9 D．36
B
2.已知x是1和4的比例中项，则x的值为( )．
A．±3
B．±2
C．2
D．1
课堂练习
B
课堂练习
3.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约是0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108 cm，则小凡的身高约为( ) .
A．155 cm
B．165 cm
C．175 cm
D．185 cm
C
课堂练习
4.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”(黄金比的近似值0.618)．如图，P为AB的黄金分割点(AP>BP)，如果AB的长度为10 cm，那么较长线段AP的长度为________cm.
6.18
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
C
课堂练习
C
课堂练习
【综合实践类作业】
7. 黄金分割比例是使矩形最具美感的比例，即矩形的宽与长之比为
，这样的矩形被称为黄金矩形，如古希腊的帕特农神庙其立面就接近于黄金矩形，小华想设计一张版面为黄金矩形的海报，已知海报的宽为(20+ )cm，则海报的长应设计为多少cm
课堂练习
【综合实践类作业】
解：设海报的长应设计为 x cm，
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.一般地，如果三个数a，b，c满足比例式 (或a：b=b：c)，则b就叫做a，c的比例中项.
b2=ac
2.如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>PB，且 ，那么称线段AB被点P黄金分割.
板书设计
课题：4.1.3 黄金分割
教师板演区
学生展示区
一、比例中项
二、黄金分割
三、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身6的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为( ) .
A.1.24米 B.1.38米
C.1.42米 D.1.62米
A
作业布置
2.我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于( ).
A. B.
C. D.
A
作业布置
选做题：
B
作业布置
选做题：
4.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC .若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD=AB)、宽为AC的矩形的
面积，则S1与S2的大小关系为( ).
A.S1=S2
B.S1>S2
C.S1D.无法确定
A
作业布置
【综合实践类作业】
5.(1)已知a=4.5，b=2，c是a，b的比例中项，求c；
(2)如图，C是AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=4，求AC的长.
解：（1）∵a=4.5，b=2，c是a，b的比例中项，
∴c2=ab=9，∴c=±3;
（2）∵C是AB的黄金分割点，且AC>BC,
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第四章
课标要求 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6.了解三角形中心的概念 7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 8.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 相似图形是指两个在外形、大小方面具有某种关系的图形，它以全等三角形和相似变换为根底，是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化，它是空间与图形范围中的首要内容，对前后各部分常识起到纽带的作用。本章内容主要包含比例线段，相似三角形，相似三角形的性质及其应用，相似多边形，图形的位似等。这些内容是以比例线段为根底，以相似三角形为中心展开并探究的，并且在物理学、工程设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似三角形的知识，相似三角形有关知识的考查在中考中也占有重要地位，因此学好相似三角形既是进一步学习的需要，也是工作实践的需要。
学情分析 九年级学生已经具有自主学习意识，由于七年级时学过全等三角形，学生在学习过程中容易将全等三角形的定义和相似三角形的定义混在一起，学习时应强调对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。在学习过程中，对应角和对应边这个概念容易出错，作为教师应该耐心说明。在记两个三角形相似时，跟记两个三角形全等一样，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上，这样就比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。
单元目标 （一）教学目标 1.理解比例的基本性质，会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形。 2.了解线段比和成比例线段的概念 理解比例中项的概念。 3.了解相似三角形的概念，探索两个三角形相似的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，会在简单情况下判定两个三角形相似。 4.了解相似三角形的对应角相等，对应边成比例，了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.了解相似多边形的概念，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 6.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。 （二）教学重点、难点 重点： 1.理解比例的基本性质。 2.了解相似三角形的概念，掌握两个三角形相似的判定定理。 3.了解相似三角形的性质。 4.了解相似多边形的概念和图形的位似。 难点： 1.会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形，掌握基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截，所得对应线段成比例。 2.了解黄金分割，会进行有关黄金分割的简单计算。 3.会判定两个三角形相似。 4.了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1比例线段34.2由平行线截得的比例线段14.3相似三角形14.4两个三角形相似的判定34.5相似三角形的性质及其应用34.6相似多边形14.7图形的位似1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 比例线段31.掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.能灵活运用比例的基本性质进行比例式的变形。培养用方程的观点解决问题的思想方法和思维习惯。理解掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质进行简单应用。1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比。 2.理解成比例线段的概念，掌握成比例线段的判定方法。1．会求两条线段的比。 2.会判断几条线段是否成比例。从丰富的实例入手,引导学生进行观察、发现和概括，在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知识。1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比。 2.能对黄金分割进行简单运用。体会数形结合思想在解决数学问题中的作用，在现实情境中体会黄金分割的文化价值，感受数学之美。通过一些具体的例子让学生感受黄金分割的作用，并通过作图让学生感受到黄金分割点的存在。由平行线截得的比例线段1 1.探究基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。 2.能应用定理证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 2.通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 利用换线段、换中间比及分析法探求解题思路方法，培养学生分解根本图形的能力，并利用特殊形式研究问题的方法。 相似三角形1 1.理解掌握相似三角形的定义。 2.掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念。1.了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2.根据相似三角形的定义，得到相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 本节的重点与难点是相似三角形的定义，解决这一难点的关键是正确理解相似三角形的定义，区分全等形与相似形的相同点不同点。 两个三角形相似的判定3 1.掌握三角形相似的判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似。 2.学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题，解决问题的能力。 经历过探索全等三角形判定，通过类比得到相似三角形的判定方法。 掌握判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似，会运用判定定理判定两个三角形相似。1.掌握三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。1.掌握判定方法2，会运用判定方法判定两个三角形相似. 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。通过画图、度量等操作，经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程。1.复习已经学过的三角形相似的两个判定定理。 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。1.掌握三角形相似的第3个判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。类似于判定三角形全等的SSS 方法，探索通过三边关系来判定两个三角形相似。 相似三角形的性质及其应用31.进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理。 2.掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，进一步培养学生类比的教学思想。 掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 2.运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。通过画图，探索相似三角形的周长与面积的性质。能够运用相似三角形的周长与面积的性质解决相关问题，1.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2.进一步检验数学的应用价值.运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系解决实际问题。 相似多边形11.通过图形的收集、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用语言叙述。 2.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能依据相似解决相似多边形的边角问题。 1.类比相似三角形的概念得出相似多边形的概念及表示方法。 2.掌握相似多边形的周长、面积的性质。通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形的定义和相似比。 图形的位似11.理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。 2.会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。经历位似图形性质的探索过程，发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。通过画图一一观察一一操作一一思考的活动过程，认识位似图形。
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4.1.3 黄金分割 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是浙教版九年级上册第4章第1节的第3课时，黄金分割无处不在，建筑、绘画、摄影、人体美学中有它的影子。数学史上，黄金分割与勾股定理被称为“几何双宝”。它不仅是线段的比的延续，还与几何有着千丝万缕的联系。探究黄金分割，不仅可以进一步培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，更能促进审美意识的发展。因此，黄金分割是整个初中数学教材中与生活联系最密切、最富有美感、最耐人寻味的内容。
学习者分析 本课内容面对的是九年级学生，根据初中生的数学能力以及学习特点，在了解了黄金分割的基础上，研究其中带来的其他数学问题，体会数学内部的联系。在整个教学过程中教师引导、鼓励学生自主提出问题、思考问题、探索研究问题最后解决问题.
教学目标 1.知道黄金分割的定义，会找一条线段的黄金分割点，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。2.通过找一条线段的黄金分割点，培养理解与动手能力。3.理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，认识教学与人类生活的密切联系。
教学重点 了解黄金分割的定义，会找一条线段的黄金分割点。
教学难点 通过学习，会利用黄金分割解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾教师活动1：教师出示问题：1.你还记得怎样判断四个数成比例吗？如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。2.什么是成比例线段？四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段.学生活动1：学生复习上节课学习的知识，回答教师提出的问题。活动意图说明：通过复习，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究比例中项教师活动2：已知 算一算，b2=ac成立吗 ∴b2=ac成立a，b，b，c这四个数成比例吗 a：b=b：c∴a，b，b，c这四个数成比例.比例中项一般地，如果三个数a，b，c满足比例式 (或a：b=b：c)，则b就叫做a，c的比例中项.b2=ac【做一做】1. 1是不是的比例中项？如果是比例中项，请写出相应的比例式. ∴1是 的比例中项.2.已知线段a=3，b=27，求a，b的比例中项线段.解：设比例中项为c，则c2=ab=3×27，∴c=±9，∵c>0，∴c=9，即a、b的比例中项线段为9.学生活动2：学生根据已有知识计算b2=ac是否成立。学生总结规律。学生在教师的引导下总结比例中项的定义。学生根据所学知识完成课本做一做练习题。活动意图说明：学生在教师引导下探索比例中项的定义，并能根据所学知识完成练习题，既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。环节三：探究黄金分割教师活动3：教师出示图片：下图是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画面中脸部被围在矩形ABCD内，图中四边形BCEF 为正方形.量一量点F到点A，B的距离.相等吗 如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>PB，且，那么称线段AB被点P黄金分割.点 P叫做线段 AB 的黄金分割点，所分成的较长一条线段 AP 与整条线段 AB 的比叫做黄金比.例如，蒙娜丽莎图中， ,它们都是黄金比，又因为BC=BF，所以矩形ABCD的宽与长之比也是黄金比.应用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值.历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和图案设计等方面.图中所示的框住古希腊神庙图形的长方形，它的宽与长之比就等于黄金比.有趣的是，在自然界中也有很多黄金分割的例子，例如，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度之比接近黄金比的近似值0.618.【例5】如图，已知线段 AB= ，点P是它的黄金分割点，AP>PB. 分别求AP，BP的长.学生活动3：学生根据教师出示的图片思考问题。学生在教师的引导下总结黄金分割的定义。师生探究黄金比。师生共同完成求黄金比的数值.教师举例，让学生了解黄金分割是现实生活中广泛存在的。学生完成课本例题。活动意图说明：通过多媒体直观的演示，学生能够直观具体的体会数学知识与现实生活之间的联系与区别，通过例题，能提高学生解决问题的兴趣，又能培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：4.1.3 黄金分割一、比例中项二、黄金分割三、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，若a＝4，b＝9，则c＝( B ) A．4 B．6 C．9 D．362.已知x是1和4的比例中项，则x的值为( B )．A．±3 B．±2 C．2 D．13.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约是0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108 cm，则小凡的身高约为( C ) .A．155 cm B．165 cm C．175 cm D．185 cm4.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”(黄金比的近似值0.618)．如图，P为AB的黄金分割点(AP>BP)，如果AB的长度为10 cm，那么较长线段AP的长度为___6.18_____cm.选做题：5.已知线段a＝6 cm，线段b＝8 cm，则线段a，b的比例中项是( C ) A．7 cm B．±4 cmC．4 cm D．3 cm6.线段MN长1 cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是( C ) A.cm B.cmC.cm或cm D. cm【综合实践类作业】7.黄金分割比例是使矩形最具美感的比例，即矩形的宽与长之比为 ，这样的矩形被称为黄金矩形，如古希腊的帕特农神庙其立面就接近于黄金矩形，小华想设计一张版面为黄金矩形的海报，已知海报的宽为(20+)cm，则海报的长应设计为多少cm 解：设海报的长应设计为 x cm，
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身6的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为( A ) A.1.24米 B.1.38米C.1.42米 D.1.62米2.我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于( A ).A. B. C. D.3.黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算－1的值( B )A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间4.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC .若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD=AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为( A ).A.S1=S2B.S1>S2C.S1BC，AB=4，求AC的长.解：（1）∵a=4.5，b=2，c是a，b的比例中项，∴c2=ab=9，∴c=±3;（2）∵C是AB的黄金分割点，且AC>BC,
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？1.比例中项一般地，如果三个数a，b，c满足比例式(或a：b=b：c)，则b就叫做a，c的比例中项.b2=ac2.如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>PB，且，那么称线段AB被点P黄金分割.
教学反思 本节课在教学上，除选用书上的素材外，还充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，体现数学丰富的文化价值。同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识。
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