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放回与不放回专项训练
夯实基础，稳扎稳打
1.一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．求两次摸出的球颜色相同的概率
2.不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球（不放回），求摸出1个红球1个黑球的概率．
3.现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，求点P（m，n）在第二象限的概率
4.现有四张完全相同的卡片，在正面分别标有数字0，﹣9，﹣3，8，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，求这两张卡片上的数字的积恰好是0的概率
连续递推，豁然开朗
5.从﹣2、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，求该点在坐标轴上的概率
6.四张小卡片上分别写有数字 1，2，3，4，它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．(1)随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字 3的概率；(2)随机地从盒子里抽取一张，将数字记为 x，不放回再抽取第二张，将数字记为y.请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出点(x，y)在函数y＝图象上的概率．
．
7．广东省2021年高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，求她在“2”中选地理、生物的概率
8．合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图2－2－5所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，求学生B坐在2号座位的概率．
思维拓展，更上一层
9．有三把不同的锁和四把钥匙，其中三把钥匙分别能打开这三把锁，第四把钥匙不能打开这三把锁．求随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率
10.班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，求A，B两位同学座位相邻的概率
11．我市长途客运站每天6：30﹣7：30开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析谁乘坐优等车的可能性大？为什么？
12．一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．
参考答案
1.解：根据题意画图如下：
所有可能的结果有9种，两次摸出颜色相同球的结果有5种；
则两次摸出的球颜色相同的概率是；
2.解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，
∴摸出1个红球1个黑球的概率为，
3.解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为2，
所以点P（m，n）在第二象限的概率；
4.解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字的积恰好是0的结果有6种，
∴这两张卡片上的数字的积恰好是0的概率是，
5.解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4个，
∴该点在坐标轴上的概率为，
5.解：(1)P(抽到数字3)＝.
(2)解法一：画树状图
由树状图可知，共有12种机会均等的情况，其中满足点(x，y)在函数y＝图象上的情况有2种，∴P(点在函数y＝的图象上)＝＝.
解法二：列表
y结果x 1 2 3 4
1 (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3)
由列表可知，共有12种机会均等的情况，其中满足点(x，y)在函数y＝图象上的情况有2种，∴P(点在函数y＝的图象上)＝＝.
．7．【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有12种等可能的结果数，其中选中“地理、生物”的有2种，
她在“2”中选地理、生物的概率是，
8[解析]根据题意得∶
所有可能的结果有6种，其中学生B坐在2号座位的情况有2种，则P＝.
9.解：设三把锁为A、B、C，相应的钥匙为a、b、c，第四把钥匙为d，
列树状图如下：
共12种等可能结果，一次打开锁的情况有3种，
∴概率=，
10.解：画树状图为：
4个A中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中A，B两位同学座位相邻的结果数为12，
故A，B两位同学座位相邻的概率是．
11.解：（1）三辆车按开来的先后顺序为：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；差、中、优，共6种可能．
（2）根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表：
顺序 优，中，差 优，差，中 中，优，差 中，差，优 差，优，中 差，中，优
小张 优 优 中 中 差 差
小王 差 中 优 优 优 中
由表格可知：小张乘坐优等车的概率是，而小王乘坐优等车的概率是．
所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大．
12．解: （1）列树状图如下:
共有种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有个，
所以小新顺利通过第一关的概率为
（2）建议小明在第二题使用“求助卡”，
若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下:
此时小新顺利通过第一关的概率为
因为，
所以建议小新在第二题使用“求助卡”
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和概率有关的计算专项训练
夯实基础，稳扎稳打
1．从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，求甲被选中的概率
2.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，求P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率
3.有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）求从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
4（1）从－1，1，2三个数 ( http: / / www.21cnjy.com )中任取一个，作为一次函数y = kx + 3的k值，求所得一次函数中y随x的增大而增大的概率
（2）.在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，求所得的代数式为完全平方式的概率
连续递推，豁然开朗
5．一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，犹如点亮一座灯塔，撒播一抔种子、开凿一眼清泉．如今，全民阅读已蔚然成风，氤氲书香正飘满中国，听总书记分享他的读书故事，一起感语读书之美，不负韶华梦，读书正当时！某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动．
(1)小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，求他选中《红楼梦》的概率
(2)该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率．
6. 在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机地取出一颗棋子，如果它是黑色棋子的概率为，写出x与y之间的关系式．如果往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为，求x和y的值．
7、如图，⊙O与正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D各边相切，若随机向正方形内投一粒米（将米粒看成一个点），求米粒落在阴影部分的概率．
( http: / / www.21cnjy.com / )
平面上有3个点的坐标：，， 在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线上又在抛物线上上的概率是多少？
从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线上的概率．
思维拓展，更上一层
9．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，求恰好能使得△ABC的面积为1的概率
10.爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字﹣1，0，1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为q值，两次结果记为（p，q）．
（1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p，q）所有可能出现的结果；
（2）求满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率．
11.设ai≠0(i＝1，2，…，2 012)，且满足＋＋…＋＝1 968，求直线y＝aix＋i(i＝1，2，…，2 012)的图象经过第一、二、四象限的概率．
12、如图1，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，与直线交于A、D两点．（1）直接写出A、C两点坐标和直线AD的解析式；
（2）如图2，质地均匀的正 ( http: / / www.21cnjy.com )四面体骰子的各个面上依次标有数字－1，1，3，4．随机投掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m记做P点的横坐标，第二次着地一面的数字n记做P点的纵坐标，则点P（m，n）落在图1中抛物线与直线围成区域内的（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？
参考答案
1.解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，则甲被选中的概率为．
2.解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个，
∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是，
3.解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；
（2）游戏不公平，理由如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即（A，C）（C，A）
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝＝≠，∴游戏不公平．
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．
4.解：（1）P（y随x增大而增大）=．．
（2）. 【解析】m2□6m□9一共有四中情况，m2+6m+9 ，m2-6m+9 这两种是完全平方式，m2+6m-9 ，m2+6m-9 这两种不是 ，代数式为为完全平方式的概率=.
5．（1）解：∵共有4部名著，∴随机选择1部为《红楼梦》的概率为．
（2）
共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种，∴《红楼梦》被选中的概率为
6.解：∵从盒中随机地取出一颗棋子是黑色棋子的概率是，∴＝，整理得y＝x.
如果往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为，∴＝，
解关于x，y的方程组得
7、解：设圆O的半径为a，则正方形ABCD的边长为2a．
由题意可得，阴影部分的面积=正方形的面积-圆的面积=（2a）2-πa2=4a2-πa2=（4-π）a2，
∴米粒落在阴影部分的概率是＝．
8．【详解】当时,,,则A点在直线和抛物线上,
当时,,，,则B点在直线和抛物线上,
当时,,,则C点在直线上,不在抛物线上,
在A,B，,C三个点中任取一个点,这个点既在直线上又在抛物线上上的概率,
画树状图为:
共有6种等可能的结果数,其中两点都落在抛物线上的结果数为2,
所以两点都落在抛物线上的概率.
9．解：如图所示，点C所放在格点上的位置共有16种可能，而能使△ABC的面积为1的点共有如图4种可能，
故恰好使△ABC的面积为1的概率为：.
10.解：（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）方程x2+px+q＝0有实数解，即△＝p2﹣4q＞0的结果有6种，
∴满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率为＝．
11.【解析】 ∵ai≠0(i＝1，2，…，2 012)满足＋＋＋…＋＝1 968，∴ai中有22个是负数，1 990个是正数．∵ai＜0时，直线y＝aix＋i(i＝1，2，…，2 012)的图象经过第一、二、四象限，∴使直线y＝aix＋i(i＝1，2，…，2 012)的图象经过第一、二、四象限的ai的概率是＝.
12、
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