浙教版数学九年级（上）单元学习指导与练习讲练册第4章 相似三角形
一、例题精选——例1
1．如图4-1所示，D为△ABC的边AB上一点，E是AC上的一点.若以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，且AB=8，AC=6，AD=4，求AE的长.
【答案】解：情况一：如图4-2所示，当DE∥BC时，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴AE=3；
情况二：如图4-3所示，当DE不平行于BC时，△ADE∽△ACB，
∴，即，
解得.
综上AE的长为：3或.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【思路点拨】△ADE与△ABC有一个公共角∠A，若△ADE与△ABC相似，则夹这个角的两边对应成比例，有两种情况，如图4-2、图4-3所示.
【反思】本题运用“两边对应成比例及其夹角对应相等”的判定方法，需考虑两边对应的不同情况，渗透了分类讨论的思想.要认真总结这两个图形.不题的实质也可归结为“两个角对应相等的两个三角形相似”.
二、【变式】
2．如图4-4所示，在Rt中，为斜边AB上一点.过点作直线截.若截得的三角形与相似，则这样的直线最多有（ ）.
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt △ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC 的垂线，共3条直线.
故答案为：C.
【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以.
三、例2
3．如图4-5所示，在中，是AB的中点，DE交对角线AC于点.若的面积为1，则的面积为 .
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AEG∽△CDG，
【思路点拨】采用间接法，将△ADC分割成△ADG与△CDG两部分，只要求出△ADG与△CDG的面积即可.
【反思】解此类问题时，运用了“相似三角形的面积比等于相似比的平方”以及“高相等时面积比等于底边的比”等知识.
四、【变式】
4．如图4-6所示，在 ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F.若的面积为15，则的面积为 .
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴，
∴，，
∴设S△BEF=2x，则S△ABF=3x，S△ADF=4.5x，
∵S△ABF+S△ADF=S△ABD=15，
∴3x+4.5x=15，
x=2，
∴△BEF的面积为4.
故答案为：4.
【分析】由四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AD=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADF∽△EBF，由“相似三角形的面积比等于相似比的平方”得，由“高相等时面积比等于底边的比”得，设S△BEF=2x，则S△ABF=3x，S△ADF=4.5x，进而根据S△ABF+S△ADF=S△ABD建立方程，求解可得答案.
五、例3
5．如图4-7所示，等腰三角形ABC的顶角是的平分线，判断是不是线段AC的黄金分割点，并说明理由.
【答案】解：点D是线段AC的黄金分割点，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴∠2=∠4，∠BDC=∠C=72°，
∴AD=BD=BC，
∵∠1=∠2，∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴D是线段AC的黄金分割点.
【知识点】等腰三角形的性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【思路点拨】因为△ABC是等腰三角形，所以∠ABC=72°，由BD为∠ABC的平分线可得∠ABD=36°，所以∠A=∠ABD，所以△ABD是等腰三角形；同理，∠DBC=36°，∠BDC=∠DCB=72°，故△BDC是等腰三角形，所以AD=BD=BC，而且△ABC∽△BCD，所以，所以D是线段AC的黄金分割点.
【反思】黄金三角形有两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°，这种三角形既美观又标准，这样的三角形的底长与一腰之长的比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为，顶角为，这样的三角形的一腰之长与底长的比为黄金比.
六、【变式】
6．如图4-8所示，等腰三角形ABC的底角是底边BC上的点，且.请判断是不是线段BC的黄金分割点，并说明理由.
【答案】解：点D是线段BC的黄金分割点，理由如下：
∵等腰三角形ABC的底角∠B=36°，
∴∠B=∠C=36°，AB=AC，∠BAC=108°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD=36°，
∴∠C=∠BAD，∠CDA=∠B+∠BAD=72°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=72°，
∴∠CDA=∠CAD=72°，
∴AC=CD，
∴CD=AB，
∵∠C=∠BAD，∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴CD2=BD×BC，即点D是线段BC的黄金分割点.
【知识点】等腰三角形的性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；根据等腰三角形的性质可以推出∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD=72°，由等角对等边得AC=CD，则CD=AB，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABD∽△CBA，由相似三角形对应边成比例得，即，据此即可得出答案.
七、单元巩固——选择题
7．下列图形中，不属于位似图形的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：A、属于位似图形，故此选项不符合题意；
B、属于位似图形，故此选项不符合题意；
C、属于位似图形，故此选项不符合题意；
D、不属于位似图形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】位似的两个图形，不仅仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边平行，据此逐项判断得出答案.
8．（2020九上·槐荫期末）已知 = ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】∵ = ，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】根据 = ，计算求解即可。
9．如图所示，是的边AC上一点，连结BP.下列条件中，不能判定的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵ ，∠BAP=∠CAB，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、 和∠BAP=∠CAB，不能判断△ABP与△ACB相似，故此选项符合题意；
C、∵∠ABP=∠C，∠BAP=∠CAB，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、∵∠APB=∠ABC，∠BAP=∠CAB，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据两边对应成比例及其夹角对应相等的两个三角形相似可判断A、B选项；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断C、D选项.
10．如图所示，在中，点D，E分别是AB，AC的中点，若的面积是，则四边形BDEC的面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ABC=4S△ADE=12cm2，
∴四边形BDECDE的面积=S△ABC-S△ADE=12-3=9cm2.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线定理得DE∥BC，DE=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方可求出△ABC的面积，进而根据四边形BDECDE的面积=S△ABC-S△ADE可算出答案.
11．如图所示，树AB在路灯的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯的水平距离，则树的高度AB是（ ）.
A．2m B．3m C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得AB∥PO，CP=CA+AP=7.5m，
∴△ABC∽△POC，
∴，即，
解得AB=2m.
故答案为：A.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABC∽△POC，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AB的长.
12．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点，若，则DF等于（ ）.
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴AD∥BC，CE=BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∴，
∴DF=8.
故答案为：D.
【分析】由正方形的性质得AD∥BC，CE=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似可得△ADF∽△CEF，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出DF的长.
13．如图甲所示，长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高度为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图乙是此时的示意图，则图乙中水面高度为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得：AB=CE，BC=AE=8，∠BCE=∠E=90°，DC∥BG，过点C作CF⊥BG于点F，
∴∠DCF=90°，
设DE=x，则AD=8-x，
，
解得x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，由勾股定理得：，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DEC=∠BCF=90°-∠BCD，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴，即，
∴.
故答案为：A.
【分析】设DE=x，则AD=8-x，根据容器内水的体积不变建立方程可求出x的值，得出DE的长，在Rt△ECD中，利用光杆司令算出CD的长，然后根据同角的余角相等得∠DEC=∠BCF，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△CDE∽△CBF，最后根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出CF的长.
14．（2018·邵阳）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD，则CD的长度是（ ）
A．2 B．1 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD，
∴C（1，2），则CD的长度是2，
故答案为：A．
【分析】根据位似图形的性质及点A的坐标，可求出点C的坐标，就可求出CD的长。
15．如图所示，D，E分别是的边AB，BC上的点，.若：，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解∵S△BDE∶S△CDE=1∶3，
∴BE∶EC=1∶3，
∴BE∶BC=1∶4；
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴.
故答案为：D.
【分析】由同高三角形的面积之比等于底之比可得BE∶EC=1∶3，即BE∶BC=1∶4；由平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△BDE∽△BAC，△DEO∽△CAO，进而根据相似三角形对应边成比例及相似三角形面积的比等于相似比可得答案.
16．如图甲所示，在矩形ABCD中，动点从点出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动.过点作，交CD于点.设点的运动路程为，图乙是与之间函数关系的大致图象.当点在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（ ）.
A． B．5 C．6 D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由乙图可得AB长为；
当点E在BC上时，如图，
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠CFE=∠AEB，
在△CFE和△BEA中，∠CFE=∠AEB，∠C=∠B=90°，
∴△CFE∽△BEA，
由二次函数的对称性可得当点E在BC中点时，CF又最大值，此时，
∵BE=CE=x-，即，
∴，
当时，可得，
解得x1=（舍），x2=，
∴BE=CE=1，
∴BC=2，
∴矩形ABCD的面积为：.
故答案为：B.
【分析】由乙图易得AB长为；由同角的余角相等得∠CFE=∠AEB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△CFE∽△BEA，由二次函数的对称性可得当点E在BC中点时，CF又最大值，此时，据此建立方程可得出y关于x的函数解析式，进而将代入算出对应的x的值，可得BC的长，最后根据矩形面积计算公式计算可得答案.
八、填空题
17．如图所示，点在的边AC上，若要使与相似，可添加的一个条件是 .(只需写出一个)
【答案】(答案不 一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB；
△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠ABC时，△ABD∽△ACB；
△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当时，△ABD∽△ACB；
故答案为：∠ABD=∠C(答案不 一).
【分析】由于△ABD与△ACB中，已经具有∠BAD=∠CAB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得可以随便再添加一组角对应相等即可；根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可以添加，据此即可得出答案.
18．（2020·绍兴模拟）已知a=4，b=9，c是a，b的比例中项，则c=
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】由题意得
将a=4，b=9代入可得
经检验，当 时， ，所以根成立
故答案为： ．
【分析】根据比例中项的概念，可得c2=ab，然后代入数据计算即可.
19．两个相似多边形的面积比为25：9，其中一个多边形的周长为45，则另一个多边形的周长为 .
【答案】75或27
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：分类讨论：当周长为45的多边形是较大多边形时，设另一个多边形的周长为x，则，解得x=27，即另一个多边形的周长为27；
当周长为45的多边形是较小多边形时，设另一个多边形的周长为x，则，解得x=75，即另一个多边形的周长为75，综上可得该多边形的周长为75或27.
故答案为：75或27.
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，分两种情况建立方程，求解可得答案.
20．如图所示，在中，是AB边的中点，是BC边上一个动点，当 时，与相似.
【答案】1或4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=4，点P是AB的中点，
∴AP=BP=2，
在△BPQ与△BAC中，
∵∠PBQ=∠CBA，
∴当时，△BPQ∽△BCA，
∴，
∴BQ=1；
在△BPQ与△BAC中，
∵∠PBQ=∠CBA，
∴当时，△BPQ∽△BAC，
∴，
∴BQ=4，
综上BQ的长为：1或4.
故答案为：1或4.
【分析】由中点定义得AP=BP=2，在△BPQ与△BAC中，由于∠PBQ=∠CBA，故当时，△BPQ∽△BCA，当时，△BPQ∽△BAC，据此分别建立方程可求出BQ的长.
21．如图所示，AB是半圆的直径，半径于点O，D为半圆上一点，与OC相交于点，连结CD，BD，有以下三个结论：①OD平分；②；③.其中正确的是 .
【答案】①②③
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵OC⊥AB，
∴∠BOC=∠AOC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
∵AC∥OD，
∴∠BOD=∠CAO，∠DOC=∠ACO，
∴∠BOD=∠COD，
∴OD平分∠COB，故①正确；
②∵∠BOD=∠DOC，
∴BD=CD，故②正确；
③∵∠AOC=90°，
∴∠CDA=45°，
∴∠DOC=∠CDA，
∵∠OCD=∠OCD，
∴△DOC∽△EDC，
∴，
∴CD2=CE×CO，故③正确.
故答案为：①②③.
【分析】由垂直定义可得∠BOC=∠AOC=90°，由等边对等角得∠OCA=∠OAC=45°，由二直线平行，同位角相等得∠BOD=∠CAO，∠DOC=∠ACO，推出∠BOD=∠COD，从而根据角平分线定义得出结论；由同圆中相等的圆心角所对的弦相等可判断②；由圆心角、圆周角就弧的关系可得∠DOC=∠CDA，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△DOC∽△EDC，进而根据相似三角形对应边成比例可得结论.
22．如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标为，.如果AB与轴交于点，那么AC：BC的值为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，
∵A（3，2），
∴OA=，
∵∠OAB=30°，∠EOC=90°，
∴，
∵∠AOB=90°，∠EOC=90°，
∴∠EOB=∠AOD，
又∵∠BEO=∠AOD，
∴△OEB∽△ODA，
∴，
即，
解OE=，
∴AC∶BC=S△AOC∶S△OBC=AD∶OE=2∶=.
故答案为：.
【分析】作AD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，根据坐标平面内两点间的距离公式可求出OA的长，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△OEB∽△ODA，根据相似三角形对应边成比例建立方程，进而结合特殊锐角三角函数值可求出OE的长，由同底三角形的面积之比等于底之比及同高三角形的面积之比等于底之比可得答案.
九、解答题
23．如图所示，在中，点在AC上，.
（1）求证：.
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠C，
∵DF∥AB，
∴∠FDC=∠A，
∴△DFC∽△AED；
（2）解：∵，
∴AD=2CD，
∵△DFC∽△AED，
∴.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由二直线平行同位角相等得∠ADE=∠C，∠FDC=∠A，进而根据由有两组角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）由已知可得AD=2CD，进而相似三角形面积的比等于相似比可得答案.
24．如图所示为矩形纸片ABCD，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在边CD的中点E处，折痕为AF.若CD=6，求AF的长.
【答案】解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
因为CD=6，E为CD中点，
∴ED=3，
又∵AE=AB=CD=6，
∴∠EAD=30°，
则∠FAE=(90°-30°）=30°，
设FE=x，则AF=2x，
在AEF中，根据勾股定理，
（2x）2+62+x2，
∴x2=12，
解得x1=，x2=（舍），
AF=.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再根据含30°角直角三角形性质求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解.
25．如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使直角边DE与旗杆顶点A在同一条直线上.已知DE=0.5m，EF=0.25m，点D到地面的距离DG=1.5m，到旗杆的水平距离DC=25m，求旗杆AB的高度.
【答案】解：，
∴，
即
∴，
，且易知，
四边形BGDC是矩形，
，
.
答：旗杆AB的高度是14m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACD∽△FED，由相似三角形对应边成比例可求出AC的长，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得BC=DG=1.5m，最后根据AB=AC+BC可求出AB的长，从而得出答案.
26．如图所示，已知四边形ABCD的外接圆的半径为4，弦AC与BD的交点为E，OA与BD相交于点.
（1）求证：.
（2）若，求的面积.
【答案】（1）证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACB，
而∠CAB=∠BAE，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
∴AB2=AE×AC；
（2）解：如图所示，连接OB，
∵AB=AD，
∴OA⊥BD，
∴BF=DF，
∵AF=2，OA=OB=4，
∴OF=2，
∴BF=DF=，
∴BD=2BF=，
，
∵AE=EC，
∴S△BAE=S△BCF，S△DAE=S△DCE，
∴S△BCD=S△BMD，
故△BCD的面积为.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠ABD=∠ADB，由同弧所对的圆周角相等∠ADB=∠ACB，则∠ABD=∠ACB，又∠CAB=∠BAE，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△ACB，从而根据相似三角形对应边成比例可得结论；
（2）连接OB，由垂径定理得OA⊥BD，BF=DF，在Rt△OBF中，利用勾股定理可求出BF的长，进而根据三角形的面积计算公式计算出△BAD的面积，进而同高等底三角形面积相等可得S△BAE=S△BCF，S△DAE=S△DCE，从而即可得出S△BCD=S△BMD，此题得解了.
27．如图所示，抛物线与轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与轴交于点轴交抛物线另一点，连结交BC于点.求：
（1）A，B两点的坐标.
（2）△CDE与△BAC的面积之比.
【答案】（1）解：令y=0，
则，
解得
；
（2）解：将x=0代入y=-(x-1)2+4可得y=3，
∴C(0，3)，
将y=3代入y=-(x-1)2+4，可得-(x-1)2+4=3，
解得x1=0，x2=2，
∴D（2，3），
∴CD=2，
∵A（-1，0），点B（3，0），
∴AB=4；
∵CD∥AB，
∴∠CDE=∠CBA，
∵DE∥AC，
∴∠DEC=∠ACB，
∴△CDE∽△BAC，
∴.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）令抛物线解析式中的y=0，算出对应的x的值，即可求出点A、B的坐标；
（2）令抛物线解析式中的x=0算出对应的y的值，可得点C的坐标，进而将y=3代入抛物线解析式算出对应的x的值，可得点D的坐标，从而可得CD的长，由点A、B的坐标可得AB的长，然后根据二直线平行，内错角相等得∠CDE=∠CBA，∠DEC=∠ACB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△CDE∽△BAC，最后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
28．如图所示，AC是的直径，点在上，.
（1）利用直尺和圆规作的平分线BD，交AC于点，交于点，连结CD.(保留作图痕迹，不写作法)
（2）在第(1)题所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比.
【答案】（1）解：如图所示
（2）解：连接OD，设半径为.
在和中，
.
在Rt中，
.
平分
；
在Rt中，
.
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，任意长度为半径画弧，弧与BA、BC分别相交，再以这两个交点为圆心，大于两交点之间距离的一半为半径画弧，两弧在∠B=ABC内交于一点，过点B及两弧的交点作射线BD，交AC于点E，交于点D，射线BD就是所求的∠ABC的角平分线；
（2）连接OD，设半径为r，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAE=∠DCE，结合对顶角相等可推出△ABE∽△DCE，在Rt△ABC中，利用含30°角直角三角形的性质可得AB=r，由角平分线定义及同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠DOC=90°，进而在Rt△ODC中，利用勾股定理算出DC的长，最后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
29．如图所示，.
（1）如图甲所示，若点在射线AB上，且，求证：.
（2）如图乙所示，若点在射线AB上，，，求.
（3）如图丙所示，若平分于点，线段BF，DE交于点G，，直接写出的值.(用含m，n的式子表示)
【答案】（1）证明：
，
；
（2）解：如图，过点B作BG⊥AD于点G，过点D作DH⊥BE于点H，过点E作EF⊥AC于点F，
∵∠DAB=60°，∠ABD=75°，
∴∠ADB=180°-60°-75°=45°，
Rt△ABG中，∠ABG=30°，AB=2，
∴AG=1，BG=，
∵△BDG是等腰直角三角形，
∴BD=，
∵∠DBE=
Rt△DBH中，∠BDH=30°，
∴，
∵∠ABD=75°，∠DBE=60°，
∴∠EBF=45°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∵EC∥AD，
∴∠ECF=∠A=60°，
Rt△ECF中，∠CEF=30°，EC=4，
∴CF=2，EF=BF=，
∴BE=，
∴S四边形BCED=S△BDE+S△BCE=；
（3）解：过点B作BM⊥DE于点M，过点E作EC⊥AB于点C，延长ED、BA交于点H；
∵BD平分∠ADE，∠DAB=90°，
∴AB=BM，
∵∠DBE=
∴∠CBE+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠CBE=∠ADB=∠BDE，
∵∠DBE=∠C=90°，
∴∠DEB=∠CEB，
∴BM=BC，
∴BC=AB，
∵EF⊥AD，
∴∠EFA=90°，
∵∠FAC=∠C=90°，
∴四边形FACE是矩形，
∴EF=AC，
设AB=x，则EF=2x，
∵EF∥CH，
∴△EFD∽△HAD，
∴，
∵，
∴，
∴AH=，
∵EF∥BH，
∴△EFG∽△HBG，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理及平角定义结合已知可推出∠D=∠EBC，结合∠A=∠C，利用有两组角对应相等的两个三角形相似可得△DAB∽△BCE，进而根据相似三角形对应边成比例可得结论；
（2）过点B作BG⊥AD于点G，过点D作DH⊥BE于点H，过点E作EF⊥AC于点F，根据含30°角直角三线性质得AG=1，BG=，根据等腰直角三角形性质得BD=，根据含30°角直角三线性质得，CF=2，EF=BF=，再根据等腰直角三角形得BE=，最后根据S四边形BCED=S△BDE+S△BCE，结合三角形的面积计算公式计算即可；
（3）过点B作BM⊥DE于点M，过点E作EC⊥AB于点C，延长ED、BA交于点H，由角平分线性质得AB=BM，由同角的余角相等得CBE=∠ADB=∠BDE，根据三角形的内角和定理推出∠DEB=∠CEB，由角平分线性质定理得BM=BC，则BC=AB；由有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形FACE是矩形，得EF=AC，设AB=x，则EF=2x，由平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长所截三角形与原三角形相似得△EFD∽△HAD，△EFG∽△HBG，进而根据相似三角形对应边成比例可得出结论.
1 / 1浙教版数学九年级（上）单元学习指导与练习讲练册第4章 相似三角形
一、例题精选——例1
1．如图4-1所示，D为△ABC的边AB上一点，E是AC上的一点.若以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，且AB=8，AC=6，AD=4，求AE的长.
二、【变式】
2．如图4-4所示，在Rt中，为斜边AB上一点.过点作直线截.若截得的三角形与相似，则这样的直线最多有（ ）.
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
三、例2
3．如图4-5所示，在中，是AB的中点，DE交对角线AC于点.若的面积为1，则的面积为 .
四、【变式】
4．如图4-6所示，在 ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F.若的面积为15，则的面积为 .
五、例3
5．如图4-7所示，等腰三角形ABC的顶角是的平分线，判断是不是线段AC的黄金分割点，并说明理由.
六、【变式】
6．如图4-8所示，等腰三角形ABC的底角是底边BC上的点，且.请判断是不是线段BC的黄金分割点，并说明理由.
七、单元巩固——选择题
7．下列图形中，不属于位似图形的是（ ）.
A． B．
C． D．
8．（2020九上·槐荫期末）已知 = ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图所示，是的边AC上一点，连结BP.下列条件中，不能判定的是（ ）.
A． B． C． D．
10．如图所示，在中，点D，E分别是AB，AC的中点，若的面积是，则四边形BDEC的面积为（ ）.
A． B． C． D．
11．如图所示，树AB在路灯的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯的水平距离，则树的高度AB是（ ）.
A．2m B．3m C． D．
12．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点，若，则DF等于（ ）.
A．3 B．4 C．6 D．8
13．如图甲所示，长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高度为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图乙是此时的示意图，则图乙中水面高度为（ ）.
A． B． C． D．
14．（2018·邵阳）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD，则CD的长度是（ ）
A．2 B．1 C．4 D．2
15．如图所示，D，E分别是的边AB，BC上的点，.若：，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
16．如图甲所示，在矩形ABCD中，动点从点出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动.过点作，交CD于点.设点的运动路程为，图乙是与之间函数关系的大致图象.当点在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（ ）.
A． B．5 C．6 D．
八、填空题
17．如图所示，点在的边AC上，若要使与相似，可添加的一个条件是 .(只需写出一个)
18．（2020·绍兴模拟）已知a=4，b=9，c是a，b的比例中项，则c=
19．两个相似多边形的面积比为25：9，其中一个多边形的周长为45，则另一个多边形的周长为 .
20．如图所示，在中，是AB边的中点，是BC边上一个动点，当 时，与相似.
21．如图所示，AB是半圆的直径，半径于点O，D为半圆上一点，与OC相交于点，连结CD，BD，有以下三个结论：①OD平分；②；③.其中正确的是 .
22．如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标为，.如果AB与轴交于点，那么AC：BC的值为 .
九、解答题
23．如图所示，在中，点在AC上，.
（1）求证：.
（2）若，求的值.
24．如图所示为矩形纸片ABCD，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在边CD的中点E处，折痕为AF.若CD=6，求AF的长.
25．如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使直角边DE与旗杆顶点A在同一条直线上.已知DE=0.5m，EF=0.25m，点D到地面的距离DG=1.5m，到旗杆的水平距离DC=25m，求旗杆AB的高度.
26．如图所示，已知四边形ABCD的外接圆的半径为4，弦AC与BD的交点为E，OA与BD相交于点.
（1）求证：.
（2）若，求的面积.
27．如图所示，抛物线与轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与轴交于点轴交抛物线另一点，连结交BC于点.求：
（1）A，B两点的坐标.
（2）△CDE与△BAC的面积之比.
28．如图所示，AC是的直径，点在上，.
（1）利用直尺和圆规作的平分线BD，交AC于点，交于点，连结CD.(保留作图痕迹，不写作法)
（2）在第(1)题所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比.
29．如图所示，.
（1）如图甲所示，若点在射线AB上，且，求证：.
（2）如图乙所示，若点在射线AB上，，，求.
（3）如图丙所示，若平分于点，线段BF，DE交于点G，，直接写出的值.(用含m，n的式子表示)
答案解析部分
1．【答案】解：情况一：如图4-2所示，当DE∥BC时，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴AE=3；
情况二：如图4-3所示，当DE不平行于BC时，△ADE∽△ACB，
∴，即，
解得.
综上AE的长为：3或.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【思路点拨】△ADE与△ABC有一个公共角∠A，若△ADE与△ABC相似，则夹这个角的两边对应成比例，有两种情况，如图4-2、图4-3所示.
【反思】本题运用“两边对应成比例及其夹角对应相等”的判定方法，需考虑两边对应的不同情况，渗透了分类讨论的思想.要认真总结这两个图形.不题的实质也可归结为“两个角对应相等的两个三角形相似”.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt △ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC 的垂线，共3条直线.
故答案为：C.
【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以.
3．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AEG∽△CDG，
【思路点拨】采用间接法，将△ADC分割成△ADG与△CDG两部分，只要求出△ADG与△CDG的面积即可.
【反思】解此类问题时，运用了“相似三角形的面积比等于相似比的平方”以及“高相等时面积比等于底边的比”等知识.
4．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴，
∴，，
∴设S△BEF=2x，则S△ABF=3x，S△ADF=4.5x，
∵S△ABF+S△ADF=S△ABD=15，
∴3x+4.5x=15，
x=2，
∴△BEF的面积为4.
故答案为：4.
【分析】由四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AD=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADF∽△EBF，由“相似三角形的面积比等于相似比的平方”得，由“高相等时面积比等于底边的比”得，设S△BEF=2x，则S△ABF=3x，S△ADF=4.5x，进而根据S△ABF+S△ADF=S△ABD建立方程，求解可得答案.
5．【答案】解：点D是线段AC的黄金分割点，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴∠2=∠4，∠BDC=∠C=72°，
∴AD=BD=BC，
∵∠1=∠2，∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴D是线段AC的黄金分割点.
【知识点】等腰三角形的性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【思路点拨】因为△ABC是等腰三角形，所以∠ABC=72°，由BD为∠ABC的平分线可得∠ABD=36°，所以∠A=∠ABD，所以△ABD是等腰三角形；同理，∠DBC=36°，∠BDC=∠DCB=72°，故△BDC是等腰三角形，所以AD=BD=BC，而且△ABC∽△BCD，所以，所以D是线段AC的黄金分割点.
【反思】黄金三角形有两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°，这种三角形既美观又标准，这样的三角形的底长与一腰之长的比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为，顶角为，这样的三角形的一腰之长与底长的比为黄金比.
6．【答案】解：点D是线段BC的黄金分割点，理由如下：
∵等腰三角形ABC的底角∠B=36°，
∴∠B=∠C=36°，AB=AC，∠BAC=108°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD=36°，
∴∠C=∠BAD，∠CDA=∠B+∠BAD=72°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=72°，
∴∠CDA=∠CAD=72°，
∴AC=CD，
∴CD=AB，
∵∠C=∠BAD，∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴CD2=BD×BC，即点D是线段BC的黄金分割点.
【知识点】等腰三角形的性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；根据等腰三角形的性质可以推出∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD=72°，由等角对等边得AC=CD，则CD=AB，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABD∽△CBA，由相似三角形对应边成比例得，即，据此即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：A、属于位似图形，故此选项不符合题意；
B、属于位似图形，故此选项不符合题意；
C、属于位似图形，故此选项不符合题意；
D、不属于位似图形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】位似的两个图形，不仅仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边平行，据此逐项判断得出答案.
8．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】∵ = ，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】根据 = ，计算求解即可。
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵ ，∠BAP=∠CAB，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、 和∠BAP=∠CAB，不能判断△ABP与△ACB相似，故此选项符合题意；
C、∵∠ABP=∠C，∠BAP=∠CAB，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、∵∠APB=∠ABC，∠BAP=∠CAB，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据两边对应成比例及其夹角对应相等的两个三角形相似可判断A、B选项；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断C、D选项.
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ABC=4S△ADE=12cm2，
∴四边形BDECDE的面积=S△ABC-S△ADE=12-3=9cm2.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线定理得DE∥BC，DE=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方可求出△ABC的面积，进而根据四边形BDECDE的面积=S△ABC-S△ADE可算出答案.
11．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得AB∥PO，CP=CA+AP=7.5m，
∴△ABC∽△POC，
∴，即，
解得AB=2m.
故答案为：A.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABC∽△POC，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AB的长.
12．【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴AD∥BC，CE=BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∴，
∴DF=8.
故答案为：D.
【分析】由正方形的性质得AD∥BC，CE=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似可得△ADF∽△CEF，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出DF的长.
13．【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得：AB=CE，BC=AE=8，∠BCE=∠E=90°，DC∥BG，过点C作CF⊥BG于点F，
∴∠DCF=90°，
设DE=x，则AD=8-x，
，
解得x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，由勾股定理得：，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DEC=∠BCF=90°-∠BCD，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴，即，
∴.
故答案为：A.
【分析】设DE=x，则AD=8-x，根据容器内水的体积不变建立方程可求出x的值，得出DE的长，在Rt△ECD中，利用光杆司令算出CD的长，然后根据同角的余角相等得∠DEC=∠BCF，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△CDE∽△CBF，最后根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出CF的长.
14．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD，
∴C（1，2），则CD的长度是2，
故答案为：A．
【分析】根据位似图形的性质及点A的坐标，可求出点C的坐标，就可求出CD的长。
15．【答案】D
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解∵S△BDE∶S△CDE=1∶3，
∴BE∶EC=1∶3，
∴BE∶BC=1∶4；
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴.
故答案为：D.
【分析】由同高三角形的面积之比等于底之比可得BE∶EC=1∶3，即BE∶BC=1∶4；由平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△BDE∽△BAC，△DEO∽△CAO，进而根据相似三角形对应边成比例及相似三角形面积的比等于相似比可得答案.
16．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由乙图可得AB长为；
当点E在BC上时，如图，
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠CFE=∠AEB，
在△CFE和△BEA中，∠CFE=∠AEB，∠C=∠B=90°，
∴△CFE∽△BEA，
由二次函数的对称性可得当点E在BC中点时，CF又最大值，此时，
∵BE=CE=x-，即，
∴，
当时，可得，
解得x1=（舍），x2=，
∴BE=CE=1，
∴BC=2，
∴矩形ABCD的面积为：.
故答案为：B.
【分析】由乙图易得AB长为；由同角的余角相等得∠CFE=∠AEB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△CFE∽△BEA，由二次函数的对称性可得当点E在BC中点时，CF又最大值，此时，据此建立方程可得出y关于x的函数解析式，进而将代入算出对应的x的值，可得BC的长，最后根据矩形面积计算公式计算可得答案.
17．【答案】(答案不 一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB；
△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠ABC时，△ABD∽△ACB；
△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当时，△ABD∽△ACB；
故答案为：∠ABD=∠C(答案不 一).
【分析】由于△ABD与△ACB中，已经具有∠BAD=∠CAB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得可以随便再添加一组角对应相等即可；根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可以添加，据此即可得出答案.
18．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】由题意得
将a=4，b=9代入可得
经检验，当 时， ，所以根成立
故答案为： ．
【分析】根据比例中项的概念，可得c2=ab，然后代入数据计算即可.
19．【答案】75或27
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：分类讨论：当周长为45的多边形是较大多边形时，设另一个多边形的周长为x，则，解得x=27，即另一个多边形的周长为27；
当周长为45的多边形是较小多边形时，设另一个多边形的周长为x，则，解得x=75，即另一个多边形的周长为75，综上可得该多边形的周长为75或27.
故答案为：75或27.
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，分两种情况建立方程，求解可得答案.
20．【答案】1或4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=4，点P是AB的中点，
∴AP=BP=2，
在△BPQ与△BAC中，
∵∠PBQ=∠CBA，
∴当时，△BPQ∽△BCA，
∴，
∴BQ=1；
在△BPQ与△BAC中，
∵∠PBQ=∠CBA，
∴当时，△BPQ∽△BAC，
∴，
∴BQ=4，
综上BQ的长为：1或4.
故答案为：1或4.
【分析】由中点定义得AP=BP=2，在△BPQ与△BAC中，由于∠PBQ=∠CBA，故当时，△BPQ∽△BCA，当时，△BPQ∽△BAC，据此分别建立方程可求出BQ的长.
21．【答案】①②③
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵OC⊥AB，
∴∠BOC=∠AOC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
∵AC∥OD，
∴∠BOD=∠CAO，∠DOC=∠ACO，
∴∠BOD=∠COD，
∴OD平分∠COB，故①正确；
②∵∠BOD=∠DOC，
∴BD=CD，故②正确；
③∵∠AOC=90°，
∴∠CDA=45°，
∴∠DOC=∠CDA，
∵∠OCD=∠OCD，
∴△DOC∽△EDC，
∴，
∴CD2=CE×CO，故③正确.
故答案为：①②③.
【分析】由垂直定义可得∠BOC=∠AOC=90°，由等边对等角得∠OCA=∠OAC=45°，由二直线平行，同位角相等得∠BOD=∠CAO，∠DOC=∠ACO，推出∠BOD=∠COD，从而根据角平分线定义得出结论；由同圆中相等的圆心角所对的弦相等可判断②；由圆心角、圆周角就弧的关系可得∠DOC=∠CDA，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△DOC∽△EDC，进而根据相似三角形对应边成比例可得结论.
22．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，
∵A（3，2），
∴OA=，
∵∠OAB=30°，∠EOC=90°，
∴，
∵∠AOB=90°，∠EOC=90°，
∴∠EOB=∠AOD，
又∵∠BEO=∠AOD，
∴△OEB∽△ODA，
∴，
即，
解OE=，
∴AC∶BC=S△AOC∶S△OBC=AD∶OE=2∶=.
故答案为：.
【分析】作AD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，根据坐标平面内两点间的距离公式可求出OA的长，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△OEB∽△ODA，根据相似三角形对应边成比例建立方程，进而结合特殊锐角三角函数值可求出OE的长，由同底三角形的面积之比等于底之比及同高三角形的面积之比等于底之比可得答案.
23．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠C，
∵DF∥AB，
∴∠FDC=∠A，
∴△DFC∽△AED；
（2）解：∵，
∴AD=2CD，
∵△DFC∽△AED，
∴.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由二直线平行同位角相等得∠ADE=∠C，∠FDC=∠A，进而根据由有两组角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）由已知可得AD=2CD，进而相似三角形面积的比等于相似比可得答案.
24．【答案】解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
因为CD=6，E为CD中点，
∴ED=3，
又∵AE=AB=CD=6，
∴∠EAD=30°，
则∠FAE=(90°-30°）=30°，
设FE=x，则AF=2x，
在AEF中，根据勾股定理，
（2x）2+62+x2，
∴x2=12，
解得x1=，x2=（舍），
AF=.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再根据含30°角直角三角形性质求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解.
25．【答案】解：，
∴，
即
∴，
，且易知，
四边形BGDC是矩形，
，
.
答：旗杆AB的高度是14m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACD∽△FED，由相似三角形对应边成比例可求出AC的长，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得BC=DG=1.5m，最后根据AB=AC+BC可求出AB的长，从而得出答案.
26．【答案】（1）证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACB，
而∠CAB=∠BAE，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
∴AB2=AE×AC；
（2）解：如图所示，连接OB，
∵AB=AD，
∴OA⊥BD，
∴BF=DF，
∵AF=2，OA=OB=4，
∴OF=2，
∴BF=DF=，
∴BD=2BF=，
，
∵AE=EC，
∴S△BAE=S△BCF，S△DAE=S△DCE，
∴S△BCD=S△BMD，
故△BCD的面积为.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠ABD=∠ADB，由同弧所对的圆周角相等∠ADB=∠ACB，则∠ABD=∠ACB，又∠CAB=∠BAE，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△ACB，从而根据相似三角形对应边成比例可得结论；
（2）连接OB，由垂径定理得OA⊥BD，BF=DF，在Rt△OBF中，利用勾股定理可求出BF的长，进而根据三角形的面积计算公式计算出△BAD的面积，进而同高等底三角形面积相等可得S△BAE=S△BCF，S△DAE=S△DCE，从而即可得出S△BCD=S△BMD，此题得解了.
27．【答案】（1）解：令y=0，
则，
解得
；
（2）解：将x=0代入y=-(x-1)2+4可得y=3，
∴C(0，3)，
将y=3代入y=-(x-1)2+4，可得-(x-1)2+4=3，
解得x1=0，x2=2，
∴D（2，3），
∴CD=2，
∵A（-1，0），点B（3，0），
∴AB=4；
∵CD∥AB，
∴∠CDE=∠CBA，
∵DE∥AC，
∴∠DEC=∠ACB，
∴△CDE∽△BAC，
∴.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）令抛物线解析式中的y=0，算出对应的x的值，即可求出点A、B的坐标；
（2）令抛物线解析式中的x=0算出对应的y的值，可得点C的坐标，进而将y=3代入抛物线解析式算出对应的x的值，可得点D的坐标，从而可得CD的长，由点A、B的坐标可得AB的长，然后根据二直线平行，内错角相等得∠CDE=∠CBA，∠DEC=∠ACB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△CDE∽△BAC，最后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
28．【答案】（1）解：如图所示
（2）解：连接OD，设半径为.
在和中，
.
在Rt中，
.
平分
；
在Rt中，
.
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，任意长度为半径画弧，弧与BA、BC分别相交，再以这两个交点为圆心，大于两交点之间距离的一半为半径画弧，两弧在∠B=ABC内交于一点，过点B及两弧的交点作射线BD，交AC于点E，交于点D，射线BD就是所求的∠ABC的角平分线；
（2）连接OD，设半径为r，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAE=∠DCE，结合对顶角相等可推出△ABE∽△DCE，在Rt△ABC中，利用含30°角直角三角形的性质可得AB=r，由角平分线定义及同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠DOC=90°，进而在Rt△ODC中，利用勾股定理算出DC的长，最后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
29．【答案】（1）证明：
，
；
（2）解：如图，过点B作BG⊥AD于点G，过点D作DH⊥BE于点H，过点E作EF⊥AC于点F，
∵∠DAB=60°，∠ABD=75°，
∴∠ADB=180°-60°-75°=45°，
Rt△ABG中，∠ABG=30°，AB=2，
∴AG=1，BG=，
∵△BDG是等腰直角三角形，
∴BD=，
∵∠DBE=
Rt△DBH中，∠BDH=30°，
∴，
∵∠ABD=75°，∠DBE=60°，
∴∠EBF=45°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∵EC∥AD，
∴∠ECF=∠A=60°，
Rt△ECF中，∠CEF=30°，EC=4，
∴CF=2，EF=BF=，
∴BE=，
∴S四边形BCED=S△BDE+S△BCE=；
（3）解：过点B作BM⊥DE于点M，过点E作EC⊥AB于点C，延长ED、BA交于点H；
∵BD平分∠ADE，∠DAB=90°，
∴AB=BM，
∵∠DBE=
∴∠CBE+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠CBE=∠ADB=∠BDE，
∵∠DBE=∠C=90°，
∴∠DEB=∠CEB，
∴BM=BC，
∴BC=AB，
∵EF⊥AD，
∴∠EFA=90°，
∵∠FAC=∠C=90°，
∴四边形FACE是矩形，
∴EF=AC，
设AB=x，则EF=2x，
∵EF∥CH，
∴△EFD∽△HAD，
∴，
∵，
∴，
∴AH=，
∵EF∥BH，
∴△EFG∽△HBG，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理及平角定义结合已知可推出∠D=∠EBC，结合∠A=∠C，利用有两组角对应相等的两个三角形相似可得△DAB∽△BCE，进而根据相似三角形对应边成比例可得结论；
（2）过点B作BG⊥AD于点G，过点D作DH⊥BE于点H，过点E作EF⊥AC于点F，根据含30°角直角三线性质得AG=1，BG=，根据等腰直角三角形性质得BD=，根据含30°角直角三线性质得，CF=2，EF=BF=，再根据等腰直角三角形得BE=，最后根据S四边形BCED=S△BDE+S△BCE，结合三角形的面积计算公式计算即可；
（3）过点B作BM⊥DE于点M，过点E作EC⊥AB于点C，延长ED、BA交于点H，由角平分线性质得AB=BM，由同角的余角相等得CBE=∠ADB=∠BDE，根据三角形的内角和定理推出∠DEB=∠CEB，由角平分线性质定理得BM=BC，则BC=AB；由有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形FACE是矩形，得EF=AC，设AB=x，则EF=2x，由平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长所截三角形与原三角形相似得△EFD∽△HAD，△EFG∽△HBG，进而根据相似三角形对应边成比例可得出结论.
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