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《证明》教学设计
第二课时《证明》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 证明2是“浙教版八年级数学（上）”第一章第三节第二课时的内容。本节课的主要内容是让学生进一步体验证明的意义，学习证明的思考方法，体验辅助线在证明中的作用，要求学生掌握综合法证明的方法和表述.定义、命题与证明的学习意味着初中几何已从实验阶段过渡到论证几何阶段，“证明”为进一步学习三角形、四边形、圆、相似三角形等其它几何知识打下了良好基础，在图形与几何的学习中起着重要作用，在培养学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力方面有着特殊的重要地位.
学习者分析 学生在上节课已经初步接触了综合法及分析法，且八年级的学生已经初步具备了一定的独立思考、实践操作、合作探究、归纳概括的能力，能够进行简单的推理论证.教师可以通过分析例题引导学生添加辅助线，使学生体验辅助线在证明中的作用.教师在教学过程中要注意指导学生完成证明格式的书写，且教师的教学要面向全体学生，发挥学生的主体作用，让学生积极参与进来.
教学目标 1.进一步体验证明的意义. 2.进一步学习证明的思考方法. 3.进一步学习综合法证明的方法和表述.体验辅助线在证明中的作用. 4.提高学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力
教学重点 继续学会证明的方法和表述
教学难点 添辅助线的思路、方法和表述
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入，回顾旧知教师活动1： 教师提问：什么是证明？ 教师带领回顾：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步一步推得结论成立. 这样的推理过程叫做证明. 教师提问：如何更好地运用综合法和分析法，为什么？ 教师带领回顾：综合法从条件得到结论，有时不容易把握方向，找不准证题的正确思路;分析法从结论到条件，每一步的目的明确，容易找到证题思路.用综合法表达直截了当，简单清晰，用分析法表达时要啰嗦一些,所以我们在证明几何问题时，一般用分析法去思考，用综合法书写过程.学生活动1： 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知，动手操作教师活动2： 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下来拼合在一起. 你有什么发现吗 答案： 教师讲授：三角形三个内角的和等于180°，但是直接观察容易产生错觉，我们需要推理证明. 例3 证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题. 已知:如图,∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角. 求证:∠BAC+∠B+∠C= 180°. 答案： 证明:如图,过点A作直线MN// BC， 则∠B=∠MAB(两直线平行，内错角相等). 同理,∠C=∠NAC. ∴∠BAC+∠B+∠C =∠BAC+∠MAB+∠NAC= 180°. 教师讲授：通过推理证明可以知道三角形的内角和等于180° 教师讲授： 在几何题的证明中，有时为了证明的需要，在原题的图形上添加一些线段或直线，这些线叫做辅助线，通常画成虚线，并在证明的开始写清添加过程，在证明中，添加的辅助线可作为已知条件参与推理证明. 教师讲授： 如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角. 教师提问：三角形的外角与它的内角有什么关系？ 答案：∵∠ACD+∠ACB= 180°， 又∵∠A+∠B+∠ACB= 180°， ∴∠ACD=∠A+∠B. 教师讲授：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 教师讲授： 证明几何命题的一般表述格式: (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论，结合图形,在“已 知”中写出条件，在“求证”中写出结论. (3)在“证明”中写出推理过程. 注意：证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内.学生活动2： 学生动手操作，发现三角形三个内角的和等于180°，举手回答问题 学生认真听讲 学生认真听讲 学生认真听讲，进一步体验证明的意义 学生认真听讲，进一步学习综合法证明的方法和表述.体验辅助线在证明中的作用 学生认真听讲，了解什么叫做辅助线 学生认真听讲，了解什么是外角 学生独立思考，利用新知解决问题 学生认真听讲 学生认真听讲，了解证明几何命题的一般表述格式活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精讲，再探新知教师活动3： 例4 已知:如图 1-16,∠B+∠D=∠BCD.求证: AB//DE. 证明:如图,延长BC,交DE于点F. ∵ ∠B+∠ D=∠BCD(已知), 又∵∠BCD=∠D+∠CFD(三角形的外角 等于与它不相邻的两个内角的和)， ∴∠B+∠D=∠D+∠CFD, ∴∠B=∠CFD， ∴AB//DE(内错角相等,两直线平行).学生活动3： 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂小结，总结归纳
教师活动4： 教师提问：证明几何命题的一般表述格式是什么？ 教师讲授： (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论，结合图形,在“已 知”中写出条件，在“求证”中写出结论. (3)在“证明”中写出推理过程. 教师提问：证明几何命题的过程中要注意什么？ 教师讲授： 注意：证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内.学生活动4： 学生回忆知识要点，举手回答问题，用自己的语言进行描述，教师进行评价和讲解 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠A＝30°，∠CDB＝65°，则∠B的度数为（ ） A．65° B．70° C．80° D．85° 2.如图，△ABC的外角∠CAE为115°，∠C＝80°，则∠B的余角为（ ） A．55° B．45° C．35° D．30° 3.某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 选做题： 1．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角尺重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为55°，则图中∠α的度数为（ ） A．130° B．125° C．120° D．115° 2.如图,P是△ABC内一点,∠A=80°,∠1=15°,∠2=40°,则∠BPC等于 . 【综合拓展类作业】 证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图所示,已知∠A=70°,∠B=40°,∠C=30°,则∠D+∠E等于( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 2．如图,∠ABD、∠ACD的平分线交于点P,若∠A=60°,∠D=20°,则∠P的度数为( ) A.15° B.20° C.25° D.30° 3.三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ． 【综合拓展类作业】 已知:如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线,∠BDC=75°，∠A=40°.求证:∠ABC=∠C.
教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过复习导入激发学生学习的兴趣。安排学生探索新知，观察思考，从而获得数学活动经验，直观感知知识。本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整自身方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共27张PPT)
1.3.2证明
浙教版 八年级上册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
证明2是“浙教版八年级数学（上）”第一章第三节第二课时的内容。本节课的主要内容是让学生进一步体验证明的意义，学习证明的思考方法，体验辅助线在证明中的作用，要求学生掌握综合法证明的方法和表述.
定义、命题与证明的学习意味着初中几何已从实验阶段过渡到论证几何阶段，“证明”为进一步学习三角形、四边形、圆、相似三角形等其它几何知识打下了良好基础，在图形与几何的学习中起着重要作用，在培养学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力方面有着特殊的重要地位.
教学目标
1.进一步体验证明的意义.
2.进一步学习证明的思考方法.
3.进一步学习综合法证明的方法和表述.体验辅助线在证明中的作用.
4.提高学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力
复习回顾
如何更好地运用综合法和分析法，为什么？
综合法从条件得到结论，有时不容易把握方向，找不准证题的正确思路;分析法从结论到条件，每一步的目的明确，容易找到证题思路.用综合法表达直截了当，简单清晰，用分析法表达时要啰嗦一些,所以我们在证明几何问题时，一般用分析法去思考，用综合法书写过程.
什么是证明？
从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步一步推得结论成立. 这样的推理过程叫做证明.
探究新知
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下来拼合在一起.你有什么发现吗
探究新知
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下来拼合在一起.你有什么发现吗
猜测：三角形三个内角的和等于180°
探究新知
例3 证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题.
已知:如图,∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角.
求证:∠BAC+∠B+∠C= 180°.
证明:如图,过点A作直线MN// BC，
则∠B= ∠MAB(两直线平行，内错角相等).
同理,∠C=∠NAC.
∴∠BAC+∠B+∠C =∠BAC+∠MAB+∠NAC= 180°.
M
N
探究新知
在几何题的证明中，有时为了证明的需要，在原题的图形上添加一些线段或直线，这些线叫做辅助线，通常画成虚线，并在证明的开始写清添加过程，在证明中，添加的辅助线可作为已知条件参与推理证明.
M
N
三角形的内角和等于180°
探究新知
如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角
∵∠ACD+∠ACB= 180°，
又∵∠A+∠B+∠ACB= 180°，
∴∠ACD=∠A+∠B.
思考：三角形的外角与它的内角有什么关系？
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
探究新知
证明几何命题的一般表述格式:
(1)按题意画出图形.
(2)分清命题的条件和结论，结合图形,在“已 知”中写出条件，在“求证”中写出结论.
(3)在“证明”中写出推理过程.
注意：证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内.
例题精讲
例4 已知:如图 1-16,∠B+∠D=∠BCD.求证: AB//DE.
证明:如图,延长BC,交DE于点F.
∵ ∠B+∠ D=∠BCD(已知),
又∵∠BCD=∠D+∠CFD(三角形的外角
等于与它不相邻的两个内角的和)，
∴∠B+∠D=∠D+∠CFD,
∴∠B=∠CFD，
∴AB//DE(内错角相等,两直线平行).
分析:如图，延长BC,交DE于点F.根据平行线的判定定理，只 要证明∠B= ∠CFD,或∠B+ ∠BFE= 180° , 就能证明AB//DE.
课堂练习
1.如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠A＝30°，∠CDB＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．80°
D．85°
【知识技能类作业】
必做题
C
课堂练习
2.如图，△ABC的外角∠CAE为115°，∠C＝80°，则∠B的余角为（ ）
A．55°
B．45°
C．35°
D．30°
【知识技能类作业】
必做题
A
课堂练习
3.某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是（ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【知识技能类作业】
必做题
B
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
1．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角尺重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为55°，则图中∠α的度数为（ ）
A．130°
B．125°
C．120°
D．115°
A
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
2.如图,P是△ABC内一点,∠A=80°,∠1=15°,∠2=40°,则∠BPC等于 .
135°
课堂练习
【综合实践类作业】
证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题.
已知:如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的不共顶点的三个外角.
求证:∠1+∠2+∠3=360°.
证明:∠1=∠ ABC+∠ACB(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和).
同理可得,∠2=∠BAC+∠ACB,
∠3=∠CAB+∠A BC,
∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)
=2×180°
=360°(三角形三个内角的和等于180°).
课堂总结
证明几何命题的一般表述格式是什么？
(1)按题意画出图形.
(2)分清命题的条件和结论，结合图形,在“已 知”中写出条件，在“求证”中写出结论.
(3)在“证明”中写出推理过程.
证明几何命题的过程中要注意什么？
注意：证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内.
作业布置
【知识技能类作业】
1．如图所示,已知∠A=70°,∠B=40°,∠C=30°,则∠D+∠E等于( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
B
作业布置
【知识技能类作业】
2.如图,∠ABD、∠ACD的平分线交于点P,若∠A=60°,∠D=20°,则∠P的度数为( )
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
B
作业布置
【知识技能类作业】
3.三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ．
130°
作业布置
【综合实践类作业】
已知:如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线,∠BDC=75°，∠A=40°.求证:∠ABC=∠C.
证明：∵∠BDC=75°(已知),∠A=40°(已知),
∴∠ABD=∠BDC-∠A=75°-40°=35°(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和).
∵BD是∠ABC的平分线(已知)，
∴∠ABC=2∠ABD=2×35°=70°(角平分线的定义).
作业布置
【综合实践类作业】
已知:如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线,∠BDC=75°，∠A=40°.求证:∠ABC=∠C.
续：
∠C=180°-∠A-∠ABC
= 180°- 40°-70°
=70°(三角三个内角的和等于180°).
∴∠ABC=∠C.
板书设计
证明的一般步骤：
1.审题：
2.画图：
3.写出“已知”“求证”：
4.探求证题思路：
5.写出证明过程：
1.3.2证明
习题讲解书写部分
谢谢
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