5.4 一元一次方程的应用（第1课时） 课件（共43张PPT）-2023-2024学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

5.4 一元一次方程的应用
第1课时 和差倍分问题、工程问题
与配套问题
数学（浙教版）
七年级 上册
第5章 一元一次方程
学习目标
1．掌握用一元一次方程解决问题的一般步骤，并能从关键句中找到等量关系，进一步列出“和差倍分”式；
2．掌握用一元一次方程解决工程问题；
3、掌握用一元一次方程解决配套问题；
　
导入新课
Q1：在月历的同一行任意圈出相邻的5个数，若这5个数的和是60，则这5个数分别是多少？
解：设中间数为x，则第1、2、4、5个数分别为x-2、x-1、x+1、x+2，
由题意得：(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)=60，
解得：x=12，
答：这5个数分别是10、11、12、13、14。
　
导入新课
Q2：在月历上任意找1个数以及它的上下左右的4个数，若这5个数的和是60，则这5个数分别是多少？
解：设这个数为x，则另外4个数分别为x-7、x+7、x-1、x+1，
由题意得：(x-7)+(x+7)+x+(x-1)+(x+1)=60，
解得：x=12，
答：这5个数分别是5、11、12、13、19。
讲授新课
知识点一 用一元一次方程解决和差倍分、余缺问题
5.某校七年级三个班，一班植树x棵，二班植树比一班所植树的2倍少25棵，则二班植树____________棵；三班植树比一班所植树植树的一半多42棵，则三班植树____________棵.
1.甲、乙两数的和是50，如果甲数是x，则乙数应该表示为________;
2.甲数是x，乙数比甲数小5，则乙数应该表示为________;
3.甲数是x，乙数是甲数6倍，则乙数应该表示为________;
(2x－25)
(????????＋42)
?
50－x
x－5
6x
4.甲数是x，乙数是甲数12倍，则乙数应该表示为________;
?
????????x
?
完成下列填空：
讲授新课
典例精析
【分析】题中涉及的数量有票数、票价、总价，它们之间的相等关系有：
【例1】某文艺团体为“希望工程”募捐义演，全价票为每张18元，学生享受半价，某场演出共售出966张票，收入15480元，问这场演出共售出学生票多少张？
①票数×票价=总票价
②学生的票价= ×全价票的票价
③全价票张数+学生票张数=966
④全价票的总票价+学生票的总票价=15480
讲授新课
解:这场演出售出学生票x张,则售出全价票(966-x)张.由题意得:
解这个方程得:x=212
检验:x=212适合方程,且符合题意
答:这场演出共售出学生票212张.
讲授新课
运用方程解决实际问题的一般过程是：
1.审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；
2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；
3.列方程：根据相等关系列出方程；
4.解方程：求出未知数的值；
5.检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.
?

讲授新课
【例2】小刚在商场发现他喜欢的随身听和书包单价之和是452元，并且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．求小刚喜欢的随身听和书包的单价．
解：设书包单价为x元，则随身听的单价为（4x-8）元，
根据题意列方程得：x+ (4x-8)=452
解得：x=92
当x=92时，452-x=360
答：随身听单价为360元，书包单价为92元.
【分析】根据随身听的单价比书包单价的4倍少8元，如果设书包单价为x元，则随身听的单价为__________元.
(4x-8)
等量关系：随身听单价+书包单价=452元
讲授新课
练一练
1、今年“六一”儿童节，张红用8.8元钱购买了甲、乙两种礼物，甲礼物每件1.2元，乙礼物每件0.8元，其中甲礼物比乙礼物少1件，问甲、乙两种礼物各买了多少件？
解：设张红购买甲种礼物x件，则购买乙礼物（x+1）件，
根据题意得：
1.2x+0.8（x+1）=8.8，
解得：x=4．
答：甲种礼物4件，乙种礼物5件．
【分析】根据甲礼物比乙礼物少1件，如果设甲礼物x件，则乙礼物为_______元.
等量关系：买甲礼物花的钱+买乙礼物花的钱=8.8元
(x+1)
讲授新课
2、张大叔在承包的10亩地里所种植的黄瓜和西红柿共获利13800元，其中，黄瓜每亩获利1200元，西红柿每亩获利1500元，问黄瓜种植了多少亩？
解：设黄瓜种了x亩，则西红柿种了（10-x）亩，由题意得
1200x+1500（10-x）=13800，
解得：x=4，
答：黄瓜种了4亩．
讲授新课
【分析】如果设有x个鸽笼，则原来鸽子的数量可以表示为___________只
或___________只.
3、有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子.原有多少只鸽子和多少个鸽笼？
解：设有x个鸽笼，根据题意列方程得：
解得：x=4
所以6x+3=6×4+3=27
答：原有27只鸽子和4个鸽笼.
根据原来鸽子的数量可以列方程解决.
讲授新课
4.若干辆汽车装运一批货物，若每辆车装运3.5吨，则这批货物还有2吨运不走，若每辆车装运4吨，那么装完这批货物后，有一辆汽车只装3吨．问这批货物有多少吨？有多少辆汽车？
解：设有x辆汽车，依题意列方程得：
3,5x+2=4x-1
解得x=12
所以4x-1=4×12-1=47
答：这批货物有47吨，有12辆汽车.
讲授新课
知识点二 用一元一次方程解决工程问题
1.甲每天生产某种零件80个，3天能生产 个零件。
2.乙每天生产某种零件x个，5天能生产 个零件。
3.甲每天生产某种零件80个，乙每天生产某种零件x个。他们5天一共
生产 个零件。
4.甲每天生产某种零件80个，乙每天生产这种零件x个甲生产3天后，乙
也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产 个零件。
工程问题的基本数量关系：
240
5x
(5×80+5x)
(3×80+5×80+5x)
工作总量=工作时间×工作效率
填空：
讲授新课
（1）两人合作32小时完成对吗？为什么？
（2）甲每小时完成全部工作的______；乙每小时完成全部工作的________；
甲x小时完成全部工作的__________；乙x小时完成全部工作的__________.
6.一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成.
讲授新课
典例精析
【例3】甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产这种零件940个，问乙每天生产这种零件多少个？
头3天甲生产
零件的个数
甲乙后5天生产零件的总个数
甲后5天生
产的个数
乙后5天生
产的个数
940个
图示
头3天甲生产 后5天甲生产 后5天乙生产
零件的个数 + 零件的个数 + 零件的个数 =940
讲授新课
解 设乙每天生产零件 x个.根据题意，得

解这个方程，得 x=60.
答：乙每天生产零件60个.
画示意图也是分析数量关系的常用方法.
根据这一相等关系，设乙每天生产零件 X个，就可以列出方程.
头3天甲生产 后5天甲生产 后5天乙生产
零件的个数 + 零件的个数 + 零件的个数 =940
讲授新课
如果把总工作量设为1，则人均效率 (一个人 1 h 完成的工作量) 为______.
【例4】 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
【分析】在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间；工作总量=各部分工作量之和.
如果设先安排 x人做4 h，那么完成的工作量为____________.
讲授新课
人均效率
人数
时间
工作量
前一部分工作
x
4
后一部分工作
x＋2
8
×
×
＝
工作量之和等于总工作量1
×
＝
×
讲授新课
解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系：


可列方程

解方程，得
4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
12x＝24，
x＝2.
答：应先安排 2人做4 小时.
前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1
讲授新课
解决工程问题的基本思路：
1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
讲授新课
练一练
1.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
【分析】把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，根据工作效率×工作时间=工作量，列方程.
解方程，得 x = 8.
答：要8天可以铺好这条管线.
解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得：
讲授新课
2. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做. 剩下的部分需要几小时完成？
解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意得：
解得 x = 6.
答：剩下的部分需要6小时完成.
讲授新课
知识点三 用一元一次方程解决配套问题
【例5】某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
思考：本题需要我们解决的问题是什么？题目中哪些信息能解决人员安排的问题？螺母和螺钉的数量关系如何？
产品类型
生产人数
单人产量
总产量
螺钉
1200
螺母
2000
列表分析：
x
22-x
1200 x
2000(22－x)
螺母总量=螺钉总量×2
讲授新课
解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.
依题意，得
2000(22－x)＝2×1200x .
解方程，得 x＝10.
所以 22－x＝12.
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
还有别的方法吗？
讲授新课
列表分析：
产品类型
生产人数
单人产量
总产量
产品套数
螺钉
x
1200
螺母
2000
1200 x
22－x
2000(22－x)
1200 x
解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.依题意，得
解方程，得 x＝10.
所以2－x＝12.
生产的套数是一样的
讲授新课
方法归纳
生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程.
解决配套问题的思路：
1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；
2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
讲授新课
【例6】如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑皮各多少块？
分析：由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍．
数量
边数
黑皮
x
5x
白皮
32-x
6(32-x)
等量关系：
白皮边数=黑皮边数×2
讲授新课
解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32-x)块，五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32-x)条．
依题意,得 2×5x=6（32-x）,
解得 x=12，
则 32-x=20.
答：白皮20块，黑皮12块.
讲授新课
练一练
1.一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件.现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？
分析：由题意知 B 部件的数量是 A 部件数量的 3 倍，可根据这一等量关系式得到方程.
讲授新课
解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x)立方米做 B 部件.
根据题意，列方程：
3×40x = (6－x)×240.
解得 x = 4.
则 6－x = 2.
共配成仪器：4×40=160 (套).
答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套.
讲授新课
2. 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌
腿刚好配套，共可生产多少张方桌？(一张方桌有1个桌面，4条桌腿)
解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立方米的木材做桌腿.
根据题意，得 4×50x = 300(10－x)，
解得 x =6，所以 10－x = 4，
可做方桌为50×6=300(张).
答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌.
当堂检测
2.七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为_____________________.
1.七年级二班为慈善协会共捐款131元，比平均每人2元还多35元，设这个班有学生x人，根据题意列方程为_____________________.
2x+56+x=589
2x+35=131
当堂检测
3. 一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为 .
4.某工程，甲单独做12天完成，乙单独做8天完成．现在由甲先做3天，乙再参加做，求完成这项工程乙还需要几天？若设完成这项工程乙还需要x天，则下列方程不正确的是（　　）
A. B.
C. D.
C
当堂检测
5.一个停车场内有24辆车，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，且停车场上只有汽车和摩托车，这些车共有86个轮子，那么摩托车应为 ( )
A.14辆 B.12辆 C.16辆 D.10辆
D
当堂检测
6. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
解：设乙队还需x天才能完成，由题意得：
解得 x = 13.
答：乙队还需13天才能完成．
当堂检测
7.某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品配套？
解：设x人生产镜片，则（60-x）人生产镜架．
由题意得：200x=2×50×（60-x），
解得 x=20，
则60-x=40．
答：20人生产镜片，40人生产镜架，才能使每天生产的产品配套．
当堂检测
8.服装厂要生产一批某种型号的学生服，已知每3米布料可做上衣2件或裤子3条，计划用600米布料生产学生服，应该分别用多少米布料生产上衣或裤子恰好配套？（一件上衣配一条裤子）
解：设用x米布料生产上衣，那么用（600-x）米布料生产裤子恰好配套．
根据题意，得：23x=600-x，
解得：x=360，
则600-x=600-360=240（米）．
答：应该用360米布料生产上衣，用240米布料生产裤子恰好配套．
?
当堂检测
9.油桶制造厂的某车间生产圆形铁片和长方形铁片，如图，两个圆形铁片和一个长方形铁片可以制造成一个油桶．已知该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．问安排生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？
解：设共有x人生产圆形铁片，则共有（42-x）人生产长方形铁片，根据
题意列方程得：
120x=2×80（42-x）????????
解得x=24，
则42-x=42-24=18．
答：共有24人生产圆形铁片，18人生产长方形铁片，才能使生产的铁片恰好配套．
当堂检测
10.某纺织厂有纺织工人300名，为增产创收，该纺织厂又增设了制衣车间，准备将这300名纺织工人合理分配到纺织车间和制衣车间．现在知道工人每人每天平均能织布30米或制4件成衣，每件成衣用布1.5米，若使生产出的布匹刚好制成成衣，求应有多少人去生产成衣？
解：设应有x人去生产成衣，根据题意得：
1.5×4x=30（300-x），
解得：x=250，
答：应有250人去生产成衣．
课堂小结
课堂小结
解决工程问题的基本思路：
1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
谢 谢~