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浙教版2023-2024学年八上数学第4章图形与坐标 尖子生测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．以下能够准确表示地理位置的是（ ）
A．离宁波市主城区10千米 B．在杭州西湖西北角
C．在雁荡山以北 D．东经，北纬
2．与点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
3．点P在第二象限内，P到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣5，3） B．（﹣3，﹣5）
C．（﹣3，5） D．（3，﹣5）
4．平面直角坐标系内AB∥x轴，AB＝1，点A的坐标为（﹣2，3）（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣1，3）
C．（﹣3，3）或（﹣1，﹣2） D．（﹣1，3）或（﹣3，3）
5．已知点A的坐标为（2x＋y－3，x＋2y），它关于x轴对称的点A＇的坐标为（x＋3，y－4），那么点A关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（7，1） B．（－7，－1）
C．（10，－5） D．（－10，5）
6．已知点P（1+m，2m+1）在y轴上，点Q（6-2n，4+n）在x轴上，则点M（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．在平面直角坐标系中，下列说法：
①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab=0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（-2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
8．如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（ ）
A． B． C． D．
（第8题） （第10题）
9．在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为其中为常数，且，则称点是点的“属派生点”例如，点的“属派生点”为，即若点的“属派生点是点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(﹣1，2)，B(﹣1，﹣1)，C(1，﹣1)，D(1，2)，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，则点M2022的坐标为（ ）
A．(1，0) B．(﹣1，0) C．(1，2) D．(0，﹣1)
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若点在轴上，则点的坐标为 ．
12．到x轴距离为6，到y轴距离为4的坐标为 ．
13．已知直线l经过点（0，2），且与x轴平行，那么点（6，5）关于直线l的对称点为
14．在平面直角坐标系中，将点A向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得点B，点B的坐标是（2，﹣2），则A点的坐标是
15．如图，在平面直角坐标系中，点，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是 ．
（第15题） （第16题）
16．如图，在平面直角坐标系中，点，点第次向上跳动个单位至点，紧接着第次向右跳动个单位至点，第次向上跳动个单位，第次向左跳动个单位，第次又向上跳动个单位，第次向右跳动个单位，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知点是平面直角坐标系中的点．
（1）若点A在第四象限的角平分线上，求a的值；
（2）若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为11，请确定点A的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，A(﹣3，2)，B(﹣4，﹣3)，C(﹣1，﹣1)．
⑴在图中作出关于y轴对称的；
⑵写出点的坐标（直接写答案）；
⑶在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
19．如图，在平面直角坐标系中，，，，且．
（1）求，的值；
（2）①在轴的正半轴上存在一点，使，求点的坐标；
②在坐标轴的其他位置是否存在点，使，仍然成立？若存在请直接写出符合条件的点的坐标．
20．如图
（1）在平面直角坐标系中，画，使其三个顶点为，，；
（2）是直角三角形吗？请证明你的判断.
21．对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点 的坐标为(a+kb，ka+b)（其中k为常数，且k≠0），则称点 为点P的“k属派生点”，例如：P(1，4)的“2属派生点”为 (1+2×4，2×1+4)，即 (9，6).
（1）点P(﹣2，3)的“2属派生点” 的坐标为 ；
（2）若点P的“4属派生点” 的坐标为(2，﹣7)，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为 点，且线段P 的长度为线段OP长度的3倍，求k的值.
22．如图，平面直角坐标系中，将线段AB平移，使点A（0，3）平移到A′（5，0），B平移到B′（1，﹣3）
（1）则B点的坐标为 ；
（2）求△AB′B的面积：
（3）A′B′的延长线交y轴于C，点D、E分别是x轴、射线A′，B′上的点．若∠ABD的平分线BF的反向延长线交CE于点H，∠ECO的平分线交BH于点G，求∠HGC的度数．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足 .
（1）直接写出 ， ；
（2）连接AB，P为 内一点， .
①如图1，过点 作 ，且 ，连接 并延长，交 于 .求证： ；
②如图2，在 的延长线上取点 ，连接 .若 ，点P（2n， n），试求点 的坐标.
24．已知在直角坐标系中，点，，，由线段绕原点O顺时针转动某个角度得到线段，线段顺时针转动得到线段，连接，作直线交于点R.
（1）如图1，当点P在第一象限
①若时，求点P坐标；
②求证：；
③求证：；
（2）在线段绕原点转动的过程中，当为等腰三角形时，求点P坐标.
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浙教版2023-2024学年八上数学第4章图形与坐标 尖子生测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．以下能够准确表示地理位置的是（ ）
A．离宁波市主城区10千米 B．在杭州西湖西北角
C．在雁荡山以北 D．东经，北纬
【答案】D
【解析】能够准确表示我校地理位置的是：东经，北纬.
故答案为：D.
2．与点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
【答案】B
3．点P在第二象限内，P到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣5，3） B．（﹣3，﹣5）
C．（﹣3，5） D．（3，﹣5）
【答案】C
4．平面直角坐标系内AB∥x轴，AB＝1，点A的坐标为（﹣2，3）（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣1，3）
C．（﹣3，3）或（﹣1，﹣2） D．（﹣1，3）或（﹣3，3）
【答案】D
【解析】 ∵AB//x轴，点A的坐标为（﹣2，3），AB＝1，
∴B点纵坐标为3，B点横坐标为-1，或-3，
故B点坐标为：（-1，3）或（-3，3），
故答案为：（-1，3）或（-3，3）.
5．已知点A的坐标为（2x＋y－3，x＋2y），它关于x轴对称的点A＇的坐标为（x＋3，y－4），那么点A关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（7，1） B．（－7，－1）
C．（10，－5） D．（－10，5）
【答案】D
【解析】解答：点A（2x＋y－3，x＋2y）关于x轴对称的点A'的坐标为（x＋3，y－4），所以 ，解得 ，所以点A的坐标为（10，5），所以点A关于y轴对称的点的坐标是（－10，5）．
6．已知点P（1+m，2m+1）在y轴上，点Q（6-2n，4+n）在x轴上，则点M（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵点P（1+m，2m+1）在y轴上，点Q（6-2n，4+n）在x轴上，
∴1+m=0，4+n=0，
∴m=-1，n=-4，
∴点M的横坐标为负数，纵坐标为负数，
∴点M在第三象限，
故答案为：C.
7．在平面直角坐标系中，下列说法：
①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab=0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（-2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【解析】①∵点A在坐标轴上，∴a和b中至少要由一个数为0，∴ab=0，∴①正确；
②当m=0时，m2=0，∴点（2，m2）在x轴上，∴②不正确；
③当点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2时，点P的坐标为（2，2），（-2，-2），（-2，2）和（2，-2）共4个，∴③不正确；
④∵点M的坐标为（2，3），点N的坐标为（-2，3），∴MN//x轴，∴④正确，
综上，正确的结论是①④，
故答案为：A.
8．如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据已知两点的坐标画出坐标轴，
③的坐标为，
故答案为：C.
9．在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为其中为常数，且，则称点是点的“属派生点”例如，点的“属派生点”为，即若点的“属派生点是点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据新定义，得，解得， ∴Q的坐标为（-2，-1）．
故答案为：C.
10．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(﹣1，2)，B(﹣1，﹣1)，C(1，﹣1)，D(1，2)，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，则点M2022的坐标为（ ）
A．(1，0) B．(﹣1，0) C．(1，2) D．(0，﹣1)
【答案】B
【解析】长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，
根据题意得2t+3t＝10，
解得t＝2，
∴当t＝2时，P、Q第一次相遇，此时相遇点M1坐标为（1，0），
当t＝4时，P、Q第二次相遇，此时相遇点M2坐标为（﹣1，0），
当t＝6时，P、Q第三次相遇，此时相遇点M3坐标为（1，2），
当t＝8时，P、Q第四次相遇，此时相遇点M4坐标为（0，﹣1），
当t＝10时，P、Q第五次相遇，此时相遇点M5坐标为（﹣1，2），
当t＝12时，P、Q第六次相遇，此时相遇点M6坐标为（1，0），
∴五次相遇一循环，
∵2022÷5＝404......2，
∴M2022的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若点在轴上，则点的坐标为 ．
【答案】（0，5）
【解析】∵点在轴上，
∴m-2=0，
∴点P的坐标为（0，5），
故答案为：（0，5）.
12．到x轴距离为6，到y轴距离为4的坐标为 ．
【答案】（4，6），（-4，6），（-4，-6）或（4，-6）
【解析】 到x轴距离为6的点的纵坐标为6或=6，到y轴距离为4的点的横坐标为4或-4，所以满足到x轴距离为6，到y轴距离为4的点有4个，坐标分别是（4，6），（-4，6），（-4，-6）或（4，-6） .
故答案为： （4，6），（-4，6），（-4，-6）或（4，-6） .
13．已知直线l经过点（0，2），且与x轴平行，那么点（6，5）关于直线l的对称点为
【答案】（6，﹣1）
【解析】∵直线l经过点（0，2），且与x轴平行，
∴直线l解析式为y=2，
∴点（6，5）关于直线l的对称点为（6，﹣1），
故答案为（6，﹣1）．
14．在平面直角坐标系中，将点A向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得点B，点B的坐标是（2，﹣2），则A点的坐标是
【答案】（3，2）
【解析】设点A的坐标是（x，y），
∵将点A向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得点B，可得B的对应点坐标为（x﹣1，y﹣4），
∵得到点B的坐标是（2，﹣2），
∴x﹣1=2，y﹣4=﹣2，
∴x=3，y=2，
∴B的坐标是（3，2），
故答案为（3，2）．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是 ．
【答案】
【解析】∵ 点，，， ，
它们的横坐标依次为1，2，3，4，纵坐标依次为2，0，-2，0，2，0，-2，0…
∴2023÷4=505…3，
∴点A2023（2023，-2）
故答案为：（2023，-2）.
16．如图，在平面直角坐标系中，点，点第次向上跳动个单位至点，紧接着第次向右跳动个单位至点，第次向上跳动个单位，第次向左跳动个单位，第次又向上跳动个单位，第次向右跳动个单位，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是 ．
【答案】
【解析】设第n次跳动至点An，由图可以得出：A（﹣1，0），A1（﹣1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（﹣2，2），A5（﹣2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（﹣3，4），A9（﹣3，5），A10（3，5），…，
∴A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数），
∵2023＝505×4+3，
∴A2023（505+1，505×2+2），
即A2023 的坐标是（506，1012）．
故答案为：（506，1012）.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知点是平面直角坐标系中的点．
（1）若点A在第四象限的角平分线上，求a的值；
（2）若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为11，请确定点A的坐标．
【答案】（1）解：∵点A在第四象限的角平分线上，
∴，
解得：；
（2）解：∵点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为11，
∴点A到x轴距离为，到y轴的距离为：，
∴，
解得：，
∴．
18．如图，在平面直角坐标系中，A(﹣3，2)，B(﹣4，﹣3)，C(﹣1，﹣1)．
⑴在图中作出关于y轴对称的；
⑵写出点的坐标（直接写答案）；
⑶在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
【答案】解：⑴先根据轴对称的性质分别描出点，再顺次连接即可得到，如图所示：
⑶由轴对称的性质得：
则
由两点之间线段最短得：当三点共线时，取得最小值，最小值为
如图，连接，与y轴的交点P即为所求．
【解析】（2）点坐标关于y轴对称的变化规律：横坐标变为相反数，纵坐标不变
；
19．如图，在平面直角坐标系中，，，，且．
（1）求，的值；
（2）①在轴的正半轴上存在一点，使，求点的坐标；
②在坐标轴的其他位置是否存在点，使，仍然成立？若存在请直接写出符合条件的点的坐标．
【答案】（1）解：，，，
，，
解得：，；
（2）解：①设，
，，，，
，
解得：，
；
②：当在轴负半轴时，设，
，，，，
，
解得：，
；
：当在轴上时，设，
，，，，
，
解得：，
或；
综上所述：或或．
20．如图
（1）在平面直角坐标系中，画，使其三个顶点为，，；
（2）是直角三角形吗？请证明你的判断.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：是直角三角形.
理由如下：
由勾股定理可知，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形.
21．对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点 的坐标为(a+kb，ka+b)（其中k为常数，且k≠0），则称点 为点P的“k属派生点”，例如：P(1，4)的“2属派生点”为 (1+2×4，2×1+4)，即 (9，6).
（1）点P(﹣2，3)的“2属派生点” 的坐标为 ；
（2）若点P的“4属派生点” 的坐标为(2，﹣7)，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为 点，且线段P 的长度为线段OP长度的3倍，求k的值.
【答案】（1）（4，-1）
（2）解：设 ，
∴ ，
解得
∴ ；
（3）解：∵点P在 轴的正半轴上，
∴P的横坐标为0，设 ，则点P的“ 属派生点” 点为 ，
∴ ， ，
∵线段 的长度为线段 长度的3倍，
∴ ，
∴ .
【解析】（1）由定义可知： ， ，
∴ 的坐标为 ，
故答案为： ；
22．如图，平面直角坐标系中，将线段AB平移，使点A（0，3）平移到A′（5，0），B平移到B′（1，﹣3）
（1）则B点的坐标为 ；
（2）求△AB′B的面积：
（3）A′B′的延长线交y轴于C，点D、E分别是x轴、射线A′，B′上的点．若∠ABD的平分线BF的反向延长线交CE于点H，∠ECO的平分线交BH于点G，求∠HGC的度数．
【答案】（1）（﹣4，0）
（2）解：如图1，连接AA'，
由AB=B'A'，AB∥B'A'，可得四边形ABB'A'是平行四边形，
∴S△ABB'=S△ABA'= A'B×AO= ×9×3= ；
（3）解：
设∠GHC=α，∠GCH=β，则∠ABF=α，
∵BF平分∠ABD，GC平分∠HCO，
∴∠ABD=2α，∠HCO=2β，
又∵∠AOB=90°，
∴∠BAC=2α﹣90°，
∵AB∥CH，
∴∠BAC+∠HCO=180°，
∴2α﹣90°+2β=180°，
即α+β=135°，
∴△CHG中，∠HGC=180°﹣（α+β）=45°．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足 .
（1）直接写出 ， ；
（2）连接AB，P为 内一点， .
①如图1，过点 作 ，且 ，连接 并延长，交 于 .求证： ；
②如图2，在 的延长线上取点 ，连接 .若 ，点P（2n， n），试求点 的坐标.
【答案】（1）3；
（2）解：①连接AC，
∵∠COP=∠AOB=90°，
∴∠COP-∠AOP =∠AOB-∠AOP，
∴ ，
在△OPB和△OCA中，
，
∴△OPB≌△OCA（SAS），
∴AC=BP，∠OCA=∠OPB=90°，
过点B作BN⊥BP，交CP的延长线于点N，
∵∠COP=90°，OP=OC，
∴∠OCP=∠OPC=∠ACP=45°，
∵∠OPB=90°，
∴∠BPN=45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，
∴∠BPN=∠N=45°，
∴BN=BP=AC，
在△ACD和△BND中，
，
∴△ACD≌△BND（AAS），
∴AD=DB；
②∵∠AOB=90°，AO=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵∠MBO=∠ABP，
∴∠MBO+∠OBP=∠ABP+∠OBP=∠OBA=45°，
∴∠MBP=45°，
∵OP⊥BP，
∴△BMP为等腰直角三角形，
∴MP=BP，
过点P作y轴的平行线EF，分别过M，B作ME⊥EF于E，BF⊥EF于F，EF交x轴于G，ME交y轴于H，连接OE，
∴∠MPE+∠EMP=∠MPE +∠FPB=90°，
∴∠EMP=∠FPB，
在△PBF和△MPE中，
，
∴△PBF≌△MPE（AAS），
∴BF=EP，PF=ME，
∵P（2n， n），
∴BF=EP=EH=2n，PG=EG=n，PF=ME=3 n，
∴MH=ME-EH=3 n 2n=3 3n，
∴E（2n，n） ，M（3n 3，n），
∴点P，E关于x轴对称，
∴OE=OP，∠OEP=∠OPE，
同理OM=OE，点M，E关于y轴对称，
∴3n 3+2n=0，
解得 ，即点M的坐标为（ ， ）.
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
故答案为：3， ；
24．已知在直角坐标系中，点，，，由线段绕原点O顺时针转动某个角度得到线段，线段顺时针转动得到线段，连接，作直线交于点R.
（1）如图1，当点P在第一象限
①若时，求点P坐标；
②求证：；
③求证：；
（2）在线段绕原点转动的过程中，当为等腰三角形时，求点P坐标.
【答案】（1）解：①作轴于点N，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
由勾股定理得，
∴点P坐标为；
②∵，
∴，
∵，，
∴；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：由③知，，
要使为等腰三角形，
必定，
∴，
当点P与点C重合时，显然为等腰直角三角形，
此时，；
当点P与点C关于x轴对称点重合时，显然为等腰直角三角形，
此时，；
当点P在第一象限时，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
由勾股定理得，
作轴于点N，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
点P坐标为；
当点P在第二象限时，
同理可证四边形是正方形，
由勾股定理得，
作轴于点N，
同理求得，
由勾股定理得，
点P坐标为；
综上，点P坐标为或或或.
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