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4.2 由平行线截得的比例线段 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是浙教版九年级上册数学第4章第2节的内容，平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。平行线分线段成比例定理是本章的重点。它是研究相似三角形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比来证明。
学习者分析 学生在学习本节课前已经学习了比例的基本性质、比例线段的概念，能根据线段的长度计算比例和利用比例计算相关线段的长度，具有利用转化思想解决问题的经验。要达成本节课的教学目标，学生需要具备从教学活动中发现并归纳出数学规律的能力；能根据比例线段计算相关线段的长度；在不满足定理使用条件的问题中，能先合理的创造定理使用条件，再利用定理解决问题。
教学目标 1.探究基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。2.会利用基本事实将一条线段等分。3.能应用基本事实证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。
教学重点 探究基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。
教学难点 1.会利用基本事实将一条线段等分。2.能应用基本事实证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：（1）什么叫比例线段？四条线段 a、b、c、d 中，如果 a：b=c：d，那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.（2）比例的基本性质？如果，那么ad=bc.如果ad=bc (a, b, c, d都不等于0)，那么.【思考】你能用直尺和圆规把一条线段三等分吗？学生活动1：学生回忆上节课所学知识，回答教师提出的问题。学生思考怎样用直尺和圆规把一条线段三等分。活动意图说明：通过复习，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究基本事实教师活动2：教师出示课本问题：【合作学习】1.观察有横格线的练习簿页，这些横格线有什么特征 在图中任意画几条直线，使之与横格线相交。这些横格线在每一条所画的直线上截得的线段有什么规律 2.观察下图. l1，l2，l3，l4，l5是一组等距离的平行线.AE与A'E'是任意画的两条直线，分别与这组平行线依次相交于点A，B，C，D，E 和 A',B'，C'，D'，E'.你还能再找出两组比例线段吗 你能发现什么？【总结归纳】平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截，所得的对应线段成比例．几何语言表示：如图，∵l3 ∥ l4 ∥ l5【拓展提高】1. 一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；2. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；学生活动2：学生思考，回答课本中的问题。学生在教师的引导下探究平行线分线段成比例的基本事实。学生在教师的引导下总结归纳。活动意图说明：学生在教师引导下探索平行线分线段成比例的基本事实，在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：例题讲解教师活动3：【例1】如图，直线l1∥ l2∥ l3，直线AC分别交l1， l2， l3于点A，B，C；直线DF分别交l1， l2， l3于点D，E，F.已知DE=3，EF=6，AB=4，求AC的长.解：∵l1∥ l2∥ l3想一想：怎样利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长？先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段长．【例2】已知线段AB，把线段AB五等分.作法：如图.1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.2. 连结A5B，并过点A1, A2, A3, A4分别作A5B的平行线，依次交AB 于点B1, B2, B3, B4.点B1, B2, B3, B4就是所求作的把线段AB五等分的点.事实上，我们只要过点A作一条与A5B平行的直线l，就可以根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”的基本事实，得到:而AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B ,这就证明了点B1, B2, B3, B4是所求作的分点.【总结归纳】n等分线段的步骤：(1)过已知线段的一个端点作一条射线，在其上顺次截取n条相等的线段。(2)连接已知线段的另一个端点与射线上第n个点得一条线段。(3)过射线上(n-1)个分点作(2)中所得线段的平行线，与已知线段相交,则这(n-1)个交点n等分已知线段。学生活动3：学生在教师的指导下完成课本例题。师生共同完成解题过程。学生教师的引导下完成将一条线段n等分。学生总结作法。学生在教师的引导下完成n等分线段的步骤总结。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：4.2 由平行线截得的比例线段一、基本事实二、将一条线段n等分三、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若 ，则等于( B )A. B． C. D．12．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( A )A.＝ B．＝C.＝ D．＝3.如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是( B )A．EG＝4GC B．EG＝3GCC．EG＝5GC D．EG＝2GC4. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为( D ).A．2 B．3 C．4 D．选做题：5.如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5， , 则AE的长为（ A ）.A. 1 B. 3 C. 5 D. 46.如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC=1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为( C ).A. 4B. 5C. 6 D. 7【综合实践类作业】7.如图，在□ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE∶DA＝2∶5，EF＝4，求线段GC的长．解：∵EF∥AB，∴＝＝.∵FG∥ED，ED∥BC，∴FG∥BC，∴＝＝.易得四边形EFGD为平行四边形，∴DG＝EF＝4.∴DC＝10.∴GC＝DC－DG＝10－4＝6.
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上. 若线段AB=3，则线段BC的长是( C ).A. B. 3 C. D. 42. 如图，在△ABC中，DE∥BC， ，若AC=6，则EC=( C )A. B. C. D. 选做题：3.如图，点D是△ABC中AB边上靠近A点的四等分点，即4AD=AB，连接CD，F是AC上一点，连接BF与CD交于点E，点E恰好是CD的中点，若S△ABC=8，则四边形ADEF的面积是( C ).A. 4 B. C. D. 2【综合实践类作业】4.如图，DE∥BC，EF∥CG，AD∶AB＝1∶3，AE＝3. 求EC的长；解：∵DE∥BC，∴＝.又∵＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9.∴EC＝AC－AE＝9－3＝6.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截， 所得的对应线段成比例．2.将一条线段n等分.
教学反思 在授课过程中要根据学生的个体差异，注意因材施教、分层教学，在教学中结合课本“想一想”、“议一议”、“做一做”等教学环节调动学生的潜能，为每一位学生创设施展才能的空间，让学生学得轻松、愉快，培养学生的成就感，使每一位学生都能获得不同程度的成功，同时把学生的活动贯穿于教学的整体过程中，提供学生学习合作、交流、探索、归纳的机会，使学生最大限度的动手、动口、动脑、同伴互助，让学生通过实际感悟平行线分线段成比例定理及其推论的区别与联系.
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4.2 由平行线截得的比例线段
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.探究基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。
2.会利用基本事实将一条线段等分。
3.能应用基本事实证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。
复习回顾
（1）什么叫比例线段？
四条线段 a、b、c、d 中，如果 a：b=c：d，那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.
（2）比例的基本性质？
如果 ，那么ad=bc.
如果ad=bc (a, b, c, d都不等于0)，那么 .
新知讲解
【思考】你能用直尺和圆规把一条线段三等分吗？
新知讲解
【合作学习】
1.观察有横格线的练习簿页，这些横格线有什么特征 在图中任意画几条直线，使之与横格线相交。这些横格线在每一条所画的直线上截得的线段有什么规律
新知讲解
【合作学习】
2.观察下图. l1，l2，l3，l4，l5是一组等距离的平行线.AE与A'E'是任意画的两条直线，分别与这组平行线依次相交于点A，B，C，D，E 和 A',
B'，C'，D'，E'.
新知讲解
你还能再找出两组比例线段吗
你能发现什么？
新知讲解
平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截， 所得的对应线段成比例．
【总结归纳】
几何语言表示：
如图，∵l3 ∥ l4 ∥ l5
新知讲解
1. 一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；
2. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；
【拓展提高】
新知讲解
【例1】如图，直线l1∥ l2∥ l3，直线AC分别交l1， l2， l3于点A，B，C；直线DF分别交l1， l2， l3于点D，E，F.
已知DE=3，EF=6，AB=4，求AC的长.
解：∵ l1∥ l2∥ l3
新知讲解
想一想：怎样利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长？
先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段长．
新知讲解
【例2】已知线段AB，把线段AB五等分.
A
B
作法：如图.
1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2. 连结A5B，并过点A1, A2, A3, A4分别作A5B的平行线，依次交AB 于点B1, B2, B3, B4.
点B1, B2, B3, B4就是所求作的把线段AB五等分的点.
新知讲解
事实上，我们只要过点A作一条与A5B平行的直线l，就可以根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”的基本事实，
得到:
而AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5 ,
∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B ,
这就证明了点B1, B2, B3, B4是所求作的分点.
新知讲解
n等分线段的步骤：
(1)过已知线段的一个端点作一条射线，在其上顺次截取n条相等的线段。
(2)连接已知线段的另一个端点与射线上第n个点得一条线段。
(3)过射线上(n-1)个分点作(2)中所得线段的平行线，与已知线段相交,则这(n-1)个交点n等分已知线段。
【总结归纳】
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.
若 ，则 等于( )
A. B． C. D．1
B
课堂练习
A
课堂练习
3.如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是( )
A．EG＝4GC
B．EG＝3GC
C．EG＝5GC
D．EG＝2GC
B
课堂练习
4. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为( ).
A．2
B．3
C．4
D．
D
课堂练习
A
【知识技能类作业】
选做题：
5.如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5， , 则AE的长为（ ）.
A. 1
B. 3
C. 5
D. 4
课堂练习
6.如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC
=1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为( ).
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
C
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，在□ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE∶DA＝2∶5，EF＝4，求线段GC的长．
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截， 所得的对应线段成比例．
2.将一条线段n等分.
板书设计
课题：4.2 由平行线截得的比例线段
教师板演区
学生展示区
一、基本事实
二、将一条线段n等分
三、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
C
1.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上. 若线段AB=3，则线段BC的长是( ).
A. B. 3 C. D. 4
作业布置
2. 如图，在△ABC中，DE∥BC， ，若AC=6，则EC=( )
A. B. C. D.
C
作业布置
选做题：
3. 如图，点D是△ABC中AB边上靠近A点的四等分点，即4AD=AB，连接CD，F是AC上一点，连接BF与CD交于点E，点E恰好是CD的中点，若S△ABC=8，则四边形ADEF的面积是( ).
A. 4 B.
C. D. 2
C
作业布置
【综合实践类作业】
4.如图，DE∥BC，EF∥CG，AD∶AB＝1∶3，AE＝3. 求EC的长；
谢谢
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第四章
课标要求 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6.了解三角形中心的概念 7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 8.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 相似图形是指两个在外形、大小方面具有某种关系的图形，它以全等三角形和相似变换为根底，是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化，它是空间与图形范围中的首要内容，对前后各部分常识起到纽带的作用。本章内容主要包含比例线段，相似三角形，相似三角形的性质及其应用，相似多边形，图形的位似等。这些内容是以比例线段为根底，以相似三角形为中心展开并探究的，并且在物理学、工程设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似三角形的知识，相似三角形有关知识的考查在中考中也占有重要地位，因此学好相似三角形既是进一步学习的需要，也是工作实践的需要。
学情分析 九年级学生已经具有自主学习意识，由于七年级时学过全等三角形，学生在学习过程中容易将全等三角形的定义和相似三角形的定义混在一起，学习时应强调对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。在学习过程中，对应角和对应边这个概念容易出错，作为教师应该耐心说明。在记两个三角形相似时，跟记两个三角形全等一样，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上，这样就比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。
单元目标 （一）教学目标 1.理解比例的基本性质，会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形。 2.了解线段比和成比例线段的概念 理解比例中项的概念。 3.了解相似三角形的概念，探索两个三角形相似的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，会在简单情况下判定两个三角形相似。 4.了解相似三角形的对应角相等，对应边成比例，了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.了解相似多边形的概念，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 6.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。 （二）教学重点、难点 重点： 1.理解比例的基本性质。 2.了解相似三角形的概念，掌握两个三角形相似的判定定理。 3.了解相似三角形的性质。 4.了解相似多边形的概念和图形的位似。 难点： 1.会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形，掌握基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截，所得对应线段成比例。 2.了解黄金分割，会进行有关黄金分割的简单计算。 3.会判定两个三角形相似。 4.了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1比例线段34.2由平行线截得的比例线段14.3相似三角形14.4两个三角形相似的判定34.5相似三角形的性质及其应用34.6相似多边形14.7图形的位似1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 比例线段31.掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.能灵活运用比例的基本性质进行比例式的变形。培养用方程的观点解决问题的思想方法和思维习惯。理解掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质进行简单应用。1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比。 2.理解成比例线段的概念，掌握成比例线段的判定方法。1．会求两条线段的比。 2.会判断几条线段是否成比例。从丰富的实例入手,引导学生进行观察、发现和概括，在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知识。1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比。 2.能对黄金分割进行简单运用。体会数形结合思想在解决数学问题中的作用，在现实情境中体会黄金分割的文化价值，感受数学之美。通过一些具体的例子让学生感受黄金分割的作用，并通过作图让学生感受到黄金分割点的存在。由平行线截得的比例线段1 1.探究基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。 2.能应用定理证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 2.通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 利用换线段、换中间比及分析法探求解题思路方法，培养学生分解根本图形的能力，并利用特殊形式研究问题的方法。 相似三角形1 1.理解掌握相似三角形的定义。 2.掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念。1.了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2.根据相似三角形的定义，得到相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 本节的重点与难点是相似三角形的定义，解决这一难点的关键是正确理解相似三角形的定义，区分全等形与相似形的相同点不同点。 两个三角形相似的判定3 1.掌握三角形相似的判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似。 2.学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题，解决问题的能力。 经历过探索全等三角形判定，通过类比得到相似三角形的判定方法。 掌握判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似，会运用判定定理判定两个三角形相似。1.掌握三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。1.掌握判定方法2，会运用判定方法判定两个三角形相似. 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。通过画图、度量等操作，经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程。1.复习已经学过的三角形相似的两个判定定理。 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。1.掌握三角形相似的第3个判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。类似于判定三角形全等的SSS 方法，探索通过三边关系来判定两个三角形相似。 相似三角形的性质及其应用31.进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理。 2.掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，进一步培养学生类比的教学思想。 掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 2.运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。通过画图，探索相似三角形的周长与面积的性质。能够运用相似三角形的周长与面积的性质解决相关问题，1.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2.进一步检验数学的应用价值.运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系解决实际问题。 相似多边形11.通过图形的收集、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用语言叙述。 2.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能依据相似解决相似多边形的边角问题。 1.类比相似三角形的概念得出相似多边形的概念及表示方法。 2.掌握相似多边形的周长、面积的性质。通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形的定义和相似比。 图形的位似11.理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。 2.会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。经历位似图形性质的探索过程，发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。通过画图一一观察一一操作一一思考的活动过程，认识位似图形。
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