(共32张PPT)
4.3 相似三角形
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
复习回顾/新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.理解掌握相似三角形和相似比的定义.
2.了解相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
3.掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念。
复习回顾
想一想：什么是全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
如果两个三角形全等，它们的对应边、对应角有怎样的大小关系？
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
新知导入
观察下面的图片，图中的三角形全等吗？
这些三角形有什么关系？
新知讲解
量一量图中两个三角形各内角的度数，这两个三角形各内角之间有什么关系？
∠A=∠A’
∠B=∠B’
∠C=∠C’
新知讲解
算一算这两个三角形各条边的长，这两个三角形的边之间有什么关系？
AB：A'B'=2：1
BC：B'C'=2：1
AC：A'C'=2：1
新知讲解
相似三角形
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.
相似用符号“∽”表示，读做“相似于“.
如图，△A'B'C'与△ABC相似，
记做“△A'B'C'∽△ABC”
新知讲解
相似三角形对应边的比叫做相似比.
相似比
如图，△A'B'C'与△ABC的相似比是：
新知讲解
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
如图：△A'B'C'∽△ABC，∴∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’
新知讲解
【做一做】
1.如图，D，E分别是△ABC的两条边上的点，△ADE与△ABC相似.
根据以下两个不同的图形，分别写出△ADE与△ABC的对应角，以及对应边成比例的比例式.
∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C
新知讲解
【做一做】
1.如图，D，E分别是△ABC的两条边上的点，△ADE与△ABC相似.
根据以下两个不同的图形，分别写出△ADE与△ABC的对应角，以及对应边成比例的比例式.
∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C
新知讲解
【做一做】
2.两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它们的相似比是
多少
全等三角形的相似比是1.
新知讲解
【例1】已知：如图，D，E分别是AB，AC边的中点.
求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC.
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
在△ADE 和△ABC中，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A
△ADE∽△ABC
新知讲解
例2 如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，△ADE∽△ABC.已知AD：DB=1：2，BC=9cm，求DE的长.
解：∵△ADE∽△ABC，
答:DE的长为3cm.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列说法正确的是( )
A．所有的等腰三角形都相似
B．所有的等边三角形都相似
C．所有的直角三角形都相似
D．两个相似三角形必是全等三角形
B
课堂练习
2.如图，△DEF∽△DGH，则DG的对应边是________，∠F的对应角是________．
DE
∠H
3.如图，△ADE∽△ABC，若AD：DB＝1：3，则△ADE与△ABC的相似比是( ) .
A．1∶3
B．1∶4
C．3∶1
D．4∶1
课堂练习
B
课堂练习
4.如图，小明设计两个直角(∠C和∠ABD)来测量河宽BC，他量得AB＝20米，BD＝30米，CE＝90米，则河宽BC为( )
A．50米
B．40米
C．60米
D．80米
B
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.如图，△ADE∽△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是( )
A．1∶2
B．1∶3
C．2∶3
D．3∶2
B
课堂练习
6.如图，已知△ABO∽△DCO，若AO＝3，AD＝8，AB＝6，则CD的长是（ ）．
A．3
B．6
C．8
D．10
D
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，AB，CD相交于点O，△AOC∽△BOD.
(1)若OC∶OD＝2∶3，AC＝4，求BD的长．
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，AB，CD相交于点O，△AOC∽△BOD.
(2)若∠A＝30°，∠AOC＝70°，求∠D的度数．
解：∵△AOC∽△BOD，∠A＝30°，∠AOC＝70°
∴∠A＝∠B＝30°，∠AOC＝∠BOD＝70°，
∴∠D＝180°－（∠B+∠BOD）
＝180°－（30°+70°）
＝80°.
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.
2.相似三角形对应边的比叫做相似比.
3.相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
4.全等三角形的相似比是1.
板书设计
课题：4.3 相似三角形
教师板演区
学生展示区
一、相似三角形的定义
二、相似比
三、相似三角形的性质
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.用放大镜观察一个三角形时，不变的量是( )
A．各边的长度
B．各角的度数
C．三角形的面积
D．三角形的周长
B
作业布置
2.如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为( )
A．35° B．45° C．65° D．80°
C
作业布置
选做题：
3.如图，D，E分别是AC，AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，则AE＝________，BE＝________．
4
5
作业布置
选做题：
4.如图，在正方形网格中，△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为________．
45°
作业布置
【综合实践类作业】
5.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，∠BAC＝40°，若△ABD∽△EAD，求∠DAE的度数．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°.
∵△ABD∽△EAD，
∴∠DAE＝∠DBA＝180°－∠ABC
＝180°－70°＝110°.
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4.3 相似三角形 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是浙教版九年级上册第4章第3节的内容,相似三角形所要研究的本质就是两个三角形边角之间的关系，通过与全等三角形的比较，突出全等与相似的相互关系:既有相同之处，更有不同之处，本节的学习应突出一种对应关系，即找两个相似三角形的对应边和对应角，关键是先找到其对应顶点，课本通过“做一做”“课内练习”“作业题”等来加深学生对“对应”的理解，安排的两个例题是对定义所包含的性质和判定两方面运用，这也是本节的另一个重点.
学习者分析 从认知发展上看,九年级的学生已经初步具备抽象的符号意识与逻辑运算能力。学生在八年级上册就已经学习过全等三角形，虽然相似三角形与全等三角形的内容有许多相通的地方，但由于知识与思维的限制，学生不能很好地做到知识的迁移，需要教师的一定的引导。因此，本节课将从结合全等三角形的知识展开本节课的学习，从而达到对本节课知识的理解。
教学目标 1.理解掌握相似三角形和相似比的定义。2.了解相似三角形的对应角相等，对应边成比例。3.掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念。
教学重点 理解掌握相似三角形和相似比的定义。
教学难点 掌握相似三角形的性质定理，并能利用相似三角形的性质定理解决问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：想一想：什么是全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如果两个三角形全等，它们的对应边、对应角有怎样的大小关系？全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.观察下面的图片，图中的三角形全等吗？这些三角形有什么关系？学生活动1：学生复习以前学习的全等三角形的定义及性质，回答问题。学生观察图片，思考问题。活动意图说明：通过复习全等三角形的相关问题以及观察图片，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究相似三角形的定义及性质教师活动2：教师出示课本问题：量一量图中两个三角形各内角的度数，这两个三角形各内角之间有什么关系？算一算这两个三角形各条边的长，这两个三角形的边之间有什么关系？∠A=∠A’∠B=∠B’∠C=∠C’ AB：A'B'=2：1 BC：B'C'=2：1AC：A'C'=2：1相似三角形一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示，读作“相似于“.如图，△A'B'C'与△ABC相似，记做“△A'B'C'∽△ABC”相似三角形对应边的比叫做相似比.如图，△A'B'C'与△ABC的相似比是：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.如图：△A'B'C'∽△ABC，∴∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’学生活动2：学生思考计算，回答课本中的问题。学生在教师的引导下总结相似三角形的定义。学生学习相似三角形的符号语言表示。学生总结归纳相似三角形的性质定理。活动意图说明：学生在教师引导下探索相似三角形以及相似比的定义，总结相似三角形的性质，既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。环节三：例题讲解教师活动3：【做一做】 1.如图，D，E分别是△ABC的两条边上的点，△ADE与△ABC相似.根据以下两个不同的图形，分别写出△ADE与△ABC的对应角，以及对应边成比例的比例式. ∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C2.两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它们的相似比是多少 全等三角形的相似比是1.【例1】已知：如图，D，E分别是AB，AC边的中点.求证：△ADE∽△ABC.证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC.∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.在△ADE 和△ABC中，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A∴△ADE∽△ABC例2 如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，△ADE∽△ABC.已知AD：DB=1：2，BC=9cm，求DE的长.解：∵△ADE∽△ABC， 答:DE的长为3cm学生活动3：本环节由两道例题和两道习题组成。例题由师生交流共同完成，教师要做好解题的示范作用。而习题则鼓励学生先独立思考，再进行小组交流。教师要做好组织者的角色。学生完成例题，教师讲解。师生共同完成解题过程。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：4.3 相似三角形一、相似三角形的定义二、相似比三、相似三角形的性质
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.下列说法正确的是( B ) A．所有的等腰三角形都相似B．所有的等边三角形都相似C．所有的直角三角形都相似D．两个相似三角形必是全等三角形2.如图，△DEF∽△DGH，则DG的对应边是_DE_，∠F的对应角是_∠H__．3.如图，△ADE∽△ABC，若AD：DB＝1：3，则△ADE与△ABC的相似比是( B ) .A．1∶3B．1∶4C．3∶1D．4∶14.如图，小明设计两个直角(∠C和∠ABD)来测量河宽BC，他量得AB＝20米，BD＝30米，CE＝90米，则河宽BC为( ) A．50米 B．40米 C．60米 D．80米选做题：5.如图，△ADE∽△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是( B ) A．1∶2B．1∶3C．2∶3D．3∶26.如图，已知△ABO∽△DCO，若AO＝3，AD＝8，AB＝6，则CD的长是（ D ）．A．3B．6C．8D．10【综合实践类作业】7.如图，AB，CD相交于点O，△AOC∽△BOD.(1)若OC∶OD＝2∶3，AC＝4，求BD的长．解：∵△AOC∽△BOD，∴＝，∵OC∶OD＝2∶3，AC＝4，∴＝，∴BD＝6.(2)若∠A＝30°，∠AOC＝70°，求∠D的度数．解：∵△AOC∽△BOD，∠A＝30°，∠AOC＝70°∴∠A＝∠B＝30°，∠AOC＝∠BOD＝70°，∴∠D＝180°－（∠B+∠BOD）＝180°－（30°+70°）＝80°.
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.用放大镜观察一个三角形时，不变的量是( B ) A．各边的长度 B．各角的度数C．三角形的面积 D．三角形的周长2.如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为( C ) A．35° B．45° C．65° D．80°选做题：3.如图，D，E分别是AC，AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，则AE＝____4____，BE＝____5____．4.如图，在正方形网格中，△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为___45°_____．【综合实践类作业】5.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，∠BAC＝40°，若△ABD∽△EAD，求∠DAE的度数．解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°.∵△ABD∽△EAD，∴∠DAE＝∠DBA＝180°－∠ABC＝180°－70°＝110°.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？1.对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.2.相似三角形对应边的比叫做相似比.3.相似三角形的对应角相等，对应边成比例.4.全等三角形的相似比是1.
教学反思 新课标中提出：数学教学活动要激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考。因此，在本节课的教学过程中，将通过已学过的全等三角形引发学生的思考，观察发现相似三角的基本特征并归纳出相似三角形的定义，进而引出关于相似的两个三角形的对应边和角的性质，锻炼了学生的逻辑思维能力。提高学生的观察力，培养学生发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的能力。
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第四章
课标要求 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6.了解三角形中心的概念 7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 8.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 相似图形是指两个在外形、大小方面具有某种关系的图形，它以全等三角形和相似变换为根底，是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化，它是空间与图形范围中的首要内容，对前后各部分常识起到纽带的作用。本章内容主要包含比例线段，相似三角形，相似三角形的性质及其应用，相似多边形，图形的位似等。这些内容是以比例线段为根底，以相似三角形为中心展开并探究的，并且在物理学、工程设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似三角形的知识，相似三角形有关知识的考查在中考中也占有重要地位，因此学好相似三角形既是进一步学习的需要，也是工作实践的需要。
学情分析 九年级学生已经具有自主学习意识，由于七年级时学过全等三角形，学生在学习过程中容易将全等三角形的定义和相似三角形的定义混在一起，学习时应强调对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。在学习过程中，对应角和对应边这个概念容易出错，作为教师应该耐心说明。在记两个三角形相似时，跟记两个三角形全等一样，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上，这样就比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。
单元目标 （一）教学目标 1.理解比例的基本性质，会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形。 2.了解线段比和成比例线段的概念 理解比例中项的概念。 3.了解相似三角形的概念，探索两个三角形相似的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，会在简单情况下判定两个三角形相似。 4.了解相似三角形的对应角相等，对应边成比例，了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.了解相似多边形的概念，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 6.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。 （二）教学重点、难点 重点： 1.理解比例的基本性质。 2.了解相似三角形的概念，掌握两个三角形相似的判定定理。 3.了解相似三角形的性质。 4.了解相似多边形的概念和图形的位似。 难点： 1.会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形，掌握基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截，所得对应线段成比例。 2.了解黄金分割，会进行有关黄金分割的简单计算。 3.会判定两个三角形相似。 4.了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1比例线段34.2由平行线截得的比例线段14.3相似三角形14.4两个三角形相似的判定34.5相似三角形的性质及其应用34.6相似多边形14.7图形的位似1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 比例线段31.掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.能灵活运用比例的基本性质进行比例式的变形。培养用方程的观点解决问题的思想方法和思维习惯。理解掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质进行简单应用。1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比。 2.理解成比例线段的概念，掌握成比例线段的判定方法。1．会求两条线段的比。 2.会判断几条线段是否成比例。从丰富的实例入手,引导学生进行观察、发现和概括，在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知识。1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比。 2.能对黄金分割进行简单运用。体会数形结合思想在解决数学问题中的作用，在现实情境中体会黄金分割的文化价值，感受数学之美。通过一些具体的例子让学生感受黄金分割的作用，并通过作图让学生感受到黄金分割点的存在。由平行线截得的比例线段1 1.探究基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。 2.能应用定理证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 2.通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 利用换线段、换中间比及分析法探求解题思路方法，培养学生分解根本图形的能力，并利用特殊形式研究问题的方法。 相似三角形1 1.理解掌握相似三角形的定义。 2.掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念。1.了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2.根据相似三角形的定义，得到相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 本节的重点与难点是相似三角形的定义，解决这一难点的关键是正确理解相似三角形的定义，区分全等形与相似形的相同点不同点。 两个三角形相似的判定3 1.掌握三角形相似的判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似。 2.学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题，解决问题的能力。 经历过探索全等三角形判定，通过类比得到相似三角形的判定方法。 掌握判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似，会运用判定定理判定两个三角形相似。1.掌握三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。1.掌握判定方法2，会运用判定方法判定两个三角形相似. 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。通过画图、度量等操作，经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程。1.复习已经学过的三角形相似的两个判定定理。 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。1.掌握三角形相似的第3个判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。类似于判定三角形全等的SSS 方法，探索通过三边关系来判定两个三角形相似。 相似三角形的性质及其应用31.进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理。 2.掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，进一步培养学生类比的教学思想。 掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 2.运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。通过画图，探索相似三角形的周长与面积的性质。能够运用相似三角形的周长与面积的性质解决相关问题，1.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2.进一步检验数学的应用价值.运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系解决实际问题。 相似多边形11.通过图形的收集、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用语言叙述。 2.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能依据相似解决相似多边形的边角问题。 1.类比相似三角形的概念得出相似多边形的概念及表示方法。 2.掌握相似多边形的周长、面积的性质。通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形的定义和相似比。 图形的位似11.理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。 2.会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。经历位似图形性质的探索过程，发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。通过画图一一观察一一操作一一思考的活动过程，认识位似图形。
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