2023浙教版数学 八年级下册第二章综合素质评价（含答案）

第二章综合素质评价
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1. [教材P28作业题T1变式]下列方程中一定是一元二次方程的是(　　)
A. ax2＋bx＋c＝0 B. 3x2－2x＋1＝mx2
C. x＋＝1 D. (a2＋a＋2)x2－3x＋1＝0
2. [2023·温州瓯海区月考]将方程2x2－1＝3x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　)
A. 2，1，3 B. 2，－1，3
C. 2，－3，－1 D. 2，－3，1
3. 用配方法解方程x2＋6x＋8＝0时，配方后得到的方程是(　　)
A. (x＋3)2＝1 B. (x＋3)2＝8
C. (x－3)2＝1 D. (x－3)2＝9
4. 某品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由10 000元降到6 400元，且第二次降价的百分率是第一次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程为(　　)
A. 10 000(1－x)(1－2x)＝6 400
B. 6 400(1－x)(1＋2x)＝10 000
C. 10 000(1－x)(1－0. 5x)＝6 400
D. 6 400(1＋x)(1＋0. 5x)＝10 000
5. 关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值是(　　)
A. －2 B. －1 C. 0 D. 1
6. 方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是(　　)
A. 12 B. 15
C. 12或15 D. 18或9
7. [2023·杭州萧山区期中]已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，则x2＋y2的值为(　　)
A. 0 B. 4 C. 4或－2 D. －2
8. 已知a是方程x2－2 025x＋4＝0的一个解，则
a2－2 024a＋＋7的值为(　　)
A. 2 028 B. 2 027 C. 2 026 D. 2 025
9. [数学文化]古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就已提出一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法求解. 欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝.
则该方程的一个正根是(　　)
A. CD的长
B. AC的长
C. AD的长
D. BC的长
10.[2023·杭州西湖区期中]对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)，下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；
②若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2－4ac＝ (2ax0＋b)2.
其中正确的是(　　)
A. ①② B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11.方程x2－6x－4＝0的两根为x1＝________，x2＝________.
12.若x＝1是一元二次方程2x2－x＋m＝0的一个根，则m的值是________.
13.已知二次项系数为1的一元二次方程(未知数为x)的两根分别是2和－3，则这个一元二次方程是________________.
14. [2023·杭州滨江区期中]九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签平均分成A，B两组，再在每一组中进行单循环的小组赛(每两个班之间比赛一场)，若A组共进行了21场小组赛，则九年级共有______个班级.
15.若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 x2－4x＋2＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是________.
16.INCLUDEPICTURE"学科素养几何直观.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\24春\\24春 典中点 8 数学 ZJ（做测试卷\\学科素养几何直观.EPS" \* MERGEFORMATINET 《代数学》中记载，形如x2＋8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的长方形，得到大正方形的面积为33＋16＝49，则该方程的正数解为 7－4＝3. ”小唐按此方法解关于x的方程x2＋12x＝m时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为________.
INCLUDEPICTURE"卷8ZJ+7.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\24春\\24春 典中点 8 数学 ZJ（做测试卷\\卷8ZJ+7.EPS" \* MERGEFORMATINET
三、解答题(本题有8小题，共66分)
17. (6分)解方程：
(1)x2＋2x－1＝0；　　　　　　 (2)x2－4x＝4.
18. (6分) [2023·荆州]已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋ k－6＝0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)当k＝1时，用配方法解方程.
19. (6分)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋ m2＋5＝0的两个实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(3)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是等腰
三角形ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.
20. (6分) [2023·杭州]设一元二次方程x2＋bx＋c＝0. 在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①b＝2，c＝1； ②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝－1； ④b＝2，c＝2.
21. (8分) [2023·郴州]随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6 万人，4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率. 已知该景区5月1日至5月 21日已接待游客2. 125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
22. (10分)某校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480 m2的长方形场地. 若长方形场地的一边靠墙(墙长31 m)，另外三边由总长为60 m的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1 m的入口和出口(如图). 请根据方案计算出长方形场地平行于墙的边长为多少米？
INCLUDEPICTURE"卷8ZJ+8.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\24春\\24春 典中点 8 数学 ZJ（做测试卷\\卷8ZJ+8.EPS" \* MERGEFORMATINET
23. (10分) [2023·杭州拱墅区期中]关于x的一元二次方程x2－ (2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)用含k的代数式表示|x1－x2|；
(3)是否存在实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，试求出k的值；
若不存在，说明理由.
24. (14分)[教材P44作业题T5变式]如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动. 点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t s.
(1)填空：BQ＝________cm, PB＝________cm；(用含t的代数式表示)
(2)当t为多少时，PQ的长度等于8 cm
(3)是否存在某一时刻，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由.
答案
一、1. D　2. C　3. A　4. C　5. A
6. B　【点拨】x2－9x＋18＝0，分解因式，得(x－3)(x－6)＝0，所以x1＝3，x2＝6，所以等腰三角形三边长为3，3，6或3，6，6，当腰长为3时，三角形不存在，故三角形的底边长为3，腰长为6，所以这个等腰三角形的周长为3＋6＋6＝15.
7. B　【点拨】设 x2＋y2＝z，则原方程换元为(z＋1)(z－3)＝5，即z2－2z－8＝0，∴(z－4)(z＋2)＝0，解得z1＝4，z2＝－2，即 x2＋y2＝4或 x2＋y2＝－2(不合题意，舍去)，∴x2＋y2＝4.
8. A　【点拨】由题意得a2－2 025a＋4＝0，
∴a2＝2 025a－4，a2＋4＝2 025a，
∴原式＝2 025a－4－2 024a＋＋7＝a－4＋＋7＝ ＋3＝＋3＝2 028.
9. C　【点拨】利用勾股定理得AC2＋BC2＝AB2＝(AD＋BD)2，将BC＝，AC＝b，BD＝代入，整理得AD2＋a·AD＝b2，与原方程比较，可得AD的长是方程x2＋ax＝b2的一个正根.
10. B　【点拨】①若a＋b＋c＝0，则x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可b2－4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，∴0－4ac＞0， ∴－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0的判别式b2－4ac＞0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根，故②正确；③∵c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则ac2＋bc＋c＝0，∴c(ac＋b＋1)＝0，若c＝0，则ac＋b＋1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则由求根公式得x0＝或x0＝，
∴2ax0＋b＝或2ax0＋b＝－，
∴b2－4ac＝(2ax0＋b)2，故④正确.
二、11. 3＋；3－　12. －1　13. x2＋x－6＝0
14. 14　【点拨】设A组共有x个班级. 依题意得x(x－1)＝21，解得x1＝7，x2＝－6(不合题意，舍去)，∴九年级共有7×2＝14(个)班级.
15. 2 　【点拨】设两条直角边的长分别是a，b，
则a＋b＝4，ab＝2，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝42－2×2＝12，
∴直角三角形斜边的长是＝2 .
16. 4 －6
三、17. 【解】(1)x2＋2x－1＝0，
移项得x2＋2x＝1，
配方得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2，
则x＋1＝±，∴x1＝－1＋，x2＝－1－.
(2)x2－4x＝4，
配方得x2－4x＋4＝4＋4，即(x－2)2＝8，
则x－2＝±2 ，∴x1＝2＋2 ，x2＝2－2 .
18. 【解】(1)∵关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根，
∴[－(2k＋4)]2－4k(k－6)＞0，且k≠0，
解得k>－且k≠0.
(2)当k＝1时，
原方程为x2－(2×1＋4)x＋1－6＝0，
即x2－6x－5＝0，移项得x2－6x＝5，
配方得x2－6x＋9＝5＋9，即(x－3)2＝14，
直接开平方得x－3＝±，
解得x1＝3＋，x2＝3－.
19. 【解】(1)由题意得4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，解得m≥2.
(2)由题意得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，
由(x1－1)(x2－1)＝28得x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，
∴m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，
即m2－2m－24＝0，
解得m＝6或m＝－4，由(1)知m≥2，∴m＝6.
(3)由题意得，当7是底边长时，x1＝x2，
∴4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得m＝2，
此时原方程为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.
∵3＋3＜7，∴不能组成三角形；
当7是腰长时，原方程有一个解为7，
∴72－14(m＋1)＋m2＋5＝0，
即m2－14m＋40＝0，
解得m＝4或m＝10.
当m＝4时，原方程为x2－10x＋21＝0.
解得x＝7或x＝3.
∴等腰三角形ABC的周长为7＋7＋3＝17；
当m＝10时，原方程为x2－22x＋105＝0.
解得x＝7或x＝15.
∵7＋7＜15，∴不能组成三角形.
综上，等腰三角形ABC的周长为17.
20. 【解】∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4c＞0，即b2＞4c，∴选②③均可.
选②解方程，则这个方程为x2＋3x＋1＝0，
∴x＝，即x1＝，x2＝；
选③解方程，则这个方程为x2＋3x－1＝0，
∴x＝，
即x1＝，x2＝.
21. 【解】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意得1. 6(1＋x)2＝2. 5，
解得x1＝0. 25＝25%，x2＝－2. 25(不合题意，舍去).
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%.
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意得2. 125＋10a≤2. 5×(1＋25%)，
解得a≤0. 1.
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0. 1万人.
22. 【解】设长方形场地平行于墙的边长为x m(x≤31)，则垂直于墙的边长为(60－x＋1×2)＝ m，
由题意得x＝480，∴31x－x2＝480，
∴x2－62x＋960＝0，∴(x－30)(x－32)＝0，
解得x＝30或x＝32(舍去).
答：长方形场地平行于墙的边长为30 m.
23. 【解】(1)∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根，
∴[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＞0，
整理得4k－11＞0，∴k>.
(2)由根与系数的关系得x1＋x2＝2k－1，
x1x2＝k2－2k＋3.
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝4k－11.
∴|x1－x2|＝.
(3)存在. 由(1)可知k>.
∴x1＋x2＝2k－1>0.
又∵x1x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2>0，
∴x1>0，x2>0.
∴|x1|－|x2|＝可转化为x1－x2＝.
两边同时平方，得x12－2x1x2＋x22＝3.
即(x1＋x2)2－4x1x2＝3.
∴(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝3，
化简，得4k－14＝0，解得k＝.
24. 【解】(1)2t；(6－t)
(2)由勾股定理得(2t)2＋(6－t)2＝82，
化简，得5t2－12t－28＝0，
解得t1＝，t2＝(不合题意，舍去)，
∴当t＝时，PQ的长度等于8 cm.
(3)存在.
若四边形APQC的面积等于△ABC面积的，
则△PBQ的面积等于△ABC面积的，
∴(6－t)×2t＝××6×8，
∴t2－6t＋8＝0，解得t＝2或t＝4.
当t＝2时，BQ＝4 cm；当t＝4时，BQ＝8 cm，此时不存在四边形APQC，不合题意，舍去.
综上，存在某一时刻，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的，此时t的值为2.