浙教版八下数学第二章：一元二次方程复习学案二
例6.已知实数分别满足，求的值
变式训练：已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m.求m，n的值．
例7.已知关于x的方程的一个解与方程解相同
（1）求k的值；（2）求方程x2＋kx－2＝0的另一个根．
变式训练：已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：不可能是此方程的实数根．
例8.已知关于x的一元二次方程的一个根为2.
（1）求m的值及另一根；
（2）若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．
变式训练：已知：关于的一元二次方程．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设上述方程的两个实数根分别为x1、x2，求：当取哪些整数时，x1、x2均为整数；
（3）设上述方程的两个实数根分别为x1、x2，若，求k的值．
例9.某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克樱桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
课后作业：
1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值。
2.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？21世纪教育网版权所有
若是关于x的方程的两个实数根，且(是整数)，则称方程为“偶系二次方程”．如方程，
都是“偶系二次方程”．
(1)判断方程是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
(2)对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程是“偶系二次方程”，并说明理由．
4．对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=
5.先化简再求值：，其中x是方程的根.
6．已知是方程的一个根，求的值．
7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，化简：．
浙教版八下数学第二章：一元二次方程复习学案二答案
例6.已知实数分别满足，求的值
思路分析：含有的两个方程的模式完全相同，于是我们就会联想到是方程
变式训练：已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m.求m，n的值．
例7.已知关于x的方程的一个解与方程解相同
（1）求k的值；（2）求方程x2＋kx－2＝0的另一个根．
思路分析：(1)由题,可以先把的解求出来,x=2,然后代入一元二次方程, 4+2k-2=0，求得k的值-1；（2）由(1)知k=-1,代入一元二次方程,有x2-x-2=0,求解得x1=2,x2=-1;
解：（1）方程两边同乘以x-1得，
x+1=3（x-1），x=2，
经检验是原方程的解，所以x=2,
把x=2代入方程x2+kx-2=0，
得4+2k-2=0，所以k=-1．
（2）由(1)知k=-1,代入一元二次方程,
有x2-x-2=0,(x+1)(x-2)=0,
求解得x1=2,x2=-1.
变式训练：已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：不可能是此方程的实数根．
解：(1)∵关于的方程有两个不相等的实数根,
∴.
∵当时，左边=
．
而右边=0,∴左边右边．
∴不可能是此方程的实数根．
例8.已知关于x的一元二次方程的一个根为2.
（1）求m的值及另一根；
（2）若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．
思路分析：(1)把一个根2代入一元二次方程得到关于m的方程，解得，再把代入得一元二次方程为，解方程可得另一根．21世纪教育网版权所有
（2）当长度为2的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，满足三角形的三边关系，此时三角形的周长为2+3+3=8；当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为2，也满足三角形的三边关系，此时三角形的周长为2+2+3=7. 21教育网
解：（1）∵关于x的一元二次方程的一个根为2，
∴. ∴.
∴一元二次方程为.
解得.
∴，方程另一根为3.
（2）当长度为2的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时三角形的周长为2+3+3=8；当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为2，此时三角形的周长为2+2+3=7.
变式训练：已知：关于的一元二次方程．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设上述方程的两个实数根分别为x1、x2，求：当取哪些整数时，x1、x2均为整数；
（3）设上述方程的两个实数根分别为x1、x2，若，求k的值．
解：(1) ∵方程是关于x的一元二次方程,
∴实数k的取值范围是k≠0.
(2)△= b2-4ac=4-4k（2-k）=k2-2k+1=（k-1）2 ,
由求根公式，得,
∴，,
∵要求两个实数根x1、x2是整数，
∴为整数，即是整数，
∴k是2的因数， k=±1或者k=±2.
(3)方法一：由（2）可以得到 ，，
∴，分类讨论:
①当时，此方程无解；
②当时，解得；
方法二：根据题意，,两边平方，有,
整理得，
由根与系数的关系，，
∴，
整理，得8k-4=0，k=.
例9.某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克樱桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
思路分析：(1) 根据题意，设每千克核桃应降价x元，进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，降价后售价是（60-x）元，每千克的利润为（60-40-x）元，销售量为（100+10x）千克，等量关系是每千克利润×销售量=平均每天利润2240元，列方程（60-40-x）（100+10x）=2240，解方程x=4或者x=6；（2）由（1）知应降价4元或6元，∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元, 此时，售价为：60﹣6=54（元），，打九折.21·cn·jy·com
解：(1) 根据题意，设每千克核桃应降价x元，则降价后售价是（60-x）元，每千克的利润为（60-40-x）元，销售量为（100+10x）千克，等量关系是每千克利润×销售量=平均每天利润2240元，由此可列方程：www.21-cn-jy.com
（60-40-x）（100+10x）=2240,
2000+200x-100x-10x=2240,
x2﹣10x+24=0,
x=4或者x=6，
答：每千克核桃应降价4元或6元.
(2) 由（1）知应降价4元或6元，
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元,
此时，售价为：60﹣6=54（元），，打九折.
答：该店应按原售价的九折出售.
课后作业：
1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值。
2.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？21cnjy.com
解：设购买了x件这种服装，根据题意，得
[80－2(x－10)]x＝1200，
解得x1＝20，x2＝30.
当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．
答：她购买了20件这种服装．
若是关于x的方程的两个实数根，且(是整数)，则称方程为“偶系二次方程”．如方程，
都是“偶系二次方程”．
(1)判断方程是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
(2)对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程是“偶系二次方程”，并说明理由．
解：(1)不是．理由如下：
解方程，得
∵3.5不是整数，
∴方程不是“偶系二次方程”．
(2)存在．理由如下：
∵方程是“偶系二次方程”，
∴ 假设.
当 b＝－6，c＝－27时，有－27＝36m＋n.
∵是“偶系二次方程”，
∴n＝0，m＝. 即有c＝.
又∵x2＋3x－＝0也是“偶系二次方程”，
当b＝3时，c＝×32＝－.
∴可设c＝
对任意一个整数b，当c＝时，
∵Δ＝b2－4c＝4b2
∴ .∴
∴
∵b是整数，∴对任意一个整数b，当c＝时，关于x的方程是“偶系二次方程”
4．对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=
解∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2。
①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；
②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3。
5.先化简再求值：，其中x是方程的根.
原式
由，得（舍去）
当时，原式
6．已知是方程的一个根，求的值．
解∵a是方程x2-x-1=0的一个根，
∴将a代入方程，有a2-a-1=0，
用求根公式解之，得到，，
当时，，
当时，，
∴.
7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，化简：．
解：(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,
