二次函数培优练习（适用杭州）
一、选择题
1.对于二次函数下列说法不正确的是( )
A. 对于任何满足条件的，该二次函数的图象都经过点和两点
B. 该函数图象与轴必有交点
C. 若，当时，随的增大而减小
D. 若为整数，且该二次函数的图象与轴的两个交点都为整数点，那么
【答案】D
【解析】解：、，
对于任何满足条件的，该二次函数的图象都经过和两点，
故A不符合题意；
B、该二次函数的图象过点，
该函数图象与轴必有交点，
故B不符合题意；
C、二次函数的对称轴是直线，
若，则，该函数图象开口向下，
若，当时，随的增大而减小，
故C不符合题意；
D、，
当时，，，
若为整数，且该二次函数的图象与轴的两个交点都为整数点，
那么，
故D符合题意；
故选：．
将二次函数解析式进行变形可得该二次函数的图象经过和两点，则、B正确；求出抛物线对称轴，根据，结合二次函数的性质可得C正确；求出时，，，可知该二次函数的图象与轴的两个交点都为整数点时，则D错误．
本题考查抛物线与轴的交点，掌握二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
2.已知二次函数，其中，为常数，则( )
A. ，时，二次函数的最小值大于
B. ，时，二次函数的最小值大于
C. ，时，二次函数的最小值小于
D. ，时，二次函数的最小值小于
【答案】D
【解析】解：
当时，二次函数有最小值为：，
当，时，二次函数的最小值小于，故A不符合题意，
当，时，二次函数的最小值大于，故B不符合题意，
当，时，二次函数的最小值可能小于、有可能大于，故C不符合题意，
当，时，二次函数的最小值小于，故D符合题意，
故选：．
将二次函数化为顶点式，再根据二次函数性质对选项逐一判断．
本题考查了二次函数的性质，将二次函数化为顶点式从而确定二次函数最值的取值范围是解题关键．
3.已知二次函数，其中，若，当时，，当时，，且为相邻整数，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题意得：，
根据函数的对称性，与时，的值相等，
时，，
而当时，，
，
，，
，
故选：．
根据题意，函数的对称轴为直线，根据函数的对称性，时，，当时，，故，即可求解．
本题考查了抛物线与轴的交点，掌握函数图象上的点的坐标特征是解题的关键．
4.已知二次函数的图象过点、，与轴的一个交点为，且则下列结论：
若点是函数图象上一点，则；
若点，是函数图象上一点，则；
其中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，也考查了二次函数的性质．
先根据抛物线经过的三点可判断抛物线开口向下，利用函数图象，当时，，可对进行判断；由点，到对称轴的距离相等，可对进行判断；由于，；，，则，，于是可对进行判断．
【解答】
解：抛物线经过点、，，
抛物线开口向下，对称轴，
当时，，则正确；
点，到对称轴的距离相等，
，所以错误；
，；，，
即，，
，
即，则正确．
故选C．
5.函数的图象如图所示，与直线相交于两点、，有以下结论：；；；共中正确的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由函数图象可知，函数与轴没有交点，
，故错误；
当时，，
，故错误；
当时，，
，故正确；
函数与直线相交于两点、，
对称轴为直线，
，即，
又，
，故错误，
正确的只有个，
故选：．
根据函数图象与轴没有交点即可判断；根据当时，即可判断，根据当时，即可判定；求出对称轴为直线得到，即可判断．
本题主要考查了二次函数图象的性质，读懂函数图象，了解函数图象与系数之间的关系是解题的关键．
6.设直线是函数是实数，且的图象的对称轴，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】解：由对称轴直线是，得，则．
已知，
当时，，与关系无法判断；
当时，．
故选：．
根据对称轴，可得，根据有理数的乘法，可得答案．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用对称轴得出是解题关键．
7.已知实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，
，
，
由二次函数的性质可知，当时，函数有最大值，最大值为，
故选：．
化简代数式，利用二次函数的最值求解即可．
本题考查二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8.如果二次函数在的一定取值范围内有最大值或最小值为，满足条件的的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，
当时，得出或，
在自变量的取值范围内，当时，有最小值，
故选：．
把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
9.已知二次函数为常数，且，下列结论一定正确的是( )
A. 若，则时，随的增大而增大
B. 若，则时，随的增大而减小
C. 若，则时，随的增大而增大
D. 若，则时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】解：，解得或，
对称轴为直线，
当时，开口向下，
，图象完全在对称轴的左侧，
当时，随的增大而增大，
故选：．
令，求出进而求出对称轴，再根据的符号判断即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，求出对称轴再结合的符号判断范围是解题关键．
10.已知二次函数，点，是其图象上两点( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时，点，关于对称轴对称，，
当时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，，
当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，根据抛物线开口向上可得与时点，到对称轴的距离大小关系，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是由函数解析式求出抛物线对称轴，根据抛物线开口方向及对称轴求解．
11.已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：令，得，
化简得，，
二次函数是常数，且的图象过点，，
，
，
，
，，
，
即，
的长不小于，
，
，
，
，
故选：．
由于抛物线所经过的、两点的纵坐标为，说明抛物线与直线有两个交点，则，是方程有两个不相等的根，由根与系数的关系求得便为的长度，再根据的长不小于，列出的不等式求得的取值范围，再结合方程根的判别式与解的情况的关系求得的取值范围，便可得出最后结果．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，关键是用根与系数的关系求出的值．
12.已知二次函数，它的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：二次函数，
当时，，
即该函数的图象过点，故选项A错误；
该函数的顶点的横坐标为，
当时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；
当时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13.若二次函数的图象经过点，且其对称轴为直线，则使函数值成立的的取值范围是( )
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】D
【解析】解：如图所示：
二次函数的图象经过点，且其对称轴为直线，
二次函数的图象与轴的另一个交点为．
，
抛物线开口向下，
则使函数值成立的的取值范围是．
故选D．
由抛物线与轴的一个交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，即可求出使函数值成立的的取值范围．
本题考查二次函数与不等式，求出抛物线与轴的另一个交点坐标是解本题的关键．
14.二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
，
，
若，则，，选项A错误．
若，则，，选项B错误．
若，则，
，选项C正确．
若，则，，选项D错误．
故选：．
先由抛物线解析式求出抛物线对称轴，再由可判断，进而求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．
15.已知点，，在同一个函数的图象上，这个函数可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接得出答案．
由点，的坐标特点，于是排除选项A、；再根据，的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故D选项正确．
【解答】
解：，，
点与点关于轴对称；
由于不关于轴对称，的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；
，
；
由，可知，在对称轴的左侧，随的增大而增大，
对于二次函数只有时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，
选项正确，选项错误．
故选：．
二、多选题（本大题共1小题，共4.0分。在每小题有多项符合题目要求）
16.如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若为任意实数，则
【答案】BCD
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，故选项A错误．
抛物线的对称轴为直线，，
点坐标为，
时，，
，故选项B正确．
，
，
，故选项C正确．
时取最小值，
，即，故选项D正确．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点可得，，的符号及与的关系，从而判断，由及对称轴可得点坐标，从而判断，由时取最小值可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
17.当时，关于的二次函数的图象在轴上方，则的取值范围为______ ．
【答案】或
【解析】解：二次函数的图象的对称轴为：．
当时，抛物线开口向下，
，，
时，取最小值，最小值为：，
图象在轴上方，
，
解得，
；
当时，抛物线开口向上，
，对称轴为，
时，取最小值，最小值为：，
图象在轴上方，，
解得，
；
综上可知：的取值范围为或．
故答案为：或．
先求出二次函数图象的对称轴，再分和两种情况，分别求出的最小值，令最小值大于即可求解．
本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是掌握分类讨论思想，能够求出时的最小值．
18.设二次函数是常数，，如表列出了、的部分对应值．
则方程的解是______ ，不等式的解集是______ ．
【答案】或
【解析】解：抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点是，点关于直线的对称点是，
抛物线开口向上，
不等式的解集是，方程的解是或，
故答案为：或，．
抛物线经过点，可知对称轴为直线，然后利用二次函数的性质可判断不等式的解集是，方程的解是或．
本题考查了二次函数与不等式组，观察表格得出正确信息，以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19.对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．
已知二次函数．
若是此函数的不动点，则的值为______．
若此函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】解：由题意得，
解得，
故答案为；
由题意知二次函数有两个相异的不动点，是方程的两个不相等实数根，
且，
整理，得：，
由有两个不相等的实数根，且，知，
令，画出该二次函数的草图如下：
则，
解得，
故答案．
由函数的不动点概念得出，解得即可；
由函数的不动点概念得出、是方程的两个实数根，由知，令，则时，据此得，解之可得．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于的不等式．
20.已知自变量为的二次函数经过、两点，若方程的一个根为，则其另一个根为______．
【答案】
【解析】解：二次函数经过、两点，
对称轴为直线，对称轴与轴交点为，
若方程的一个根为，
二次函数图象与轴一个交点坐标是，
而关于对称轴直线的对称点为，
方程的另一个根为，
故答案为：．
先求出抛物线对称轴直线，在根据关于对称轴的对称点坐标，即可得到答案．
本题考查二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线对称轴及抛物线与轴交点关于对称轴对称．
21.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
，两点都在该函数的图象上，若，则的值为______ ．
【答案】
【解析】解：时，；时，，
抛物线的对称轴为直线，
，两点都在该函数的图象上，，
，
解得．
故答案为．
根据表中的对应值得到和时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线，由于，所以，是抛物线上的对称点，则，然后解方程即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
22.抛物线的图象与轴交点的横坐标为和，则不等式的解集是______ ．
【答案】
【解析】解：抛物线的图象与轴交点的横坐标为和，
方程的两个实数根为和，
，，即，
方程的两个实数根为和，
抛物线的开口向下，且与轴交点的横坐标为和，
不等式的解集是，
故答案为：．
根据抛物线与轴交点的横坐标以及对应方程的实数根求得、，进而可求得方程的实数根，利用抛物线与轴交点的横坐标，结合开口方向即可求解．
本题考查二次函数图象与轴的交点问题、解一元二次方程、二次函数与不等式的关系，能根据二次函数的图象与性质求解不等式的解集是解答的关键．
23.二次函数图象的对称轴在直线右侧，图象上两点，分别在第一象限和第二象限，则的最大整数值是______．
【答案】
【解析】解：由题意可知：点与分别在对称轴的两侧，
，
，
，
的最大整数值为
故答案为：
根据二次函数的对称性即可求出答案．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于中等题型．
四、解答题（本大题共12小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
24.本小题分
已知二次函数，是实数，．
若，且函数和函数的对称轴关于轴对称，求的值．
若函数的图象过点，求函数的图象与轴的交点个数．
设函数，的图象两个交点的纵坐标分别为，求证：的值与无关．
【答案】解：根据题意知：，
因为，
所以；
将点代入，得．
整理，得．
令，则，
所以．
所以函数的图像与轴只有一个交点；
证明：设函数，的图像两个交点的横坐标分别是，，
则，．
所以，
所以的值与无关．
【解析】分别求得两个函数图象的对称轴方程，然后根据对称的性质列出等式并解答．
由二次函数图象上点的坐标特征和根的判别式的意义解答．
设函数，的图像两个交点的横坐标分别是，，然后分别代入函数，并求的值．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，关于轴对称点的坐标等知识点，难度不大，属于中档题．
25.本小题分
设二次函数，是实数，．
若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值．
设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：．
若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：．
【答案】解：函数的对称轴为直线，
，
，
函数的图象经过点，
，
；
证明：函数的最大值为，
，，
函数的最小值为，
，，
，
，
；
证明：函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且，
若，，
则，
即，
，，
，
若，，
则，
即，
，，
，
综上可知，．
【解析】根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值；
根据顶点坐标公式得出和，再利用得出；
分情况根据对称轴的位置推出结论即可．
本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为，其中．
若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式．
若为此二次函数图象上两个不同点
若，则，试求的值．
当，对任意的，都有，试求的取值范围．
【答案】解：函数图象过点，
将点代入，
解得；
为此二次函数图象上两个不同点
，
，
，
，
，
，
；
函数的对称轴是，
，对任意的，都有，
当，时，；
；
【解析】直接将点代入即可；
利用等式的性质，求解；由已知当，对任意的，都有，则在时，二次函数是递增的，结合图象即可求解；
本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．
27.本小题分
已知抛物线经过坐标原点，与轴交于另一点，顶点为求：
抛物线的解析式；
的面积；
自变量满足时，函数的最小值是，求的值．
【答案】解：抛物线经过坐标原点，
，
，
抛物线解析式为；
令，则，
解得或，
点的坐标为，
抛物线解析式为，
抛物线顶点的坐标为，
；
当时，则，解得或，
自变量满足时，函数的最小值是，
或，
或．
【解析】利用待定系数法求解；
分别求出点和点的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
求出当时，或，再根据自变量满足时，函数的最小值是，进行求解即可．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，二次函数图象的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
28.本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式其中．
若此函数图象过点，求这个二次函数的解析式；
函数，若，为此二次函数图象上的两个不同点．
若，则，试求的值；
当，对任意的，都有，试求的取值范围．
【答案】解：函数图象过点，
将点代入，
即，
解得，
二次函数的解析式为；
解：函数的对称轴是直线，
，为此二次函数图象上的两个不同点，且，则，
，
；
函数的对称轴是直线，
，对任意的，都有，
当，时，
；
当时，不符合题意舍去；
．
【解析】直接将点代入即可；
利用题意，由，求解；由已知当，对任意的，都有，二次函数是递增的，结合图象即可求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的特征，能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．
29.本小题分
已知函数，为常数且．
若函数的图象经过点，两个点中的其中一个点，求该函数的表达式．
若函数，的图象始终经过同一定点．
求点的坐标和的值．
若，当时，总有，求的取值范围．
【答案】解：对于函数，当时，，
点不在抛物线上，
把代入，得到，
解得，
抛物线的解析式为．
函数经过定点，
对于函数，当时，，
当时，两个函数过定点．
，
抛物线的对称轴，
抛物线的对称轴在定点的右侧，
由题意当时，满足当时，总有，
，
．
【解析】利用待定系数法解决问题即可．
因为函数经过定点，对于函数，当时，，推出当时，两个函数过定点．
首先确定抛物线的对称轴的位置，利用图象法，构建不等式解决问题即可．
本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
30.本小题分
设二次函数，其中为实数．
若函数的图象经过点，求函数的表达式；
若函数的图象的对称轴是直线，求该函数的最小值；
把函数的图象向上平移个单位，所得图象与轴没有交点，求证：．
【答案】解：由函数的图象经过点，得：
，
解得：或，
当时，则函数的函数表达式为；
当时，则函数的函数表达式为．
解：对称轴，
对称轴，
，
，
函数的最小值为．
证明：当向上平移个单位时，，
此时所得图象与轴没有交点，
，
即，
，
【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据函数对称轴，可得答案；
根据二次函数的性质，可得答案．
本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，对称轴，最值以及几何变换，掌握这些基础知识是解决问题的关键．
31.本小题分
已知二次函数的图象与平行于轴的直线交于，两点，其中点的坐标为．
求的坐标．
若将直线向上平移个单位后与函数的图象只有一个交点，求函数的表达式．
已知，都在函数的图象上，且求的取值范围．
【答案】解：，
抛物线的对称轴为直线，
点的坐标为．
；
由题意可知，抛物线的顶点的纵坐标为，
，
，
二次函数经过点，
，即，
由，解得，，
函数的表达式为；
抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，且，则，
解得；
当时，抛物线开口向下，
当时，根据函数的对称性，则，即，不合题意，
故的取值范围为：．
【解析】求得对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；
根据题意得到关于、的二元一次方程组，解方程组求得、的值，即可求得二次函数的解析式；
抛物线的对称轴为直线，当时，抛物线开口向上，且，则，即可求解．
本题考查了抛物线与系数的关系、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
32.本小题分
已知二次函数．
若图象过点，求抛物线顶点坐标．
若图象与坐标轴有两个交点，求的值．
若函数图象上有两个不同的点，，且，求证：．
【答案】解：由题意，将代入二次函数的解析式，
．
．
二次函数的解析式．
顶点坐标为．
解：二次函数图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点落在轴上，或抛物线经过原点，
抛物线顶点在轴上时，令，
则，
解得，
当时，，满足题意．
抛物线经过原点时，，
解得，
时，，满足题意．
综上所述，的值为或；
证明：点、是函数图象上两点，
，，
，
，
，
，
点，是图象上两点，
，
．
【解析】依据题意，把代入二次函数的解析式可以计算得解；
分类讨论且抛物线不经过原点和且抛物线经过原点两种情况；
由抛物线解析式及，可得．
本题考查二次函数与不等式的关系，抛物线与轴的交点，解题的关键是二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握待定系数法求函数解析式．
33.本小题分
已知二次函数，且．
若其图象经过点，求此二次函数的表达式．
若为中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求，的取值范围．
点，是函数图象上两个点，满足且，试比较和的大小关系．
【答案】解：由题意得：，
解得：，
此二次函数的表达式为：；
如图，，且是二次函数图象在第三象限内的点，
，
当时，，
或，
图象过和，
；
由条件可得：，，
，
且，
，
当时，，
当时，，
当时，．
【解析】依据待定系数法可求得二次函数的解析式；
利用配方法可得：，图象过和，可得结论；
根据已知得：，并将和的坐标分别代入抛物线的解析式，并计算，分情况讨论可得结论．
本题主要考查的是二次函数的性质，抛物线与轴的交点，利用数形结合思想求得和的取值范围是解题的关键．
34.本小题分
二次函数的自变量与函数值的对应值如表：
若，求此时函数解析式；
当时，对应的函数值．
和在该二次函数的图象上，试比较与大小；
求的范围．
【答案】解：设，
将，，代入得，
解得，
这个二次函数的解析式为．
抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，，
当时，对应的函数值．
图象开口向上，
到对称轴的距离大于点的距离，
；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，点到对称轴的距离等于点的距离，
，，
，
抛物线为，
时，对应的函数值，
，，
，
时，，
．
【解析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
抛物线经过，可得抛物线对称轴为直线，，再根据时，可判断符号；
根据二次函数图象上点的坐标特征判断即可；由点和点关于对称轴对称，得到，进而即可得出．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
35.本小题分
在直角坐标系中，设函数是实数．
当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式．
若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围．
若该函数的图象经过，两点是实数当时，求证：．
【答案】解：当时，则，
把点代入得，，
，
，即；
，
抛物线与轴的交点为，，
抛物线的对称轴为直线，
，
对称轴为直线，
抛物线开口向上且当时，随的增大而减小，
，
；
函数的图象经过，两点是实数，
，，
，
，
，
，
．
【解析】根据待定系数法即可求得；
求得抛物线与的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，解得即可；
把，两点代入，表示出和，然后将配方可得．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．二次函数培优练习
一、选择题
1.对于二次函数下列说法不正确的是( )
A. 对于任何满足条件的，该二次函数的图象都经过点和两点
B. 该函数图象与轴必有交点
C. 若，当时，随的增大而减小
D. 若为整数，且该二次函数的图象与轴的两个交点都为整数点，那么
2.已知二次函数，其中，为常数，则( )
A. ，时，二次函数的最小值大于
B. ，时，二次函数的最小值大于
C. ，时，二次函数的最小值小于
D. ，时，二次函数的最小值小于
3.已知二次函数，其中，若，当时，，当时，，且为相邻整数，则的值是( )
A. B. C. D.
4.已知二次函数的图象过点、，与轴的一个交点为，且则下列结论：
若点是函数图象上一点，则；
若点，是函数图象上一点，则；
其中正确的是( )
A. B. C. D.
5.函数的图象如图所示，与直线相交于两点、，有以下结论：；；；共中正确的个数为( )
A. B. C. D.
6.设直线是函数是实数，且的图象的对称轴，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
7.已知实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如果二次函数在的一定取值范围内有最大值或最小值为，满足条件的的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
9.已知二次函数为常数，且，下列结论一定正确的是( )
A. 若，则时，随的增大而增大
B. 若，则时，随的增大而减小
C. 若，则时，随的增大而增大
D. 若，则时，随的增大而减小
10.已知二次函数，点，是其图象上两点( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知二次函数，它的图象可能是( )
A. B.
C. D.
13.若二次函数的图象经过点，且其对称轴为直线，则使函数值成立的的取值范围是( )
A. 或 B.
C. 或 D.
14.二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
15.已知点，，在同一个函数的图象上，这个函数可能是( )
A. B. C. D.
二、多选题
16.如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若为任意实数，则
三、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
17.当时，关于的二次函数的图象在轴上方，则的取值范围为______ ．
18.设二次函数是常数，，如表列出了、的部分对应值．
则方程的解是______ ，不等式的解集是______ ．
19.对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．
已知二次函数．
若是此函数的不动点，则的值为______．
若此函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围为______．
20.已知自变量为的二次函数经过、两点，若方程的一个根为，则其另一个根为______．
21.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
，两点都在该函数的图象上，若，则的值为______ ．
22.抛物线的图象与轴交点的横坐标为和，则不等式的解集是______ ．
23.二次函数图象的对称轴在直线右侧，图象上两点，分别在第一象限和第二象限，则的最大整数值是______．
四、解答题
24.本小题分
已知二次函数，是实数，．
若，且函数和函数的对称轴关于轴对称，求的值．
若函数的图象过点，求函数的图象与轴的交点个数．
设函数，的图象两个交点的纵坐标分别为，求证：的值与无关．
25.本小题分
设二次函数，是实数，．
若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值．
设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：．
若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为，其中．
若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式．
若为此二次函数图象上两个不同点
若，则，试求的值．
当，对任意的，都有，试求的取值范围．
27.本小题分
已知抛物线经过坐标原点，与轴交于另一点，顶点为求：
抛物线的解析式；
的面积；
自变量满足时，函数的最小值是，求的值．
28.本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式其中．
若此函数图象过点，求这个二次函数的解析式；
函数，若，为此二次函数图象上的两个不同点．
若，则，试求的值；
当，对任意的，都有，试求的取值范围．
29.本小题分
已知函数，为常数且．
若函数的图象经过点，两个点中的其中一个点，求该函数的表达式．
若函数，的图象始终经过同一定点．
求点的坐标和的值．
若，当时，总有，求的取值范围．
30.本小题分
设二次函数，其中为实数．
若函数的图象经过点，求函数的表达式；
若函数的图象的对称轴是直线，求该函数的最小值；
把函数的图象向上平移个单位，所得图象与轴没有交点，求证：．
31.本小题分
已知二次函数的图象与平行于轴的直线交于，两点，其中点的坐标为．
求的坐标．
若将直线向上平移个单位后与函数的图象只有一个交点，求函数的表达式．
已知，都在函数的图象上，且求的取值范围．
32.本小题分
已知二次函数．
若图象过点，求抛物线顶点坐标．
若图象与坐标轴有两个交点，求的值．
若函数图象上有两个不同的点，，且，求证：．
33.本小题分
已知二次函数，且．
若其图象经过点，求此二次函数的表达式．
若为中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求，的取值范围．
点，是函数图象上两个点，满足且，试比较和的大小关系．
34.本小题分
二次函数的自变量与函数值的对应值如表：
若，求此时函数解析式；
当时，对应的函数值．
和在该二次函数的图象上，试比较与大小；
求的范围．
35.本小题分
在直角坐标系中，设函数是实数．
当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式．
若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围．
若该函数的图象经过，两点是实数当时，求证：．
