学科：数学
专题：二次函数的图像与性质
重难点易错点解析
题一：
题面：二次函数y ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b＋c 0；④ a︰b︰c 1︰2︰3.其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
满分冲刺
题一：
题面：如图为二次函数y ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b 0③a+b+c＞0④当 1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题二：
题面：如图，抛物线y x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0).
(1)求此抛物线的解析式；
(2)写出顶点坐标及对称轴；
(3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标.
思维拓展
题面：已知抛物线y ax2+bx+c(0＜2a＜b)的顶点为P(x0，y0)，点A(1，yA)、B(0，yB)、C(－1，yC)在该抛物线上．
(Ⅰ)当a 1，b 4，c 10时，①求顶点P的坐标；②求的值；
(Ⅱ)当y0≥0恒成立时，求的最小值．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：D.
详解：根据二次函数图象和性质分别作出判断：
∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴对应的一元二次方程y ax2＋bx＋c有两个不相等的实数根.
∴b2－4ac＞0.选项①正确.
又∵对称轴为直线x 1，即，∴2a＋b 0.选项②错误.
∵由图象知，x 2对应的函数值为负数，∴当x 2时，y 4a 2b＋c＜0.选项③错误.
∵图象知，x 1对应的函数值为0，∴当x 1时，y a＋b＋c 0.
联立2a＋b 0和y a＋b＋c 0可得：b 2a，c 3a.
∴a：b：c a：(－2a)：(－3a) 1：2：3.选项④正确.
综上所述，正确的选项有：①④.故选D.
满分冲刺
题一：
答案：C.
详解：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x 1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断 1＜x＜3时，y的符号：
①∵图象开口向下，∴a＜0.说法错误.
②∵对称轴为x ，∴，即2a+b 0.说法正确.
③当x 1时，y＞0，则a+b+c＞0.说法正确.
④由图可知，当 1＜x＜3时，y＞0.说法正确.
∴说法正确的有3个.故选C.
题二：
答案：(1)抛物线的解析式为.
(2)顶点为(1，－1)；对称轴为：直线x 1.
(3)点B的坐标为(3，3)或(－1，3).
详解：(1)把(0，0)，(2，0)代入y x2＋bx＋c得
，解得 .
∴此抛物线的解析式为.
(2)∵
∴顶点为(1，－1)；对称轴为：直线x 1.
(3)设点B的坐标为(a，b)，则
由解得b 3或b －3.
∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1，∴b －3舍去.
∴由x2－2x 3解得x1 3，x2 －1
∴点B的坐标为(3，3)或(－1，3).
思维拓展
答案：(Ⅰ) ①P(－2，6); ②；(Ⅱ)的最小值为3.
详解：(Ⅰ)若a 1，b 4，c 10，此时抛物线的解析式为y x2+4x+10.
①∵y x2+4x+10 (x+2)2+6，∴抛物线的顶点坐标为P(－2，6).
②∵点A(1，yA)、B(0，yB)、C(－1，yC)在抛物线y x2+4x+10上，
∴yA 15，yB 10，yC 7.∴.
(Ⅱ)由0＜2a＜b，得.
由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1，
则AA1 yA，OA1 1.
连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，
则BD yB－yC，CD 1.
过点A作AF∥BC，交抛物线于点E(x1，yE)，交x轴于点F(x2，0).
则∠FAA1 ∠CBD.∴Rt△AFA1∽Rt△BCD.
∴ ，即.
过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD.
∴，即.
∵点A(1，yA)、B(0，yB)、C(－1，yC)、E(x1，yE)在抛物线y ax2+bx+c上，
∴yA a+b+c，yB c，yC a－b+c，yE ax12+bx1+c，
∴，化简，得x12＋x1－2 0，
解得x1 －2(x1 1舍去).
∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1<－1.
则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3.
∴的最小值为3.学科：数学
专题：二次函数的图像与性质
重难点易错点解析
题一：
题面：已知二次函数的图象如图所示，对称轴为.下列结论中，正确的是( )
A． B． C． D．
满分冲刺
题一：
题面：已知二次函数y ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为( 1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b 2a 0；②abc＜0；③a 2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
题二：
题面：如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－2，0)和C，O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
思维拓展
题面：求函数y |x2 4| 3x在 2≤x≤5中的最大值和最小值．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：D.
详解：A．∵二次函数的图象开口向上，∴＞0.
∵二次函数的图象与轴交于负半轴，∴＜0.
∵二次函数的图象对称轴在轴左侧，∴＜0.∴＞0.∴.故本选项错误.
B．∵二次函数的图象对称轴：，∴，.故本选项错误.
C．从图象可知，当时，.故本选项错误.
D．∵二次函数的图象对称轴为，与轴的一个交点的取值范围为1＞1，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点的取值范围为2＜ 2.
∴当时，，即.故本选项正确.
故选D.
满分冲刺
题一：
答案：B.
详解：根据图象可得：a＞0，c<0，对称轴：.
①∵它与x轴的两个交点分别为( 1，0)，(3，0)，∴对称轴是x 1，
∴.∴b+2a 0.故命题①错误.
②∵a＞0，，∴b＜0.
又c<0，∴abc＞0.故命题②错误.
③法一：由题目可知：当x 1时，a b c 0
当x 3时，9a 3b c 0
∴3(a b c) 9a 3b c 12a c=0
即3a c=0
a 2b+4c=a+4a+4c=.故命题③正确.
法二：∵b+2a 0，∴b= 2a
∵x1x2== 3 ∴c= 3a
∴a 2b+4c a
∵a>0 ∴a 2b+4c a<0. 故命题③正确.
④根据图示知，当x 4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0.
由①知，b 2a，∴8a+c＞0.故命题④正确.
∴正确的命题为：③④两个.故选B.
题二：
答案：(1)y x2－x－4. (2)0＜m＜ .
详解：(1)将A(0，－4)、B(－2，0)代入抛物线y x2+bx+c中，得：
，解得，.
∴抛物线的解析式：y x2－x－4.
(2)由题意，新抛物线的解析式可表示为：，
即：.它的顶点坐标P(1－m，－1).
由(1)的抛物线解析式可得：C(4，0).
∴直线AB：y －2x 4；直线AC：y x－4.
当点P在直线AB上时，－2(1－m)－4 －1，解得：m ；
当点P在直线AC上时，(1－m) －4 －1，解得：m －2；
又∵m＞0，
∴当点P在△ABC内时，0＜m＜ .
思维拓展
答案：当x 2时，y最小值 6；当x＝ 时，y最大值＝.
详解：若x2 4≥0，即|x|≥2，则y x2 3x 4∴y＝(x )2 ，
若x2 4≤0，即|x|≤2，则y x2 3x+4∴y＝ (x+)2+，
∴y＝(x )2 (2≤x≤5)，
当x 5时，y最大值 6；当x 2时，y最小值 6，
对y＝ (x+)2+( 2≤x≤2)，
当x＝ 时，y最大值＝；x 2时，y最小值 6，
综上所述，当x 2时，y最小值 6；当x＝ 时，y最大值＝.学科：数学
专题：二次函数的图象与性质
重难点易错点解析
是一条抛物线，关于对称，顶点坐标为
时，开口向上；时，开口向下；开口大小由越大，开口越小
增减性：，时，随的增大而减小；
，时，随的增大而增大；
，时，随的增大而增大；
，时，随的增大而减小.
例1
题面：如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0. 你认为其中错误的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
满分冲刺
题一
题面：函数图象如下所示，下列结论正确的是：__________
①
②
③ 4a+2b+c>0
④ 2c<3b
⑤ 2a+b=0
⑥ a+b>m(am+b)
⑦
题二
题面：设二次函数 的图象与x轴交于点B, C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B, C间的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为G，同时将直线向上平移n个单位.请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围.
思维拓展
题面：已知，且，求的最小值.
讲义参考答案
重难点易错点解析
答案：D
满分冲刺
题一
答案：③④⑤
题二
答案：
思维拓展
答案：3
