1.1锐角三角函数(1)(浙江省杭州市萧山市)
文档属性
| 名称 | 1.1锐角三角函数(1)(浙江省杭州市萧山市) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 17.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-11-16 21:25:00 | ||
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文档简介
●现代课堂教学设计实例
课题：1.1锐角三角函数
1、 教学设计说明
本课时为初中数学第六册第五章《解直角三角形》第一课时，在学习了直角三角形的三边关系和两锐角之间的关系之后，学习边角之间的关系，为进一步解决直角三角形的有关问题作好准备。教学设计在以“目标——策略——评价”为主线安排教学进程的同时，也安排了以“活动——体验——表现”这一新进程。具体表现在：设置问题情景、产生认知冲突、探索解决方法、猜测与验证等活动与体验，学生在亲历认知过程中学习知识、提高能力、完善人格。
二、教学分析
1、 教学内容分析
学习三角函数的定义，根据三角函数的定义：解决直角三角形边角之间的关系；推导互余两角三角函数间的关系和同角三角函数之间的基本恒等关系；确定锐角三角函数的取值范围。
2、 学习者分析
初始能力：学生已学过直角三角形的性质定理及其逆定理，因此能根据勾股定理解决三边（指边长，下同）之间的关系；根据性质定理“直角三角形300角所对直角边等于斜边的一半”及其逆定理，在含有300角的直角三角形中已知任何一边，能结合方程求其它两边，但不能根据三角函数直接求其它两边，而当角度为任意值时，更无能力求其它边。
认知能力：学习者具有函数的概念，接受新函数定义的能力；能根据三角函数的定义，用直角三角形中的已知量（指边和角）表示未知量；在发生认知冲突时，有学习新知识的欲望；在正确的引导下，有观察、分析、猜测的能力和验证的能力。
三、确定教学目标
1、通过观察直角三角形中边的比与锐角之间的函数关系，定义锐角三角函数。
2、会根据锐角三角函数的定义，在直角三角形中已知两边求某锐角的四个三角函数值。3、通过对实例观察，找出直角三角形中两锐角三角函数之间的关系，并能用定义说明。
4、在对练习不同结果的分析中，猜测同角三角函数之间的一些简单的恒等关系，锐角三角函数的取值范围，并能用定义验证。在过程中学习知识，体验探索和成功的快乐。
四、教学策略设计
1、创设情境策略
（1）问题解决中认知冲突导入新课：在直角三角形中，通过对问题的求解，复习直角三角形的性质定理及其逆定理；在提出新问题后，产生认知冲突，明确学习方向和激发学习兴趣。
（2）确定探究目标引出新概念：探究影响“锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比等”四个比值的因素，引出三角函数的定义。
（3）例题教学巩固知识创设新情境：通过已知两边求二锐角的四个三角函数值巩固所学知识；观察二个锐角四个三角函数值，期望能得到互余两角三角函数之间的关系。
（4）练习教学使认知向纵深发展：在直角三角形中，用一直角边及一锐角，表示另一直角边。通过对不同结果的分析，期望能猜测同一三角函数之间的关系，用三角函数的定义证明一些简单的恒等式。
2、学习资源设计
（1）自主获取学习资源策略：复习探究学习新概念，例题练习巩固新知识。
（2）协作获取学习资源策略：解决学习中相互冲突，猜测验证使认识深化。
3、练习和形成性评价设计（略）
五、教学过程
一、问题情境导入 提出问题，由学生解答：如图，△ABC中，∠C=900。（1）若∠A=300，AC=，则AB=__________。 （2）若BC=，AC=3，则∠A=_________。
学生解答后分析：第（1）题：由已知可知，AB=2BC，因此可以建立方程解答，求得AB= 4。第（2）题：由勾股定理AB=，观察得AB=2BC，求得∠A=300。
提出新问题：（1）能否根据∠A、AC、AB三者关系直接求AB？若∠A≠300，为任意角度时，能否求AB？（2）能否根据BC、AC值直接求∠A？若AB≠2BC时，能否求∠A？
确定探究目标：要解决以上问题，需要探究直角三角形边角之间的关系。
二、三角函数定义教学 探究目标1：如图，P为∠AOB终边上任意一点,PM⊥OA于M。探究影响比值“、、、”的因素。
结合学生分析：在OB上再任意取一点P’，作P’M’⊥OA于M’。由于△OMP∽△OM’P’，得：，即以上四个比值大小由α大小唯一确定，当α一定时，四个比值为定值，四个比值与α之间存在某种函数关系。
定义三角函数叫做α的正弦，记做sinα=。同样定义α的余弦，记作cosα=，α的正切，记作tanα=，α的余切，记作cotα=。以及中文表达。
三、例题练习与探究 例题1：如图，在△ABC中，∠C=900，AB=5，AC=3，求∠A的四个三角函数值。师生共同完成后，请一同学说出∠B的四个三角函数值。练习1：如上图中，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=2，BC=3，求：（1）sinB，sinA； （2）tanA，cotB。（巩固定义）
探究目标2：观察例1中，∠A、∠B四个三角函数值之间有什么关系？学生观察后与教师一起小结：当∠A+∠B=900时，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotB=tanA。
三、例题练习与探究 练习2：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，已知BC=a，∠A，求AB、AC。根据学生练习，AC的值可能会出现三个结果：AC=acotA，AC=，。
探究目标3：是有同学做错了，还是AC会有三个答案或者说三个答案事实上是一个答案？如果是一个答案，那么sinA、cosA、tanA和cotA之间又有什么关系？期望同学们通过验证后，得到这是同一个答案，并能找出它们之间的恒等关系：tanA·cotA=1，sin2A+cos2A=1，，。（前二个很重要）
练习3：已知锐角α，由sinα= ，求cosα、tanα、cotα。期望会出现用三角函数定义和同角三角函数的恒等关系两种方法求解。练习4：已知α为锐角，则_____，_____。设计分析：由于|sina-cosa|，|sina-1|，在巩固恒等关系同时，为了去掉绝对值，需判断绝对值符号内的正负，在认知上产生冲突，引出探究目标4。
探究目标4：当α为锐角时，sina与cosa究竟哪个大？sina比1大还是小？教师引导学生从三角函数定义去判断。易得0四、小结 1、运用勾股定理及三角函数定义可解决直角三角形中各元素之间关系；2、三角函数的定义是证明锐角三角函数之间关系的最基本的依据； 3、观察分析、猜测验证是学习知识的根本途径。
六、教学反思与评价
恒等式的应用在简化解题的同时，也淡化了三角函数定义的巩固，开始学习时宜适当控制。教学评价部分略。
C
B
A
M’
P’
M
P
B
A
O
C
B
A
课题：1.1锐角三角函数
1、 教学设计说明
本课时为初中数学第六册第五章《解直角三角形》第一课时，在学习了直角三角形的三边关系和两锐角之间的关系之后，学习边角之间的关系，为进一步解决直角三角形的有关问题作好准备。教学设计在以“目标——策略——评价”为主线安排教学进程的同时，也安排了以“活动——体验——表现”这一新进程。具体表现在：设置问题情景、产生认知冲突、探索解决方法、猜测与验证等活动与体验，学生在亲历认知过程中学习知识、提高能力、完善人格。
二、教学分析
1、 教学内容分析
学习三角函数的定义，根据三角函数的定义：解决直角三角形边角之间的关系；推导互余两角三角函数间的关系和同角三角函数之间的基本恒等关系；确定锐角三角函数的取值范围。
2、 学习者分析
初始能力：学生已学过直角三角形的性质定理及其逆定理，因此能根据勾股定理解决三边（指边长，下同）之间的关系；根据性质定理“直角三角形300角所对直角边等于斜边的一半”及其逆定理，在含有300角的直角三角形中已知任何一边，能结合方程求其它两边，但不能根据三角函数直接求其它两边，而当角度为任意值时，更无能力求其它边。
认知能力：学习者具有函数的概念，接受新函数定义的能力；能根据三角函数的定义，用直角三角形中的已知量（指边和角）表示未知量；在发生认知冲突时，有学习新知识的欲望；在正确的引导下，有观察、分析、猜测的能力和验证的能力。
三、确定教学目标
1、通过观察直角三角形中边的比与锐角之间的函数关系，定义锐角三角函数。
2、会根据锐角三角函数的定义，在直角三角形中已知两边求某锐角的四个三角函数值。3、通过对实例观察，找出直角三角形中两锐角三角函数之间的关系，并能用定义说明。
4、在对练习不同结果的分析中，猜测同角三角函数之间的一些简单的恒等关系，锐角三角函数的取值范围，并能用定义验证。在过程中学习知识，体验探索和成功的快乐。
四、教学策略设计
1、创设情境策略
（1）问题解决中认知冲突导入新课：在直角三角形中，通过对问题的求解，复习直角三角形的性质定理及其逆定理；在提出新问题后，产生认知冲突，明确学习方向和激发学习兴趣。
（2）确定探究目标引出新概念：探究影响“锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比等”四个比值的因素，引出三角函数的定义。
（3）例题教学巩固知识创设新情境：通过已知两边求二锐角的四个三角函数值巩固所学知识；观察二个锐角四个三角函数值，期望能得到互余两角三角函数之间的关系。
（4）练习教学使认知向纵深发展：在直角三角形中，用一直角边及一锐角，表示另一直角边。通过对不同结果的分析，期望能猜测同一三角函数之间的关系，用三角函数的定义证明一些简单的恒等式。
2、学习资源设计
（1）自主获取学习资源策略：复习探究学习新概念，例题练习巩固新知识。
（2）协作获取学习资源策略：解决学习中相互冲突，猜测验证使认识深化。
3、练习和形成性评价设计（略）
五、教学过程
一、问题情境导入 提出问题，由学生解答：如图，△ABC中，∠C=900。（1）若∠A=300，AC=，则AB=__________。 （2）若BC=，AC=3，则∠A=_________。
学生解答后分析：第（1）题：由已知可知，AB=2BC，因此可以建立方程解答，求得AB= 4。第（2）题：由勾股定理AB=，观察得AB=2BC，求得∠A=300。
提出新问题：（1）能否根据∠A、AC、AB三者关系直接求AB？若∠A≠300，为任意角度时，能否求AB？（2）能否根据BC、AC值直接求∠A？若AB≠2BC时，能否求∠A？
确定探究目标：要解决以上问题，需要探究直角三角形边角之间的关系。
二、三角函数定义教学 探究目标1：如图，P为∠AOB终边上任意一点,PM⊥OA于M。探究影响比值“、、、”的因素。
结合学生分析：在OB上再任意取一点P’，作P’M’⊥OA于M’。由于△OMP∽△OM’P’，得：，即以上四个比值大小由α大小唯一确定，当α一定时，四个比值为定值，四个比值与α之间存在某种函数关系。
定义三角函数叫做α的正弦，记做sinα=。同样定义α的余弦，记作cosα=，α的正切，记作tanα=，α的余切，记作cotα=。以及中文表达。
三、例题练习与探究 例题1：如图，在△ABC中，∠C=900，AB=5，AC=3，求∠A的四个三角函数值。师生共同完成后，请一同学说出∠B的四个三角函数值。练习1：如上图中，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=2，BC=3，求：（1）sinB，sinA； （2）tanA，cotB。（巩固定义）
探究目标2：观察例1中，∠A、∠B四个三角函数值之间有什么关系？学生观察后与教师一起小结：当∠A+∠B=900时，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotB=tanA。
三、例题练习与探究 练习2：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，已知BC=a，∠A，求AB、AC。根据学生练习，AC的值可能会出现三个结果：AC=acotA，AC=，。
探究目标3：是有同学做错了，还是AC会有三个答案或者说三个答案事实上是一个答案？如果是一个答案，那么sinA、cosA、tanA和cotA之间又有什么关系？期望同学们通过验证后，得到这是同一个答案，并能找出它们之间的恒等关系：tanA·cotA=1，sin2A+cos2A=1，，。（前二个很重要）
练习3：已知锐角α，由sinα= ，求cosα、tanα、cotα。期望会出现用三角函数定义和同角三角函数的恒等关系两种方法求解。练习4：已知α为锐角，则_____，_____。设计分析：由于|sina-cosa|，|sina-1|，在巩固恒等关系同时，为了去掉绝对值，需判断绝对值符号内的正负，在认知上产生冲突，引出探究目标4。
探究目标4：当α为锐角时，sina与cosa究竟哪个大？sina比1大还是小？教师引导学生从三角函数定义去判断。易得0
六、教学反思与评价
恒等式的应用在简化解题的同时，也淡化了三角函数定义的巩固，开始学习时宜适当控制。教学评价部分略。
C
B
A
M’
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B
A
O
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