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分课时教学设计
第3课时《5.2 函数(2)》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 会根据函数解析式,已知自变量的值,求相应的函数值;或已知函数值,求相应自变量的值.会求一些简单的函数解析式及函数解析式的应用.通过学习,进一步体验函数与生活的紧密联系,培养一种数学建模的思想.
学习者分析 回顾函数的三种表示方法:解析法、列表法、图像法.会列简单实际问题中的函数解析式.学会求函数的表达式.
教学目标 1.会列简单实际问题中的函数解析式; 2.会根据函数解析式,已知自变量的值,求相应的函数值;或已知函数值,求相应自变量的值; 3.会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围.
教学重点 求函数的表达式.
教学难点 根据实际问题求自变量的取值范围并化归为解不等式(组)不易理解.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一:情境引入教师活动1: 教师活动1: 1.函数的概念 如果对于变量x的每一确定的值,变量y都有唯一确定的值,那么就说y是x的函数.其中x 是自变量,y是因变量. 2.函数的三种表示方法: 解析法、列表法、图像法 学生活动1: 思考回忆. 学生独立思考,举手回答问题,教师进行评价和讲析. .活动意图说明: 复习导入有利于衔接新旧知识,提高学习效率.通过从学生熟悉的事物引入本课知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围.激发学生学习动机.使学生亲自经历获取知识的过程,能提高对数学结论的认可程度.环节二:新课讲解 合作探究 问题1 求下列函数自变量的取值范围. 问题2 儿童节的时候,每人发2颗糖果,总人数x与总发的糖果数y的函数关系式为_________, 其中人数x的取值范围是_____________. y= 2x x为正整数 求自变量的取值范围时,还要注意什么 ②符合实际意义. 学生活动2: 学生独立思考,结合已学知识举手回答问题,教师进行评价和讲析 学生总结:(1)对于整式型函数,自变量的取值范围是全体实数;(2)对于分式型函数,自变量的取值范围是分母不为0的实数;(3)对于实际问题型函数,自变量的取值不但要使函数解析式有意义,而且要符合实际意义. . 活动意图说明: 让学生理解在变化过程中,自变量的取值范围既要使表达式有意义,又要符合实际意义.,使学生亲自经历获取知识的过程,能提高对数学结论的认可程度.环节三:例题讲解 例1、等腰三角形ABC的周长为10,底边BC长为y, 腰AB长为x,求:(1)y关于x的函数解析式; (2)自变量x的取值范围; (3)腰长AB=3时,底边的长. 解:(1)由三角形的周长为10,得2x+y=10 ∴y=10–2x (2)∵x,y是三角形的边长, ∴x>0,y>0,2x>y(两边之和大于第三边) 10-2x>0 2x>10-2x ∴解得: 2.5 < x < 5 (3)当腰长 AB = 3,即 x = 3 时,y =10-2×3=4 ∴当腰长 AB = 3 时,底边BC长为4 当x= 6时,y=10-2x 的值是多少 对本例有意义吗 当x= 2 呢 当x= 6时,y=-2 对本例没有意义。当x= 2 时,y=6,不能构成三角形,没有意义 自变量的范围要符合:①代数式本身要有意义; ②符合实际意义 归纳:要求y关于x的函数解析式, 可先得到函数与自变量之间的等式, 再解出函数关于自变量的解析式 函数的三类基本问题: ①求解析式 ②求自变量的取值范围 ③已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值 例2、游泳池应定期换水. 某游泳池在一次换水前存水936立方米,换水时打开排水孔, 以每时312立方米的速度将水放出.设放水时间为 t 时,游泳池内的存水量为Q立方米. (1)求Q关于 t 的函数解析式和自变量 t 的取值范围; (2)放水 2 时20分后,游泳池内还剩水多少立方米 (3)放完游泳池内全部水需要多少时间 解:(1)Q关于t的函数解析式是:Q=936-312t ∵Q≥0,t≥0 t ≥0 936-312t ≥0 (2)放水2时20分,即t= ∴Q=936-312×=208(立方米) ∴放水2时20分后,游泳池内还剩下208立方米 (3)放完游泳池内全部水时,Q=0,即936-312t=0,解得t=3 ∴放完游泳池内全部水需3时。学生活动3: 学习例题,培养学生自主探究能力. 学生认真思考,合作交流,举手回答问题,教师进行评价和讲析. 活动意图说明: 让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识,把数学理论与实践相结合,掌握数学基础知识理论的用途和方法,从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标.通过自主探究增强巩固知识并提高知识认同度.
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题: 1.设等腰三角形顶角度数为y,底角度数为x,则( ) A. y=180-2x(x可为全体实数) B. y=180-2x(0≤x≤90) C. y=180-2x (0<x<90) D. y=180- (0<x<90) C 2.如图,在靠墙(墙长为18m)的地方围建一个长方形的养鸡场,另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆总长为36m,则鸡场的面积y(m2)与宽x(m)的函数关系式为_______________,自变量的x取值范围为____________. y=-2x2+36x 9<x<18 选做题: 3.求下列自变量的取值范围. 【综合拓展类作业】 4.已知两邻边不相等的长方形的周长为24cm,设相邻两边中,较短的一边长为ycm,较长的一边长为xcm.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)当较短边长为4cm时,求较长边的长. 解:(1)∵2(x+y)=24,
∴y=12-x;
(2)∵ 12-x>0 y=12-x<x ∴6<x<12; (3)当y=4时,y=12-x=4解得:x=8cm.
作业布置 【知识技能类作业】 必做题: 1.如果一个圆筒形水管的外径是R,内径是6,它的横截面积S关于外径R的函数关系式为S=π(R2-36),那么R的取值范围为( ) A.全体实数 B.全体正实数 C.全体非负实数 D.所有大于6的实数 D 选做题: 2.某城市居民用水实行阶梯收费,每户每月用水量如果未超过20吨,按每吨1.9元收费;每户每月用水量如果超过20吨,未超过的部分仍按每吨1.9元收费,超过的部分则按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x吨,应交水费为y元. (1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时,y与x间的函数关系式; (2)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元,求该户5月份用水多少吨? 【综合拓展类作业】 3. .
教学反思 1.求函数解析式: 可以先得到函数与自变量之间的等式,然后用自变量的代数式表示函数; 2.求函数自变量取值范围的两个依据: (1)要使代数式本身有意义(有分母,分母不能为零) (2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义. 3.求另一变量值的方法: 跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的变量的值代入函数解析式中, 即可求出相应的函数值. 4.重要数学思想与方法:转化、数形结合.
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 八年级上册第五章
课标要求 以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景,经历“找出常量和变量,建立并表示函数模型,讨论函数模型,解决实际问题”的过程,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型; (2)结合实例,了解常量、变量和函数的概念,体会“变化与对应”的思想,了解函数的三种表示方法,能利用图像数形结合地分析简单的函数关系; (3)理解正比例函数和一次函数的概念,会画它们的图像,能结合图像讨论这些函数的基本性质,能利用这些函数分析和解决简单实际问题; (4)通过讨论一次函数与方程(组)及不等式的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对己经学习过的方程(组)及不等式等内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系.
内容分析 本章的主要内容有常量、变量,函数、正比例函数和一次函数.从本章开始,学生将由常量数学的学习进变量数学的学习.通过本章的学习,学生将对数学的认识有一次重要的飞跃.函数的概念、表示法、对函数性质的研究方法等,都为今后进一步学习其他函数,以及运用函数模型解决实际问题奠定基础.另外,正比例函数、一次函数的表达式,以及它们的图象在日常生活和生产实际中有着广泛的应用 .
学情分析 学生已有的基础学生在小学时己接触到的观察与分析、字推理、正比例与反比例等内容就渗透了变化的思想: 七年级的代数式求值、探索规律等加强了学生对量的变化的“规律意识”,因此相对传统教材的使用者,使用课标教科书的学生在对事物规律的发现和探究上有明显的优势,《一次函数》一章则是在前述基础之上第一次集中的讨论变量间的关系学生学习本章常见错误与不易掌握的内容. 初次接触函数概念,学生常有一种很“虚”的感觉,常常不知从何入手,思考以往的教学,不断总结中发现,学生接受函数概念困难重要在于(1)没有很好地理解有序实数对,从而也就认识不到:函数不是数,在同一变化过程中,变量之间不是孤立的,而是相互联系,一个变量的变化会引起其他变量的相应变化,这些变化之间存在对应关系.函数是从数量角度反应变化规律的数学模型.
单元目标 教学目标 基本要求: (1)能在简单问题中列出变量之间的关系式; (2)能根据函数的三种表示方法解读自变量和函数值的对应关系; (3)能根据已知的函数解析式,在自变量和函数值中知一求一; (4)能用描点法画出简单函数图象; (5)能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析; (6)能确定简单代数和实际问题中的函数的自变量取值范围; (7)能根据简单己知条件确定一次函数表达式; (8)会画一次函数的图象,理解一次函数的性质; (9)能用一次函数解决较简单实际问题. 较高要求: (1)探索问题中的数量关系和变化规律; (2)能根据线段长面积等几何的条件确定次函数解析式; (3)结合对函数关系的分析,尝试对变量的变化规律进行初步预测; (4)能根据一次函数的图象求三元一次方程组的近似解、一元一次不等式的解集; (5)能用一次函数解决较复杂实际问题,分析决策方案. (二)教学重点、难点 教学重点:一次函数(包括正比例函数)的概念及性质应用. 教学难点:综合运用一次函数的知识解决较复杂的实际问题.
单元知识结构框架及课时安排 (一)单元知识结构框架 教学建议: 建议:注重对基本知识和基本技能的掌握,提高基本能力. (1)函数的基本概念、函数的一般表示法和一次函数的概念图象性质等是基础知识,能画一次函数的图象,能结合图象讨论这些函数的基本性质等是基本技能,能利用一次函数解决简单实际问题是基本能力; (2)函数的图象,是函数关系的直观表现,它的本质是“坐标系中的曲线上的点的坐标反映变量之间的对应关系”; (3)求两个图像的交点坐标,就是联立解方程组; (4)计算直线与坐标轴交点时,只会机械地模仿,而不理解其几何意义; (5)不能很好地区别正比例与正比例函数是学生学习感到困难的一个主要因素:小学时学生学到的正比例与反比例是一种最初级的“变化与对应”,学生体会到的是两个变量同时扩大(或同时缩小)相同的倍数即为正比例;反之,一个扩大(或缩小)一定的倍数,而一个缩小(或扩大)相同的倍数即为反比例. 这一先入为主的理解使得学生在数系扩充到有理数(增加了负数)后对正比例函数的概念不能进行有效地顺应与正迁移,进而影响对一次函数增减性的正确理解. 内容与特点 : 1.本章是实践性很强的内容,常量、变量在同一过程中相对存在,两个变量之间的函数关系也是在问题情境中蕴含的数量关系的基础上才能建立,才真正具有意义,因此本章教学中无论是知识的发生过程,还是应用过程,都要充分运用实例,包括可以进行的实验. 2.函数的图象直观地反映了函数的性质,并且函数图象本身在解决实际问题中有许多应用.教学中要使学生明确学习函数图象的重要性,不仅要求能画出一次函数的图象,而且要理解一次函数的图象是如何反映自变量与函数之间的关系的.在解决问题的过程中体验数形结合的数学思想. 3.在运用一次函数解决实际问题时,教学中要突出数学建模的思想和过程.另外,如果遇到的问题情境比较复杂,教师首先要帮助学生理解问题,知道问题中涉及哪些量,哪些是常量,哪些是变量,以及有哪些数量关系,在解决问题的过程中还要引导学生综合运用方程,不等式等其他数学模型,在画函数图象时,由于学生缺乏实际操作的经验,对于如何建立直角坐标系,如何取单位长,怎样画不同区间内表达式不相同的函数图象等等,学生都会遇到困难,教师要耐心、细致地予以具体指导. (二)课时安排 课时编号单元主要内容课时数 5.1 常量与变量15.2 函数(1)15.2 函数(2)15.3一次 函数(1)15.3一次 函数(2)15.4一次函数的图象(1)15.4一次函数的图象(2)15.5一次函数的应用(1)15.5一次函数的应用(2)1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 5.1 常量与变量 1.通过实例体验在一个过程中有些量固定不变,有些量不断地变化. 2.了解常量、变量的概念,体验在一个过程中常量与变量相对地存在. 3.会在简单的过程中辨别常量和变量.1.能够掌握常量和变量的概念. 2. 培养学生合作学习的能力. 活动一:情景导入,用生活的例子体会些量固定不变,有些量不断地变化. 活动二:概念归纳,辨别常量和变量. 活动三:探究新知,体验在一个过程中常量与变量相对地存在. 5.2 函数(1)了解函数的概念和三种表示方法; 2.了解函数值的概念,并会求一个数的函数值. 1.能掌握函数的有关概念. 2.能够体会用图象来表示函数关系涉及数形结合. 3.在一个函数关系式中,能识别自变量与因变量,并能由给定的自变量的值,相应的求出函数的值.活动一:复习导入,认识函数的定义. 活动二:新知探究,认识讲解函数的三种表示方法. 活动三:巩固练习,针对训练,学生自主完成,并请一名学生上台解题. 5.2 函数(2)会求一个函数的自变量的取值范围; 2.会求实际问题中函数的解析式.1.能够求函数的表达式. 2.能体会自变量的取值范围既要使表达式有意义,又要符合实际意义. 活动一:复习导入,回顾自变量的取值范围既要使表达式有意义. 活动二:合作探究,在实际问题中,函数的自变量取值范围往往是有限制的,在限制的范围内,函数才有实际意义. 活动三:巩固练习,针对训练,学生自主完成,并请学生回答问题. 5.3一次 函数(1)1.理解正比例函数、一次函数的概念. 2.会根据数量关系,求正比例函数、一次函数的解析式. 3.会求一次函数的值. 1.会求一次函数、正比例函数的概念和解析式. 2.培养学生自主探究能力和合作学习能力.活动一:复习导入,理解正比例函数、一次函数的概念. 活动二:探究新知,利用正比例函数解决实际问题,培养学生对数学的兴趣,感受数学的乐趣. 活动三:例题精讲,通过做对应的题目,来让学生更深刻理解本节知识. 5.3一次 函数(2)1.会用待定系数法求一次函数的解析式. 2.会通过已知自变量的值求相应一次函数的值,已知一次函数的值求相应自变量的值解决一些简单的实际问题. 1.能用待定系数法求一次函数的表达式. 2.会总结求待定系数法求一次函数表达式的步骤.活动一:温故知新,回顾已知自变量的值求相应一次函数的值. 活动二:探究新知,合作学习,通过做对应的题目,来让学生更深刻理解本节知识. 活动三:归纳步骤为“一设,二列,三解,四还原”. 活动四:巩固练习,针对训练,学生自主完成,并请一名学生上台解题.5.4一次函数的图象(1)掌握用描点法画函数图象; 2.掌握一次函数的图象(包括正比例函数)的图象及其画法. 1.掌握一次函数的图象(包括正比例函数)的图象. 2.理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系.活动一:温故知新,回顾用描点法画图像方法. 活动二:探究新知,合作学习,用待定系数法求一次函数的表达式. 活动三:完成例题,针对训练,学生自主完成,并请一名学生上台解题.5.4一次函数的图象(2)1.掌握一次函数的性质,了解常数k,b的意义和作用. 2.会利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题.1.能掌握一次函数的性质. 2.能对于两个不同函数图象共存于同一坐标系中的问题,常通过假设一图象正确,然后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题. 活动一:回顾旧知,为新课奠定基础. 活动二:探究新知,合作学习,k决定函数图象的增减性,b决定函数图象与y轴的交点位置. 活动三:完成例题,针对训练,学生自主完成,并请一名学生上台解题.5.5一次函数的应用(1)1.能利用一次函数的图象和性质解决实际问题. 2.会综合运用一次函数的表达式,函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型,解决实际问题.1.能利用数据、画出图象取得函数表达式的基本方法和步骤. 2.会综合运用一次函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型,解决实际问题活动一:回顾旧知,为新课奠定基础. 活动二:探究新知,合作学习,通过描点、连线、猜想、验证等步骤建立了最适合该情境的函数模型. 活动三:完成例题,针对训练,学生自主完成,让学生更深刻理解本节知识.5.5一次函数的应用(2)了解一次函数与二元一次方程组的关系; 2.能运用一次函数与二元一次方程组的关系解决方程组求解,不等式的求解等问题. 综合运用一次函数的表达式和图象等解决简单实际问题. 2.学会数形结合,利用一次函数图象解决实际问题.活动一:回顾旧知,理解图象交点和函数解的关系。 活动二:探究新知,合作学习,能运用一次函数与二元一次方程组的关系解决方程组求解,不等式的求解等问题. 活动三:完成例题,针对训练,学生自主完成,让学生更深刻理解本节知识.
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5.2 函数(2)
浙教版 八年级 上册
教材分析
会根据函数解析式,已知自变量的值,求相应的函数值;或已知函数值,求相应自变量的值.会求一些简单的函数解析式及函数解析式的应用.通过学习,进一步体验函数与生活的紧密联系,培养一种数学建模的思想.
教学目标
教学目标:1.会列简单实际问题中的函数解析式;
2.会根据函数解析式,已知自变量的值,求相应的函数值;或已
知函数值,求相应自变量的值;
3.会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围.
教学重点:求函数解析式是重点..
教学难点:根据实际问题求自变量的取值范围并化归为解不等式(组)不易理解.
新知导入
情境引入
2.函数有哪几种表示方法
解析法
列表法
图象法
1.函数的定义
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值, y都有唯一确定的值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量.
新知讲解
合作学习
3.判定函数的表示方法?
(1)y=2x+1
解析法
列表法
图像法
x 1 2 3 0 -1
y 3 5 7 1 -1
(2)
(3)
问题1 求下列函数自变量的取值范围.
(2)∵2x- 4≥0
∴x≥2
(1)∵x-1≠0
∴x≠1
①代数式本身要有意义;
解:
有分母,分母不能为零.
开2次方,被开方数是非负数.
求自变量的取值范围时,要注意什么
问题2 儿童节的时候,每人发2颗糖果,总人数x与总发的糖果数y的函数关系式为_________,
其中人数x的取值范围是_____________.
求自变量的取值范围时,还要注意什么
y= 2x
x为正整数
②符合实际意义.
提炼概念
函数自变量的取值范围
①整式(全体实数)
②分式(使分母不为0的实数)
③根式
开奇次方,被开方数为全体实数
开偶次方,被开方数大于或等于0
不仅要考虑使函数关系式有意义,而且还要注意问题的实际意义.
典例精讲
例1 等腰三角形ABC的周长为10,底边BC长为y,腰AB长为x,求:
(1)由三角形的周长为10,得
解:
2x+y=10
∴ y=10-2x
(1)y关于x的函数解析式;
例1 等腰三角形ABC的周长为10,底边BC长为y,腰AB长为x,求:
(2)自变量x的取值范围;
(2)∵x,y是三角形的边长,
∴x>0,y>0, 2x>y
10-2x>0
2x>10-2x
解:
∴
解得 2.5<x<5
例1 等腰三角形ABC的周长为10,底边BC长为y,腰AB长为x,求:
想一想
当x=6时,y=10-2x的值是多少 对本例有意义吗
当x=2呢
当x=6时,
y=10-2×6=-2<0
解:
底边BC不存在
当x=2时,
y=10-2×2=6
边长分别为2、2、6
这样的三角形不存在.
例2 游泳池应定期换水,某游泳池在一次换水前存水936立方米,换水时打开排水孔,以每小时312立方米的速度将水放出,设放水时间为t小时,游泳池内的存水量为Q立方米。
(1)求Q关于t的函数表达式和自变量t的取值范围;
解:Q关于t的函数表达式是Q=936-312t
∵ Q≥0,t≥0
∴
t≥0
936-312t≥0
解得0≤t≤3,即自变量t的取值范围是0≤t≤3
例2 游泳池应定期换水,某游泳池在一次换水前存水936立方米,换水时打开排水孔,以每小时312立方米的速度将水放出,设放水时间为t小时,游泳池内的存水量为Q立方米。
(2)放水2小时20分后,游泳池内还剩水多少立方米
把t= 代入Q=936-312t,得
Q=936-312× =208(立方米)
所以放水2小时20分后,游泳池内还剩水208立方米.
(2)放水2小时20分,即t= (时)
例2 游泳池应定期换水,某游泳池在一次换水前存水936立方米,换水时打开排水孔,以每小时312立方米的速度将水放出,设放水时间为t小时,游泳池内的存水量为Q立方米。
(3)放完游泳池内全部水需要多少时间
(3)放完游泳池内全部水时,Q=0,即936-312t=0,
解得t=3.
所以放完游泳池内全部水需3小时.
归纳概念
总结归纳
求函数自变量的取值范围时,要从两方面考虑:
①代数式要有意义 ②符合实际
函数的三类基本问题:
①求解析式
②求自变量的取值范围
③已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值
课堂练习
必做题
1.设等腰三角形顶角度数为y,底角度数为x,则( )
A. y=180-2x(x可为全体实数)
B. y=180-2x(0≤x≤90)
C. y=180-2x (0<x<90)
D. y=180- (0<x<90)
C
2.如图,在靠墙(墙长为18m)的地方围建一个长方形的养鸡场,另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆总长为36m,则鸡场的面积y(m2)与宽x(m)的函数关系式为_______________,自变量的x取值范围为____________.
y=-2x2+36x
9<x<18
选做题
3.求下列自变量的取值范围.
解:x为全体实数
解得x≥1;
综合拓展题
4.已知两邻边不相等的长方形的周长为24cm,设相邻两边中,较短的一边长为ycm,较长的一边长为xcm.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)当较短边长为4cm时,求较长边的长.
解:(1)∵2(x+y)=24,
∴y=12-x;
(2)∵ 12-x>0
y=12-x<x
∴6<x<12;
(3)当y=4时,y=12-x=4解得:x=8cm.
作业布置
必做题
1.如果一个圆筒形水管的外径是R,内径是6,它的横截面积S关于外径R的函数关系式为S=π(R2-36),那么R的取值范围为( )
A.全体实数
B.全体正实数
C.全体非负实数
D.所有大于6的实数
D
选做题
课堂练习
2.某城市居民用水实行阶梯收费,每户每月用水量如果未超过20吨,按每吨1.9元收费;每户每月用水量如果超过20吨,未超过的部分仍按每吨1.9元收费,超过的部分则按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x吨,应交水费为y元.
(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时,y与x间的函数关系式;
(2)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元,求该户5月份用水多少吨?
综合拓展题
3.
课堂总结
1.求函数解析式:
可以先得到函数与自变量之间的等式,然后用自变量的代数式表示函数;
2.求函数自变量取值范围的两个依据:
(1)要使代数式本身有意义(有分母,分母不能为零)
(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.
3.求另一变量值的方法:
跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的变量的值代入函数解析式中,
即可求出相应的函数值.
4.重要数学思想与方法:转化、数形结合.
作业布置
教材课后配套作业题。
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