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浙教版2023-2024学年七上数学第5章一元一次方程 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若关于x的方程xm﹣1+3=0是一元一次方程，则m值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
2．下列变形中错误的是（ ）
A．若x＝y，则x+a＝y+a B．若mx＝my，则x＝y
C．若x+a＝y+a，则x＝y D．若x＝y，则mx＝my
3．若是关于x的一元一次方程的解，则常数a的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．解方程，去分母后，结果正确的是（ ）
A．2（x﹣1）=1﹣（3x+1） B．2（x﹣1）=6﹣3x+1
C．2x﹣1=6﹣3x+1 D．2（x﹣1）=6﹣（3x+1）
5．若关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
6．下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程3x﹣2=2x+1，移项，得3x﹣2x=﹣1+2
B．方程3﹣x=2﹣5（x﹣1），去括号，得3﹣x=2﹣5x﹣1
C．方程 t= ，系数化为1，得t=1
D．方程 = ，去分母，得5（x﹣1）=2x
7．若 ，用含y的式子表示x的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B． C． D．
9．某大型超市购进一批特种水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ）
A． B． C． D．
10．若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．请写出一个解为 的一元一次方程：
12．若x=2是方程8﹣2x=ax的解，则a=
13．一项工程，甲单独做需10小时完成，乙单独做需12小时完成；现在两人合作3小时后，由乙独做，若设乙队再用x小时完成，则可列方程 ．
14．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为 .
15． 如表，有个方格，每个方格内都有一个数，若任何相邻三个数的和都是，则的值是 ．
16．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为 ，容器内水的高度为 ，把一根半径为 的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高 cm.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
18．k取何值时，代数式的值比的值小4
19．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程.请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断是否是差解方程；
（2）若关于的一元一次方程是差解方程，求的值.
20．甲、乙两列火车分别从A、B两地出发同向而行，乙列车在甲列车前面，甲列车每小时行驶72千米，乙列车每小时行驶48千米，已知A、B两地相距120千米．
（1）若乙列车先开出0.5小时，甲列车才出，求甲列车经过多少小时追上乙列车？
（2）若两列火车同时开出，经过多少小时两车相距72千米？
21．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与．我们规定： ．例如：．根据上述规定解决下列问题：
（1）求；
（2）若，求；
（3）当满足等式的是整数时，求整数k的值．
22．某商场分别购进了甲、乙两种型号扫地机器人40台与20台，已知甲种型号扫地机器人的进价比乙种型号扫地机器人的进价便宜10%，甲种型号扫地机器人售价1100元，乙种型号扫地机器人售价1500元。
（1）“十一”期间商场促销，乙种型号扫地机器人按售价八折出售，甲种型号扫地机器人按原价销售，某公司一共花了10300元买了9台甲、乙两种型号扫地机器人。问某公司甲、乙两种型号扫地机器人各买了多少台？
（2）在（1）的条件下，甲、乙两种型号扫地机器人销售一空，甲种型号扫地机器人利润是乙种型号扫地机器人利润的2倍。问甲、乙两种型号扫地机器人进价各是多少元？
23．一般情况下，对于数a和b，
，但是对于某些特殊的数a和b，
.我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作＜a，b＞.例如当a＝1，b＝﹣4时，有
，那么＜1，﹣4＞就是“理想数对”.
（1）＜3，﹣12＞，是不是“理想数对” ；（填“是”或“不是”）
（2）如果＜2，x＞是“理想数对”，那么x＝ ；
（3）若＜m，n＞是“理想数对”，求3[（9n-4m）-8(n-
m)]-4m-16的值.
24．开学发新书，两摞规格相同的数学新课本如图所示，整齐地叠放在课桌上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题：
（1）每本数学新课本的厚度为多少厘米？
（2）当数学新课本数为x（本）时，请直接写出同样叠放在桌面上的一摞数学新课本最上面高出地面的距离（用含x的代数式表示）.
（3）如果有一个班级的学生每人要领取1本数学新课本，全班的数学新课本放在桌面上，班级中的学生领取后，桌上剩余的数学新课本整齐地摆放成一摞，课本最上面高出地面的距离为厘米，你能从中知道该班学生的人数吗？请说出理由.
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浙教版2023-2024学年七上数学第5章一元一次方程 培优测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若关于x的方程xm﹣1+3=0是一元一次方程，则m值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【答案】B
【解析】∵ 关于x的方程xm﹣1+3=0是一元一次方程
∴m-1=1
解之：m=2
故答案为：B
2．下列变形中错误的是（ ）
A．若x＝y，则x+a＝y+a B．若mx＝my，则x＝y
C．若x+a＝y+a，则x＝y D．若x＝y，则mx＝my
【答案】B
【解析】A、∵x＝y，
∴x+a＝y+a，符合等式的性质1，正确，故本选项不符合题意；
B、∵mx＝my，
∴只有当m≠0时，x＝y，不符合等式的性质2，错误，故本选项符合题意；
C、∵x+a＝y+a，
∴x＝y，符合等式的性质1，正确，故本选项不符合题意；
D、∵x＝y，
∴mx＝my，符合等式的性质2，正确，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
3．若是关于x的一元一次方程的解，则常数a的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】将 代入 中得
解得
故答案为：C.
4．解方程，去分母后，结果正确的是（ ）
A．2（x﹣1）=1﹣（3x+1） B．2（x﹣1）=6﹣3x+1
C．2x﹣1=6﹣3x+1 D．2（x﹣1）=6﹣（3x+1）
【答案】D
【解析】去分母得：2（x-1）=6-（3x+1），
故答案为：D.
5．若关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
【答案】A
【解析】∵y+4＝2，
∴，
∵关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，
∴，即，
∴，
故答案为：A．
6．下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程3x﹣2=2x+1，移项，得3x﹣2x=﹣1+2
B．方程3﹣x=2﹣5（x﹣1），去括号，得3﹣x=2﹣5x﹣1
C．方程 t= ，系数化为1，得t=1
D．方程 = ，去分母，得5（x﹣1）=2x
【答案】D
【解析】A、方程3x﹣2=2x+1，移项，得3x﹣2x=1+2，错误；
B、方程3﹣x=2﹣5（x﹣1），去括号，得3﹣x=2﹣5x+5，错误；
C、方程 t= ，系数化为1，得t= ，错误；
D、方程 = ，去分母，得5（x﹣1）=2x，正确，
故选D
7．若 ，用含y的式子表示x的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵y=2t-1，
∴t=，
∴x=3t+1=+1=.
故答案为：B.
8．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当快马追上慢马的时候，此时快马所行时间为x天，慢马因为先行12天，因此所用时间为（x+12）天.因为两种马所行的路程相等，所以可列方程为：240x=150（x+12）.
故答案为：D.
【分析】根据快马追上慢马时，两种马所行的路程相等列出方程即可.
9．某大型超市购进一批特种水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设这种水果的售价在进价的基础上应至少提高a％，进价为b元每千克，共有c千克，根据题意得，
解得
故答案为：D.
10．若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵关于x的方程 的解总是
∴
∴
∴
∴
解得：
∴
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．请写出一个解为 的一元一次方程：
【答案】3x+3=0
【解析】由题意可设：3x+3=0.
故答案为：3x+3=0.
12．若x=2是方程8﹣2x=ax的解，则a=
【答案】2
【解析】把x=2代入方程，得：8﹣4=2a，
解得：a=2．
故答案是：2．
13．一项工程，甲单独做需10小时完成，乙单独做需12小时完成；现在两人合作3小时后，由乙独做，若设乙队再用x小时完成，则可列方程 ．
【答案】（+）×3+x=1
【解析】设乙队再用x小时完成，由题意得：
（+）×3+x=1 ，
故答案为：（+）×3+x=1 ．
14．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为 .
【答案】45
【解析】设个位数为x，则十位数为，
∴
解得：，
∴原来的两位数为：45，
故答案为：45.
15． 如表，有个方格，每个方格内都有一个数，若任何相邻三个数的和都是，则的值是 ．
【答案】
【解析】∵任何相邻三个数的和都是，∴H +P+10 = 18，∴H+P=8，
∵G+H+P=18，∴G= 10，∵F+x+G=18，∴F+x =8，∴E=18-8=10，∴C+D=18-10=8，
∵5+A+B=18，∴A+B=13，∴C=18-13=5，∵C+D+E=18，∴D=3，
∵D+E+F=18，∴F=5，∵F+x+G=5+x+10=18，∴x =3，
故答案为：3.
16．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为 ，容器内水的高度为 ，把一根半径为 的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高 cm.
【答案】0.5
【解析】设容器内的水将升高x cm，
依题意有：π×102×12+π×22（12+x）=π×102（12+x），
1200+4（12+x）=100（12+x），
1200+48+4x=1200+100x，
96x=48，
x=0.5.
故容器内的水将升高0.5cm.
故答案为：0.5.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
（2）解：，
去括号，得，
移项，得，
系数化为1，得；
（3）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
（4）解：，
整理，得，
移项，得，
合并，得，
所以．
18．k取何值时，代数式的值比的值小4
【答案】解：依题意得：，
去分母得：2（k+1）=3（3k+1）-24，
去括号得：2k+2=9k+3-24，
移项合并同类项得：7k=23，
解得：k=
∴当时，代数式的值比的值小4．
19．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程.请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断是否是差解方程；
（2）若关于的一元一次方程是差解方程，求的值.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴是差解方程；
（2）由，
∴
∵关于x的一元一次方程是差解方程，
∴，
∴
∴
∴
解得：.
20．甲、乙两列火车分别从A、B两地出发同向而行，乙列车在甲列车前面，甲列车每小时行驶72千米，乙列车每小时行驶48千米，已知A、B两地相距120千米．
（1）若乙列车先开出0.5小时，甲列车才出，求甲列车经过多少小时追上乙列车？
（2）若两列火车同时开出，经过多少小时两车相距72千米？
【答案】（1）解：设甲列车经过x小时追上乙列车，则乙列车行驶的时间是小时，
，
解得，
答：甲列车经过6小时追上乙列车；
（2）解：设经过y小时两车相距72千米，
甲追上乙之前，
，解得；
甲追上乙之后，
，解得，
答：经过2小时或8小时两车相距72千米．
21．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与．我们规定： ．例如：．根据上述规定解决下列问题：
（1）求；
（2）若，求；
（3）当满足等式的是整数时，求整数k的值．
【答案】（1）解：依据题意得：原式；
（2）解：根据题意化简得：，
移项、合并同类项得：
解得：；
（3）解：等式的x是整数，
，
是整数，
或，
．
22．某商场分别购进了甲、乙两种型号扫地机器人40台与20台，已知甲种型号扫地机器人的进价比乙种型号扫地机器人的进价便宜10%，甲种型号扫地机器人售价1100元，乙种型号扫地机器人售价1500元。
（1）“十一”期间商场促销，乙种型号扫地机器人按售价八折出售，甲种型号扫地机器人按原价销售，某公司一共花了10300元买了9台甲、乙两种型号扫地机器人。问某公司甲、乙两种型号扫地机器人各买了多少台？
（2）在（1）的条件下，甲、乙两种型号扫地机器人销售一空，甲种型号扫地机器人利润是乙种型号扫地机器人利润的2倍。问甲、乙两种型号扫地机器人进价各是多少元？
【答案】（1）解：设公司甲、乙两种型号扫地机器人各买x台与y台，
1100x＋1500×80%（9－x）＝10300
解得x＝5
∴9－5＝4
∴甲型号扫地机器人是5台，乙型号扫地机器人是4台；
（2）解：设乙进价为y元
解得y＝1000
∴（1－10%）y＝900
∴甲型号扫地机器人的进价为900元，乙型号扫地机器人的进价为1000元.
23．一般情况下，对于数a和b，
，但是对于某些特殊的数a和b，
.我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作＜a，b＞.例如当a＝1，b＝﹣4时，有
，那么＜1，﹣4＞就是“理想数对”.
（1）＜3，﹣12＞，是不是“理想数对” ；（填“是”或“不是”）
（2）如果＜2，x＞是“理想数对”，那么x＝ ；
（3）若＜m，n＞是“理想数对”，求3[（9n-4m）-8(n-
m)]-4m-16的值.
【答案】（1）是
（2）-8
（3）由题意， m，n 是“理想数对”，所以 ，即n＝﹣4m，
3[（9n-4m）-8(n- m)]-4m-16
＝3[9n﹣4m﹣8n+ m]﹣4m﹣16
＝3n+12m﹣16
将n＝﹣4m代入，原式＝﹣16
答：代数式的值是﹣16.
【解析】（1）对于数对＜3，﹣12＞，
，
，满足
因此＜3，﹣12＞，是“理想数对”；
故答案为：是；
（2）因为＜2，x＞是“理想数对”，
所以
，
解得x＝﹣8
故答案为：﹣8；
24．开学发新书，两摞规格相同的数学新课本如图所示，整齐地叠放在课桌上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题：
（1）每本数学新课本的厚度为多少厘米？
（2）当数学新课本数为x（本）时，请直接写出同样叠放在桌面上的一摞数学新课本最上面高出地面的距离（用含x的代数式表示）.
（3）如果有一个班级的学生每人要领取1本数学新课本，全班的数学新课本放在桌面上，班级中的学生领取后，桌上剩余的数学新课本整齐地摆放成一摞，课本最上面高出地面的距离为厘米，你能从中知道该班学生的人数吗？请说出理由.
【答案】（1）解：如图所示，叠放 本数学课本离地面的高度是 ，叠放 本数学课本离地面的高度是 ，
∴每本课本的厚度是 .
（2）解：每本书的厚度是 ，叠放 本数学课本离地面的高度是 ，
∴地面到桌面的高度是 ，
∵桌面上放了 本数学课本，
∴课本最上面高出地面的距离是 .
（3）解：剩余的数学新课本最上面高出地面的距离为 厘米，
∴ ，即桌面上剩余 本新课本，
设班上有x名同学，班级中 的学生领取了新课本，
∵每人要领取 本数学新课本，则领取了 本新课本，
∴课本数就是班级人数，即 本新课本加上桌面上剩下的新课本数等于总课本数，即等于总人数，
∴ ，解方程得， ，即该班总人数是 人.
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