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浙教版2023-2024学年七上数学第5章一元一次方程 尖子生测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．一标志性建筑的底面呈长方形，长是宽的2倍，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3米的长方形框（如图所示）．已知铺这个框恰好用了504块边长为0.5米的正方向花岗岩（接缝忽略不计）．若设此标志性建筑底面长方形的宽为x米，给出下列方程：
①4×3（2x+3）=0.5×0.5×504；②2×3（2x+6）+2×3x=0.5×0.5×504；③（x+6）（2x+6）﹣2x x=0.5×0.5×504，
其中正确的是（ ）
A．② B．③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【解析】设此标志性建筑底面长方形的宽为x米，给出下列方程：
①4×3（2x+3）=0.5×0.5×504，错误；②2×3（2x+6）+2×3x=0.5×0.5×504，正确；
③（x+6）（2x+6）﹣2x x=0.5×0.5×504，正确．
故选：C．
2．某班级举行元旦联欢会，有m位师生，购买了n个苹果．若每人发3个，则还剩5个苹果，若每人发4个，则最后还缺30个苹果．下列四个方程：
①3m+5=4m﹣30；②3m﹣5=4m+30； ③ = ；④ = ．
其中符合题意的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】C
【解析】根据总人数列方程，应是3m+5=4m﹣30，
根据苹果数列方程，应该为： = ，
故选：C．
3．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，若阴影十字框上下左右移动，则阴影十字框中的五个数字之和可以是（ ）
A．2025 B．2020 C．2017 D．2018
【答案】A
【解析】设阴影十字框中间的数为x，则十字框中的五个数的和：x+（x﹣10）+（x+10）+（x﹣2）（x+2）=5x，
A、2025÷5=405，在第三列，符合题意；
B、2020÷5=404，数表中都是奇数，不符合题意；
C、2017÷5=403.4，数表中都是奇数，不符合题意；
D、2018÷5=403.6，数表中都是奇数，不符合题意；
故选A．
4．中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设有x辆车，
依题意，得：4（x-1）=2x+8．
故答案为：A．
5．若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵关于x的方程 的解总是
∴
∴
∴
∴ 解得：
∴
故答案为：A.
6．在某市奥林匹克联赛中，实验一中学子再创辉煌，联赛成绩全市领先．某位同学连续答题40道，答对一题得5分，答错一题扣2分（不答同样算作答错），最终该同学获得144分．请问这位同学答对了多少道题？下面共列出4个方程，其中正确的有（ ）
①设答对了 道题，则可列方程： ；②设答错了 道题，则可列方程： ；③设答对题目总共得 分，则可列方程： ；④设答错题目总共扣 分，则可列方程： ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】①若设答对了x道题，则可列方程：5x-2（40-x）=144，故①符合题意；
②若设答错了y道题，则可列方程：5（40-y）-2y=144，故②符合题意；
③若设答对题目得a分，则可列方程： ，故③符合题意；
④设答错题目扣b分，则可列方程 ，故④不符合题意．
所以，共有3个正确的结论．
故答案是：B．
7．用A、B两种规格的长方形纸板（如图1）无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为32cm的正方形，已知A种长方形的宽为1cm，则B种长方形的面积是（ ）
A．10cm2 B．12cm2 C．14cm2 D．16cm2
【答案】B
【解析】设A长方形的长是xcm，则B长方形的宽是（4﹣ x）cm，B长方形的长是（8﹣ x）cm，依题意有4[（4﹣ x）+（8﹣ x）]=32，
解得x=4，
（4﹣ x）（8﹣ x）=（4﹣2）×（8﹣2）=2×6=12．
故B种长方形的面积是12cm2．
故选：B．
8．已知关于x的方程 有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A． B．23 C． D．34
【答案】C
【解析】
去分母得，
去括号得，
移项，合并得，
∴
∵关于 的方程 有非负整数解，
∴a=-5，-6，-9，-14
∴整数a的所有取值的和为：-5-6-9-14=-34.
故答案为：C.
9．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折；兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（ ）
A．288元 B．288元和332元 C．332元 D．288元和316元
【答案】D
【解析】（1）第一次购物显然没有超过100，
即在第一次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．
（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．
①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．
即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．
综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款：360×0.8=288元
395×0.8=316元
故答案为：D．
10．把八张形状、大小完全相同的小长方形卡片按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部(如图1．图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知盒子底部长方形的长比宽大5，图1与图2阴影部分周长之比为25：22，则盒子底部长方形的面积为（ ）
A．150 B．176 C．204 D．234
【答案】A
【解析】设小长方形卡片的长为3m，则宽为m，
由图2可知大长方形的宽为5m，长为（5m+5），
则，
解得：m=2，
∴盒子底部长方形的面积=5m×（5m+5）=10×15= 150．
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．某超市十一优惠顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款120元，第二次购物付款288元，若这两次购物合并成一次性付款可节省 元．
【答案】40.8或12
【解析】(1)若第二次购物超过300元，
设此时所购物品价值为x元，则90%x=288，解得：x=320，
两次所购物价值为120+320=440＞300，
所以享受9折优惠，因此应付440×90%=396(元)．
这两次购物合并成一次性付款可节省：120+288-396=12(元)．(2)若第二次购物没有过300元，两次所购物价值为120+288=408(元)，
因为408＞300，
所以享受9折优惠，这两次购物合并成一次性付款可以节省：408×10%=40.8(元)
故答案为：40.8或12．
12．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，如图（1）是由 、 、 、 、 、 、 、 、 所组成的一个三阶幻方，其幻和为 ，中心数为 ．如图（2）是一个新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为 的 倍，且 ，则 ．
【答案】15
【解析】设该新三阶幻方的幻和为x,则 为 ，由九宫格可知幻和为中心数的3倍，即 = ， 为
∵
∴ ＋ =24
解得：x=36
∴ =
故答案为：15．
13．如果关于的方程有正整数解，那么正整数的所有可能取值之和为 ．
【答案】23
【解析】由 是整数知， 或 ．
若为前者，由于 ，
故知 只能为 ．
此时， ，
解得： ，因此 ，2，3，但一一验证知均不成立，
若为后者，设 ，其中 是正整数．
则 ，
故 时取到 或 时取到 ．
因此所求答案为 ．
故答案为：23.
14．数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足 。点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、QN的中点。思考，在运动过程中， 的值
【答案】2
【解析】 ，
，
，
设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是-2-7t，点N对应的数是8+10t．
∵P是ME的中点，
∴P点对应的数是 ＝ 1 3t，
又∵Q是ON的中点，
∴Q点对应的数是 ＝4+5t，
∴MN=（8+10t）-（-2-7t）=10+17t，OE= ， =（4+5t）-（-1-3t）=5+8t，
∴ ，
故答案为：2
15．实验室里有一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的棱长为15cm，容器内的水深为4cm、现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，xcm（x<15）．
（1）容器内水的体积为 cm3
（2）当铁块的顶部高出水面1cm时，x的值为 ．
【答案】（1）900
（2）12.5或8.2
【解析】（1）根据已知容器内水的体积为15×15×4=900（cm3），
故答案为：900；
（2）①当长方体实心铁块的棱长为10cm和xcm的那一面平放在长方体的容器底面时，
则铁块浸在水中的高度为9cm，此时水位上升了5cm，铁块浸在水中的体积为10×9x=90x cm3，
∴90x=15×15×5，
解得x=12.5，
②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，
同理可得：10×10 （x-1）=15×15 （x-1-4），
解得x=8.2，
故答案为：12.5cm或8.2cm．
16．方程 的解是 .
【答案】1
【解析】【解答】方程变形得：（ ） ，
∵ ， ， ， ，
∴
=
，
方程为： ，
解得： .
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）
（2）
（3）278（x﹣3）﹣463（6﹣2x）﹣888（7﹣21x）＝0
（4）
【答案】（1）解：去分母得，2（x﹣1）﹣（x+2）＝3（4﹣x），
去括号，可得：2x﹣2﹣x﹣2＝12﹣3x，
移项合并同类项得，4x＝16，
系数化为1得，x＝4．
（2）解：原方程可变形为：0.8+1.8﹣
去分母，得15.6﹣6﹣4x＝3x﹣15，
移项合并同类项，得7x＝24.6，
系数化为1得，x＝3 ．
（3）解：去括号得，278x﹣834﹣2778+926x﹣6216+18648x＝0，
移项合并同类项得，19852x＝9828，
系数化为1得，x＝ ．
（4）解：
移项，得 { [ （ ）﹣3]﹣3}＝3，
方程的两边都乘以2，得 [ （ ）﹣3]＝9，
方程的两边都乘以2，得 （ ）＝21
方程的两边都乘以2，得 x＝45
方程的两边都乘以2，得x＝90
18．某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价为30元，对集体购票有两种优惠方案．
方案一：所有人按全票价的90%购票；
方案二：前20人全票，从第21人开始没人按全票价的80%购票；
（1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？
（2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？
【答案】（1）解：方案一收费为：35×30×90%=945（元），
方案二收费为：20×30+（35-20）×30×80%=960（元），
∵960＞945，
∴方案一更省钱；
（2）解：设女同学人数是x人时，两种方案付费一样多，由题意得
（15+x）×30×90%=20×30+（15+x-20）×30×80%，
解得：x=25，
答：当女同学人数是25人时，两种方案付费一样多．
19．观察下面三行数
-2，4，-8，16，-32，64，…①
-4，2，-10，14，-34，62，…②
3，-3，9，-15，33，-63，…③
（1）第①行的第7个数是 ；第n个数是 .
（2）第①行的第n个数是x，则第②行的第n个数是 ；第③行的第n个数是 .
（3）是否存在正整数k，使每行的第k个数相加的和等于-257，若存在求k的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）-128；
（2）x-2；-x+1
（3）解：设第①行的第k个数为x，由题意及（1）（2）得：
，解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴不存在正整数k，使每行的第k个数相加的和等于-257.
【解析】（1）由题意可得：
第①行的第7个数是-128，
由①行的前7个数可得规律为：第n个数是 ；
故答案为：-128； ；
（2）由题意得：
第②行的第n个数是第①行的第n个数减去2，故第②行的第n个数是：x-2；
第③行的第n个数是第①行的第n个数的相反数与1的和，故第③行的第n个数是：-x+1；
故答案为：x-2；-x+1；
20．小明和父母打算去某火锅店吃火锅，该店在网上出售“ 元抵 元的全场通用代金券”(即面值 元的代金券实付 元就能获得)，店家规定代金券等同现金使用，一次消费最多可用 张代金券，而且使用代金券的金额不能超过应付总金额.
（1）如果小明一家应付总金额为 元，那么用代金券方式买单，他们最多可以优惠多少元:
（2）小明一家来到火锅店后，发现店家现场还有一个优惠方式: 除锅底不打折外，其余菜品全部 折.小明一家点了一份 元的锅底和其他菜品，用餐完毕后，聪明的小明对比两种优惠，选择了现场优惠方式买单，这样比用代金券方式买单还能少付 元.问小明一家实际付了多少元
【答案】（1）解：
∴最多购买并使用两张代金券，
最多优惠 元
（2）解：设小明一家应付总金额为 元，
当 时，由题意得， .
解得： (舍去).
当 时，由题意得， .
解得： (舍去).
当 时，由题意得， .
解得： .
∴ .
答:小明一家实际付了 元
21．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“标准数”，将一个“标准数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，再除以11所得的商记为S（x）.例如，当x＝13，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31＝44，和44除以11的商为44÷11＝4，所以S（13）＝4.
（1）计算：S（92）＝ ；
（2）若一个“标准数”y的十位数字是k，个位数字是2（k﹣2），且S（y）＝14，求y；
（3）经思考，小聪同学发现：“若S（x）＝5，则“标准数”x的个位数字与十位数字之和一定为5”，请判断小聪同学的发现是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例.
【答案】（1）11
（2）由题意得：原两位数为 ，
新两位数为 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
则 ；
（3）正确，理由如下：
设“标准数” 的十位数字为 ，个位数字为 ，
则原两位数为 ，新两位数为 ，
由 得： ，
整理得： ，
所以小聪同学的发现正确.
【解析】（1）当 时，对调个位数字与十位数字得到的新两位数29，新两位数与原两位数的和为 ，和121除以11的商为 ，
所以 .
故答案为：11；
22．如图，将一根长为的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数轴上的点，重合点在点的左边．
【初步思考】
（1）若，当点表示的数为时，点表示的数为 ；
（2）【数学探究】
如图，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为请确定的值及图中，两点表示的数；
（3）一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是 岁
【答案】（1）3
（2）由题意得：，
点表示的数为：，
表示的数为：；
（3）72
【解析】（1）-2+5=3，
故答案为：3；
（3）设小红的年龄为x,则爷爷的年龄为（2x+32）岁，
依题意，4x+64=124+x,
解得：x=20，
则爷爷现在的年龄为：2x+32=72，
故答案为：72．
23．甲仓库有水泥110吨，乙仓库有水泥70吨，现要将这些水泥全部运往 两工地，调运任务承包给某运输公司.已知A工地需水泥100吨，B工地需水泥80吨，从甲仓库运往 两工地的路程和每吨每千米的运费如表：
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A地 25 20 1 0.8
B地 20 15 1.2 1.2
（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，则甲仓库运往B地水泥 吨，乙仓库运往A地水泥 吨，乙仓库运往B地水泥 吨（用含x的代数式表示）；
（2）用含x的代数式表示总运费，并化简；
（3）若某种运输方案的总运费是3820元，请问具体的调运方案是怎样的？
【答案】（1）；；
（2）解：由（1）及表格可得：
总运费为：
=
= ；
∴总运费为 元；
（3）解：由（2）及题意可得：
，
解得： ，
∴从甲仓库运往A地水泥 吨，甲仓库运往B地水泥为： 吨；乙仓库运往A地水泥为 吨；乙仓库运往B地水泥为 吨；
答：具体调运方案为从甲仓库运往A地水泥 吨，甲仓库运往B地水泥为 吨；乙仓库运往A地水泥为 吨；乙仓库运往B地水泥为 吨.
【解析】（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，由题意得：
甲仓库运往B地水泥为： 吨；乙仓库运往A地水泥为 吨；乙仓库运往B地水泥为 吨；
故答案为： ， ， ；
24．新规定:点C为线段 上一点，当 或 时，我们就规定C为线段 的“三倍距点”。如图，在数轴上，点A所表示的数为-3，点B所表示的数为5．
（1）确定点C所表示的数为 ．
（2）若动点P从点B出发，沿射线 方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①当点P与点A重合时，求t的值．
②求 的长度(用含t的代数式表示)．
③当点A为线段 的“三倍距点”时，直接写出t的值．
【答案】（1） 1或3
（2）解：①∵ ，
∴t＝8÷2＝4，
答：当点P与点A重合时，t的值为4．
②当点P在点A右侧时， ；
当点P在点A左侧时， ．
③设点P所表示的数为p，
当PA＝3AB时，
此时 3 p＝3×8，
解得：p＝ 27，
∴BP＝5＋27＝32，
∴ ，
当AB＝3PA时，
∴8＝3（ 3 p），
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴综上所述，t＝16或 ．
【解析】（1）设点C所表示的数为c，
当CA＝3CB时，
c＋3＝3（5 c），
解得：c＝3，
当CB＝3CA时，
5 c＝3（c＋3），
解得：c＝ 1
故答案为： 1或3．
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浙教版2023-2024学年七上数学第5章一元一次方程 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．一标志性建筑的底面呈长方形，长是宽的2倍，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3米的长方形框（如图所示）．已知铺这个框恰好用了504块边长为0.5米的正方向花岗岩（接缝忽略不计）．若设此标志性建筑底面长方形的宽为x米，给出下列方程：
①4×3（2x+3）=0.5×0.5×504；②2×3（2x+6）+2×3x=0.5×0.5×504；
③（x+6）（2x+6）﹣2x x=0.5×0.5×504，
其中正确的是（ ）
A．② B．③ C．②③ D．①②③
2．某班级举行元旦联欢会，有m位师生，购买了n个苹果．若每人发3个，则还剩5个苹果，若每人发4个，则最后还缺30个苹果．下列四个方程：
①3m+5=4m﹣30；②3m﹣5=4m+30； ③ = ；④ = ．
其中符合题意的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
3．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，若阴影十字框上下左右移动，则阴影十字框中的五个数字之和可以是（ ）
A．2025 B．2020 C．2017 D．2018
（第2题） （第4题） （第7题）
4．中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
5．若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6．在某市奥林匹克联赛中，实验一中学子再创辉煌，联赛成绩全市领先．某位同学连续答题40道，答对一题得5分，答错一题扣2分（不答同样算作答错），最终该同学获得144分．请问这位同学答对了多少道题？下面共列出4个方程，其中正确的有（ ）
①设答对了 道题，则可列方程： ；
②设答错了 道题，则可列方程： ；
③设答对题目总共得 分，则可列方程： ；
④设答错题目总共扣 分，则可列方程： ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．用A、B两种规格的长方形纸板（如图1）无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为32cm的正方形，已知A种长方形的宽为1cm，则B种长方形的面积是（ ）
A．10cm2 B．12cm2 C．14cm2 D．16cm2
8．已知关于x的方程 有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A． B．23 C． D．34
9．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折；兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（ ）
A．288元 B．288元和332元 C．332元 D．288元和316元
10．把八张形状、大小完全相同的小长方形卡片按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部(如图1．图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知盒子底部长方形的长比宽大5，图1与图2阴影部分周长之比为25：22，则盒子底部长方形的面积为（ ）
A．150 B．176 C．204 D．234
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．某超市十一优惠顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款120元，第二次购物付款288元，若这两次购物合并成一次性付款可节省 元．
12．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，如图（1）是由 、 、 、 、 、 、 、 、 所组成的一个三阶幻方，其幻和为 ，中心数为 ．如图（2）是一个新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为 的 倍，且 ，则 ．
（第12题） （第15题）
13．如果关于的方程有正整数解，那么正整数的所有可能取值之和为 ．
14．数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足 。点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、QN的中点。思考，在运动过程中， 的值
15．实验室里有一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的棱长为15cm，容器内的水深为4cm、现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，xcm（x<15）．
（1）容器内水的体积为 cm3
（2）当铁块的顶部高出水面1cm时，x的值为 ．
16．方程 的解是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1） （2）
（3）278（x﹣3）﹣463（6﹣2x）﹣888（7﹣21x）＝0
（4）
18．某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价为30元，对集体购票有两种优惠方案．
方案一：所有人按全票价的90%购票；
方案二：前20人全票，从第21人开始没人按全票价的80%购票；
（1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？
（2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？
19．观察下面三行数
-2，4，-8，16，-32，64，…①
-4，2，-10，14，-34，62，…②
3，-3，9，-15，33，-63，…③
（1）第①行的第7个数是 ；第n个数是 .
（2）第①行的第n个数是x，则第②行的第n个数是 ；第③行的第n个数是 .
（3）是否存在正整数k，使每行的第k个数相加的和等于-257，若存在求k的值，若不存在，请说明理由.
20．小明和父母打算去某火锅店吃火锅，该店在网上出售“ 元抵 元的全场通用代金券”(即面值 元的代金券实付 元就能获得)，店家规定代金券等同现金使用，一次消费最多可用 张代金券，而且使用代金券的金额不能超过应付总金额.
（1）如果小明一家应付总金额为 元，那么用代金券方式买单，他们最多可以优惠多少元:
（2）小明一家来到火锅店后，发现店家现场还有一个优惠方式: 除锅底不打折外，其余菜品全部 折.小明一家点了一份 元的锅底和其他菜品，用餐完毕后，聪明的小明对比两种优惠，选择了现场优惠方式买单，这样比用代金券方式买单还能少付 元.问小明一家实际付了多少元
21．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“标准数”，将一个“标准数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，再除以11所得的商记为S（x）.例如，当x＝13，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31＝44，和44除以11的商为44÷11＝4，所以S（13）＝4.
（1）计算：S（92）＝ ；
（2）若一个“标准数”y的十位数字是k，个位数字是2（k﹣2），且S（y）＝14，求y；
（3）经思考，小聪同学发现：“若S（x）＝5，则“标准数”x的个位数字与十位数字之和一定为5”，请判断小聪同学的发现是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例.
22．本小题分
如图，将一根长为的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数轴上的点，重合点在点的左边．
【初步思考】
（1）若，当点表示的数为时，点表示的数为 ；
（2）【数学探究】
如图，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为请确定的值及图中，两点表示的数；
（3）一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是 岁
23．甲仓库有水泥110吨，乙仓库有水泥70吨，现要将这些水泥全部运往 两工地，调运任务承包给某运输公司.已知A工地需水泥100吨，B工地需水泥80吨，从甲仓库运往 两工地的路程和每吨每千米的运费如表：
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A地 25 20 1 0.8
B地 20 15 1.2 1.2
（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，则甲仓库运往B地水泥 吨，乙仓库运往A地水泥 吨，乙仓库运往B地水泥 吨（用含x的代数式表示）；
（2）用含x的代数式表示总运费，并化简；
（3）若某种运输方案的总运费是3820元，请问具体的调运方案是怎样的？
24．新规定:点C为线段 上一点，当 或 时，我们就规定C为线段 的“三倍距点”。如图，在数轴上，点A所表示的数为-3，点B所表示的数为5．
（1）确定点C所表示的数为 ．
（2）若动点P从点B出发，沿射线 方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①当点P与点A重合时，求t的值．
②求 的长度(用含t的代数式表示)．
③当点A为线段 的“三倍距点”时，直接写出t的值．
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