九年（下）册整册教案
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文档简介
1.1锐角三角函数（1）
教学目标：
1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2.掌握三角函数定义式：sinA=， cosA=，
重点和难点
重点：三角函数定义的理解。
难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。
【教学过程】
一、情境导入
如图是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1、2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶 如果AB和A′B′相等而∠α和∠β大小不同，那么它们的高度AC 和A′C′相等吗？AB、AC、BC与∠α，A′B′、A′C′、B′C′与∠β之间有什么关系呢？ ------导出新课
二、新课教学
1、合作探究
（1）作
2、三角函数的定义
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即cosA=
∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即
锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角函数.
注意：sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中A前面的“∠”一般省略不写。
师：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？
师：（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．
生：独立思考，尝试回答，交流结果．
明确：0＜sina＜1，0＜cosa＜1.
巩固练习：课本第6页课内练习T1、作业题T1、2
3、例题教学：课本第5页中例1.
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B的正弦,余弦和正切.
分析：由勾股定理求出AC的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。
师：观察以上计算结果,你发现了什么
明确：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
4、课堂练习：课本第6页课内练习T2、3，作业题T3、4、5、6
三、课堂小结：谈谈今天的收获
1、内容总结
（1）在RtΔABC中,设∠C=900，∠α为RtΔABC的一个锐角，则
∠α的正弦 ， ∠α的余弦 ，
∠α的正切
（2）一般地，在Rt△ABC中, 当∠C=90°时，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
2、方法归纳
在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解
四、布置作业：练习卷
1.1锐角三角函数（2）
教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
(二)思维训练要求
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.
2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.
2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教学重点
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
教学难点
进一步体会三角函数的意义.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)
[生]我们组设计的方案如下：
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢
[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一
半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.
CD＝a.
则树的高度即可求出.
[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=
atan30°，岂不简单.
你能求出30°角的三个三角函数值吗
Ⅱ.讲授新课
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角 它们分别等于多少度
[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.
[师]sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.
[生]sin30°＝.
sin30°表示在直角三角
形中，30°角的对边与
斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝.
[师]cos30°等于多少 tan30°呢
[生]cos30°＝.
tan30°=
[师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的
[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=,
cos60°=,
tan60°＝.
[生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-
60°)=sin30°=.
[师生共析]我们一同来
求45°角的三角函数值.含
45°角的直角三角形是等腰
直角三角形.(如图)设其中一
条直角边为a，则另一条直角
边也为a，斜边a.由此可求得
sin45°=,
cos45°＝,
tan45°=
[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数角 sinα coα tanα
30°
45° 1
60°
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢
[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为，，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
[师]再来看第二列函数值，有何特点呢
[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，，余弦值随角度的增大而减小.
[师]第三列呢
[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.
[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、
45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
2.例题讲解(多媒体演示)
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示
(cos60°)2.
解：(1)sin30°+cos45°=,
(2)sin260°+cos260°-tan45°
=()2+()2-1
= + -1
＝0.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解：根据题意(如图)
可知，∠BOD=60°，
OB=OA＝OD=2.5 m，
∠AOD＝×60°＝30°，
∴OC=OD·cos30°
=2.5×≈2.165(m).
∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为
0.34 m.
Ⅲ.随堂练习
多媒体演示
1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°+tan60°；
(3) sin45°+sin60°-2cos45°.
解：(1)原式＝-1=；
(2)原式=+=
(3)原式=×+×；
=
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少
解：扶梯的长度为=14(m)，
所以扶梯的长度为14 m.
Ⅳ.课时小结
本节课总结如下：
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；
cos30°＝，cos45°＝ ，cos60°＝；
tan30°= ，tan45°＝1，tan60°=.
(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
Ⅴ.课后作业
练习卷
Ⅵ.活动与探究
(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高
(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC＝24 m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.
[结果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24×=8m.
∵DF＝BE，
∴DF=8≈8×1.73＝13.84(m).
甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).
备课参考资料
参考练习
1.计算：.
答案：3-
2.计算：(+1)-1+2sin30°-
答案：-
3.计算：(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1.
答案：
4.计算：sin60°+
答案：-
5.计算；2-3-(+π)0-cos60°-.
答案：-
1.2有关三角函数的计算（1）
教学目标：
使学生能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题。
教学重点：
教学难点：
教学过程
一、由问题引入新课
问题：小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成60°的角，他的风筝有多高 (精确到1米)
根据题意画出示意图，如右图所示，在Rt△ABC中，AB＝125米，∠B＝60°，求AC的长。(待同学回答后老师再给予解答)
在上节课，我们学习了30°、45°、60°的三角函数值，假如把上题的 ∠B＝60°改为∠B＝63°，这个问题是否也能得到解决呢 揭示课题 ：已知锐角求三角函数值
二、用计算器求任意锐角的三角函数值
1、同种计算器的学生组成一个学习小组，共同探讨计算器的按键方法。教师巡视指导。
2、练一练：
（1）求下列三角函数值：sin60°，cos70°，tan45°，sin29.12°，cos37°42′6″，
Tan18°31′
（2）计算下列各式：
Sin25°+cos65°; sin36°·cos72°; tan56°·tan34°
3、例1 如图,在Rt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９００，
已知ＡＢ＝１２cm，∠Ａ＝３５０，
求△ＡＢＣ的周长和面积.
（周长精确到０.１cm，面积保留３个有效数字）
4、做一做：
求下列各函数值,并把它们按从小到大的顺序用“<”连接：
（2）cos27°12′，cos85°，cos63°36′15″，cos54°23′，cos38°39′52″
问：当α为锐角时，各类三角函数值随着角度的
增大而做怎样的变化
小结：Sinα，tanα随着锐角α的增大而增大；
Cosα随着锐角α的增大而减小．
三、课堂练习
课本第12页作业题第5、6题．
这两题实际上已经牵涉到解直角三角形的有关知识，为此在引导学生寻找解决方法时着重时根据已知条件适当选用函数关系式。
四、小结
1．我们可以利用计算器求出任意锐角的三角函数值
2．我们可以利用直角三角形的边角关系解决一些实际的问题．
五、作业：练习卷
1.2有关三角函数的计算（2）
教学目标：
1、会用计算器求由锐角三角函数值求锐角。
2、会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
教学重点： 会用计算器求由锐角三角函数值求锐角
教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学过程：
1、 创设情景，引入新课
如图,为了方便行人，市政府在10m高的天桥.两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少
如图,在Rt△ABC中, 那么∠A是多少度呢
要解决这问题,我们可以借助科学计算器.怎样使用计算器由锐角三角函数值求锐角？这就是我们这节课要解决的问题。（板书课题）
2、 进行新课，探究新知
1、已知三角函数值求角度,要用到 键的第二功能 和 键 .
例如 按键的顺序1 按键的顺序2 显示结果 ∠A的值
SinA=0.9816 Shift Sin 0 . 9 8 1 6 = 2ndf Sin 0 . 9 8 1 6 = Sin-1=0.9816=78.991 840 39 ∠A≈78.991 840 39°
CosA=0.8607 Shift Cos 0 . 8 6 0 7 = 2ndf Cos 0 . 8 6 0 7 = coS-1=0.8607=30.604 730 07 ∠A≈30.604 730 07°
tanA=0.1890 Shift tan 0 . 1 8 9 0 = 2ndf tan 0 . 1 8 9 0 = tan-1=0.189 0=10.702 657 49 ∠A≈10.702 657 49°
tanA=56.78 Shift tan 5 6 . 7 8 = 2ndf tan 5 6 . 7 8 = tan-1=56.78=88.991 020 49 ∠A≈88.991 020 49°
由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
2、如果再按“度分秒键”，就换成度分秒
例如 按键的顺序1 按键的顺序2 显示结果 ∠B的值
SinB=0.4511 Shift Sin 0 . 4511 =°/ / / 2ndf Sin 0 . 4511 =2ndf D°M′S′ Sin-1=0. 4511=26°48′51.41″ ∠B≈26°48′51″
CosB=0.7857 Shift Cos 0 . 7857 =°/ / / 2ndf Cos 0. 7857=2ndf D°M′S′ coS-1=0. 7857=38°12′52.32″ ∠B≈38°12′52″
tanB=1.4036 Shift tan 1.4036=°/ / / 2ndf tan 1.4036 =2ndf D°M′S′ tan-1=1.4036=54°31′54.8″ ∠B≈54°31′55″
3、练一练：课本第 14页 第1、2题
4、讲解例题
例1 如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10 ).
∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50 =550.
∴V型角的大小约550.
例2、一段公路弯道呈圆忽形,测得弯道AB两端的距离为200m,AB的半径为1000m,求弯道的长(精确到0.1m)
分析：因为弧AB的半径已知，根据弧长计算公式，要求弯道
弧AB的长，只要求出弧AB所对的圆心角∠AOB的度数。作
OC⊥AB，垂足为C，则OC平分∠AOB，在Rt△OCB中，
BC=1/2AB=100m，OB=1000m，于是有Sin∠BOC=1/10。利用计算器求出
∠BOC的度数，就能求出∠AOB的度数。
请同学们自己完成本例的求解过程。
5、练习：
（1）解决引例
（2）一梯子斜靠在一面墙上,已知梯子长4m,梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m,求梯子与地面所成的锐角.
（3）第14页 课内练习第3题
三、课堂小结：
1、由锐角的三角函数值反求锐角，该注意什么？
2、填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
四、 布置作业：练习卷
1.3解直角三角形(1)
教学目标：
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点和难点：
重点：直角三角形的解法．
难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程：
一、引入
1、已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角a 吗？
变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。
你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？
2、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
在例题中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.
二、新课
1、像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
问：在三角形中共有几个元素？
问：直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
(3)边角之间关系
2、例1：如图1—16，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=50 °，AB=3。求∠B和a，b（边长保留2个有效数字）
3、练习1 :P16 1、2
4、例2：（引入题中）已知平顶屋面的宽度L为10m，坡顶的设计高度h为3.5m，（或设计倾角a ）（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角a。(长度精确到0.1米,角度精确到1度)
5、练: 如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
说明：本题是已知一边,一锐角.
6、温馨提示：
▲在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，
本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
▲ 解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角
（两个已知元素中至少有一条边）
7、 你会求吗？
课本P17作业题
三、小结：
在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
四、布置作业：练习卷
1.3解直角三角形（2）
教学目标
1、了解测量中坡度、坡角的概念；
2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，3、进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：有关坡度的计算
教学难点：构造直角三角形的思路。
教学过程
一、引入新课
如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大 显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A。从图形可以看出，＞，即tanAl＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
二、新课
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
2．例题讲解。
例1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽。(精确到 0.1米)
分析：四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12.51米．AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决。
例2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。和坝底宽AD。(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)
三、练习
课本第19页课内练习。
四、小结
会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。
五、作业：
1.3解直角三角形（3）
教学目标：
1、进一步掌握解直角三角形的方法；
2、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题；
3、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：解直角三角形在测量方面的应用；
教学难点：选用恰当的直角三角形，解题思路分析。
教学过程
一、给出仰角、俯角的定义
在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角。
二、例题讲解
例1．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度。
分析：因为AB＝AE＋BE，AE＝CD＝1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决,在△BDE中,已知DE＝CA＝22.7米，∠BDE＝22°，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢 显然正切或余切都能解决这个问题。
例2．如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)。
(1)你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示)，并画出测量图形。
(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式。
分析：如右图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度，因为AE＝BD，而后Rt△ACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出．
请同学们想一想，是否还能用其他的方法测量出B楼的高度。
三、练习
课本第22页练习的第l、2、3题。
四、小结
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决。
五、作业：练习卷
第一章解直角三角形复习（2课时）
教学目标：
1、复习巩固所学的锐角三角函数与直角三角形及其应用等有关知识、方法；
2、发展学生的数学应用意识，培养分析问题和解决问题的能力。
教学重点：锐角三角函数的概念、计算和解直角三角形。
教学难点：解直角三角形的实际应用
教学过程：
一、知识梳理
引导学生回忆本章所学知识，用图表的方式加以梳理概括。
着重说明以下几点：
1、本章的重点是锐角的三角函数的概念、计算以及解直角三角形的一般方法。
2、注意对锐角三角函数概念的理解，要准确记忆30°、45°、60°角的三角函数值，有关锥度、坡度、方向角、仰角、俯角等概念的理解与应用。
二、例题教学：
例1、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，D为垂足，CD=，BD=，
求：(1) tanA; (2)cos∠ACD;(3)AC的长。
注意：角之间的转化，如∠ACD=∠B，∠A=∠BCD。
例2、在△ABC中，∠C=90°，AB= D为AC上一点，且∠DBC=30°，COS∠ABC=.
求BC和AD的长。
注意：求AD的长的关键在于求BC，因此解此类问题应从两Rt△的公共边入手。
例3 、已知：△ABC中，∠A=30°，∠C-∠B=60°，AC= ，求△ABC的面积。
注意：画CD⊥AB，将解一般三角形问题转化为解直角三角形问题；在本题中，求公共直边CD成为求解的关键。
例4．北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距离A地40海里的B处训练。突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治。已知C岛在A的北偏东方向60°，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院 (精确到0.1小时)
例5．如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i＝2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上 请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)。
三、练习
1．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里／小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两个小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度(精确到0.1海里/小时)
2．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区。取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°。已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区。
四、小结
这节课进一步学习了应用解直角三角形的知识解决实际问题，在解决这样的问题时，一方面，根据题意能够画出图形，另一方面，要把问题归结到直角三角形中来解决。
五、作业：课本第25页目标与评定
2.1简单事件的概率
教学目标：
1、通过生活中的实例，进一步了解概率的意义；
2、理解等可能事件的概念，并准确判断某些随机事件是否等可能；
3、体会简单事件的概率公式的正确性；
4、会利用概率公式求事件的概率。
教学重点： 等可能事件和利用概率公式求事件的概率。
教学难点：判断一些事件可能性是否相等。
教学过程： 第一课时
一、引言
出示投影：
（1）1998年，在美国密歇根州的一个农场里出生了一头白色奶牛。据统计平均出生1千万头牛才会有一头是白色的。你认为出生一头白色奶牛的概率是多少？
（2）设置一只密码箱的密码，若要使不知道秘密的人拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要多少位？
这些问题都需要我们进一步学习概率的知识来解决。本章我们将进一步学习简单事件的概率的计算、概率的估计和概率的实际应用。
二、简单事件的概率
1、引例：盒子中装有只有颜色不同的3个黑棋子和2个白棋子，从中摸出一棋子，是黑棋子的可能性是多少？
小结：在数学中，我们把事件发生的可能性的大小，称为事件发生的概率
如果事件发生的各种可能结果的可能性相同，结果总数为n，事件A发生的可能的结果总数为m，那么事件A发生的概率是。
2、练习：
如图 三色转盘，每个扇形的圆心角度数相等，让转盘自由转动一次， “指针落在黄色区域”的概率是多少？
3、知识应用：
例1、如图，有甲、乙两个相同的转盘。让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动，求
（1）转盘转动后所有可能的结果；
（2）两个指针落在区域的颜色能配成紫色（红、蓝两色混合配成）的概率；
3）两个指针落在区域的颜色能配成绿色（黄、蓝两色混合配成）或紫色的概率；
解：将两个转盘分别自由转动一次，所有可能的结果可表示为如图，且各种结果的可能性相同。所以所有可能的结果总数为n=3×3=9
(1)能配成紫色的总数为2种，所以P=。
（2）能配成绿色或紫色的总数是4种，所以P=。
练习：课本第32页课内练习第1题和作业题第1题。
例2、 一个盒子里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球。从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球。
（1）写出两次摸球的所有可能的结果；
（2）摸出一个红球，一个白球的概率；
（3）摸出2个红球的概率；
解：为了方便起见，我们可将3个红球从1至3编号。根据题意，第一次和第二摸球的过程中，摸到4个球中任意一个球的可能性都是相同的。两次摸球的所有的结果可列表表示。
第一次 第二次 白 红1 红2 红3
白 白，白 白，红1 白，红2 白，红3
红1 红1 ，白 红1，红1 红1，红2 红1，红3
红2 红2，白 红2 ，红1 红2，红2 红2，红3
红3 红3 ，白 红3，红1 红3，红2 红3，红3
（1）事件发生的所有可能结果总数为n = 4×4=16。
（2）事件A发生的可能的结果种数为m=6，
∴=
(2)事件B发生的可能的结果的种数 m=9
∴
练习：课本第32页作业题第2、3、4题
三、课堂小结：
1、概率的定义和概率公式。
2、用列举法分析事件发生的所有可能请况的结果数一般有列表和画树状图两种方法。
3、在用列表法分析事件发生的所有情况时往往第一次在列，第二次在行。表格中列在前，行在后，其次若有三个红球，要分红1、红2、红3。虽然都是红球但摸到不同的红球时不能表达清楚的。
四、布置作业：练习卷
2.1简单事件的概率
（第二课时）
教学过程：
一、回顾与思考
1、在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率
2、运用公式求简单事件发生的概率，在确定各种可能结果发生的可能性相同的基础上，关键是求什么？ （关键是求事件所有可能的结果总数n和其中事件Ａ发生的可能的结果m(m ≤n） )
二、热身训练
(2006年浙江金华)北京08奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”.现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片(卡片的形状大小一样,质地相同)放入盒子.
(1)小玲从盒子中任取一张,取到印有“欢欢”图案的卡片的概率是多少
(2)小玲从盒子中取出一张卡片,记下名字后放回,再从盒子中取出第二张卡片,记下名字.用列表或画树状图列出小玲取到的卡片的所有情况,并求出小玲两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率.
三、例题讲解
例3、学校组织春游,安排给九年级3辆车,小明与小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘.问小明与小慧同车的概率有多大
分析：为了解答方便，记这三辆车分别为甲、乙、丙，小明与小慧乘车的所有可能的结果列成表。
一个学生板演，其余学生自己独立完成。
练习：课本第34页课内练习第1题，作业题第1、2、4题
例4、如图,转盘的白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120°和240°.让转盘自由转动2次,求指针一次落在白色区域,另一次落在红色区域的概率.
先让学生独立完成，后指名一学生板演，可能一些学生没有考虑到该事件不是等可能事件，让学生充分讨论，得出应把红色扇形划分成两个圆心角都是120°的扇形，最后应用树状图或列表法求出概率。
练习：课本第35页作业题第4题。
四、课堂小结：
1、等可能事件的概率公式：，在应用公式求概率时要注意：要关注哪个或哪些结果；无论哪个或哪些结果都是机会均等的；部分与全部之比，不要误会为部分与部分之比。
2、列举出事件发生的所有可能结果是计算概率的关键，画树状图和列表是列举事件发生的所有可能结果的常用方法。
3、如何把一些好像不是等可能的事件化解为等可能事件是求事件概率的重要方法。
五、 布置作业：练习卷。
2.2估计概率
教学目标：
1、借助实验，体会随机事件在每一次实验中发生与否具有不确定性；
2、通过操作，体验重复实验的次数与事件发生的频率之间的关系；
3、能从频率值角度估计事件发生的概率；
4、懂得开展实验、设计实验，通过实验数据探索规律，并从中学会合作与交流。
教学重点与难点：通过实验体会用频率估计概率的合理性。
教学过程：
一、引入：
我们知道,任意抛一枚均匀的硬币,”正面朝上”的概率是0.5,许多科学家曾做过成千上万次的实验,其中部分结果如下表：
实验者 抛掷次数n “正面朝上”次数m 频率m/n
隶莫弗布丰皮尔逊皮尔逊 204840401200024000 10612048601912012 0.5180.5.690.50160.5005
观察上表,你获得什么启示 （实验次数越多,频率越接近概率）
二、合作学习（课前布置，以其中一小组的数据为例）让转盘自由转动一次,停止转动后,指针落在红色区域的概率是，以数学小组为单位，每组都配一个如图的转盘，让学生动手实验来验证：
(1)填写以下频数、频率统计表：
转动次数 指针落在红色区域次数 频率
10 3 0.3
20 8 0.4
30 11 0.36
40 14 0.35
50 16 0.32
(2)把各组得出的频数,频率统计表同一行的转动次数和频数进行汇总,求出相应的频率,制作如下表格：
实验次数 指针落在红色区域的次数 频率
80 25 0.3125
160 58 0.3625
240 78 0.325
320 110 0.3438
400 130 0.325
(3)根据上面的表格,画出下列频率分布折线图
(4)议一议:频率与概率有什么区别和联系 随着重复实验次数的不断增加,频率的变化趋势如何
结论：从上面的试验可以看到：当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此，我们可以通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
三、做一做：
1.某运动员投篮5次,投中4次,能否说该运动员投一次篮,投中的概率为4/5 为什么
2.回答下列问题:
(1)抽检1000件衬衣,其中不合格的衬衣有2件,由此估计抽1件衬衣合格的概率是多少
(2)1998年,在美国密歇根州汉诺城市的一个农场里出生了1头白色的小奶牛,据统计,平均出生1千万头牛才会有1头是白色的,由此估计出生一头奶牛为白色的概率为多少
四、例题分析：
例1、在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验,统计发芽种子数,获得如下频数分布表:
实验种子n(粒) 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽频数m(粒) 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850
发芽频数m/n 0
(1)计算表中各个频数.
(2)估计该麦种的发芽概率
(3)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4181818棵,种子发芽后的成秧率为87％,该麦种的千粒质量为35g,那么播种3公顷该种小麦,估计约需麦种多少kg
分析：（1）学生根据数据自行计算
（2）估计概率不能随便取其中一个频率区估计概率，也不能以为最后的频率就是概率，而要看频率随实验次数的增加是否趋于稳定。
（3）设需麦种x(kg)
由题意得,
解得 x≈531(kg)
答:播种3公顷该种小麦,估计约需531kg麦种.
五、课内练习：
1.如果某运动员投一次篮投中的概率为0.8,下列说法正确吗 为什么
(1)该运动员投5次篮,必有4次投中.
(2)该运动员投100次篮,约有80次投中.
2.对一批西装质量抽检情况如下:
抽检件数 200 400 600 800 1000 1200
正品件数 190 390 576 773 967 1160
次品的概率
(1)填写表格中次品的概率.
(2)从这批西装中任选一套是次品的概率是多少
(3)若要销售这批西装2000件,为了方便购买次品西装的顾客前来调换,至少应该进多少件西装
六、课堂小结：
尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值。
七、作业：练习卷。
补充：一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球与10的比值，再把球放回袋中摇匀。不断重复上述过程5次，得到的白求数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2。根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有 48 个黑球。
（06黑龙江中考题）
2.3概率的简单应用
教学目标：
1、通过实例进一步丰富对概率的认识；
2、紧密结合实际，培养应用数学的意识。
教学重点和难点;：用等可能事件的概率公式解决一些实际问题。
教学过程：
一、提出问题：
1.如果有人买了彩票，一定希望知道中奖的概率有多大．那么怎么样来估计中奖的概率呢？
2.出门旅行的人希望知道乘坐哪一中交通工具发生事故的可能性较小？
年龄x 生存人数lx 死亡人数dx
01 1000000997091 29092010
3031 976611975856 755789
61626364 867685856832845026832209 10853118061281713875
7980 488988456246 3274233348
8182 422898389141 3375733930
指出：概率与人们生活密切相关，在生活，生产和科研等各个领域都有着广泛的应用．
二、例题分析：
例1、某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同，以每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖１个，一等奖10个，二等奖100个，问１张奖券中一等奖的概率是多少？中奖的概率是多少？
分析：因为10 000张奖券中能中一等奖的张数是10张，所以一张奖券中一等奖的概率就是；而10000张奖券中能中奖的奖券总数是1+10+100=111张所以一张奖券中奖的概率是。
例2、生命表又称死亡表,是人寿保险费率计算的主要依据,如下图是1996年6月中国人民银行发布的中国人寿保险经验生命表,(1990-1993年)的部分摘录,根据表格估算下列概率(结果保留4个有效数字)
(1)某人今年61岁,他当年死亡的概率.
(2)某人今年31岁,他活到62岁的概率.
分析：
（1）解释此表的意思；
（2）根据表中数据可得：61岁的生存人数为867685，61岁的死亡人数为10853，所以所求概率为
（3）根据表中数据得=975856，
=856832，
所以所求的概率为
三、课内练习：课本第41页第1、2题和作业题第1题2题。
四、小结：学会调查、统计，利用血管的概率结合实际问题发表自己的看法，并对事件作出合理的判断和预测，用优化原则作决策，解决实际问题。
五、作业：练习卷
3.1直线与圆的位置关系（1）
教学目标：
1、利用投影演示，动手操作探索直线和圆的运动变化过程，经历直线与圆的三种位置关系得产生过程；
2、在运动中体验直线与圆的位置关系，并观察理解直线与圆的“公共点的个数”的变化，培养猜想、分析、概括、归纳能力。
3、正确判别直线与圆的位置关系，或根据直线与圆的位置关系正确的得出圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系或直线与圆的公共点的个数。
教学重点：直线与圆的三种位置关系
教学难点：直线与圆的三种位置关系的性质和判定俄正确运用
教学过程：
一、创设情景，引入新课
电脑演示：海上日出
1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的
2.观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的
你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种
二、探究直线与圆的位置关系
1、动手操作：作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,
仔细观察，直线和圆的交点个数如何变化？
在学生回答得基础上，教师指出：由直线和圆的公共点的个数，得出直线和圆的三种位置关系 ：
（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时的直线叫做圆的割线；
（2）相切：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；
（3）直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
2、做一做：
如图，O为直线L外一点,OT⊥L,且OT=d。请以O为圆心,分别以 为半径画圆.所画的圆与直线l有什么位置关系
3、直线与圆的位置关系量化
观察所画图形，你能从d 和r 的关系发现直线l和圆O的位置关系吗？
学生回答后，教师总结并板书：
如果⊙O的半径w为r ,圆心O 到直线 l的距离为d,,那么：
（1）直线l和⊙O相交d＜r;
(2) 直线l和⊙O相切d=r；
（3）直线l和⊙O相离d＞r;
三、例题分析，课堂练习
例1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C 为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm,(2)r=2.4cm,(3)r=3cm.（此题为课本第49页课内练习第1题的第2小题）
分析：因为题中给出了⊙C的半径，所以解题的关键是求圆心到直线的距离，然后与r 比较，确定⊙C与AB的关系。
练习：课本第49页课内练习第1题的第1小题，作业题第1题。
例2、已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm. 以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切
练习：作业题第2、3题
例3、（即课本的例1）
如图,海中有一个小岛P,该岛四周12海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A点观测P在北偏东60°处, 行驶10海里后到达B点观测P在北偏东45°处,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
分析：要解决这个问题，首先要把它转化为数学问题，画出图形。
要判断货轮是否有触礁危险，关键是看航线与暗礁圆区的位置关系。
练习：在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴的速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度和方向，问气象站正南方60千米的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间。
四、课堂小结：
这节课我们学习了哪些内容？用到了那些数学思想方法？
五、作业：见课课通
3.1直线与圆的位置关系（2）之一
教学目标：
1、通过动手操作，经历圆的切线的判定定理得产生过程，并帮助理解与记忆；
2、在探索圆的切线的判定定理的过程中，体验切线的判定、切线的特殊性；
3、通过圆的切线的判定定理得学习，培养学生学习主动性和积极性。
教学重点：圆的切线的判定定理
教学难点：定理的运用中，辅助线的添加方法。
教学过程：
一、回顾与思考
投影出示下图，学生根据图形，回答以下问题：
（1）在图中，直线l分别与⊙O的是什么关系？
（2）在上边三个图中，哪个图中的直线l 是圆的切线？你是怎样判断的？
教师指出：根据切线的定义可以判断一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便，为此我们还要学习切线的判定方法。（板书课题）
二、探索判定定理
1、学生动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A 作直线l⊥OA 。
思考：（可与同伴交流）
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径由什么关系？
（2）直线l 与⊙O的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现了什么？
启发学生得出结论：由于圆心O到直线l 的距离等于圆的半径，因此直线l 一定与圆相切。
请学生回顾作图过程，切线l 是如何作出来的？它满足哪些条件？
①经过半径的外端；②垂直于这条半径。
从而得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、做一做（1）下列哪个图形的直线l 与⊙O相切？（ ）
小结：证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端
②垂直于这条半径。
（2）课本第52页课内练习第1题
（3）课本第51页做一做
小结：过圆上一点作圆的切线分两步：①连结该点与圆心得半径；②过该点作已连半径的垂线。过圆上一点画圆的切线有且只有一条。
三、应用定理，强化训练
例1、已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上一点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端点，因此只要证明OC⊥AB，因为OA=OB，CA=CB，易证OC⊥AB。
学生口述，教师板书
证明：连结OC，
∵OA=OB，CA=CB
∴OC⊥AB（等腰三角形三线合一性质）
∴直线AB是⊙O的切线。
例2、如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直径为6厘米。
求证：AB与⊙O相切。
分析：因为已知条件没给出AB和⊙O有公共点，所以可过圆心O作OC⊥AB，垂足为C，只需证明OC等于⊙O的半径3厘米即可。
证明：过O作 OC⊥AB，垂足为C，
∵OA=OB=5厘米，AB=8厘米
∴AC=BC=4厘米
∴在Rt△AOC中，厘米，
又∵⊙O的直径长为6厘米，
∴OC的长等于⊙O的半径
∴直线AB是⊙O的切线。
完成以上两个例题后，让学生思考：以上两例辅助线的添加法是否相同？有什么规律吗？
在学生回答的基础上，师生一起归纳出一下规律：
（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直。
（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径。
练习1：判断下列命题是否正确
（1）经过半径的外端的直线是圆的切线
（2）垂直于半径的直线是圆的切线；
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；
（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；
（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切。
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由。
练习2、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦 AB=厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆。
求证：小圆与直线 AB相切。
练习3、如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°。
求证：直线DC是⊙O的切线。
练习2、3请两名学生板演，教师巡视，个别辅导。
四、小结：
1、切线的判定定理：经过 并且垂直于 的直线是圆的切线。
2、到目前为止，判定一条直线是圆的切线有三种方法，分别是：
（1）根据切线的定义判定：即与圆有 公共点的直线是圆的切线。
（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于 的直线是圆的切线。
（3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线。
3、证明一条直线是圆的切线常用的辅助线有两种：
（1）如果已知直线过圆上某一点，则作 ，后证明 。
（2）如果直线与圆的公共点没有明确，则 ，后证明 。
五、作业：见课课通 第170页的第1------8题。
3.1直线与圆的位置关系（2）
教学目标：
1、进一步掌握切线的判定定理，并能初步运用它解决问题；
2、通过例题教学，培养和提高学生分析问题解决问题的能力。
教学重点与难点：综合运用切线的判定定理。
教学过程：
一、知识回顾
判定直线与圆相切，常用的方法有哪些？
1、利用切线的定义； 2、利用圆心到直线的距离等于圆的半径；3、利用切线的判定定理。
二、基础热身
1、在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC，以AB上的高CD为直径作一个圆，与这个圆相切的直线有（ ）
A、AC B、AC、BC C、AB D、AC、BC、AB
2、如图，点 A在⊙O上，由下列条件能判定直线AB和⊙O相切的有（ ）
①∠B=40°，∠O=50°，②sinB=1/2,③tanB×tanO=1,
④⊙O 过OB的中点，∠O=60°
A、① B、①② C、①②③ D、①③④
3、已知⊙O的直径为10厘米，如果圆心O到直线l 的距离为4.5厘米，那么直线l 与⊙O有 个公共点。
三、例题讲解
例1、(即课本的例2)已知如图,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC, ∠A=30°。
求证：直线AB是⊙O的切线。
例2、如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°的方向移动，受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540 ）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
分析：引导学生画出图形，判断四个城市会不会受到台风的影响主要是看在图上表示城市的点是否会落在台风圆区的两条切线所夹的区域来解决。
三、课内练习
1、课本第53页作业题第5、6题
四、作业：
课课通地171页第9---14
3.1直线与圆的位置关系（3）
教学目标：
1、通过动手操作，反复尝试，合作交流，经历圆的切线的性质定理的产生过程，培养探索精神和合作意识；
2、体验、理解圆的切线的两个性质，并正确合理、灵活运用。
教学重点：切线的两个性质
教学难点：切线的判定和性质的综合运用
教学过程：
一、复习引入
1、判断直线与圆相切有哪些方法？
(1) 、利用切线的定义； （2）、利用圆心到直线的距离等于圆的半径；（3）、利用切线的判定定理。
2、合作学习：
（1）如图，直线AP与⊙O相切于点 A ，连结OA，∠OAP等于多少度？ 在⊙O上再任意取一些点，过这些点作⊙O的切线，连结圆心和切点，半径与切线所成的角为多少度？有此你发现了什么？
（2）任意画一个圆，作这个圆的一条切线，过切点作切线的垂线，你发现了什么？ 你的发现与你的同伴的发现相同吗？
二、形成新知
圆的切线的性质定理：
经过切点的半径垂直于圆的切线；
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
三、应用新知
例1、如图，AB 为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D 。
求证：AC平分∠DAB。
分析：从条件想，CD是⊙O的切线，可考虑连结CO，利用切线的性质定理可知OC⊥CD，由AD⊥CD，易知OC∥AD。
如果从结论看，要证AC平分∠DAB，须证明∠DAC=∠CAB，
由于∠CAB=∠ACO，所以只要证明∠DAC=∠ACO即可。
证明过程由学生自己完成。小结：在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径。
练习：课本第55页第1题和第2题。
例2（即课本的例4）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠⊙O于点A,并使较长边与⊙O相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O的半径。
分析：要求⊙O的半径，可以考虑建立与圆的半径有关的直角三角形，
因为BC是⊙O的切线，所以连结OC，这样四边形ABCO是直角梯形，过A点作OC的垂线，求得圆的半径。
过程由学生自己完成。
例3（即课本例5）
如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO与⊙O交于点D,连结CD。
求证：。
分析：要证明，需要找到一个角等于的一半，或者是∠ACD 的两倍。因为直线AB与
⊙O相切于点C，所以OC⊥AB，因此考虑作∠COD的平分线。
证明:作OE⊥DC于点E,
∵△ODC是等腰三角形，
∴∠COE=
∵直线AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠ACD+∠OCE=Rt∠
∴∠ACD=∠COE,
即。
例4、（补充例题）已知如图，AB是⊙O的直径，BC是与圆相切于点B的切线，弦AD∥OC。
求证：DC是⊙O的切线。
练习：课本第56页的作业题第1、2、4、6题
四、小结：
1、判定切线的三种方法
2、切线的两个性质；
3、常用的辅助线添加方法。
五、作业：见作业本
3.2三角形的内切圆
教学目标：
1、通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；
2、通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；
3、类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质；
4、通过引例和例1的教学，培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识；
5、通过例2的教学，进一步掌握用代数方法解几何题的思路，渗透方程思想。
教学重点：三角形内切圆的概念和画法。
教学难点：三角形内切圆有关性质的应用。
教学过程
一、知识回顾
1、确定圆的条件有哪些？
（1）.圆心与半径；（2）不在同一直线上的三点
2、什么是角平分线？角平分线有哪些性质？
（角平线上的点到这个角的两边的距离相等。）
3、左图中△ABC与⊙O有什么关系？
（△ABC是⊙O的内接三角形；⊙O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心）
二、创设情境，引入新课
1、合作学习：李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。应该怎样画出裁剪图？
探索：（1）当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？
（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？
（3）如何确定这个圆的圆心？
2、探究三角形内切圆的画法：
（1）．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？
（圆心0在∠ABC的平分线上。）
（2）．如图2，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？
（圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。）
（3）．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？
（作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径）
( 4)．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？
（只能作一个，因为三角形的三条内角
平分线相交只有一个交点。 ）
教师示范作图。
3、三角形内切圆的有关概念
（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
引导学生采用观察、类比的方法，理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并于三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较。
（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角。
三、新知应用
例1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，
求∠BOC的度数。
解：∵点O是△ABC的内心
∴BO是∠ABC的平分线，OC是∠ ACB的平分线
∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB
∵∠ABC+∠ACB=50°+75°=125°
∴∠BOC=180°-1/2×125°=117.5°
小结：已知内心往往连接内心和顶点，则连线平分内角。
练习：课本第59页作业题第1题和第3题。
例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３cm。
求圆柱底面的半径。
分析：首先要根据题意画出图形，如图，要求圆柱底面半径，要把它归纳到某个直角三角形中，由
△ABC是等边三角形可得AD=1.5，连接 OA即得OA平分∠ACB=30°。
例3、如图，设△ABC的周长为c,内切
⊙o和各边分别相切于D,E,F
求证：AE+BC=
分析：AE、AF即△ABC的顶点A到△ABC的内切圆⊙O的切线长，易证明AE=AF，BD=BF、CD=CF，
后面由学生自己完成。
练习：第59页课内练习第2题，作业题第5题
备选例题：
如图， △ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D。
求证：DE=DB。
四、小结：
1、什么叫三角形的内切圆？怎样作三角形的内切圆？
2、三角形的内切圆和三角形的外接圆的类比：
图形 ⊙O的名称 △ABC的名称
⊙O叫做△ABC的内切圆 △ABC叫做⊙O的外切三角形
⊙O叫做△ABC的外接圆 △ABC叫做⊙O的内接三角形
圆心O的名称 圆心O确定 “心”的性质
圆心 O叫做△ABC的内心 作两角的角平分线 内心O到三边的距离相等
圆心 O叫做△ABC外心 作两边的中垂线 外心O到三个顶点的距离相等
3、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系：
如图，⊙I切△ABC三边于点 D、E、F，
则AD=AF=
BD=BE=
CE=CF=
特别地，当∠C=Rt∠时，如图，四边形CEID 是正方形，
内切圆的半径
(其中r 、l分别是内切圆的半径和三角形的周长)
掌握这些结论对解填空题额、选择题很有帮助。
四、布置作业：见作业本。
圆与圆的位置关系
教学目标：
1、通过作图并用运动的观点，经历两圆的五种位置关系的产生过程；
2、采用合作交流的方法，体验两圆内切与外切的区别，两圆内含与外离的区别；
3、从两圆的交点个数及两圆的半径、圆心距之间的数量关系两方面理解两圆的五种位置关系；
4、利用两圆的位置关系解决有关实际问题。
教学重点和难点：两圆的五种位置关系与两圆的半径、圆心距之间的数量关系
教学过程：
一、创设情景，引入新课
出示有关两圆关系的图片，如：奥运会的五环标志（圆与圆相交）自行车的两个车轮（两圆外离），两个齿轮组成的传动装置（两圆外切、内切）、飞镖靶（两圆内含）等。
板书课题：圆与圆的位置关系
二、探究两圆的位置关系
1、合作学习：
（1）画一条线段O1O2，在O1O2上取一点T，分别以点O1，O2为圆心，O1T，O2T为半径作⊙O1和⊙O2，⊙O1和⊙O2有几个公共点？两圆的圆心距O1O2与两圆的半径之间有怎样的数量关系？
（2）如果把点T取在线段O1O2的延长线上，再画⊙O1和⊙O2，此时两圆有几个公共点？两圆的圆心距离O1O2两圆的半径之间有怎样的数量关系？
2、归纳：
（1）当两圆有唯一的公共点时，叫做两圆相切，唯一的公共点叫做切点。相切的两个圆除了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的外部时，我们就说这两个圆外切（如图1）；，相切的两个圆，除了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，我们就说这两个圆内切（如图2）。
（2）设两个圆的半径为R和r,(R＞r) ，圆心距为d，则可得
两圆外切d=R+ r; 两圆内切d=R-r。
（3）用电脑出示下图，并演示这两个图形沿着通过两圆圆心的直线折叠的过程，让学生观察连心线与切点的关系怎样？
在学生回答的基础上，教师指出：通过观察我们发现，相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆的圆心的直线叫做连心线，是他们的对称轴，由此我们得到相切两圆的连心线的性质：相切两圆的连心线必经过切点。
3、应用新知：
（1）已知⊙A、 ⊙B相切，圆心距为10cm，其中⊙A的半径为4cm，求⊙B的半径．（注意相切分外切和内切两种）
（2）课本第62页第1题
（3）例题1：为了要在直径为50毫米的圆形铁片中冲压出直径最大且全等的四个小圆片,小聪和他的同学设计了如图的方案,其中每相邻两个小圆外切,每个小圆与⊙O内切.这是一个具有4条对称轴AC,BD,L1L2的对称图形.试求出小圆片的直径(结果保留3个有效数字)
解：设小圆片的半径为r ,由图形的轴对称性，可得四边形 ABCD 是正方形，所以△ABC是等腰直角三角形。
∵相邻两个小圆片外切
∴AB=BC=2r ,
∵每个小圆都与⊙O内切
∴AC=2AO=2（25-r）
由
解得
∴。
答：圆片的最大直径约为20.7毫米。
4、试验与操作
分别以1厘米、4厘米为半径，用圆规画圆，使他们外切。然后相向或反向移动两个圆片，你发现两圆还有哪些位置关系？ 在这些位置关系中，R、r、d之间分别有怎样的关系？
归纳:两圆的位置关系还有以下三种情况：
当两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交（如图1）；当两个圆没有公共点时，叫做两圆相离，相离的两个圆，如果一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们就说这两个圆外离（如图2），如果一个圆上点都在另一个圆的内部。我们就说这两个圆内含（如图3）
观察上图，可以得到：
设两个圆的半径为R和r,圆心距为d,则
（1）两圆相交 R- r＜ d＜R+ r;
（2）两圆外离d＞R+ r;
（3）两圆内含d＜R- r（R＞r）;
练习：第62页第2题和作业题第1题和第2题。
四、小结：
圆与圆的位置关系、数量关系、公共点的个数
五、作业：见作业本
第三章直线与圆、圆与圆的位置关系复习
教学目标：
1、通过复习理解直线和圆、圆与圆的位置关系
2、掌握直线与圆相切的判定与性质定理；
3、理解三角形的内切圆、三角形内心的性质，并会利用内心性质解题。
4、通过解题思路的探索，提高学生观察、分析和解决问题的能力。
5、培养正确的学习方法和良好的学习习惯。
教学重点：掌握切线的判定和性质，并能灵活运用。
教学难点：切线的判定和性质的综合运用。
教学过程：
一、梳理知识点
学生完成课本第64页的小结部分
二、例题讲解
例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？
分析：求圆心C到AB的距离，再与半径r比较。
例2、如图，△ADC内接圆O，AB是⊙O的直径，且∠EAC=∠D，
求证：AE是⊙O的切线。
分析：要证AE是⊙O的切线，只要证 OA⊥AE，即证∠OAE=90°。
学生自己完成证明过程。
提问：上题中若去掉“AB是⊙O的直径”这个题设条件，原题为“如图，△ADC内接圆O，且∠EAC=∠D”，AE仍是⊙O的切线吗？
小结：判定切线时，往往需要添加辅助线，其规律是：
①如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心得到辅助线半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可；
②如果已知条件即没有给出圆上一点，也没有指出直径上的点，那么过圆心作直线的垂线段为辅助线，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。
练习：1、 在△ABC中，BC=6cm, ∠B=30°, ∠C=45°,以点A为圆心，当半径多长时所作的⊙A与BC所在的直线相切？相交？相离？
2、已知O为∠BAC的平分线上一点，OD⊥AB，D为垂足，以O为圆心，OD为半径作⊙O，如图。
求证：⊙O与AC相切。
例3、某数学学习小组为了测量仪公园里放置于平台上的一个巨型球体石料的半径，采用了如下的方法：在球体石料的一侧紧挨一个已知直径的钢球，其截面如图所示，设⊙C与大圆外切的切点为D ，⊙C与大圆都与平台相切，切点为A、B且⊙C的直径为10cm,测得AB=50cm, 求球体石料的半径R。
分析：设大圆的圆心为O，连接OC，CA，OB，作CE⊥OB于E，则OC=R+5，OE=R-EB=R-CA=R-5，CE=AB=50cm,在Rt△COE中用勾股定理可求出R。
小结：根据两圆相切，构造直角三角形，用勾股定理求解是一种常用的方法。
例4、某公园有一块由三条马路围成的三角形绿地（如图）现准备在其中建一个尽可能大的圆亭供人们休息，试作出这个圆。
四、布置作业：见课本目标与评定。
4.1投影与盲区
教学目标：
1、经历实践、探索的过程，了解视点、视线、视角与盲区的概念；
2、体会视点、视线、视角、盲区在现实生活中的应用；
3、了解视点、视线、视角、盲区与中心投影的关系，感受其在生活中的实用价值。
教学重点：应用盲区的意义解释简单的现实现象。
教学难点：在简单的平面图和立体图中表示视线、视角和盲区。
教学过程：
一、创设情境，引入新课
（出示投影）你知道为什么飞机超低空飞行时，雷达很难发现它？
下图是人观察事物时的直观图，在这个图上涉及了哪些数学知识？（视线，视角，视点）
你能试着给它们下定义吗？
人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所成的角叫做视角。
做一做：课本：第70页
强调：视角与仰角和俯角的区别。
二、盲区的概念
如图4-2，小明在点O能看见站在幕布后面点C的小华吗？如果小明的位置不变，小华应怎样移动自己的位置，才能使小明看到自己？为什么？
学生讨论后得出：不能；移到幕布前∠AOB的范围内；因为小华在幕布后面的区域是小明视线不能到达的区域，要使小明看到自己，必须要移到小明视线能到达的区域。
教师追问：那么图中阴影部分的区域叫做什么？为什么？
小结：我们把视线不能到达的区域叫做盲区，如图4-2中的阴影部分的区域就是盲区。
如图4-3，∠AO1D，∠BO2C，分别表示人的双目水平位置上的最大视角(约120°)，在这个图上什么地方是盲区，什么地方是人眼看得最清晰的区域？
盲区的意义还不局限于人观察景物，那么盲区的意义还有哪些应用呢？学生举例
三、应用新知
例 如图4-4，A，B表示教室的门框位置。小聪站在教室内的点P位置，小慧、小红、张杰三位同学分别站在教室外点C，D，E的位置。这三位同学中，小聪能看见谁？看不见谁？请用盲区的意义给出解释。
解：如图4-5，作射线PA，PB.图中阴影部分表示小聪观察教室外时的盲区.小慧、小红、张杰三位同学中，只有张杰在盲区内，所以小聪能看见的是小慧、小红，看不见的是张杰.
练习：课本第71页课内练习和作业题（由学生独立完成，后指名学生口答或板书）
四、 小结：
通过这节课的学习你学会了什么？你有什收获与困惑？
五、布置作业：见作业本
4.2投影（1）
教学目标：
1、经历实践探索，了解投影、投影面、及平行投影的概念；
2、体会并理解平行投影的特征，利用光的影子解决生活中的实际问题。
教学重点：理解平行投影的特征；
教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影。
教学过程：
一、创设情境
你看过皮影戏吗 皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，在关中地区很为流行。皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受农民的欢迎。
放映电影《小兵张嘎》部分片段 ---小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏
二、你知道吗
出示投影：
北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．
问题：那什么是投影呢？
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。光线叫做投射线，影子（也叫投影）所在的平面叫做投影面．
出示投影让学生感受在日常生活中的一些投影现象。
因为太阳离我们非常遥远，所以太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影成为平行投影 ( parallel projection ).
三、问题探究（在课前布置，以数学学习小组为单位）
合作学习：在平行投影下，线段和平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线之间的相对位置有什么关系？ 请就此问题作一探讨。
1、以数学习小组为单位，观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面的投影。
2、 不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？三角形纸板在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？
3、根据前面的探索，你能解释下列示意图的实际意义吗？
四、概括新知，形成结构
1、物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变， 当小棒、三角形等纸片与投影面平行时，它们的影子的大小和形状与原物全等，当小棒、三角形等纸片与太阳光线平行时，它们的影子形成一个点,一条线.。
某校墙边有甲、乙两根木杆。
2、应用新知：
（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？
学生尝试练习，一学生板书，后点评注意画图要整洁美观，规范，投射线画成虚线。
（2）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。
①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示意图；
（3）一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），投射线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C’，请画出正方形纸板的投影示意图。
五、学习反思：
我们这节课学习了什么知识？
（1） 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影；
（2） 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影
（3） 物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，
1.当小棒、三角形等纸片与投影面平行时，它们的影子的大小和形状与原物全等.
2当小棒、三角形等纸片与太阳光线平行时，它们的影子形成一个点,一条线.
六、作业：
1、见作业本
2、设计题：
北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.请通过查阅资料,上互联网等途径,收集我国古代有关日晷的历史背景,探索用日晷测定时刻的数学原理,并就此写一篇简要的报告.
4.2投影（2）
教学目标：
1、理解中心投影的概念，掌握和区别中心投影的投射线和平行投影的投射线具有不同的性质；
2、在观察、比较与归纳的探索过程zhogn，发现空间想象能力。
教学重点：中心投影的概念和区分中心投影和平行投影的区别；
教学难点：在投影面上画出平面图形的中心投影。
教学过程：
一、创设情景
投影出示：手影戏
二、归纳、应用新知
1、像皮影戏与手影戏这样由同一点的投射线所形成的投影叫做中心投影。
2、由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别。如图4-14，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A‘B’把线段AB放大了，且AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.又如图4-15，当△ABC所在的平面与投影面平行时， △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大了，从△ABC到△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换。
3、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
平行投影与中心投影的区别与联系
区别 联系
光线 物体与投影面平行时的投影
平行投影 平行的投射线 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影)
中心投影 从一点出发的投射线 放大(位似变换)
4、应用新知：（1）例2 图4-16的两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心投影？并说明理由。
解：分别连结标杆的顶端与投影上的对应点(图4-17).很明显，图(1)的投射线互相平行，是平行投影.图(2)的投射线相交于一点，是中心投影。
（2）练习：课本第78页第1、2题
（3）例3 ： 图4-18是两棵小树在路灯下的影子.请画出形成树影的光线，确定光源的位置.
解： 如图4-19，连结CB，FE，并延长相交于点O，则OC，OF就是形成树影的光线，点O就是光源所在的位置。
（4）练习：课本作业题第2、3、4 题。其中第4题要利用三角形相似知识有一定难度，要适当点拨。
三、小结：
1、由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影；
2、区别中心投影和平行投影关键在于投影线是否相交，若投射线相交于一点，则是中心投影，否则就是平行投影。
四、作业
见作业本
4.3简单物体的三视图（1）
教学目标：
1、了解正投影和简单立体图形的三视图的概念；
2、经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图；
3、培养动手实践能力，发展空间想象能力。
教学重点：简单立体图形的三视图的概念和画法
教学难点：简单立体图形的三视图的画法
教学过程：
一、创设情境，引入新课
“蒙古包”是蒙古族牧民住房的称呼。“包”，满语是“家”、“屋”的意思。蒙古族作为我国古老的游牧民族之一，他们的生活习性带有浓厚的游牧色彩。自古以来，这个生活在广阔的草原上，逐水草而居，以放牧牛羊为生的民族，大部分都从事着草原畜牧业。由于需要频繁地搬家，住房就必须是能够随意移动的活动房，古代又称这种活动房为“穹庐”、“毡帐”等，俗称“毡房”、“帐房”等。
如图所示的蒙古包的上部是圆锥，下部是圆柱体，你能画出它的三视图吗？
三视图与投影有什么关系？
指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
二、合作学习，探究新知
1、合作学习
这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如不能，那么还需哪些投影面？
物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。
2、如图4-21，直三棱柱的正面方向的正投影是一个和矩形A1ACC1全等的矩形，这个矩形上、下两条边中点的连线，表示侧棱BB1的正投影；从左到右在侧投影面上的正投影也是一个矩形，它的一组对边等于直三棱柱的高，另一组对边等于直三棱柱底面三角形AC边上的高。
（1）你能试着画出它的三视图吗？
（2）如图4-21，这个直三棱柱的正面方向的正投影是什么形状？大小如何？你能描述一下吗？
（3）从左到右在侧投影面上的正投影是什么形状？大小如何？你能描述一下吗？
（4）分别转动水平和侧面的两个投影面，使三个正投影处于同一平面(如图4-22)，就是我们所熟悉的三视图.
通过以上的学习，你有什么发现？
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图
三、应用新知
1、完成课本做一做
2、例1 一个圆锥如图4-23，底面直径为8㎝，高6㎝，画出它的三视图(比例为1：4)
分析：这个圆锥在正面的正投影是一个底边长为8㎝，高6㎝的等腰三角形；在水平面上的正投影是直径为8㎝的圆；在侧面上的正投影与正面上的正投影相同.
3、练习：课本第82页口答课内练习第1、2，作业题第2、3题和第4、5题（指名两学生板演）
四、小结
1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。
2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。
五、作业：见作业本
简单物体的视图（2）
教学目标：
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2、经历探索简单的组合几何体的三视图的画法，进一步发展空间想象能力。
教学重点与难点：根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型
教学过程：
一、复习引入
说一说：直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图
做一做：画出下列几何体的三视图
讲一讲：你知道正投影与三视图的关系
二、新课学习
例1 一个蒙古包如图所示,它上部的圆锥部分和下部的圆柱部分的高都是2m,底面直径为3m,请以1:200的比例画出它的三视图.
例2 一个六角螺帽的毛坯如图,底面正六边形的边长为250mm,高为 200mm,内孔直径为200mm.请画出六角螺帽毛坯的三视图.
3、课本的练习和作业题
三、小结：
1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看。
2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。
3、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。
四、作业
见作业本。
第四章投影与三视图 复习
教学目标：
1、通过复习系统掌握本章知识，
2、体验数学来源于实践，又作用于实践。
3、提高解决问题分析问题的能力。
4、培养空间想象能力。
教学重点：投影和三视图
教学难点：画三视图
教学过程：
一、以提问形式小结本章知识
1、本章知识结构框架：
2、填空：
（1）人在观察目标时，从眼睛到目标的 叫做视线。 所在的位置叫做视点，有公共 的两条 所成的角叫做视角。
视线不能到达的区域叫做 。
（2）物体在光线的照射下，在某个 内形成的影子叫做 ，这时光线叫做 ，投影所在的 叫做投影面。
由 的投射线所形成的投影叫做平行投影。
由 的投射线所形成的投影叫做中心投影。
（3）在平行投影中，如果投射线 垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
（4）物体的三视图是物体在三个不同方向的 。
上的正投影就是主视图，水平面上的正投影就是 ， 上的正投影就是左视图。
二、例题讲解
例1、（１）在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短
C、小明和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长
分析：阳光是平行光线，出现平行投影。路灯是点光源，是中心投影，形成的影子是不一样的
例2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。
分析：从俯视图上看，该立体图形是个对称图形，从主视图、左视图上看，正面和左面都是等腰三角形，因此我们可以想象，该立体图形是正四棱锥。
例3、A、B 表示教室门口，张丽在教室内，王明、钱勇、李杰三同学在教室外，位置如图所示，张丽能看得见三位同学吗？请说明理由。
分析：画出最大视野也就是最大视角，就能确定盲区。
例４、如图，小王、小李及一根电线杆在灯光下的影子。
（１）确定光源的位置；
（２）在图中画出表示电线杆高度的线段。
分析：由条件易知，本题属于中心投影问题，根据中心投影的特点，物体与影子对应点的连线必须经过光源，因此我们可以利用两线的交点来求光源的位置。
例５、如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的几何体的主视图和俯视图。
（１）请你画出这个几何体的一种左视图；
（２）若组成这个几何体的小正方体的块数为ｎ，请你写出ｎ的所有可能值。
分析：左视图为侧视图，由于几何体只知道主视图和俯视图，那么左视图就不是唯一的，而主视图表示几何体共有三层，所以侧视图有多种可能，俯视图只看见５个小正方体，这５个正方体可分布在１、２、３层。
三、课外作业：见课本第８６页的目标与评定。
sin
cos
tan
Sin-1
cos-1
tan-1
shift
∴∠ACD≈27.50 .
A
B
120°
120°
h
L
a
3
A
B
C
a
b
C
A
B
120°
72°
教学目标：
1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2.掌握三角函数定义式：sinA=， cosA=，
重点和难点
重点：三角函数定义的理解。
难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。
【教学过程】
一、情境导入
如图是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1、2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶 如果AB和A′B′相等而∠α和∠β大小不同，那么它们的高度AC 和A′C′相等吗？AB、AC、BC与∠α，A′B′、A′C′、B′C′与∠β之间有什么关系呢？ ------导出新课
二、新课教学
1、合作探究
（1）作
2、三角函数的定义
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即cosA=
∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即
锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角函数.
注意：sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中A前面的“∠”一般省略不写。
师：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？
师：（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．
生：独立思考，尝试回答，交流结果．
明确：0＜sina＜1，0＜cosa＜1.
巩固练习：课本第6页课内练习T1、作业题T1、2
3、例题教学：课本第5页中例1.
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B的正弦,余弦和正切.
分析：由勾股定理求出AC的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。
师：观察以上计算结果,你发现了什么
明确：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
4、课堂练习：课本第6页课内练习T2、3，作业题T3、4、5、6
三、课堂小结：谈谈今天的收获
1、内容总结
（1）在RtΔABC中,设∠C=900，∠α为RtΔABC的一个锐角，则
∠α的正弦 ， ∠α的余弦 ，
∠α的正切
（2）一般地，在Rt△ABC中, 当∠C=90°时，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
2、方法归纳
在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解
四、布置作业：练习卷
1.1锐角三角函数（2）
教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
(二)思维训练要求
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.
2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.
2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教学重点
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
教学难点
进一步体会三角函数的意义.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)
[生]我们组设计的方案如下：
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢
[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一
半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.
CD＝a.
则树的高度即可求出.
[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=
atan30°，岂不简单.
你能求出30°角的三个三角函数值吗
Ⅱ.讲授新课
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角 它们分别等于多少度
[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.
[师]sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.
[生]sin30°＝.
sin30°表示在直角三角
形中，30°角的对边与
斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝.
[师]cos30°等于多少 tan30°呢
[生]cos30°＝.
tan30°=
[师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的
[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=,
cos60°=,
tan60°＝.
[生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-
60°)=sin30°=.
[师生共析]我们一同来
求45°角的三角函数值.含
45°角的直角三角形是等腰
直角三角形.(如图)设其中一
条直角边为a，则另一条直角
边也为a，斜边a.由此可求得
sin45°=,
cos45°＝,
tan45°=
[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数角 sinα coα tanα
30°
45° 1
60°
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢
[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为，，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
[师]再来看第二列函数值，有何特点呢
[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，，余弦值随角度的增大而减小.
[师]第三列呢
[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.
[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、
45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
2.例题讲解(多媒体演示)
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示
(cos60°)2.
解：(1)sin30°+cos45°=,
(2)sin260°+cos260°-tan45°
=()2+()2-1
= + -1
＝0.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解：根据题意(如图)
可知，∠BOD=60°，
OB=OA＝OD=2.5 m，
∠AOD＝×60°＝30°，
∴OC=OD·cos30°
=2.5×≈2.165(m).
∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为
0.34 m.
Ⅲ.随堂练习
多媒体演示
1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°+tan60°；
(3) sin45°+sin60°-2cos45°.
解：(1)原式＝-1=；
(2)原式=+=
(3)原式=×+×；
=
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少
解：扶梯的长度为=14(m)，
所以扶梯的长度为14 m.
Ⅳ.课时小结
本节课总结如下：
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；
cos30°＝，cos45°＝ ，cos60°＝；
tan30°= ，tan45°＝1，tan60°=.
(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
Ⅴ.课后作业
练习卷
Ⅵ.活动与探究
(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高
(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC＝24 m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.
[结果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24×=8m.
∵DF＝BE，
∴DF=8≈8×1.73＝13.84(m).
甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).
备课参考资料
参考练习
1.计算：.
答案：3-
2.计算：(+1)-1+2sin30°-
答案：-
3.计算：(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1.
答案：
4.计算：sin60°+
答案：-
5.计算；2-3-(+π)0-cos60°-.
答案：-
1.2有关三角函数的计算（1）
教学目标：
使学生能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题。
教学重点：
教学难点：
教学过程
一、由问题引入新课
问题：小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成60°的角，他的风筝有多高 (精确到1米)
根据题意画出示意图，如右图所示，在Rt△ABC中，AB＝125米，∠B＝60°，求AC的长。(待同学回答后老师再给予解答)
在上节课，我们学习了30°、45°、60°的三角函数值，假如把上题的 ∠B＝60°改为∠B＝63°，这个问题是否也能得到解决呢 揭示课题 ：已知锐角求三角函数值
二、用计算器求任意锐角的三角函数值
1、同种计算器的学生组成一个学习小组，共同探讨计算器的按键方法。教师巡视指导。
2、练一练：
（1）求下列三角函数值：sin60°，cos70°，tan45°，sin29.12°，cos37°42′6″，
Tan18°31′
（2）计算下列各式：
Sin25°+cos65°; sin36°·cos72°; tan56°·tan34°
3、例1 如图,在Rt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９００，
已知ＡＢ＝１２cm，∠Ａ＝３５０，
求△ＡＢＣ的周长和面积.
（周长精确到０.１cm，面积保留３个有效数字）
4、做一做：
求下列各函数值,并把它们按从小到大的顺序用“<”连接：
（2）cos27°12′，cos85°，cos63°36′15″，cos54°23′，cos38°39′52″
问：当α为锐角时，各类三角函数值随着角度的
增大而做怎样的变化
小结：Sinα，tanα随着锐角α的增大而增大；
Cosα随着锐角α的增大而减小．
三、课堂练习
课本第12页作业题第5、6题．
这两题实际上已经牵涉到解直角三角形的有关知识，为此在引导学生寻找解决方法时着重时根据已知条件适当选用函数关系式。
四、小结
1．我们可以利用计算器求出任意锐角的三角函数值
2．我们可以利用直角三角形的边角关系解决一些实际的问题．
五、作业：练习卷
1.2有关三角函数的计算（2）
教学目标：
1、会用计算器求由锐角三角函数值求锐角。
2、会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
教学重点： 会用计算器求由锐角三角函数值求锐角
教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学过程：
1、 创设情景，引入新课
如图,为了方便行人，市政府在10m高的天桥.两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少
如图,在Rt△ABC中, 那么∠A是多少度呢
要解决这问题,我们可以借助科学计算器.怎样使用计算器由锐角三角函数值求锐角？这就是我们这节课要解决的问题。（板书课题）
2、 进行新课，探究新知
1、已知三角函数值求角度,要用到 键的第二功能 和 键 .
例如 按键的顺序1 按键的顺序2 显示结果 ∠A的值
SinA=0.9816 Shift Sin 0 . 9 8 1 6 = 2ndf Sin 0 . 9 8 1 6 = Sin-1=0.9816=78.991 840 39 ∠A≈78.991 840 39°
CosA=0.8607 Shift Cos 0 . 8 6 0 7 = 2ndf Cos 0 . 8 6 0 7 = coS-1=0.8607=30.604 730 07 ∠A≈30.604 730 07°
tanA=0.1890 Shift tan 0 . 1 8 9 0 = 2ndf tan 0 . 1 8 9 0 = tan-1=0.189 0=10.702 657 49 ∠A≈10.702 657 49°
tanA=56.78 Shift tan 5 6 . 7 8 = 2ndf tan 5 6 . 7 8 = tan-1=56.78=88.991 020 49 ∠A≈88.991 020 49°
由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
2、如果再按“度分秒键”，就换成度分秒
例如 按键的顺序1 按键的顺序2 显示结果 ∠B的值
SinB=0.4511 Shift Sin 0 . 4511 =°/ / / 2ndf Sin 0 . 4511 =2ndf D°M′S′ Sin-1=0. 4511=26°48′51.41″ ∠B≈26°48′51″
CosB=0.7857 Shift Cos 0 . 7857 =°/ / / 2ndf Cos 0. 7857=2ndf D°M′S′ coS-1=0. 7857=38°12′52.32″ ∠B≈38°12′52″
tanB=1.4036 Shift tan 1.4036=°/ / / 2ndf tan 1.4036 =2ndf D°M′S′ tan-1=1.4036=54°31′54.8″ ∠B≈54°31′55″
3、练一练：课本第 14页 第1、2题
4、讲解例题
例1 如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10 ).
∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50 =550.
∴V型角的大小约550.
例2、一段公路弯道呈圆忽形,测得弯道AB两端的距离为200m,AB的半径为1000m,求弯道的长(精确到0.1m)
分析：因为弧AB的半径已知，根据弧长计算公式，要求弯道
弧AB的长，只要求出弧AB所对的圆心角∠AOB的度数。作
OC⊥AB，垂足为C，则OC平分∠AOB，在Rt△OCB中，
BC=1/2AB=100m，OB=1000m，于是有Sin∠BOC=1/10。利用计算器求出
∠BOC的度数，就能求出∠AOB的度数。
请同学们自己完成本例的求解过程。
5、练习：
（1）解决引例
（2）一梯子斜靠在一面墙上,已知梯子长4m,梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m,求梯子与地面所成的锐角.
（3）第14页 课内练习第3题
三、课堂小结：
1、由锐角的三角函数值反求锐角，该注意什么？
2、填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
四、 布置作业：练习卷
1.3解直角三角形(1)
教学目标：
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点和难点：
重点：直角三角形的解法．
难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程：
一、引入
1、已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角a 吗？
变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。
你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？
2、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
在例题中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.
二、新课
1、像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
问：在三角形中共有几个元素？
问：直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
(3)边角之间关系
2、例1：如图1—16，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=50 °，AB=3。求∠B和a，b（边长保留2个有效数字）
3、练习1 :P16 1、2
4、例2：（引入题中）已知平顶屋面的宽度L为10m，坡顶的设计高度h为3.5m，（或设计倾角a ）（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角a。(长度精确到0.1米,角度精确到1度)
5、练: 如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
说明：本题是已知一边,一锐角.
6、温馨提示：
▲在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，
本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
▲ 解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角
（两个已知元素中至少有一条边）
7、 你会求吗？
课本P17作业题
三、小结：
在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
四、布置作业：练习卷
1.3解直角三角形（2）
教学目标
1、了解测量中坡度、坡角的概念；
2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，3、进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：有关坡度的计算
教学难点：构造直角三角形的思路。
教学过程
一、引入新课
如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大 显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A。从图形可以看出，＞，即tanAl＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
二、新课
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
2．例题讲解。
例1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽。(精确到 0.1米)
分析：四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12.51米．AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决。
例2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。和坝底宽AD。(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)
三、练习
课本第19页课内练习。
四、小结
会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。
五、作业：
1.3解直角三角形（3）
教学目标：
1、进一步掌握解直角三角形的方法；
2、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题；
3、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：解直角三角形在测量方面的应用；
教学难点：选用恰当的直角三角形，解题思路分析。
教学过程
一、给出仰角、俯角的定义
在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角。
二、例题讲解
例1．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度。
分析：因为AB＝AE＋BE，AE＝CD＝1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决,在△BDE中,已知DE＝CA＝22.7米，∠BDE＝22°，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢 显然正切或余切都能解决这个问题。
例2．如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)。
(1)你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示)，并画出测量图形。
(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式。
分析：如右图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度，因为AE＝BD，而后Rt△ACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出．
请同学们想一想，是否还能用其他的方法测量出B楼的高度。
三、练习
课本第22页练习的第l、2、3题。
四、小结
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决。
五、作业：练习卷
第一章解直角三角形复习（2课时）
教学目标：
1、复习巩固所学的锐角三角函数与直角三角形及其应用等有关知识、方法；
2、发展学生的数学应用意识，培养分析问题和解决问题的能力。
教学重点：锐角三角函数的概念、计算和解直角三角形。
教学难点：解直角三角形的实际应用
教学过程：
一、知识梳理
引导学生回忆本章所学知识，用图表的方式加以梳理概括。
着重说明以下几点：
1、本章的重点是锐角的三角函数的概念、计算以及解直角三角形的一般方法。
2、注意对锐角三角函数概念的理解，要准确记忆30°、45°、60°角的三角函数值，有关锥度、坡度、方向角、仰角、俯角等概念的理解与应用。
二、例题教学：
例1、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，D为垂足，CD=，BD=，
求：(1) tanA; (2)cos∠ACD;(3)AC的长。
注意：角之间的转化，如∠ACD=∠B，∠A=∠BCD。
例2、在△ABC中，∠C=90°，AB= D为AC上一点，且∠DBC=30°，COS∠ABC=.
求BC和AD的长。
注意：求AD的长的关键在于求BC，因此解此类问题应从两Rt△的公共边入手。
例3 、已知：△ABC中，∠A=30°，∠C-∠B=60°，AC= ，求△ABC的面积。
注意：画CD⊥AB，将解一般三角形问题转化为解直角三角形问题；在本题中，求公共直边CD成为求解的关键。
例4．北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距离A地40海里的B处训练。突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治。已知C岛在A的北偏东方向60°，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院 (精确到0.1小时)
例5．如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i＝2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上 请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)。
三、练习
1．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里／小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两个小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度(精确到0.1海里/小时)
2．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区。取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°。已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区。
四、小结
这节课进一步学习了应用解直角三角形的知识解决实际问题，在解决这样的问题时，一方面，根据题意能够画出图形，另一方面，要把问题归结到直角三角形中来解决。
五、作业：课本第25页目标与评定
2.1简单事件的概率
教学目标：
1、通过生活中的实例，进一步了解概率的意义；
2、理解等可能事件的概念，并准确判断某些随机事件是否等可能；
3、体会简单事件的概率公式的正确性；
4、会利用概率公式求事件的概率。
教学重点： 等可能事件和利用概率公式求事件的概率。
教学难点：判断一些事件可能性是否相等。
教学过程： 第一课时
一、引言
出示投影：
（1）1998年，在美国密歇根州的一个农场里出生了一头白色奶牛。据统计平均出生1千万头牛才会有一头是白色的。你认为出生一头白色奶牛的概率是多少？
（2）设置一只密码箱的密码，若要使不知道秘密的人拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要多少位？
这些问题都需要我们进一步学习概率的知识来解决。本章我们将进一步学习简单事件的概率的计算、概率的估计和概率的实际应用。
二、简单事件的概率
1、引例：盒子中装有只有颜色不同的3个黑棋子和2个白棋子，从中摸出一棋子，是黑棋子的可能性是多少？
小结：在数学中，我们把事件发生的可能性的大小，称为事件发生的概率
如果事件发生的各种可能结果的可能性相同，结果总数为n，事件A发生的可能的结果总数为m，那么事件A发生的概率是。
2、练习：
如图 三色转盘，每个扇形的圆心角度数相等，让转盘自由转动一次， “指针落在黄色区域”的概率是多少？
3、知识应用：
例1、如图，有甲、乙两个相同的转盘。让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动，求
（1）转盘转动后所有可能的结果；
（2）两个指针落在区域的颜色能配成紫色（红、蓝两色混合配成）的概率；
3）两个指针落在区域的颜色能配成绿色（黄、蓝两色混合配成）或紫色的概率；
解：将两个转盘分别自由转动一次，所有可能的结果可表示为如图，且各种结果的可能性相同。所以所有可能的结果总数为n=3×3=9
(1)能配成紫色的总数为2种，所以P=。
（2）能配成绿色或紫色的总数是4种，所以P=。
练习：课本第32页课内练习第1题和作业题第1题。
例2、 一个盒子里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球。从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球。
（1）写出两次摸球的所有可能的结果；
（2）摸出一个红球，一个白球的概率；
（3）摸出2个红球的概率；
解：为了方便起见，我们可将3个红球从1至3编号。根据题意，第一次和第二摸球的过程中，摸到4个球中任意一个球的可能性都是相同的。两次摸球的所有的结果可列表表示。
第一次 第二次 白 红1 红2 红3
白 白，白 白，红1 白，红2 白，红3
红1 红1 ，白 红1，红1 红1，红2 红1，红3
红2 红2，白 红2 ，红1 红2，红2 红2，红3
红3 红3 ，白 红3，红1 红3，红2 红3，红3
（1）事件发生的所有可能结果总数为n = 4×4=16。
（2）事件A发生的可能的结果种数为m=6，
∴=
(2)事件B发生的可能的结果的种数 m=9
∴
练习：课本第32页作业题第2、3、4题
三、课堂小结：
1、概率的定义和概率公式。
2、用列举法分析事件发生的所有可能请况的结果数一般有列表和画树状图两种方法。
3、在用列表法分析事件发生的所有情况时往往第一次在列，第二次在行。表格中列在前，行在后，其次若有三个红球，要分红1、红2、红3。虽然都是红球但摸到不同的红球时不能表达清楚的。
四、布置作业：练习卷
2.1简单事件的概率
（第二课时）
教学过程：
一、回顾与思考
1、在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率
2、运用公式求简单事件发生的概率，在确定各种可能结果发生的可能性相同的基础上，关键是求什么？ （关键是求事件所有可能的结果总数n和其中事件Ａ发生的可能的结果m(m ≤n） )
二、热身训练
(2006年浙江金华)北京08奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”.现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片(卡片的形状大小一样,质地相同)放入盒子.
(1)小玲从盒子中任取一张,取到印有“欢欢”图案的卡片的概率是多少
(2)小玲从盒子中取出一张卡片,记下名字后放回,再从盒子中取出第二张卡片,记下名字.用列表或画树状图列出小玲取到的卡片的所有情况,并求出小玲两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率.
三、例题讲解
例3、学校组织春游,安排给九年级3辆车,小明与小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘.问小明与小慧同车的概率有多大
分析：为了解答方便，记这三辆车分别为甲、乙、丙，小明与小慧乘车的所有可能的结果列成表。
一个学生板演，其余学生自己独立完成。
练习：课本第34页课内练习第1题，作业题第1、2、4题
例4、如图,转盘的白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120°和240°.让转盘自由转动2次,求指针一次落在白色区域,另一次落在红色区域的概率.
先让学生独立完成，后指名一学生板演，可能一些学生没有考虑到该事件不是等可能事件，让学生充分讨论，得出应把红色扇形划分成两个圆心角都是120°的扇形，最后应用树状图或列表法求出概率。
练习：课本第35页作业题第4题。
四、课堂小结：
1、等可能事件的概率公式：，在应用公式求概率时要注意：要关注哪个或哪些结果；无论哪个或哪些结果都是机会均等的；部分与全部之比，不要误会为部分与部分之比。
2、列举出事件发生的所有可能结果是计算概率的关键，画树状图和列表是列举事件发生的所有可能结果的常用方法。
3、如何把一些好像不是等可能的事件化解为等可能事件是求事件概率的重要方法。
五、 布置作业：练习卷。
2.2估计概率
教学目标：
1、借助实验，体会随机事件在每一次实验中发生与否具有不确定性；
2、通过操作，体验重复实验的次数与事件发生的频率之间的关系；
3、能从频率值角度估计事件发生的概率；
4、懂得开展实验、设计实验，通过实验数据探索规律，并从中学会合作与交流。
教学重点与难点：通过实验体会用频率估计概率的合理性。
教学过程：
一、引入：
我们知道,任意抛一枚均匀的硬币,”正面朝上”的概率是0.5,许多科学家曾做过成千上万次的实验,其中部分结果如下表：
实验者 抛掷次数n “正面朝上”次数m 频率m/n
隶莫弗布丰皮尔逊皮尔逊 204840401200024000 10612048601912012 0.5180.5.690.50160.5005
观察上表,你获得什么启示 （实验次数越多,频率越接近概率）
二、合作学习（课前布置，以其中一小组的数据为例）让转盘自由转动一次,停止转动后,指针落在红色区域的概率是，以数学小组为单位，每组都配一个如图的转盘，让学生动手实验来验证：
(1)填写以下频数、频率统计表：
转动次数 指针落在红色区域次数 频率
10 3 0.3
20 8 0.4
30 11 0.36
40 14 0.35
50 16 0.32
(2)把各组得出的频数,频率统计表同一行的转动次数和频数进行汇总,求出相应的频率,制作如下表格：
实验次数 指针落在红色区域的次数 频率
80 25 0.3125
160 58 0.3625
240 78 0.325
320 110 0.3438
400 130 0.325
(3)根据上面的表格,画出下列频率分布折线图
(4)议一议:频率与概率有什么区别和联系 随着重复实验次数的不断增加,频率的变化趋势如何
结论：从上面的试验可以看到：当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此，我们可以通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
三、做一做：
1.某运动员投篮5次,投中4次,能否说该运动员投一次篮,投中的概率为4/5 为什么
2.回答下列问题:
(1)抽检1000件衬衣,其中不合格的衬衣有2件,由此估计抽1件衬衣合格的概率是多少
(2)1998年,在美国密歇根州汉诺城市的一个农场里出生了1头白色的小奶牛,据统计,平均出生1千万头牛才会有1头是白色的,由此估计出生一头奶牛为白色的概率为多少
四、例题分析：
例1、在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验,统计发芽种子数,获得如下频数分布表:
实验种子n(粒) 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽频数m(粒) 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850
发芽频数m/n 0
(1)计算表中各个频数.
(2)估计该麦种的发芽概率
(3)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4181818棵,种子发芽后的成秧率为87％,该麦种的千粒质量为35g,那么播种3公顷该种小麦,估计约需麦种多少kg
分析：（1）学生根据数据自行计算
（2）估计概率不能随便取其中一个频率区估计概率，也不能以为最后的频率就是概率，而要看频率随实验次数的增加是否趋于稳定。
（3）设需麦种x(kg)
由题意得,
解得 x≈531(kg)
答:播种3公顷该种小麦,估计约需531kg麦种.
五、课内练习：
1.如果某运动员投一次篮投中的概率为0.8,下列说法正确吗 为什么
(1)该运动员投5次篮,必有4次投中.
(2)该运动员投100次篮,约有80次投中.
2.对一批西装质量抽检情况如下:
抽检件数 200 400 600 800 1000 1200
正品件数 190 390 576 773 967 1160
次品的概率
(1)填写表格中次品的概率.
(2)从这批西装中任选一套是次品的概率是多少
(3)若要销售这批西装2000件,为了方便购买次品西装的顾客前来调换,至少应该进多少件西装
六、课堂小结：
尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值。
七、作业：练习卷。
补充：一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球与10的比值，再把球放回袋中摇匀。不断重复上述过程5次，得到的白求数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2。根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有 48 个黑球。
（06黑龙江中考题）
2.3概率的简单应用
教学目标：
1、通过实例进一步丰富对概率的认识；
2、紧密结合实际，培养应用数学的意识。
教学重点和难点;：用等可能事件的概率公式解决一些实际问题。
教学过程：
一、提出问题：
1.如果有人买了彩票，一定希望知道中奖的概率有多大．那么怎么样来估计中奖的概率呢？
2.出门旅行的人希望知道乘坐哪一中交通工具发生事故的可能性较小？
年龄x 生存人数lx 死亡人数dx
01 1000000997091 29092010
3031 976611975856 755789
61626364 867685856832845026832209 10853118061281713875
7980 488988456246 3274233348
8182 422898389141 3375733930
指出：概率与人们生活密切相关，在生活，生产和科研等各个领域都有着广泛的应用．
二、例题分析：
例1、某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同，以每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖１个，一等奖10个，二等奖100个，问１张奖券中一等奖的概率是多少？中奖的概率是多少？
分析：因为10 000张奖券中能中一等奖的张数是10张，所以一张奖券中一等奖的概率就是；而10000张奖券中能中奖的奖券总数是1+10+100=111张所以一张奖券中奖的概率是。
例2、生命表又称死亡表,是人寿保险费率计算的主要依据,如下图是1996年6月中国人民银行发布的中国人寿保险经验生命表,(1990-1993年)的部分摘录,根据表格估算下列概率(结果保留4个有效数字)
(1)某人今年61岁,他当年死亡的概率.
(2)某人今年31岁,他活到62岁的概率.
分析：
（1）解释此表的意思；
（2）根据表中数据可得：61岁的生存人数为867685，61岁的死亡人数为10853，所以所求概率为
（3）根据表中数据得=975856，
=856832，
所以所求的概率为
三、课内练习：课本第41页第1、2题和作业题第1题2题。
四、小结：学会调查、统计，利用血管的概率结合实际问题发表自己的看法，并对事件作出合理的判断和预测，用优化原则作决策，解决实际问题。
五、作业：练习卷
3.1直线与圆的位置关系（1）
教学目标：
1、利用投影演示，动手操作探索直线和圆的运动变化过程，经历直线与圆的三种位置关系得产生过程；
2、在运动中体验直线与圆的位置关系，并观察理解直线与圆的“公共点的个数”的变化，培养猜想、分析、概括、归纳能力。
3、正确判别直线与圆的位置关系，或根据直线与圆的位置关系正确的得出圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系或直线与圆的公共点的个数。
教学重点：直线与圆的三种位置关系
教学难点：直线与圆的三种位置关系的性质和判定俄正确运用
教学过程：
一、创设情景，引入新课
电脑演示：海上日出
1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的
2.观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的
你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种
二、探究直线与圆的位置关系
1、动手操作：作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,
仔细观察，直线和圆的交点个数如何变化？
在学生回答得基础上，教师指出：由直线和圆的公共点的个数，得出直线和圆的三种位置关系 ：
（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时的直线叫做圆的割线；
（2）相切：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；
（3）直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
2、做一做：
如图，O为直线L外一点,OT⊥L,且OT=d。请以O为圆心,分别以 为半径画圆.所画的圆与直线l有什么位置关系
3、直线与圆的位置关系量化
观察所画图形，你能从d 和r 的关系发现直线l和圆O的位置关系吗？
学生回答后，教师总结并板书：
如果⊙O的半径w为r ,圆心O 到直线 l的距离为d,,那么：
（1）直线l和⊙O相交d＜r;
(2) 直线l和⊙O相切d=r；
（3）直线l和⊙O相离d＞r;
三、例题分析，课堂练习
例1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C 为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm,(2)r=2.4cm,(3)r=3cm.（此题为课本第49页课内练习第1题的第2小题）
分析：因为题中给出了⊙C的半径，所以解题的关键是求圆心到直线的距离，然后与r 比较，确定⊙C与AB的关系。
练习：课本第49页课内练习第1题的第1小题，作业题第1题。
例2、已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm. 以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切
练习：作业题第2、3题
例3、（即课本的例1）
如图,海中有一个小岛P,该岛四周12海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A点观测P在北偏东60°处, 行驶10海里后到达B点观测P在北偏东45°处,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
分析：要解决这个问题，首先要把它转化为数学问题，画出图形。
要判断货轮是否有触礁危险，关键是看航线与暗礁圆区的位置关系。
练习：在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴的速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度和方向，问气象站正南方60千米的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间。
四、课堂小结：
这节课我们学习了哪些内容？用到了那些数学思想方法？
五、作业：见课课通
3.1直线与圆的位置关系（2）之一
教学目标：
1、通过动手操作，经历圆的切线的判定定理得产生过程，并帮助理解与记忆；
2、在探索圆的切线的判定定理的过程中，体验切线的判定、切线的特殊性；
3、通过圆的切线的判定定理得学习，培养学生学习主动性和积极性。
教学重点：圆的切线的判定定理
教学难点：定理的运用中，辅助线的添加方法。
教学过程：
一、回顾与思考
投影出示下图，学生根据图形，回答以下问题：
（1）在图中，直线l分别与⊙O的是什么关系？
（2）在上边三个图中，哪个图中的直线l 是圆的切线？你是怎样判断的？
教师指出：根据切线的定义可以判断一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便，为此我们还要学习切线的判定方法。（板书课题）
二、探索判定定理
1、学生动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A 作直线l⊥OA 。
思考：（可与同伴交流）
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径由什么关系？
（2）直线l 与⊙O的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现了什么？
启发学生得出结论：由于圆心O到直线l 的距离等于圆的半径，因此直线l 一定与圆相切。
请学生回顾作图过程，切线l 是如何作出来的？它满足哪些条件？
①经过半径的外端；②垂直于这条半径。
从而得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、做一做（1）下列哪个图形的直线l 与⊙O相切？（ ）
小结：证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端
②垂直于这条半径。
（2）课本第52页课内练习第1题
（3）课本第51页做一做
小结：过圆上一点作圆的切线分两步：①连结该点与圆心得半径；②过该点作已连半径的垂线。过圆上一点画圆的切线有且只有一条。
三、应用定理，强化训练
例1、已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上一点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端点，因此只要证明OC⊥AB，因为OA=OB，CA=CB，易证OC⊥AB。
学生口述，教师板书
证明：连结OC，
∵OA=OB，CA=CB
∴OC⊥AB（等腰三角形三线合一性质）
∴直线AB是⊙O的切线。
例2、如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直径为6厘米。
求证：AB与⊙O相切。
分析：因为已知条件没给出AB和⊙O有公共点，所以可过圆心O作OC⊥AB，垂足为C，只需证明OC等于⊙O的半径3厘米即可。
证明：过O作 OC⊥AB，垂足为C，
∵OA=OB=5厘米，AB=8厘米
∴AC=BC=4厘米
∴在Rt△AOC中，厘米，
又∵⊙O的直径长为6厘米，
∴OC的长等于⊙O的半径
∴直线AB是⊙O的切线。
完成以上两个例题后，让学生思考：以上两例辅助线的添加法是否相同？有什么规律吗？
在学生回答的基础上，师生一起归纳出一下规律：
（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直。
（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径。
练习1：判断下列命题是否正确
（1）经过半径的外端的直线是圆的切线
（2）垂直于半径的直线是圆的切线；
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；
（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；
（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切。
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由。
练习2、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦 AB=厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆。
求证：小圆与直线 AB相切。
练习3、如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°。
求证：直线DC是⊙O的切线。
练习2、3请两名学生板演，教师巡视，个别辅导。
四、小结：
1、切线的判定定理：经过 并且垂直于 的直线是圆的切线。
2、到目前为止，判定一条直线是圆的切线有三种方法，分别是：
（1）根据切线的定义判定：即与圆有 公共点的直线是圆的切线。
（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于 的直线是圆的切线。
（3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线。
3、证明一条直线是圆的切线常用的辅助线有两种：
（1）如果已知直线过圆上某一点，则作 ，后证明 。
（2）如果直线与圆的公共点没有明确，则 ，后证明 。
五、作业：见课课通 第170页的第1------8题。
3.1直线与圆的位置关系（2）
教学目标：
1、进一步掌握切线的判定定理，并能初步运用它解决问题；
2、通过例题教学，培养和提高学生分析问题解决问题的能力。
教学重点与难点：综合运用切线的判定定理。
教学过程：
一、知识回顾
判定直线与圆相切，常用的方法有哪些？
1、利用切线的定义； 2、利用圆心到直线的距离等于圆的半径；3、利用切线的判定定理。
二、基础热身
1、在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC，以AB上的高CD为直径作一个圆，与这个圆相切的直线有（ ）
A、AC B、AC、BC C、AB D、AC、BC、AB
2、如图，点 A在⊙O上，由下列条件能判定直线AB和⊙O相切的有（ ）
①∠B=40°，∠O=50°，②sinB=1/2,③tanB×tanO=1,
④⊙O 过OB的中点，∠O=60°
A、① B、①② C、①②③ D、①③④
3、已知⊙O的直径为10厘米，如果圆心O到直线l 的距离为4.5厘米，那么直线l 与⊙O有 个公共点。
三、例题讲解
例1、(即课本的例2)已知如图,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC, ∠A=30°。
求证：直线AB是⊙O的切线。
例2、如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°的方向移动，受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540 ）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
分析：引导学生画出图形，判断四个城市会不会受到台风的影响主要是看在图上表示城市的点是否会落在台风圆区的两条切线所夹的区域来解决。
三、课内练习
1、课本第53页作业题第5、6题
四、作业：
课课通地171页第9---14
3.1直线与圆的位置关系（3）
教学目标：
1、通过动手操作，反复尝试，合作交流，经历圆的切线的性质定理的产生过程，培养探索精神和合作意识；
2、体验、理解圆的切线的两个性质，并正确合理、灵活运用。
教学重点：切线的两个性质
教学难点：切线的判定和性质的综合运用
教学过程：
一、复习引入
1、判断直线与圆相切有哪些方法？
(1) 、利用切线的定义； （2）、利用圆心到直线的距离等于圆的半径；（3）、利用切线的判定定理。
2、合作学习：
（1）如图，直线AP与⊙O相切于点 A ，连结OA，∠OAP等于多少度？ 在⊙O上再任意取一些点，过这些点作⊙O的切线，连结圆心和切点，半径与切线所成的角为多少度？有此你发现了什么？
（2）任意画一个圆，作这个圆的一条切线，过切点作切线的垂线，你发现了什么？ 你的发现与你的同伴的发现相同吗？
二、形成新知
圆的切线的性质定理：
经过切点的半径垂直于圆的切线；
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
三、应用新知
例1、如图，AB 为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D 。
求证：AC平分∠DAB。
分析：从条件想，CD是⊙O的切线，可考虑连结CO，利用切线的性质定理可知OC⊥CD，由AD⊥CD，易知OC∥AD。
如果从结论看，要证AC平分∠DAB，须证明∠DAC=∠CAB，
由于∠CAB=∠ACO，所以只要证明∠DAC=∠ACO即可。
证明过程由学生自己完成。小结：在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径。
练习：课本第55页第1题和第2题。
例2（即课本的例4）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠⊙O于点A,并使较长边与⊙O相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O的半径。
分析：要求⊙O的半径，可以考虑建立与圆的半径有关的直角三角形，
因为BC是⊙O的切线，所以连结OC，这样四边形ABCO是直角梯形，过A点作OC的垂线，求得圆的半径。
过程由学生自己完成。
例3（即课本例5）
如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO与⊙O交于点D,连结CD。
求证：。
分析：要证明，需要找到一个角等于的一半，或者是∠ACD 的两倍。因为直线AB与
⊙O相切于点C，所以OC⊥AB，因此考虑作∠COD的平分线。
证明:作OE⊥DC于点E,
∵△ODC是等腰三角形，
∴∠COE=
∵直线AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠ACD+∠OCE=Rt∠
∴∠ACD=∠COE,
即。
例4、（补充例题）已知如图，AB是⊙O的直径，BC是与圆相切于点B的切线，弦AD∥OC。
求证：DC是⊙O的切线。
练习：课本第56页的作业题第1、2、4、6题
四、小结：
1、判定切线的三种方法
2、切线的两个性质；
3、常用的辅助线添加方法。
五、作业：见作业本
3.2三角形的内切圆
教学目标：
1、通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；
2、通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；
3、类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质；
4、通过引例和例1的教学，培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识；
5、通过例2的教学，进一步掌握用代数方法解几何题的思路，渗透方程思想。
教学重点：三角形内切圆的概念和画法。
教学难点：三角形内切圆有关性质的应用。
教学过程
一、知识回顾
1、确定圆的条件有哪些？
（1）.圆心与半径；（2）不在同一直线上的三点
2、什么是角平分线？角平分线有哪些性质？
（角平线上的点到这个角的两边的距离相等。）
3、左图中△ABC与⊙O有什么关系？
（△ABC是⊙O的内接三角形；⊙O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心）
二、创设情境，引入新课
1、合作学习：李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。应该怎样画出裁剪图？
探索：（1）当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？
（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？
（3）如何确定这个圆的圆心？
2、探究三角形内切圆的画法：
（1）．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？
（圆心0在∠ABC的平分线上。）
（2）．如图2，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？
（圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。）
（3）．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？
（作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径）
( 4)．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？
（只能作一个，因为三角形的三条内角
平分线相交只有一个交点。 ）
教师示范作图。
3、三角形内切圆的有关概念
（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
引导学生采用观察、类比的方法，理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并于三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较。
（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角。
三、新知应用
例1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，
求∠BOC的度数。
解：∵点O是△ABC的内心
∴BO是∠ABC的平分线，OC是∠ ACB的平分线
∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB
∵∠ABC+∠ACB=50°+75°=125°
∴∠BOC=180°-1/2×125°=117.5°
小结：已知内心往往连接内心和顶点，则连线平分内角。
练习：课本第59页作业题第1题和第3题。
例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３cm。
求圆柱底面的半径。
分析：首先要根据题意画出图形，如图，要求圆柱底面半径，要把它归纳到某个直角三角形中，由
△ABC是等边三角形可得AD=1.5，连接 OA即得OA平分∠ACB=30°。
例3、如图，设△ABC的周长为c,内切
⊙o和各边分别相切于D,E,F
求证：AE+BC=
分析：AE、AF即△ABC的顶点A到△ABC的内切圆⊙O的切线长，易证明AE=AF，BD=BF、CD=CF，
后面由学生自己完成。
练习：第59页课内练习第2题，作业题第5题
备选例题：
如图， △ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D。
求证：DE=DB。
四、小结：
1、什么叫三角形的内切圆？怎样作三角形的内切圆？
2、三角形的内切圆和三角形的外接圆的类比：
图形 ⊙O的名称 △ABC的名称
⊙O叫做△ABC的内切圆 △ABC叫做⊙O的外切三角形
⊙O叫做△ABC的外接圆 △ABC叫做⊙O的内接三角形
圆心O的名称 圆心O确定 “心”的性质
圆心 O叫做△ABC的内心 作两角的角平分线 内心O到三边的距离相等
圆心 O叫做△ABC外心 作两边的中垂线 外心O到三个顶点的距离相等
3、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系：
如图，⊙I切△ABC三边于点 D、E、F，
则AD=AF=
BD=BE=
CE=CF=
特别地，当∠C=Rt∠时，如图，四边形CEID 是正方形，
内切圆的半径
(其中r 、l分别是内切圆的半径和三角形的周长)
掌握这些结论对解填空题额、选择题很有帮助。
四、布置作业：见作业本。
圆与圆的位置关系
教学目标：
1、通过作图并用运动的观点，经历两圆的五种位置关系的产生过程；
2、采用合作交流的方法，体验两圆内切与外切的区别，两圆内含与外离的区别；
3、从两圆的交点个数及两圆的半径、圆心距之间的数量关系两方面理解两圆的五种位置关系；
4、利用两圆的位置关系解决有关实际问题。
教学重点和难点：两圆的五种位置关系与两圆的半径、圆心距之间的数量关系
教学过程：
一、创设情景，引入新课
出示有关两圆关系的图片，如：奥运会的五环标志（圆与圆相交）自行车的两个车轮（两圆外离），两个齿轮组成的传动装置（两圆外切、内切）、飞镖靶（两圆内含）等。
板书课题：圆与圆的位置关系
二、探究两圆的位置关系
1、合作学习：
（1）画一条线段O1O2，在O1O2上取一点T，分别以点O1，O2为圆心，O1T，O2T为半径作⊙O1和⊙O2，⊙O1和⊙O2有几个公共点？两圆的圆心距O1O2与两圆的半径之间有怎样的数量关系？
（2）如果把点T取在线段O1O2的延长线上，再画⊙O1和⊙O2，此时两圆有几个公共点？两圆的圆心距离O1O2两圆的半径之间有怎样的数量关系？
2、归纳：
（1）当两圆有唯一的公共点时，叫做两圆相切，唯一的公共点叫做切点。相切的两个圆除了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的外部时，我们就说这两个圆外切（如图1）；，相切的两个圆，除了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，我们就说这两个圆内切（如图2）。
（2）设两个圆的半径为R和r,(R＞r) ，圆心距为d，则可得
两圆外切d=R+ r; 两圆内切d=R-r。
（3）用电脑出示下图，并演示这两个图形沿着通过两圆圆心的直线折叠的过程，让学生观察连心线与切点的关系怎样？
在学生回答的基础上，教师指出：通过观察我们发现，相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆的圆心的直线叫做连心线，是他们的对称轴，由此我们得到相切两圆的连心线的性质：相切两圆的连心线必经过切点。
3、应用新知：
（1）已知⊙A、 ⊙B相切，圆心距为10cm，其中⊙A的半径为4cm，求⊙B的半径．（注意相切分外切和内切两种）
（2）课本第62页第1题
（3）例题1：为了要在直径为50毫米的圆形铁片中冲压出直径最大且全等的四个小圆片,小聪和他的同学设计了如图的方案,其中每相邻两个小圆外切,每个小圆与⊙O内切.这是一个具有4条对称轴AC,BD,L1L2的对称图形.试求出小圆片的直径(结果保留3个有效数字)
解：设小圆片的半径为r ,由图形的轴对称性，可得四边形 ABCD 是正方形，所以△ABC是等腰直角三角形。
∵相邻两个小圆片外切
∴AB=BC=2r ,
∵每个小圆都与⊙O内切
∴AC=2AO=2（25-r）
由
解得
∴。
答：圆片的最大直径约为20.7毫米。
4、试验与操作
分别以1厘米、4厘米为半径，用圆规画圆，使他们外切。然后相向或反向移动两个圆片，你发现两圆还有哪些位置关系？ 在这些位置关系中，R、r、d之间分别有怎样的关系？
归纳:两圆的位置关系还有以下三种情况：
当两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交（如图1）；当两个圆没有公共点时，叫做两圆相离，相离的两个圆，如果一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们就说这两个圆外离（如图2），如果一个圆上点都在另一个圆的内部。我们就说这两个圆内含（如图3）
观察上图，可以得到：
设两个圆的半径为R和r,圆心距为d,则
（1）两圆相交 R- r＜ d＜R+ r;
（2）两圆外离d＞R+ r;
（3）两圆内含d＜R- r（R＞r）;
练习：第62页第2题和作业题第1题和第2题。
四、小结：
圆与圆的位置关系、数量关系、公共点的个数
五、作业：见作业本
第三章直线与圆、圆与圆的位置关系复习
教学目标：
1、通过复习理解直线和圆、圆与圆的位置关系
2、掌握直线与圆相切的判定与性质定理；
3、理解三角形的内切圆、三角形内心的性质，并会利用内心性质解题。
4、通过解题思路的探索，提高学生观察、分析和解决问题的能力。
5、培养正确的学习方法和良好的学习习惯。
教学重点：掌握切线的判定和性质，并能灵活运用。
教学难点：切线的判定和性质的综合运用。
教学过程：
一、梳理知识点
学生完成课本第64页的小结部分
二、例题讲解
例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？
分析：求圆心C到AB的距离，再与半径r比较。
例2、如图，△ADC内接圆O，AB是⊙O的直径，且∠EAC=∠D，
求证：AE是⊙O的切线。
分析：要证AE是⊙O的切线，只要证 OA⊥AE，即证∠OAE=90°。
学生自己完成证明过程。
提问：上题中若去掉“AB是⊙O的直径”这个题设条件，原题为“如图，△ADC内接圆O，且∠EAC=∠D”，AE仍是⊙O的切线吗？
小结：判定切线时，往往需要添加辅助线，其规律是：
①如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心得到辅助线半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可；
②如果已知条件即没有给出圆上一点，也没有指出直径上的点，那么过圆心作直线的垂线段为辅助线，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。
练习：1、 在△ABC中，BC=6cm, ∠B=30°, ∠C=45°,以点A为圆心，当半径多长时所作的⊙A与BC所在的直线相切？相交？相离？
2、已知O为∠BAC的平分线上一点，OD⊥AB，D为垂足，以O为圆心，OD为半径作⊙O，如图。
求证：⊙O与AC相切。
例3、某数学学习小组为了测量仪公园里放置于平台上的一个巨型球体石料的半径，采用了如下的方法：在球体石料的一侧紧挨一个已知直径的钢球，其截面如图所示，设⊙C与大圆外切的切点为D ，⊙C与大圆都与平台相切，切点为A、B且⊙C的直径为10cm,测得AB=50cm, 求球体石料的半径R。
分析：设大圆的圆心为O，连接OC，CA，OB，作CE⊥OB于E，则OC=R+5，OE=R-EB=R-CA=R-5，CE=AB=50cm,在Rt△COE中用勾股定理可求出R。
小结：根据两圆相切，构造直角三角形，用勾股定理求解是一种常用的方法。
例4、某公园有一块由三条马路围成的三角形绿地（如图）现准备在其中建一个尽可能大的圆亭供人们休息，试作出这个圆。
四、布置作业：见课本目标与评定。
4.1投影与盲区
教学目标：
1、经历实践、探索的过程，了解视点、视线、视角与盲区的概念；
2、体会视点、视线、视角、盲区在现实生活中的应用；
3、了解视点、视线、视角、盲区与中心投影的关系，感受其在生活中的实用价值。
教学重点：应用盲区的意义解释简单的现实现象。
教学难点：在简单的平面图和立体图中表示视线、视角和盲区。
教学过程：
一、创设情境，引入新课
（出示投影）你知道为什么飞机超低空飞行时，雷达很难发现它？
下图是人观察事物时的直观图，在这个图上涉及了哪些数学知识？（视线，视角，视点）
你能试着给它们下定义吗？
人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所成的角叫做视角。
做一做：课本：第70页
强调：视角与仰角和俯角的区别。
二、盲区的概念
如图4-2，小明在点O能看见站在幕布后面点C的小华吗？如果小明的位置不变，小华应怎样移动自己的位置，才能使小明看到自己？为什么？
学生讨论后得出：不能；移到幕布前∠AOB的范围内；因为小华在幕布后面的区域是小明视线不能到达的区域，要使小明看到自己，必须要移到小明视线能到达的区域。
教师追问：那么图中阴影部分的区域叫做什么？为什么？
小结：我们把视线不能到达的区域叫做盲区，如图4-2中的阴影部分的区域就是盲区。
如图4-3，∠AO1D，∠BO2C，分别表示人的双目水平位置上的最大视角(约120°)，在这个图上什么地方是盲区，什么地方是人眼看得最清晰的区域？
盲区的意义还不局限于人观察景物，那么盲区的意义还有哪些应用呢？学生举例
三、应用新知
例 如图4-4，A，B表示教室的门框位置。小聪站在教室内的点P位置，小慧、小红、张杰三位同学分别站在教室外点C，D，E的位置。这三位同学中，小聪能看见谁？看不见谁？请用盲区的意义给出解释。
解：如图4-5，作射线PA，PB.图中阴影部分表示小聪观察教室外时的盲区.小慧、小红、张杰三位同学中，只有张杰在盲区内，所以小聪能看见的是小慧、小红，看不见的是张杰.
练习：课本第71页课内练习和作业题（由学生独立完成，后指名学生口答或板书）
四、 小结：
通过这节课的学习你学会了什么？你有什收获与困惑？
五、布置作业：见作业本
4.2投影（1）
教学目标：
1、经历实践探索，了解投影、投影面、及平行投影的概念；
2、体会并理解平行投影的特征，利用光的影子解决生活中的实际问题。
教学重点：理解平行投影的特征；
教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影。
教学过程：
一、创设情境
你看过皮影戏吗 皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，在关中地区很为流行。皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受农民的欢迎。
放映电影《小兵张嘎》部分片段 ---小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏
二、你知道吗
出示投影：
北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．
问题：那什么是投影呢？
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。光线叫做投射线，影子（也叫投影）所在的平面叫做投影面．
出示投影让学生感受在日常生活中的一些投影现象。
因为太阳离我们非常遥远，所以太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影成为平行投影 ( parallel projection ).
三、问题探究（在课前布置，以数学学习小组为单位）
合作学习：在平行投影下，线段和平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线之间的相对位置有什么关系？ 请就此问题作一探讨。
1、以数学习小组为单位，观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面的投影。
2、 不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？三角形纸板在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？
3、根据前面的探索，你能解释下列示意图的实际意义吗？
四、概括新知，形成结构
1、物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变， 当小棒、三角形等纸片与投影面平行时，它们的影子的大小和形状与原物全等，当小棒、三角形等纸片与太阳光线平行时，它们的影子形成一个点,一条线.。
某校墙边有甲、乙两根木杆。
2、应用新知：
（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？
学生尝试练习，一学生板书，后点评注意画图要整洁美观，规范，投射线画成虚线。
（2）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。
①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示意图；
（3）一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），投射线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C’，请画出正方形纸板的投影示意图。
五、学习反思：
我们这节课学习了什么知识？
（1） 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影；
（2） 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影
（3） 物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，
1.当小棒、三角形等纸片与投影面平行时，它们的影子的大小和形状与原物全等.
2当小棒、三角形等纸片与太阳光线平行时，它们的影子形成一个点,一条线.
六、作业：
1、见作业本
2、设计题：
北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.请通过查阅资料,上互联网等途径,收集我国古代有关日晷的历史背景,探索用日晷测定时刻的数学原理,并就此写一篇简要的报告.
4.2投影（2）
教学目标：
1、理解中心投影的概念，掌握和区别中心投影的投射线和平行投影的投射线具有不同的性质；
2、在观察、比较与归纳的探索过程zhogn，发现空间想象能力。
教学重点：中心投影的概念和区分中心投影和平行投影的区别；
教学难点：在投影面上画出平面图形的中心投影。
教学过程：
一、创设情景
投影出示：手影戏
二、归纳、应用新知
1、像皮影戏与手影戏这样由同一点的投射线所形成的投影叫做中心投影。
2、由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别。如图4-14，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A‘B’把线段AB放大了，且AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.又如图4-15，当△ABC所在的平面与投影面平行时， △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大了，从△ABC到△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换。
3、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
平行投影与中心投影的区别与联系
区别 联系
光线 物体与投影面平行时的投影
平行投影 平行的投射线 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影)
中心投影 从一点出发的投射线 放大(位似变换)
4、应用新知：（1）例2 图4-16的两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心投影？并说明理由。
解：分别连结标杆的顶端与投影上的对应点(图4-17).很明显，图(1)的投射线互相平行，是平行投影.图(2)的投射线相交于一点，是中心投影。
（2）练习：课本第78页第1、2题
（3）例3 ： 图4-18是两棵小树在路灯下的影子.请画出形成树影的光线，确定光源的位置.
解： 如图4-19，连结CB，FE，并延长相交于点O，则OC，OF就是形成树影的光线，点O就是光源所在的位置。
（4）练习：课本作业题第2、3、4 题。其中第4题要利用三角形相似知识有一定难度，要适当点拨。
三、小结：
1、由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影；
2、区别中心投影和平行投影关键在于投影线是否相交，若投射线相交于一点，则是中心投影，否则就是平行投影。
四、作业
见作业本
4.3简单物体的三视图（1）
教学目标：
1、了解正投影和简单立体图形的三视图的概念；
2、经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图；
3、培养动手实践能力，发展空间想象能力。
教学重点：简单立体图形的三视图的概念和画法
教学难点：简单立体图形的三视图的画法
教学过程：
一、创设情境，引入新课
“蒙古包”是蒙古族牧民住房的称呼。“包”，满语是“家”、“屋”的意思。蒙古族作为我国古老的游牧民族之一，他们的生活习性带有浓厚的游牧色彩。自古以来，这个生活在广阔的草原上，逐水草而居，以放牧牛羊为生的民族，大部分都从事着草原畜牧业。由于需要频繁地搬家，住房就必须是能够随意移动的活动房，古代又称这种活动房为“穹庐”、“毡帐”等，俗称“毡房”、“帐房”等。
如图所示的蒙古包的上部是圆锥，下部是圆柱体，你能画出它的三视图吗？
三视图与投影有什么关系？
指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
二、合作学习，探究新知
1、合作学习
这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如不能，那么还需哪些投影面？
物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。
2、如图4-21，直三棱柱的正面方向的正投影是一个和矩形A1ACC1全等的矩形，这个矩形上、下两条边中点的连线，表示侧棱BB1的正投影；从左到右在侧投影面上的正投影也是一个矩形，它的一组对边等于直三棱柱的高，另一组对边等于直三棱柱底面三角形AC边上的高。
（1）你能试着画出它的三视图吗？
（2）如图4-21，这个直三棱柱的正面方向的正投影是什么形状？大小如何？你能描述一下吗？
（3）从左到右在侧投影面上的正投影是什么形状？大小如何？你能描述一下吗？
（4）分别转动水平和侧面的两个投影面，使三个正投影处于同一平面(如图4-22)，就是我们所熟悉的三视图.
通过以上的学习，你有什么发现？
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图
三、应用新知
1、完成课本做一做
2、例1 一个圆锥如图4-23，底面直径为8㎝，高6㎝，画出它的三视图(比例为1：4)
分析：这个圆锥在正面的正投影是一个底边长为8㎝，高6㎝的等腰三角形；在水平面上的正投影是直径为8㎝的圆；在侧面上的正投影与正面上的正投影相同.
3、练习：课本第82页口答课内练习第1、2，作业题第2、3题和第4、5题（指名两学生板演）
四、小结
1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。
2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。
五、作业：见作业本
简单物体的视图（2）
教学目标：
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2、经历探索简单的组合几何体的三视图的画法，进一步发展空间想象能力。
教学重点与难点：根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型
教学过程：
一、复习引入
说一说：直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图
做一做：画出下列几何体的三视图
讲一讲：你知道正投影与三视图的关系
二、新课学习
例1 一个蒙古包如图所示,它上部的圆锥部分和下部的圆柱部分的高都是2m,底面直径为3m,请以1:200的比例画出它的三视图.
例2 一个六角螺帽的毛坯如图,底面正六边形的边长为250mm,高为 200mm,内孔直径为200mm.请画出六角螺帽毛坯的三视图.
3、课本的练习和作业题
三、小结：
1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看。
2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。
3、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。
四、作业
见作业本。
第四章投影与三视图 复习
教学目标：
1、通过复习系统掌握本章知识，
2、体验数学来源于实践，又作用于实践。
3、提高解决问题分析问题的能力。
4、培养空间想象能力。
教学重点：投影和三视图
教学难点：画三视图
教学过程：
一、以提问形式小结本章知识
1、本章知识结构框架：
2、填空：
（1）人在观察目标时，从眼睛到目标的 叫做视线。 所在的位置叫做视点，有公共 的两条 所成的角叫做视角。
视线不能到达的区域叫做 。
（2）物体在光线的照射下，在某个 内形成的影子叫做 ，这时光线叫做 ，投影所在的 叫做投影面。
由 的投射线所形成的投影叫做平行投影。
由 的投射线所形成的投影叫做中心投影。
（3）在平行投影中，如果投射线 垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
（4）物体的三视图是物体在三个不同方向的 。
上的正投影就是主视图，水平面上的正投影就是 ， 上的正投影就是左视图。
二、例题讲解
例1、（１）在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短
C、小明和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长
分析：阳光是平行光线，出现平行投影。路灯是点光源，是中心投影，形成的影子是不一样的
例2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。
分析：从俯视图上看，该立体图形是个对称图形，从主视图、左视图上看，正面和左面都是等腰三角形，因此我们可以想象，该立体图形是正四棱锥。
例3、A、B 表示教室门口，张丽在教室内，王明、钱勇、李杰三同学在教室外，位置如图所示，张丽能看得见三位同学吗？请说明理由。
分析：画出最大视野也就是最大视角，就能确定盲区。
例４、如图，小王、小李及一根电线杆在灯光下的影子。
（１）确定光源的位置；
（２）在图中画出表示电线杆高度的线段。
分析：由条件易知，本题属于中心投影问题，根据中心投影的特点，物体与影子对应点的连线必须经过光源，因此我们可以利用两线的交点来求光源的位置。
例５、如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的几何体的主视图和俯视图。
（１）请你画出这个几何体的一种左视图；
（２）若组成这个几何体的小正方体的块数为ｎ，请你写出ｎ的所有可能值。
分析：左视图为侧视图，由于几何体只知道主视图和俯视图，那么左视图就不是唯一的，而主视图表示几何体共有三层，所以侧视图有多种可能，俯视图只看见５个小正方体，这５个正方体可分布在１、２、３层。
三、课外作业：见课本第８６页的目标与评定。
sin
cos
tan
Sin-1
cos-1
tan-1
shift
∴∠ACD≈27.50 .
A
B
120°
120°
h
L
a
3
A
B
C
a
b
C
A
B
120°
72°