中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.1 锐角三角函数
模块1：学习目标
1.理解锐角正弦、余弦和正切概念的意义，并会求锐角的正弦值、余弦值和正切值。
2.经历锐角正弦、余弦和正切概念探索的过程，培养学生观察分析、类比归纳的能力。
2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
模块2：知识梳理
1、锐角三角函数的概念：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
同理；；．
注意：（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
（2）sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
2、特殊角的三角函数值：利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值：
三角函数\锐角 30° 45° 60°
sin
cos
tan 1
模块3：核心考点与典例
考点1、三角形函数的概念辨析
例1．（22·23上·哈尔滨·专题练习）在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍
C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小
【答案】C
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．
【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角的三角函数值不变．故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．
变式1.（22·23·浙江·专题练习）在中，如果各边长度均扩大3倍，则锐角A的正切值（ ）
A．不变化 B．扩大两倍 C．缩小一半 D．以上都不对
【答案】A
【分析】锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正切值为对边和邻边的比值．一个角的锐角三角函数值只和角的大小有关，与角的边的长短无关．
【详解】∵锐角的正切值为对边和邻边的比值，
∴各边长度都扩大倍，锐角的正切值不变. 故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， ， ，．
变式2．（23·24上·邢台·期中）把三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据正弦值的定义即可得．
【详解】解：如图，在中，，则，
所以把三边的长度都扩大为原来的3倍，，
即锐角的正弦值不变，故选：A．
【点睛】本题考查了正弦，熟记正弦值的计算方法是解题关键．
考点2、锐角三角函数
例1．（22·23下·红桥·阶段练习）如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义计算判断即可．
【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意；
B、由，故该项错误，不符合题意；
C、由，故该项错误，不符合题意；
D、由，故该项正确，符合题意；故选D．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键．
变式1.（22·23下·杭州·期中）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可．
【详解】解：如图，∴ 故选C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．
变式2.（22·23下·济南·开学考试）如图，在中，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵在中，，，∴，故A错误，不符合题意，
，故B错误，不符合题意，，故C错误，不符合题意，
，故D正确，符合题意，故选D．
【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．
变式3．（22·23·浙江·专题练习）在中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】解：在中，，
，，，故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．
考点3、求角的三角函数值
例1．（22·23上·崇左·期末）已知在中，，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由勾股定理求出，然后根据锐角三角函数定义判断即可．
【详解】解：在中，，
，
，，，故选:A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握勾股定理，锐角三角函数是解本题的关键．
变式1．（23·24上·普陀·期中）在中，，那么的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，∴．故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．
变式2．（23·24上·大庆·期中）在中，已知，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判定三角形为直角三角形，再根据锐角三角函数的定义，分别求得、、、的值，即可判断．
【详解】解：在中，∵，，，
∴三角形为直角三角形，其中是直角．
∴，，，，故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，利用边长判断三角形是直角三角形和直角顶点是解题的关键．
考点4、已知某个三角函数值求其他函数值
例1．（22·23下·泉州·一模）在中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值．
【详解】解：如图，中，，，
，设，，由勾股定理得：，
，故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
变式1.（22·23下·浙江·期中）在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数的概念可知，设，则，再由勾股定理求出，再根据锐角三角函数的概念求出．
【详解】解：∵在中，，∴，设：，则，
∴由勾股定理得，∴，故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的概念是解答本题的关键．
变式2.（23·24上·杨浦·期中）在中，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，∴可设， ∴，
A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；故选：D
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
考点5、已知角的正弦值求边
例1．（22·23下·哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数定义，得出，然后把代入，求出的长，再根据勾股定理，计算即可得出的长．
【详解】解：如图，
∵，，∴，∴，
∴．故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握锐角三角函数定义．
变式1．（22·23上·大庆·开学考试）在中，，斜边上的中线，，则（ ）
A．18 B． C． D．没有正确答案
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出，再根据三角形正弦的定义求出，根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：在中，，斜边上的中线，，
，，，
， 故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
变式2．（22·23上·泉州·期中）在中，，，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】利用正弦的定义求值即可．
【详解】在直角中，，即，解得：．故选：A．
【点睛】本题主要考查了正弦的定义，理解正弦的定义是解题的关键．
考点6、已知角的余弦值求边
例1．（23·24上·哈尔滨·期中）在中，，，，则的长为（ ）
A．10 B．24 C．5 D．12
【答案】A
【分析】根据余弦的定义可得，将代入即可求得的长，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，在中，
，，，故选：A．
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在中， ，也考查了勾股定理．
变式1．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）已知：中，，，，则的长是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】根据余弦的定义可得，再代入数据可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，∴，故选C
【点睛】本题考查的是已知锐角的余弦求解边长，熟记三角函数的定义是解本题的关键．
变式2.（23·24上·闵行·期中）在中，，，如果，那么 ．
【答案】
【分析】根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查余弦定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键．
考点7、已知角的正切值求边
例1．（22·23上·青浦·期中）在中，，如果，，那么________．
【答案】8
【分析】根据正切函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，
在中，，所以，
因为，所以，故答案为：8．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义．
变式2．（23·24上·泉州·阶段练习）如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于 ．
【答案】
【分析】点G为的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长交于点D，利用中线的定义求出，利用正切的定义求出，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：延长交于点D，
∵点G为的重心，∴是中线，∴，
∵∴，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了重心概念、正切的定义以及勾股定理等知识，根据重心概念添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．
变式2．（22·23上·哈尔滨·阶段练习）在中，，若，，则 ．
【答案】
【分析】先证明，再利用勾股定理求解a即可．
【详解】解：如图，，，，
∴，，，∴，
由，则，解得：；故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记三角函数的定义与勾股定理是解本题的关键．
考点8、求特殊角的三角函数值及其混合运算
例1．（22·23上·泰安·阶段练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值结合二次根式的性质化简，进而得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
变式1．（22·23上·常州·期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】根据特殊角的三角函数值进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算，解此题的关键在于熟记各个特殊角的三角函数值．
变式2．（23·24上·东营·阶段练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)3 (2)
【分析】（1）先算开方，三角函数值，零指数幂和绝对值，再算乘法，最后计算加减法；
（2）将特殊角的三角函数值代入，再计算．
【详解】（1）解：
；
（2）
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值，特殊三角函数值等考点的运算．
考点9、根据特殊角的三角函数值求角度
例1．（23·24上·聊城·阶段练习）在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知，，解得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，∴，，
解得，，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
变式1.（22·23上·哈尔滨·开学考试）若，则锐角（ ）
A．30° B．15° C．45° D．60°
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得出结果．
【详解】解：∵，，∴；故选A．
【点睛】本题考查根据锐角三角函数值求角的度数．牢记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
变式2.（23·24上·浦东新·期中）如果锐角的正切值为，那么锐角为 度
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
【详解】解：因为锐角的正切值为，即，
所以锐角为度，故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
变式3.（22·23上·哈尔滨·专题练习），则 ．
【答案】30
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：，，故答案为：30．
【点睛】本题考查了由三角函数值求锐角，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
考点10、根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状
例1．（22·23上·沈阳·期末）在中，都是锐角，且，，则是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值，求出的度数，利用三角形内角和定理，求出的度数，即可得出结论．
【详解】解：∵，，∴，
∴，∴是等边三角形．故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
变式1．（22·23上·吕梁·期末）在中，若，，，都是锐角，则是 三角形．
【答案】等边
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案．
【详解】解：在中，，，且，都是锐角，
，，是等边三角形．故答案为：等边．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记住特殊角的三角函数是解题关键．
变式2．（22·23上·漯河·期末）在中，若，，都是锐角，则是 三角形．
【答案】等腰
【分析】根据绝对值和平方的非负性可得，，，求得，，即可求解．
【详解】解：由可得，
即，，解得，，则
则为等腰三角形，故答案为：等腰
【点睛】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（22·23下·武汉·期中）在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三角函数值（ ）
A．都扩大 1 倍 B．都没有变化 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定
【答案】B
【分析】在直角三角形中，锐角三角函数值即为边的比值；根据锐角三角函数值的概念进行分析即可得到答案．
【详解】解：根据锐角三角函数的概念，知：如果各边都扩大 1 倍，即各边都变为原来的2倍，边长比不变，则其锐角的三角函数值不变．故选：B．
【点睛】此题考查的是锐角三角函数的概念，掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边长无关是解决此题关键．
2．（22·23上·西安·阶段练习）在中，为最大角，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，画出图形，根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：依题意，，如图所示，
，故A选项错误，，故B选项正确，，故C选项错误，
，故D选项错误，故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
3．（23·24上·泉州·期中）若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数（a，b，c是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系及特殊角的三角函数值．二次函数的图象与轴只有一个公共点，则，据此即可求得．
【详解】解：∵，，，根据题意得：，
解得：，锐角等于，故选：D．
4．（22·23上·聊城·期中）在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据正弦函数的定义和余弦函数的定义，即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵，∴，故选A．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记锐角的正弦与余弦的定义是解题的关键．
5．（22·23·浙江·专题练习）在中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】解：在中，，
，，，故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．
6．（22·23下·湖北·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；
【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，
A．=cosA，不符合题意；B．=tanA，不符合题意；
C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意；D．=sin∠DBC=sinA，符合题意；故选： D．
【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．
7．（22·23下·杭州·一模）在△ABC中，∠C＝90°，，则（ ）
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝
【答案】D
【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．
【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，则cosA＝＝，故A错误；
sinB＝＝，故B错误；tanA＝，故C错误；
tanB＝＝，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．
8．（23·24上·西安·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，得到，再利用勾股定理求出，的长，即可求出最后结果．
【详解】解：如图，连接，则
，，，故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，利用勾股定理求出边长是解答本题的关键．
9．（23·24上·大庆·阶段练习）如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可求得，再由余弦定义即可求得结果．
【详解】解：∵D 、E分别是边的中点，，∴，，
∴，∴，
在中，，∴；故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，余弦函数，掌握这些知识是关键．
10．（23·24上·潍坊·阶段练习）如图，菱形的周长为，垂足为，则下列结论不正确的有（ ）
A． B． C．菱形面积为 D．
【答案】C
【分析】根据菱形性质可得 ，结合即可求出、即可判断ABC，再根据勾股定理即可判断D．
【详解】解：由题意可得，
∵菱形的周长为，∴，
∵，∴，故选项A正确；
∴ ，∴，故选项B正确
∴菱形的面积为，故选项C错误；
∴，故选项D正确，故选：C．
【点睛】本题考查菱形性质，正弦函数的应用及勾股定理，解题的关键是先根据菱形性质求出边长，再根据三角函数求出相应边，最后根据勾股定理计算．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23·24上·潍坊·阶段练习） ．
【答案】/
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的是三角函数值，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，特殊角的是三角函数值，零指数幂是解题的关键．
12．（23·24上·威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ．
【答案】钝角三角形
【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵，∴，
∴，∴，∴，
∴的形状是钝角三角形；故答案为钝角三角形．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．
13．（22·23上·哈尔滨·开学考试）在等腰中， ，，则 等于 ．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论：当，，作于D点，当，，作于D点，根据等腰三角形的性质与余弦的定义求解．
【详解】B
解：如图，当，，作于D点，∴，
在中，．如图，当，，作于D点，
∴，∴；故答案为：或．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比．也考查了等腰三角形的性质．
14．（22·23上·烟台·期中）如图，在中，，点在上，，，则的值是 ．
【答案】/
【分析】先由，，得到，再由勾股定理求出，即可求出的值．
【详解】解：，，，，
由勾股定理得：，，故答案为：．
【点睛】考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记三角函数的定义及勾股定理是解题关键．
15．（23·24上·邢台·阶段练习）在中，，，，则 ， ．
【答案】 / /
【分析】利用勾股定理和余弦、正切定义求解即可．
【详解】解：如图，∵，，，
∴，∴，．故答案为：①，②．
【点睛】本题考查了勾股定理、余弦以及正切的定义，正确求解是解答的关键．
16．（22·23上·常州·期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则 ．
【答案】/0.5
【分析】根据折叠的性质可得，，，设，用勾股定理解，再利用正切函数的定义求解．
【详解】解：中，，，
由折叠的性质可得，，，．
设，则，
在中，，，解得，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查正切函数，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．
17．（22·23上·永州·阶段练习）如图，在矩形，E是对角线上一点，，若，，则矩形的周长为 ．
【答案】17
【分析】根据矩形的性质可得，从而得到，可设，从而得到x的值，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，
∴，∴，
∵，∴，可设，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴矩形的周长为．故答案为：17
【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握锐角三角函数，矩形的性质是解题的关键．
18．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，在中，D是的中点，平分，且，，，则 ．
【答案】
【分析】过点作于点G，根据角平分线的性质得：，利用平行线的性质及三角函数正切值得，进而得，在中，根据，得，利用勾股定理得，，利用相似三角形的判定及性质得，再利用相似三角形的判定及性质可得，，进而得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点G，如图：
平分，，，，，
，D是中点，，，
，，
，，，
在中，，，，，
根据勾股定理，得，
，，，即：，，
，，，
，，，
在中，根据勾股定理得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理及锐角三角形函数正切值，熟练掌握相似三角形的判定及性质及勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23·24上·威海·阶段练习）计算
【答案】
【分析】根据特殊三角函数值及负指数幂可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查二次根式的运算、负指数幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键．
20．（22·23上·阳泉·期末）在锐角中，和满足的关系式为求的度数．
【答案】的度数是
【分析】根据非负数的性质得出，，求出和，进一步可以求出的度数．
【详解】解：，，，
，，，，
，即的度数是．
【点睛】本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值．
21．（22·23上·邢台·期中）如图所示，在中，，，且，求：
(1)的值；(2)的周长及面积．
【答案】(1)(2)；
【分析】（1）根据锐角三角形函数的定义求得，根据勾股定理求得，根据锐角三角形函数的定义即可求解；（2）结合（1）中结论即可求解．
【详解】（1）解：∵，，∴，∴，
∴，∴．
（2）解：的周长，．
【点睛】本题考查锐角三角形函数，勾股定理，三角形的面积公式等，熟练掌握以上知识是解题关键．
22．（22·23下·哈尔滨·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形的边长均为1，线段，线段的端点均在小正方形的定点上．(1)在图中画出以为直角边的等腰直角，顶点在小正方形的顶点上；(2)在（1）的条件下，在图中以为边画直角，点在小正方形的顶点上，使，且的面积为6；(3)连接，直接写出的正切值；
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据条件画出，使得，即可；（2）根据条件画出，使得，，即可；（3）根据求解即可．
【详解】（1）解：以为直角边的等腰直角，如图所示，
（2）解：以为边画直角，如图所示，
， 的面积为：；
（3）解：连接，如图，
∴，， ∵，
∴，∴；
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理，三角形的面积、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（22·23下·长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图．要求：(1)在图①中画，使得．(2)在图②中画，使得．
(3)在图③中画，使得．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）如图，取格点C，根据勾股定理可求出，，则，即说明，且，即即为所作；（2）如图，取中点E，结合（1）可求，则，即即为所作；（3）如图，取格点P、Q，连接，交于点E．由图可知，且，，则，从而得出，结合（1）可得出，即说明即为所作；
【详解】（1）如图，即为所作；
（2）如图，即为所作；（3）如图，即为所作；
【点睛】本题考查作图—无刻度直尺作图，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数．利用数形结合的思想是解题关键．
24．（22·23下·长春·期中）如图，在矩形中，连结，延长到点，使，过点作的平行线与的延长线交于点．(1)求证：四边形是菱形；
(2)连结，若，则的值为________．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据进行的性质得出，进而得出四边形是平行四边形．根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证；（2）根据，在中，设，则，根据菱形的性质得出，，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：在矩形中，，即，
又，四边形是平行四边形．又四边形是菱形．
（2）解：如图所示，
连接交与点，∵四边形是菱形，∴
∵，在中，设，则，则，
∵四边形是菱形，∴，，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，求正切，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．（22·23上·海口·期末）如图1，点M，N分别是正方形的边、的中点，连接、．(1)求证：①；②；(2)将沿翻折得到，延长交的延长线于点E，如图2，求证：是等腰三角形；(3)在（2）的条件下，求．
【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）①利用证明即可．
②根据性质，结合互余的性质证明即可．
（2）根据折叠的性质，得到；根据正方形性质，，
继而得到，根据等角对等边证明即可．
（3）设，则，设，则，继而得到，运用勾股定理，正切定义计算即可．
【详解】（1）证明：①∵正方形，点M，N分别是正方形的边、的中点，
∴，
∵，∴，∴．
②∵，∴，，
∴，∴，∴．
（2）∵沿翻折得到，延长交的延长线于点E，∴；
∵正方形，∴，∴，
∴，∴，∴是等腰三角形．
（3）∵正方形，点M是正方形的边的中点，
∴，
∵沿翻折得到，延长交的延长线于点E，
∴；，，
∵正方形，∴，∴，∴，∴，
设，则，设，则，
∴，∴，解得，∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，正切函数，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，勾股定理和正切函数是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.1 锐角三角函数
模块1：学习目标
1.理解锐角正弦、余弦和正切概念的意义，并会求锐角的正弦值、余弦值和正切值。
2.经历锐角正弦、余弦和正切概念探索的过程，培养学生观察分析、类比归纳的能力。
2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
模块2：知识梳理
1、锐角三角函数的概念：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
同理；；．
注意：（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
（2）sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
2、特殊角的三角函数值：利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值：
三角函数\锐角 30° 45° 60°
sin
cos
tan 1
模块3：核心考点与典例
考点1、三角形函数的概念辨析
例1．（22·23上·哈尔滨·专题练习）在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍
C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小
变式1.（22·23·浙江·专题练习）在中，如果各边长度均扩大3倍，则锐角A的正切值（ ）
A．不变化 B．扩大两倍 C．缩小一半 D．以上都不对
变式2．（23·24上·邢台·期中）把三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
考点2、锐角三角函数
例1．（22·23下·红桥·阶段练习）如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（22·23下·杭州·期中）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（22·23下·济南·开学考试）如图，在中，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（22·23·浙江·专题练习）在中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
考点3、求角的三角函数值
例1．（22·23上·崇左·期末）已知在中，，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23·24上·普陀·期中）在中，，那么的值是（ ）
A．2 B． C． D．
变式2．（23·24上·大庆·期中）在中，已知，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点4、已知某个三角函数值求其他函数值
例1．（22·23下·泉州·一模）在中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（22·23下·浙江·期中）在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式2.（23·24上·杨浦·期中）在中，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点5、已知角的正弦值求边
例1．（22·23下·哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C．4 D．5
变式1．（22·23上·大庆·开学考试）在中，，斜边上的中线，，则（ ）
A．18 B． C． D．没有正确答案
变式2．（22·23上·泉州·期中）在中，，，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
考点6、已知角的余弦值求边
例1．（23·24上·哈尔滨·期中）在中，，，，则的长为（ ）
A．10 B．24 C．5 D．12
变式1．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）已知：中，，，，则的长是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
变式2.（23·24上·闵行·期中）在中，，，如果，那么 ．
考点7、已知角的正切值求边
例1．（22·23上·青浦·期中）在中，，如果，，那么________．
变式2．（23·24上·泉州·阶段练习）如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于 ．
变式2．（22·23上·哈尔滨·阶段练习）在中，，若，，则 ．
考点8、求特殊角的三角函数值及其混合运算
例1．（22·23上·泰安·阶段练习）计算：
(1) (2)
变式1．（22·23上·常州·期末）计算：
(1) (2)
变式2．（23·24上·东营·阶段练习）计算：
(1)； (2)．
考点9、根据特殊角的三角函数值求角度
例1．（23·24上·聊城·阶段练习）在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（22·23上·哈尔滨·开学考试）若，则锐角（ ）
A．30° B．15° C．45° D．60°
变式2.（23·24上·浦东新·期中）如果锐角的正切值为，那么锐角为 度
变式3.（22·23上·哈尔滨·专题练习），则 ．
考点10、根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状
例1．（22·23上·沈阳·期末）在中，都是锐角，且，，则是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
变式1．（22·23上·吕梁·期末）在中，若，，，都是锐角，则是 三角形．
变式2．（22·23上·漯河·期末）在中，若，，都是锐角，则是 三角形．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（22·23下·武汉·期中）在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三角函数值（ ）
A．都扩大 1 倍 B．都没有变化 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定
2．（22·23上·西安·阶段练习）在中，为最大角，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23·24上·泉州·期中）若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．
4．（22·23上·聊城·期中）在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（22·23·浙江·专题练习）在中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（22·23下·湖北·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（ ）．
A． B． C． D．
7．（22·23下·杭州·一模）在△ABC中，∠C＝90°，，则（ ）
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝
8．（23·24上·西安·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（23·24上·大庆·阶段练习）如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
10．（23·24上·潍坊·阶段练习）如图，菱形的周长为，垂足为，则下列结论不正确的有（ ）
A． B． C．菱形面积为 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23·24上·潍坊·阶段练习） ．
12．（23·24上·威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ．
13．（22·23上·哈尔滨·开学考试）在等腰中， ，，则 等于 ．
14．（22·23上·烟台·期中）如图，在中，，点在上，，，则的值是 ．
15．（23·24上·邢台·阶段练习）在中，，，，则 ， ．
16．（22·23上·常州·期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则 ．
17．（22·23上·永州·阶段练习）如图，在矩形，E是对角线上一点，，若，，则矩形的周长为 ．
18．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，在中，D是的中点，平分，且，，，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23·24上·威海·阶段练习）计算
20．（22·23上·阳泉·期末）在锐角中，和满足的关系式为求的度数．
21．（22·23上·邢台·期中）如图所示，在中，，，且，求：
(1)的值；(2)的周长及面积．
22．（22·23下·哈尔滨·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形的边长均为1，线段，线段的端点均在小正方形的定点上．(1)在图中画出以为直角边的等腰直角，顶点在小正方形的顶点上；(2)在（1）的条件下，在图中以为边画直角，点在小正方形的顶点上，使，且的面积为6；(3)连接，直接写出的正切值；
23．（22·23下·长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图．要求：(1)在图①中画，使得．(2)在图②中画，使得．
(3)在图③中画，使得．
24．（22·23下·长春·期中）如图，在矩形中，连结，延长到点，使，过点作的平行线与的延长线交于点．(1)求证：四边形是菱形；
(2)连结，若，则的值为________．
25．（22·23上·海口·期末）如图1，点M，N分别是正方形的边、的中点，连接、．(1)求证：①；②；(2)将沿翻折得到，延长交的延长线于点E，如图2，求证：是等腰三角形；(3)在（2）的条件下，求．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
