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专题1.2 锐角三角函数的计算
模块1：学习目标
1．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
2．初步掌握用计算器求三角函数值的方法；
3．熟练运用计算器求三角函数值解决实际问题．
模块2：知识梳理
1.锐角三角函数之间的关系：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）互余关系：若∠A与∠B互余，，；（2）平方关系：；
（3）倒数关系：若∠A与∠B互余，；（4）商数关系：。
注意：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
2.锐角三角函数的增减性及取值范围
（1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ；
（2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ；
（3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 .
（4）锐角三角函数的取值范围：0＜＜1，0＜＜1，＞0
模块3：核心考点与典例
考点1、用计算器求锐角三角函数值
例1．（22·23下·烟台·二模）运用我们课本上采用的计算器进行计算时，下列说法不正确的是（ ）
A．计算的按键顺序依次为
B．要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键是
C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键
D．用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是0.5
【答案】D
【分析】根据计算器的使用方法依次判断各个选项即可．
【详解】解：A选项，计算的按键顺序正确，本选项不符合题意；
B选项，要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键正确，本选项不符合题意，
C选项，启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键，说法正确，本选项不符合题意，
D选项，用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是，不是，原说法错误，本选项符合题意，故选：D．
【点睛】本题主要考查计算器的基础知识，熟练掌握计算器的使用是解题的关键．
变式1.（2022下·浙江·专题练习）右图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据计算器求锐角三角函数值的步骤进行判断即可．
【详解】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：故选：A．
【点睛】本题考查了用计算器求锐角三角函数值，解题的关键在于熟练掌握计算器的应用．
变式2.（22·23上·烟台·期末）已知，运用科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据用计算器求锐角的方法和步骤，即可得出结论．
【详解】解：科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是“”，故选：C．
【点睛】本题主要考查了用计算器求三角函数，解题的关键是熟练利用计算器．
变式3.（22·23下·烟台·一模）下列关于运用计算器的说法不正确的是（ ）．
A．用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键
B．要启动计算器的统计计算功能应按的键是
C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键
D．用计算器计算时，依次按键显示结果是0.5
【答案】D
【分析】根据计算器基础知识， 作用是某个键的功能即时转换为上方标注的功能；作用是启动计算器的统计计算功能；作用是将显示屏所显示的数字全部清除；用计算器计算锐角的三角函数值，即可判断选项正误，从而得到符合题意的选项．
【详解】解：A选项，用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键，说法正确，不符合题意；
B选项，要启动计算器的统计计算功能应按的键是，说法正确，不符合题意；
C选项，启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键，说法正确，不符合题意；D选项，用计算器计算时，依次按键显示结果是0.866025403，不是0.5，说法错误，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查计算器的基础知识，用计算器求锐角的三角函数值．熟练掌握计算器的功能键及掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
考点2、已知角度比较三角函数值的大小
例1．（22·23上·滁州·阶段练习）比较大小： （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】利用正切的增减性解答．
【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数值大小的比较，掌握相关知识是解题关键．
变式1．（22·23下·郴州·开学考试）比较大小： ．（填“”，“”，或“”）
【答案】
【分析】可以根据“正弦函数值与正切函数值都是随着锐角的增大而增大”，进行填空即可．
【详解】解：由“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”可知，，故答案为：．
【点睛】此题考查了锐角三角函数，正弦函数值，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键．
变式2．（22·23下·安徽·专题练习）比较大小： （填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】根据即可求解．
【详解】解：∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
也考查了不等式的传递性．
变式3．（22·23下·浙江·期中）比较三角函数值的大小： ．
【答案】
【分析】根据余弦值是随着角的增大而减小这一规律即可解答．
【详解】解：∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，掌握余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）是解答本题的关键．
考点3、根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
例1．（23·24上·大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案
【详解】解：，，由可得，
在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，，故选：D．
【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键．
变式1．（22·23下·浙江·期中）若锐角满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊角的三角函数值得到，然后利用锐角的余弦值随着角度的增大而减小求解．
【详解】解：，而，，，
锐角的取值范围为：．故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．也考查了特殊角的三角函数值．
变式2．（22·23上·无锡·期中）已知为锐角，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，即可得到正确选项．
【详解】解：∵，，∴ ．故选：D
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的增减性知识；判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间是解决本题的关键．
变式3．（22·23下·浙江·专题练习）若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【答案】A
【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°的正弦值可求出.
【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，∴0°＜∠A＜30°，故选：A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．
考点4、互余两角的三角函数关系
例1．（22·23上·南阳·期末）在中，，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据得出，代入即可．
【详解】解：如下图，
∵，又∵，∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，解题关键是掌握互余两角三角函数的关系，即已知，能推出，，，．
变式1．（23·24上·沈阳·阶段练习）在中，，，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据各个三角函数的定义即可解答．
【详解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合题意；
B、，∴，故B成立，符合题意；
C、，∴，故C不成立，不符合题意；
D、，∴，故D不成立，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法．
变式2．（22·23下·成都·一模）已知，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据的正弦值和余弦值都是的的值，因此值相等．
【详解】∴故选：D
【点睛】此题考查锐角三角形函数值，解题关键是分清锐角三角函数中的对边，邻边和斜边分别是哪条边．
变式3．（22·23上·蚌埠·阶段练习）若锐角A满足，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的关系即可求解．
【详解】解：∵，，∴，故选：B．
【点睛】本题考查同角三角函数的关系，掌握“一个角的正弦值等于它的余角的余弦值”是解题的关键．
考点5、利用同角三角函数关系相关计算
例1．（22·23上·聊城·开学考试）在中，，，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用同角三角恒等式计算出，然后根据求解．
【详解】解：∵，∴，
∴，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：熟练掌握同角三角函数之间的关系．
变式1．（22·23下·浙江·期中）在中，，下列式子不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可根据三角函数的定义解答；亦可运用互为余角的锐角三角函数关系式：tanA=cotB；sin2A+sin2B=1（∠A+∠B=90°）解答．
【详解】解：如图所示，
Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义，得
A、tanA==cotB．正确；
B、sin2A+cos2A=()2+()2==1．正确；
C、sin2A+sin2B=()2+()2==1．正确；
D、tanA cotB= ，只有当∠A=∠B=45°时，tanA cotB=1．错误．故选D．
【点睛】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值；
或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
变式2．（22·23下·浙江·期中）如果，那么 ．
【答案】/58度
【分析】根据互为余角的两个角的正切相乘等于1即可求解．
【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了互为余角的三角函数的关系，掌握“互为余角的两个角的正切相乘等于1”是解题的关键．
变式3．（22·23上·青浦·期中）已知，，则 ．（提示：）
【答案】/
【分析】应用互余两角三角函数的关系进行计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，，
，，，故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系进行求解是解决本题的关键．
考点6、利用同角三角函数关系证明
例1．（22·23下·浙江·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．
(1) ； ； ．
(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ；
(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(4)若，且，求的值．
【答案】(1)1，1，1(2)1(3)证明见解析(4)
【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案；（2）由（1）中运算结果即可得到答案；（3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证；
（4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
，故答案为：1，1，1；
（2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有，
故答案为：1；
（3）证明：在中，，，，的对边分别是，，，
由勾股定理即可得到，
，；
（4）解：，，
，，．
【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键．
变式1．（22·23下·福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保出作图痕迹，不写作法）．
（2）根据（1）中所画图形证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求；
（2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：，，
，，．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键．
变式2．（22·23下·保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有．
(1)当，时，验证是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系．
【答案】(1)成立，见解析(2)成立，见解析(3)
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
（2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，结论成立；
（2）解：成立．理由如下：
在中，，且，
∴，故结论成立；
（3）解：，理由如下：
在中，，，，
∴，∴．
【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（22·23下·威海·一模）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．
【详解】解：利用该型号计算器计算 ，按键顺序正确的是：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了计算器-三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．
2．（22·23上·烟台·期末）已知，运用科学计算器在开机状态下求锐角时，按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按键．
【详解】解：根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按键，故选：A．
【点睛】本题主要考查计算器按键的作用，解题关键是熟练掌握计算器功能键的作用．
3．（22·23下·浙江·期中）如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在直角三角形中，先根据与的关系找出所用的正弦三角函数，再利用科学计算器选项B按键顺序求角即可．
【详解】，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，
按键顺序为 故选：B．
【点睛】本题考查用科学计算器求角度问题，掌握三角函数解直角三角形的方法，根据与确定使用的三角函数是解题关键．
4．（22·23上·烟台·期中）已知，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】已知，一般先按键“2ndF”，再按键“tan”，输入“0.85”，再按键“=”即可得到结果．
【详解】解：已知，用计算器求锐角A的大小，按键顺序“2ndF”，“tan”，“0.85”，“=”．
故选：A
【点睛】本题主要考查计算器的使用，掌握计算器上三角函数的计算方法是解题的关键．
5．（22·23下·浙江·期中）若，则的正切值的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可．
【详解】解：∵，且一个角的正切值随角的增大而增大，
∴，∴．故选：D
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
6．（22·23上·哈尔滨·阶段练习）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦值随着角度的增大而增大，进行判断即可．
【详解】解：当时，，
∵为锐角，正弦值随着角度的增大而增大，∴；故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，以及锐角的正弦值随着角度的增大而增大，是解题的关键．
7．（22·23上·静安·期中）如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案．
【详解】解：∵，，，，，，而，
∴，∴，∴，故选：A．
【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
8．（22·23上·南昌·期末）若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据互余两角三角函数关系：sinα=cos(90°-α)求解即可．
【详解】∵sinα=cos(90°-α)，∴=cos(20 +α)，
∵，∴α=50 -20 =30 ，故选：B．
【点睛】此题考查了互余两角三角函数关系，解题的关键是熟练掌握sinα=cos(90°-α)．
9．（22·23下·静安·一模）如果，那么与的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【详解】解：当时，，
，，；
当时，，，，；
当，，，，，
综上所述，与的差不能确定，故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．
10．（2022下·江苏·专题练习）已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据结合三角函数的增减性求解即可．
【详解】解：由，得，故①正确；
∵，，∴，∴，故②错误；
当时，，故③错误；
，故④正确；故选：B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的性质，记住特殊角的三角函数值和掌握锐角三角函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（22·23下·浙江·期中）同角三角函数关系： ；
【答案】1
【分析】根据三角函数值定义，结合图形，数形结合即可得到答案．
【详解】解，如图所示：
根据三角函数值定义：，
，
在中，，，故答案为：．
【点睛】根据三角函数值定义，作出图形，结合勾股定理数形结合是解决问题的关键．
12．（21·22上·益阳·期末）若，则= ．
【答案】
【分析】根据互余两锐角三角函数之间的关系进行判断即可．
【详解】解：故答案为：．
【点睛】本题考查互余两锐角三角函数之间的关系，理解“一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值”是正确判断的前提．
13．（22·23上·茂名·期末）比较大小： （填“”或“”）
【答案】
【分析】利用正切的增减性解答．
【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数值大小的比较，掌握相关知识是解题关键．
14．（23·24上·泉州·阶段练习）化简： ．
【答案】1
【分析】利用三角函数公式求得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故答案为：1．
【点睛】本题考查三角函数公式的运用，熟练掌握三角函数公式求得是解题的关键．
15．（22·23上·哈尔滨·开学考试）已知，是锐角，则 .
【答案】
【分析】根据求得的值，再根据求出即可．
【详解】解：，是锐角，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是掌握正弦函数、余弦函数、正切函数之间的关系．
16．（22·23下·恩施·模拟预测）因为，，以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知： ．
【答案】/
【分析】当为锐角时有．把代入计算即可．
【详解】解：，．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照一般地当为锐角时有去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．
17．（22·23上·杭州·期中）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号）
①；②；③当时，；④．
【答案】①③④
【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：①如图，在中，
∵，，∴，故①正确；
②若，则，，
∴∴，故②错误；
③当时，，∴越大，对边越大，且越接近斜边，∴越大，
∴当时，，故③正确；
④∵，，，∴，故④正确．故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
18．（22·23·娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
【答案】
【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可．
【详解】解：如图，在中，
∵，∴．
∵，∴．∵为锐角，∴．
∵ ∴
．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（21·22下·福州·模拟预测）求证：若为锐角，则．要求：
(1)如图，锐角和线段，用尺规作出一个以线段为直角边，为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）．(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求；（2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：，，
，，．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键．
20．（22·23下·浙江·周测）（1）计算：．
（2）已知为锐角，，求的值．
【答案】（1）6；（2）
【分析】（1）先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零次幂，再合并即可；
（2）先解方程，可得，再把化为，再代入求值即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴或，
解得：或，
∵为锐角，
∴，
∴
；
【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，特殊角的三角函数值的混合运算，同角的三角函数之间的关系，掌握以上知识是解本题的关键．
21．（22·23下·浙江·期中）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．
【答案】；，理由见解析
【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出．
【详解】存在的一般关系有：，，
证明：，，
，
，，，．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键．
22．（22·23下·浙江·单月考）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．（2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案；
（2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
∴；．
（2），．
∵，∴．
【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键．
23．（22·23下·浙江·期中）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：
如图1： ，如图2： ，如图3： ，
①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ；
②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；③已知：，且，求．
【答案】1，1，1①1②见解析③
【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；
①由上计算可想到在中，，都有；
②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明；
③利用关系式，结合已知条件，进行求解．
【详解】由图可知：
故答案为：1，1，1．
①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1．
②在中，
∵，∴
∵∴∴
③∵， ∴
【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键．
24．（22·23下·江苏·期中）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”）
若，则___________；若，则__________；若，则__________；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．
【答案】（1）见解析；（2）；；（3）=，＜，>；（4）
【分析】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点，有，．利用正弦公式求得；依据余弦公式得到；
（2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，即可得到答案；
（3）利用概念分别得到、、的正弦值和余弦值，比较即可得到答案；
（4）由，，利用（1）的结论解答即可．
【详解】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点，显然有：，．
∵，，，
而．∴．
在图（2）中，中，，
，，，
∵，∴．即．
（2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，
∴；
．
（3）∵，，∴若，则；
∵，，∴若，则；
∵，，∴若，则．故答案为：=，<，>；
（4）∵，，且，
∴．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法是解题的关键．
25．（22·23下·浙江·专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：
(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ；
(2)若角α的终边与直线重合，则的值；
(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；
(4)若，则的取值范围是 ．
【答案】(1)(2)或(3)(4)
【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可；
（2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可；
（3）由题意可得，然后依据定理列出关于x的方程，从而求出x的值，然后依据正切的定义求解即可；（4）依据三角形的三边关系可得，然后再得到，再求得的取值范围，即可求得结果．
【详解】（1）解：当时，，，，
，，，故答案为：．
（2）解：∵若角α的终边与直线重合，，，
当时，，
当时，，
的值为或．
（3）解：，点，且，
，（正值舍去），．
（4）解：，，，
，，
又，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质、三角函数的定义及完全平方公式，理解三角函数的定义是解题的关键．
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专题1.2 锐角三角函数的计算
模块1：学习目标
1．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
2．初步掌握用计算器求三角函数值的方法；
3．熟练运用计算器求三角函数值解决实际问题．
模块2：知识梳理
1.锐角三角函数之间的关系：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）互余关系：若∠A与∠B互余，，；（2）平方关系：；
（3）倒数关系：若∠A与∠B互余，；（4）商数关系：。
注意：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
2.锐角三角函数的增减性及取值范围
（1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ；
（2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ；
（3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 .
（4）锐角三角函数的取值范围：0＜＜1，0＜＜1，＞0
模块3：核心考点与典例
考点1、用计算器求锐角三角函数值
例1．（22·23下·烟台·二模）运用我们课本上采用的计算器进行计算时，下列说法不正确的是（ ）
A．计算的按键顺序依次为
B．要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键是
C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键
D．用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是0.5
变式1.（2022下·浙江·专题练习）右图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2.（22·23上·烟台·期末）已知，运用科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（22·23下·烟台·一模）下列关于运用计算器的说法不正确的是（ ）．
A．用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键
B．要启动计算器的统计计算功能应按的键是
C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键
D．用计算器计算时，依次按键显示结果是0.5
考点2、已知角度比较三角函数值的大小
例1．（22·23上·滁州·阶段练习）比较大小： （填“”“”或“”）．
变式1．（22·23下·郴州·开学考试）比较大小： ．（填“”，“”，或“”）
变式2．（22·23下·安徽·专题练习）比较大小： （填“”、“”或“”）．
变式3．（22·23下·浙江·期中）比较三角函数值的大小： ．
考点3、根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
例1．（23·24上·大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（22·23下·浙江·期中）若锐角满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（22·23上·无锡·期中）已知为锐角，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（22·23下·浙江·专题练习）若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
考点4、互余两角的三角函数关系
例1．（22·23上·南阳·期末）在中，，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23·24上·沈阳·阶段练习）在中，，，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（22·23下·成都·一模）已知，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（22·23上·蚌埠·阶段练习）若锐角A满足，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点5、利用同角三角函数关系相关计算
例1．（22·23上·聊城·开学考试）在中，，，则值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（22·23下·浙江·期中）在中，，下列式子不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（22·23下·浙江·期中）如果，那么 ．
变式3．（22·23上·青浦·期中）已知，，则 ．（提示：）
考点6、利用同角三角函数关系证明
例1．（22·23下·浙江·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．
(1) ； ； ．
(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ；
(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(4)若，且，求的值．
变式1．（22·23下·福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保出作图痕迹，不写作法）．
（2）根据（1）中所画图形证明．
变式2．（22·23下·保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
，，
，，
．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有．
(1)当，时，验证是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例；(3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（22·23下·威海·一模）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22·23上·烟台·期末）已知，运用科学计算器在开机状态下求锐角时，按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
3．（22·23下·浙江·期中）如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22·23上·烟台·期中）已知，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22·23下·浙江·期中）若，则的正切值的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（22·23上·哈尔滨·阶段练习）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（22·23上·静安·期中）如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（22·23上·南昌·期末）若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（22·23下·静安·一模）如果，那么与的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
10．（2022下·江苏·专题练习）已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（22·23下·浙江·期中）同角三角函数关系： ；
12．（21·22上·益阳·期末）若，则= ．
13．（22·23上·茂名·期末）比较大小： （填“”或“”）
14．（23·24上·泉州·阶段练习）化简： ．
15．（22·23上·哈尔滨·开学考试）已知，是锐角，则 .
16．（22·23下·恩施·模拟预测）因为，，以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知： ．
17．（22·23上·杭州·期中）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号）
①；②；③当时，；④．
18．（22·23·娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（21·22下·福州·模拟预测）求证：若为锐角，则．要求：
(1)如图，锐角和线段，用尺规作出一个以线段为直角边，为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）．(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
20．（22·23下·浙江·周测）（1）计算：．
（2）已知为锐角，，求的值．
21．（22·23下·浙江·期中）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．
22．（22·23下·浙江·单月考）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．（2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．
23．（22·23下·浙江·期中）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：
如图1： ，如图2： ，如图3： ，
①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ；
②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；③已知：，且，求．
24．（22·23下·江苏·期中）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”）
若，则___________；若，则__________；若，则__________；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．
25．（22·23下·浙江·专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：
(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ；
(2)若角α的终边与直线重合，则的值；
(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；
(4)若，则的取值范围是 ．
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