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专题1.3 解直角三角形
模块1：学习目标
1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；
2.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；
3.能够把实际问题转化为数学问题，能够进行三角函数的计算；
4.会将类似问题构造直角三角形，利用三角函数的知识解决问题。
模块2：知识梳理
1、解直角三角形的实际应用-大坝（坡度）问题
图1 图2 图3 图4
坡度(坡比)：如图1，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫坡比）。
用字母i表示，即，坡度一般写成1:m的形式，如。
坡角：如果把坡面与水平面的的夹角记为（叫做坡角），那么坡度i等于坡角的正切值，即。
2、解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题
如图2，视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.
3、解直角三角形应用-方位角问题
（1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图3中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°。
(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图4中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°。
4、锐角三角函数的应用的技巧与方法：
1）解直角三角形的方法：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。
2）对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：
（1）作垂线构成直角三角形；（2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。
模块3：核心考点与典例
考点1、构造直角三角形求图形的边长
例1．（2022下·浙江·专题练习）在中，，，，求的长．
【答案】
【分析】过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，∴，
∵，∴，
∵，∴，，
即，，∴，，
∵，∴，
∴，∴的长为．
【点睛】本题考查解非直角三角形．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
变式1．（23·24上·南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．
【详解】如下图，作于，
在中，，，，，
在中，，，，，故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
变式2．（22·23上·烟台·期中）如图，在中，，，，求的长．（，）
【答案】
【分析】过C作，交的延长线于点D．由题意易得，然后根据解直角三角形可进行求解．
【详解】解：过C作，交的延长线于点D．
∵，，∴，
在中，，，∴
在中，，∴
∴．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
考点2、构造直角三角形求不规则图形的面积
例1．（22·23下·浙江·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ．
【答案】
【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到．
【详解】解：过作，如图所示：
在中，，，，
在中，，，即，，
由勾股定理得；
，故答案为：，．
【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键．
变式1．（22·23上·哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的面积是 ．
【答案】
【分析】过作交于，再依次求出、、即可．
【详解】过作交于，
∵，，∴∴∴，
∵，∴，∴，∴，
∴的面积是，故答案为：．
【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是通过作垂直构造直角三角形．
变式2．（22·23上·宣城·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积．
【答案】
【分析】过点C作于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可．
【详解】解：如图，过点C作于点D．
在中，，，∴，∴．
在中，∵，∴，．
∴．∴．
【点睛】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．
考点3、解直角三角形-俯角仰角问题
例1．（22·23下·恩施·模拟预测）小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点处，小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点的仰角为，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点的仰角为．按照安全规定：此时塔吊的底部点距建筑物的底部点是．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为，但这个高度明显违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，）
【答案】塔吊的高度为：，塔吊没有违规操作.
【分析】如图，过作于，交于，则，，，，，，，可得，再分别求解，，，从而可得答案.
【详解】解：如图，过作于，交于，则，
∵，∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，，，，，
∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴，∴塔吊的高度为：，
而，∴塔吊没有违规操作.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线，理解仰角的含义是解本题关键．
变式1.（21·22下·咸宁·模拟预测）沈钰琴同学住在第三小学对面的金惠大厦，教学楼与金惠大厦的水平距离为，某日她在自己房间窗口P测得教学楼顶部A的俯角为，教学楼底部B的俯角为，则教学楼的高度为（ ）m
A．50 B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A向上作垂线，垂足为E，根据题意可求，，即可求解．
【详解】解：过点A向上作垂线，垂足为E，如图，
由题意得：，，，∴，，
∴，，∴，
∴教学楼的高度为：，故选：B．
【点睛】本题属于解直角三角形的问题，需将实际问题转化为数学问题分析解答．
变式2.（22·23上·泰安·阶段练习）如图，某人为了测量小山顶上的塔的高，他在山下的点处测得塔尖点的仰角为，再沿方向前进到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，求塔的高度．（结果保留根号）
【答案】塔的高度约为
【分析】根据，可得，列出方程求出的值，然后即可求出塔的高度．
【详解】解：由题知，，，，
设，，
，，由题知，，
，解得：，，
，答：塔的高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
变式3.（22·23下·淮北·模拟预测）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的A、C两点处测得该塔顶端F的仰角分别为，矩形建筑物宽度m，高度m．计算该信号发射塔顶端到地面的高度（结果精确到1m）．（参考数据：）
【答案】120m
【分析】延长交于点，设，分别解和，用含的式子表示出的长，利用，求出的值，进一步计算即可．
【详解】解：延长交于点，由题意，可知：，四边形为矩形，
∴，设，则：，
在中，，
在中，，∴，∴，
∴．答：该信号发射塔顶端到地面的高度为120m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是构造直角三角形．
考点4、解直角三角形-坡度（坡比）问题
例1．（23·24上·沙坪坝·阶段练习）某长500米的水库大坝的横截面是的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度．为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），．（参考数据：）
(1)求坝底加宽的宽度；（保留根号）；(2)据相关部门统计，现有填筑土石方83130立方米，请问是否足够加固大坝所需？
【答案】(1)(2)现有填筑土石方83130立方米，不够加固大坝所需
【分析】（1）过点F作交于点H，过点F作于点G，则，证明四边形是平行四边形，可得，，从而可得，由题意可得，，利用解直角三角形求得，，从而求得，即可求解；（2）过点D作于点M，由题意可得，，，解直角三角形求得，从而求得，由题意可得，加固大坝的体积是以四边形为上底和下底面，棱长为500米的四棱柱，利用，求得四边形的面积，从而求得四棱柱的体积，再与填筑土石方的体积进行比较即可求解．
【详解】（1）解：过点F作交于点H，过点F作于点G，则，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，
由题意可得，，，
在中，，即，∴，
在中，，∴，
∴，∴；
（2）解：过点D作于点M，由题意可得，，，
在中，，∴，
∴，
∴，
∴加固大坝的体积为，
答：现有填筑土石方83130立方米，不够加固大坝所需．
【点睛】本题考查解直角三角形、平行四边形的判定与性质，理解题意，正确构造直角三角形是解题的关键．
变式1．（22·23上·济南·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
【答案】A
【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度．
【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，
∵坝高，CF⊥AB，∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为∴BF=12cm，
在RtBCF中BC===13cm
【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义．
变式2．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面的倾斜角为．
(1)求新坡面的长度；(2)试求新坡面底部点到建筑物的距离．
【答案】(1)米；(2)米
【分析】（1）先解求出米，再解求出解题即可；
（2）在中利用勾股定理解得米，然后利用求出距离即可．
【详解】（1）∵ 米,
∴,∴(米),
∵,∴米，
答：新坡面的长度为米；
（2）在中，米，
∴米，
答：新坡面底部点到建筑物的距离米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出的长是解题的关键．
变式3．（23·24上·沙坪坝·阶段练习）周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为，他从点A出发，沿爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为米的山坡到达点D，的坡度为，然后沿水平观景步道走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：，）
(1)求山顶C到的距离（结果保留整数）；(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡、山坡段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
【答案】(1)山顶C到的距离约为1873米(2)小红先到达山顶C处，理由见解析
【分析】（1）过点D作于点H，过点C作于点M，交延长线于点K．由的坡度为，得到，在和中，利用特殊三角函数值分别求出，，即可求出；
（2）在中，，得到，分别计算出小明，小红所用的时间比较即可．
【详解】（1）解：过点D作于点H，过点C作于点M，交延长线于点K．
由题意得，，，∵的坡度为，∴，
在中，，米，∴米，
在中，，米，∴米，
∴（米）
答：山顶C到的距离约为1873米．
（2）解：小红先到达山顶C处，理由如下：
由题意得，在中，，∴米，
∴小明到达山顶所需时间为：（分），小红到达山顶所需时间为：（分），∵，∴小红先到达山顶C处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
考点5、解直角三角形-方位角问题
例1．（23·24上·潼南·阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的卫星导航系统，其由空间段，地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，小敏发现风景区在地的北偏东方向．(1)求的度数；(2)求两地的距离（如果运算结果有根号，请保留根号）
【答案】(1)(2)两地的距离是千米
【分析】（1）根据题意可得：，，从而可得，然后利用平角定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；（2）过点作于点，在中，可求出，，由可得，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示：
由题意得：，，
∴，∴
∵∴，∴
（2）解：过点作于点，
在中， ，，，
答：两地的距离是千米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
变式1．（23·24上·泰安·阶段练习）如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（ ）
A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里
【答案】B
【分析】过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可．
【详解】解：如图，过点作，
由题意，得：，
在中，，在中，，
∴，∴；故选B
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
变式2．（23·24上·泰安·期中）如图，轮船从处以每小时60海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行40分钟到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是 ．
【答案】海里
【分析】过点作于．先由题意得，，再根据等角对等边得出，由等腰三角形三线合一的性质得到海里．然后在直角中，利用余弦函数的定义即可．
【详解】解：如图，过点作于，
由题意得，，，（海里），，
则．
，，，
，，于，（海里）．
在直角中，，，
（海里）．故答案为：海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，余弦函数的定义，难度适中．求出海里是解题的关键．
变式3．（23·24上·潍坊·阶段练习）如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
【答案】有触礁危险．理由见解析
【分析】过点P作，设，根据题意得出，，列出方程求解x，再于9进行比较，即可得出结论．
【详解】解：过点P作于，
设，∵，，，
∴，，即，，
∵，，∴，解得：，
∵，∴有触礁危险．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
考点6、解直角三角形-其他角问题
例1．（22·23·辽宁·模拟预测）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．
(1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：）
【答案】(1)遮阳棚前端B到墙面的距离约为
(2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为
【分析】（1）作于E，在中，根据列式计算即可；
（2）作于E，于H，延长交于K，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，进而可得的长．
【详解】（1）解：如图3，作于E，
在中，，即，
∴，
答：遮阳棚前端B到墙面的距离约为；
（2）解：如图3，作于E，于H，延长交于K，则，
∴四边形，四边形是矩形，由（1）得，
∴，在中，，即，
∴，由题意得：，
∴，∴，
在中，，即，
∴，∴，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
变式1．（22·23下·武汉·三模）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣竿的高度图2是支撑杆的平面示意图，和分别是两根不同长度的支撑杆，夹角．若，，问：当时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为 ．（参考数据：，）．
【答案】120
【分析】过作，过作，可得，利用等腰三角形的三线合一得到为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出即可．
【详解】解：过作，过作，可得，
，平分，，，
在中，，，
∴较长支撑杆的端点离地面的高度约为，故答案为：120．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．
变式2．（23·24上·威海·阶段练习）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．
【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为 (2)没有危险
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【详解】（1）如图，作，垂足为点，
在中，，，
，，
平行线间的距离处处相等，，
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：如图，过作，垂足为点，
，，，
，，
在中，，．
平行线间的距离处处相等，到地面的距离为．
，没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（22·23上·石家庄·期中）如图，要得到从点C观测点D的仰角，可以测量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】视线与水平方向的夹角即为仰角，据此即可判断.
【详解】解：要得到从点C观测点D的仰角，可以测量；故选：C.
【点睛】本题考查了仰角的概念，熟知仰角即为视线与水平方向的夹角是关键.
2．（23·24上·长春·阶段练习）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形，可以用含的式子表示出的长，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为，故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
3．（22·23上·株洲·期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A． B．＋1 C． D．＋1
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积．
【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∠C＝30°，∴CD＝AD．
∵BD＋CD＝BC，∴AD＋AD＝1＋．即AD＝1．
∴S△ABC＝×BC×AD＝（1＋）．故选：C．
【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.
4．（22·23上·常州·期末）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，小明站在点C处测得树顶A的仰角为，若小明的测量点到地面距离，测量点与树底距离，则这棵树的高度是（ ）
A．6m B．m C．m D．m
【答案】D
【分析】在中，利用正切函数的定义即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴四边形是矩形，∴，，
在中，，，∴，
∴，故选：D．
【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确构造直角三角形并熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．
5．（22·23下·惠州·模拟预测）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作于点，根据题意得，，，再解直角三角形即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意得，，，
在中，，
在中，，
，即这栋楼的高度为，故选：A．
【点睛】本题考查了仰角俯角问题，用辅助线构建直角三角形是解题的关键．
6．（22·23·南京·自主招生）已知，，垂直平分，，，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，利用的余弦值求得，证明，利用角的正弦值列式计算即可求解．
【详解】解：设，∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，所以，解得，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了利用三角函数求边长，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
7．（22·23·衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案．
【详解】如图，过点作于，过点作于，
在中，，在中，，
点到桌面的最大高度，故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
8．（23·24上·莆田·阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：过点B作，交的延长线于点D，
∵，∴设，，
，互为半余角，，，
在中，，，
，，在中，，故选：B．
【点睛】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．（22·23上·淄博·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解．
【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，
在中，，在中，，
∵中，，，∴，∵是的角平分线，∴，
∴，∴，∴．故选:B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
10．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用勾股定理求出，然后证，接着利用相似三角形的性质和已知条件即可求出的长．
【详解】解：，，，
在中，，，，
在与中，，，，
，，
，，，，
，，，故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23·24上·邢台·阶段练习）如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，已知楔子斜面的倾斜角为，要使木桩向上移动5cm，则楔子沿水平方向前进（如箭头所示）了 cm．
【答案】
【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可．
【详解】解：楔子沿水平方向前进了xcm，则，解得：，
则楔子沿水平方向前进了，故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
12．（22·23上·成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ．
【答案】220
【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积．
【详解】解：如图：过点作的垂线，垂足为点．
，设，，
，可设，，
，，
，由，得，则
故．故答案是：220
【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键．
13．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则 ．
【答案】1或13
【分析】过点作于点，分高在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解．
【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论：
①当在的外部时，如图：
∵，∴设，则：，
∴，∴，∴，∴；
②当在的内部时，如图：
同法可得：，∴；
综上：1或13；故答案为：1或13．
【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解．
14．（22·23上·深圳·阶段练习）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ．
【答案】60°或120°/120°或60°
【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论．
【详解】解：当∠A是锐角时，
如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5，∴BD＝5×2÷5＝2，
在中，sinA＝＝＝，∴∠A＝60°．
当∠A是钝角时，如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5，∴BD＝5×2÷5＝2，
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝，
∴∠BAD＝60°．∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．故答案为60°或120°．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线．
15．（22·23下·深圳·模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高米，学生身高米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点处测得摄像头的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为 ．
【答案】米
【分析】由题意得米，分别在和中，利用三角函数求出、，可以得到段的长．
【详解】解：由题意得，米，米，
在中，，米，
在中，，米，
米．故答案为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用仰角构建直角三角形是解答本题的关键．在构建的两个直角三角形中，分别利用两个仰角的正切三角函数值，求得相应直角边的长．这里需要熟练掌握特殊角的三角函数值．
16．（21·22·武汉·模拟预测）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方的点处悬停，此时测得桥两端两点的俯角分别为和，则桥的长度是 （结果根据四舍五入法精确到个位，参考数据）．
【答案】/95米
【分析】根据俯角定义，过向作垂线，解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：过作于，如图所示：
测得桥两端两点的俯角分别为和，，
，，
在中，，，则，解得；
在中，，，则，解得；
，即桥的长度是，故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，读懂题意，准确构造直角三角形求解是解决问题的关键．
17．（22·23下·晋中·模拟预测）下图是一个水坝的横截面示意图（），迎水坡的坡比，坡面长米，背水坡CD的坡角，则背水坡坡面CD长是 米．（注：坡比是斜坡的铅直高度与水平宽度的比）
【答案】
【分析】作，分别解直角三角形即可求解．
【详解】解：作
由题意得： 设则∴
∵∴
∵∴故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形．作垂线构造直角三角形是解题关键．
18．（22·23下·武汉·模拟预测）如图，一飞机到达A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为，此时飞行路线改为沿仰角为方向的直线飞行，飞机飞行了6千米到B处时，居民区D恰好在飞机的正下方，现在的飞行高度为5千米，则观礼台C和居民区D的距离是 千米．（，，，，结果精确到0.1）
【答案】
【分析】过A作于点E，过C作于点F，根据锐角三角函数求出千米，千米，再证四边形为矩形，得出千米，，在中，千米，则千米．
【详解】过A作于点E，过C作于点F，
∵，∴为直角三角形，，
∵，，∴（千米），
（千米），
∴（千米），∵，， ∴，
∴四边形为矩形，∴千米，，
∵在中，（千米），
∴（千米）．故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角与俯角，利用辅助线构造直角三角形，掌握解直角三角形的应用，仰角与俯角，利用辅助线构造直角三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23·24上·重庆·开学考试）如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.(1)若，求的长度；(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据，得到中各边长的比值关系，计算出的长度，根据中点的性质得到的长度，最后再用计算出即可．
（2）过点作于点，根据，，算出的长度，根据中点的性质得到的长度，就可以算出和的长度，得到的长度，勾股定理算出，即可得到结论．
【详解】（1），，
，，，∴，，
点为的中点，．
在中，，，．
（2）过点作于点，
，，，，
点为的中点，，
在，，，，
．由勾股定理得：，
，
【点睛】本题考查了解直角三角形，主要利用锐角三角函数值，勾股定理进行长度计算，理解锐角三角函数的含义，并能运用到题目中是解题关键．
20．（22·23下·包头·二模）图1是我国某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型的面积．（结果保留根号）
【答案】24
【分析】过点C作于F，过点D作于E，根据解直角三角形知识求出AE、EF、BF的长，再根据AB=AE+EF-BF得出AB的长，再根据梯形面积公式计算即可．
【详解】解：过点C作于F，过点D作于E，如图所示：
∵，∴，，
在中，，，∴，，
∵，，∴，
∵，∴四边形是矩形，∴，，
在Rt中，，∴，
∴，
∴S垂尾模型ABCD．
【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的性质和判定，掌握三角函数的定义是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
21．（23·24上·广元·阶段练习）广元凤凰楼已蕴藏着深厚的人文历史文化，传说女皇武则天出生时，有一只彩凤绕她家房屋翱翔了一圈，便向东山飞去了．时任都督的武父一时兴起，遂将利州（广元古称）西山改为乌龙山，东山唤名凤凰山，以示纪念．1988年修建的凤凰楼在建筑风格上颇见匠心，它不仅是今天广元市的城标，更是一个传承文化的载体．某数学“综合与实践”小组的同学为了测出凤凰楼的楼高，在梯步A处测得楼顶D的仰角为，沿坡比为的斜坡前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为，求凤凰楼的高度．（结果精确到1米．参考数据：）
【答案】
【分析】根据题意得，在中列勾股定理算出的值，再根据得出，设，根据列出方程即可解答；
【详解】由题意，得
，设，则．
∴，解得(负值舍去)．∴
，
设，则
，解得 该楼的高度约为．
【点睛】该题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理，解题的关键是能够根据题意得出对应的线段长度和对应角度．
22．（23·24上·东营·阶段练习）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
(1)求的长；(2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）
【答案】(1)3m(2)塔的高度约为
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【详解】（1）解：在中，，∴．即的长为．
（2）设，在中，，∴．
在中，由，，，则.
∴．即的长为．
如图，过点作，垂足为．
根据题意，，∴四边形是矩形．
∴，．可得．
在中，，，∴．即．
∴．答：塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
23．（23·24上·宁波·阶段练习）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以千米/小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．(1)甲船从处追赶上乙船用了多少时间？(2)求甲船追赶乙船时的速度．（结果保留根号）
【答案】(1)小时(2)
【分析】（1）过作于点，作交于点，结合题意和三角形的内角和定理求得，，，根据直角三角形中两锐角互余和等角对等边可得，根据甲船的速度和勾股定理求得千米，根据含角的直角三角形的性质可求得的长，根据乙船的速度即可求解；（2）根据勾股定理求得和的长，根据（1）中的结果即可求解．
【详解】（1）解：如图，过作于点，作交于点，
∵甲船沿北偏西方向前进，乙船沿东北方向前进，
∴，，，∴；
∵，∴，∵甲船沿北偏东的方向追赶乙船，∴，
∴，∴，
∴；
在中，，，∴，∴，
∵甲船以千米/小时的速度航行小时到达处，∴（千米）；
在中，，
∴（千米），∴（千米），
∵，，∴（千米），
且乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，故甲船从处追赶上乙船的时间是：（小时）．
（2）解：在中，，
∴（千米），故甲船追赶乙船的速度是（千米/小时）．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形中两锐角互余，等角对等边，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．（22·23上·常州·期末）关于三角函数有如下的公式：；；，利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值
如：
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)求的值；(2)激光测速是目前道路测速方法中最为精准的一种，它是对被测车辆进行两次有特定时间间隔的激光测距，取得该一时段内被测车辆的移动距离，从而得到该车辆的移动速度．如图，在一条限速为80千米/小时的国道边上有一个激光测速仪P，该测速仪与车道中心的垂直距离
米，在某一时刻测得某辆汽车从点A到点B的时间间隔为0.5秒，而第一次的点A在点P的北偏东75°，第二次的B点在点P的北偏东45°，请问该汽车是否超速？为什么？（1.732）
【答案】(1)(2)该汽车没有超速，理由见解析
【分析】（1）利用所给公式运算即可；（2）构建直角三角形，解直角三角形求出长，然后计算出汽车的速度比较解题即可.
【详解】（1）
（2）该汽车没有超速.理由如下：由题意，得,
，
在 中, ∴
在中, ∴.
∴∴该汽车的速度为
∵ ,所以该汽车没有超速.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形利用三角函数计算是解题的关键.
25．（23·24上·石家庄·阶段练习）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．(1)当悬臂与桌面平行时，=___________°(2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？(3)已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解；（2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解；
（3）过作，，在中解出即可求解．
【详解】（1）解：如图：当悬臂与桌面平行时，作
，悬臂也与桌面平行∴故答案为：
（2）解：过作与交于，过作与交于
∴四边形为矩形∴， ∵∴
在中 ∵∴∴
（3）解：过作，，∴
在中 ∴
∵∴ ∴
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键．
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专题1.3 解直角三角形
模块1：学习目标
1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；
2.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；
3.能够把实际问题转化为数学问题，能够进行三角函数的计算；
4.会将类似问题构造直角三角形，利用三角函数的知识解决问题。
模块2：知识梳理
1、解直角三角形的实际应用-大坝（坡度）问题
图1 图2 图3 图4
坡度(坡比)：如图1，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫坡比）。
用字母i表示，即，坡度一般写成1:m的形式，如。
坡角：如果把坡面与水平面的的夹角记为（叫做坡角），那么坡度i等于坡角的正切值，即。
2、解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题
如图2，视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.
3、解直角三角形应用-方位角问题
（1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图3中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°。
(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图4中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°。
4、锐角三角函数的应用的技巧与方法：
1）解直角三角形的方法：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。
2）对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：
（1）作垂线构成直角三角形；（2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。
模块3：核心考点与典例
考点1、构造直角三角形求图形的边长
例1．（2022下·浙江·专题练习）在中，，，，求的长．
变式1．（23·24上·南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
变式2．（22·23上·烟台·期中）如图，在中，，，，求的长．（，）
考点2、构造直角三角形求不规则图形的面积
例1．（22·23下·浙江·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ．
变式1．（22·23上·哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的面积是 ．
变式2．（22·23上·宣城·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积．
考点3、解直角三角形-俯角仰角问题
例1．（22·23下·恩施·模拟预测）小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点处，小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点的仰角为，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点的仰角为．按照安全规定：此时塔吊的底部点距建筑物的底部点是．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为，但这个高度明显违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，）
变式1.（21·22下·咸宁·模拟预测）沈钰琴同学住在第三小学对面的金惠大厦，教学楼与金惠大厦的水平距离为，某日她在自己房间窗口P测得教学楼顶部A的俯角为，教学楼底部B的俯角为，则教学楼的高度为（ ）m
A．50 B． C． D．
变式2.（22·23上·泰安·阶段练习）如图，某人为了测量小山顶上的塔的高，他在山下的点处测得塔尖点的仰角为，再沿方向前进到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，求塔的高度．（结果保留根号）
变式3.（22·23下·淮北·模拟预测）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的A、C两点处测得该塔顶端F的仰角分别为，矩形建筑物宽度m，高度m．计算该信号发射塔顶端到地面的高度（结果精确到1m）．（参考数据：）
考点4、解直角三角形-坡度（坡比）问题
例1．（23·24上·沙坪坝·阶段练习）某长500米的水库大坝的横截面是的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度．为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），．（参考数据：）
(1)求坝底加宽的宽度；（保留根号）；(2)据相关部门统计，现有填筑土石方83130立方米，请问是否足够加固大坝所需？
变式1．（22·23上·济南·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
变式2．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面的倾斜角为．
(1)求新坡面的长度；(2)试求新坡面底部点到建筑物的距离．
变式3．（23·24上·沙坪坝·阶段练习）周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为，他从点A出发，沿爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为米的山坡到达点D，的坡度为，然后沿水平观景步道走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：，）。(1)求山顶C到的距离（结果保留整数）；(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡、山坡段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
考点5、解直角三角形-方位角问题
例1．（23·24上·潼南·阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的卫星导航系统，其由空间段，地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，小敏发现风景区在地的北偏东方向．(1)求的度数；(2)求两地的距离（如果运算结果有根号，请保留根号）
变式1．（23·24上·泰安·阶段练习）如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（ ）
A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里
变式2．（23·24上·泰安·期中）如图，轮船从处以每小时60海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行40分钟到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是 ．
变式3．（23·24上·潍坊·阶段练习）如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
考点6、解直角三角形-其他角问题
例1．（22·23·辽宁·模拟预测）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．
(1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：）
变式1．（22·23下·武汉·三模）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣竿的高度图2是支撑杆的平面示意图，和分别是两根不同长度的支撑杆，夹角．若，，问：当时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为 ．（参考数据：，）．
变式2．（23·24上·威海·阶段练习）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（22·23上·石家庄·期中）如图，要得到从点C观测点D的仰角，可以测量（ ）
A． B． C． D．
2．（23·24上·长春·阶段练习）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ）
A． B． C． D．
3．（22·23上·株洲·期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A． B．＋1 C． D．＋1
4．（22·23上·常州·期末）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，小明站在点C处测得树顶A的仰角为，若小明的测量点到地面距离，测量点与树底距离，则这棵树的高度是（ ）
A．6m B．m C．m D．m
5．（22·23下·惠州·模拟预测）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．（22·23·南京·自主招生）已知，，垂直平分，，，求（ ）
A． B． C． D．
7．（22·23·衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
8．（23·24上·莆田·阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（22·23上·淄博·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ）
A． B．12 C． D．6
10．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23·24上·邢台·阶段练习）如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，已知楔子斜面的倾斜角为，要使木桩向上移动5cm，则楔子沿水平方向前进（如箭头所示）了 cm．
12．（22·23上·成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ．
13．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则 ．
14．（22·23上·深圳·阶段练习）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ．
15．（22·23下·深圳·模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高米，学生身高米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点处测得摄像头的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为 ．
16．（21·22·武汉·模拟预测）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方的点处悬停，此时测得桥两端两点的俯角分别为和，则桥的长度是 （结果根据四舍五入法精确到个位，参考数据）．
17．（22·23下·晋中·模拟预测）下图是一个水坝的横截面示意图（），迎水坡的坡比，坡面长米，背水坡CD的坡角，则背水坡坡面CD长是 米．（注：坡比是斜坡的铅直高度与水平宽度的比）
18．（22·23下·武汉·模拟预测）如图，一飞机到达A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为，此时飞行路线改为沿仰角为方向的直线飞行，飞机飞行了6千米到B处时，居民区D恰好在飞机的正下方，现在的飞行高度为5千米，则观礼台C和居民区D的距离是 千米．（，，，，结果精确到0.1）
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23·24上·重庆·开学考试）如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.(1)若，求的长度；(2)若，求．
20．（22·23下·包头·二模）图1是我国某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型的面积．（结果保留根号）
21．（23·24上·广元·阶段练习）广元凤凰楼已蕴藏着深厚的人文历史文化，传说女皇武则天出生时，有一只彩凤绕她家房屋翱翔了一圈，便向东山飞去了．时任都督的武父一时兴起，遂将利州（广元古称）西山改为乌龙山，东山唤名凤凰山，以示纪念．1988年修建的凤凰楼在建筑风格上颇见匠心，它不仅是今天广元市的城标，更是一个传承文化的载体．某数学“综合与实践”小组的同学为了测出凤凰楼的楼高，在梯步A处测得楼顶D的仰角为，沿坡比为的斜坡前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为，求凤凰楼的高度．（结果精确到1米．参考数据：）
22．（23·24上·东营·阶段练习）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
(1)求的长；(2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）
23．（23·24上·宁波·阶段练习）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以千米/小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．(1)甲船从处追赶上乙船用了多少时间？(2)求甲船追赶乙船时的速度．（结果保留根号）
24．（22·23上·常州·期末）关于三角函数有如下的公式：；；，利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值
如：
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)求的值；(2)激光测速是目前道路测速方法中最为精准的一种，它是对被测车辆进行两次有特定时间间隔的激光测距，取得该一时段内被测车辆的移动距离，从而得到该车辆的移动速度．如图，在一条限速为80千米/小时的国道边上有一个激光测速仪P，该测速仪与车道中心的垂直距离
米，在某一时刻测得某辆汽车从点A到点B的时间间隔为0.5秒，而第一次的点A在点P的北偏东75°，第二次的B点在点P的北偏东45°，请问该汽车是否超速？为什么？（1.732）
25．（23·24上·石家庄·阶段练习）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．(1)当悬臂与桌面平行时，=___________°(2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？(3)已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
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