第二章 一元二次方程(浙江省杭州市)

期中复习宝典之一元二次方程
一元二次方程及其解的概念
1．有下列方程：① 2x2－3=0；② =1；③ ；④ ay2+2y+c=0(其中a为常数)；⑤ (x+1)(x－3)=x2+5；⑥ x－x2=0 。其中是整式方程的有 ，是一元二次方程的有 。(只需填写序号)
2．有下列方程：① 3x2+(1+x)+1=0；② 3x2++1=0；③ 4x2=ax (其中a为常数)；④ 2x2+3x；⑤ =2x；⑥ =2x；⑦ ｜x2+2x｜=4. 其中是一元二次方程的有 。(只需填写序号)
3．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
（A）x2+-2=0 （B）ax2+bx+c=0 （C）（n2+1）x2+n=0 （D）mx2+3x=n
4．若方程(a-1)+5x=4 是一元二次方程，则a=
5．关于x的方程(m2－16)x2+(m+4)x+2m+3=0是一元一次方程.当m_________时,是一元一次方程；当m_________时,是一元二次方程.
6．方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__ ________，其二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________.
7．已知3是关于x的方程的一个解，则2a的值是（ ）
（A）11 （B）12 （C）13 （D）14
8．若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
（A）1，0 （B）-1，0 （C）1，-1 （D）无法确定
9.已知关于x的方程x2－(a＋2)x＋a－2b＝0的判别式等于0，且x＝是方程的根，则a＋b的值为 ______________。
10．已知：y=1是方程y2+my+n=0的一个根，求证：x=1也是方程nx2+mx+1=0的一个根。
11．已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-(a+b)x+ab=0与x2-abx+(a+b)=0有没有公共根，并说明理由。
一元二次方程的解法
1．已知、是实数，若，则下列说法正确的是（ ）
（A）一定是0 （B）一定是0 （C）或 （D）且
2．方程的解是（ ）
（A）—1，2 （B）1，—2 （C）0，—1，2 （D）0，1，—2
3．使分式 的值等于零的x是 ( )
（A）6 （B）-1或6 （C）-1 （D）-6
4．写出一个方程，使它的一个根是1，另一个根满足-1＜x＜1，这个方程可以是________________.
5．解方程：（1）2(x-3)2=x(x-3) （2）ax2+(4a+1)x+4a+2=0 (a≠0)。
6．若与互为倒数，则实数为（ ）
（A）± （B）±1 （C）± （D）±
7．已知方程ax2+c=0(a≠0)有实数根，则a与c的关系是（ ）
A.c=0 B.c=0或a、c异号 C.c=0或a、c同号 D.c是a的整数倍
8．关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是
A.有两个解x=± B.当n≥0时，有两个解x=±－m
C.当n≥0时，有两个解x=± D.当n≤0时，方程无实根
9．一元二次方程x2-ax+6=0，配方后为(x-3)2=3，则a=______________.
10．3 。
11．用配方法解关于x的方程x2 + px + q = 0时，此方程可变形为 ( )
（A） （B）
（C） （D）
12．用配方法解下列各题
（1） x2－2x－99=0 （2）2x2+4=6x
（3）x2-2x+1=0。
13．x2+y2+4x–6y+13=0, x，y 为实数，求xy的值。
14．用配方法证明：（1）代数式x2+2mx+2m2+1的值恒大于零；
（2）代数式-2x2+8x-12的值恒小于零；
（3）代数式－3x2－x+1的值不大于。
15．若，试用配方法求的值。
16．解方程：（1）(x-1)2-5(x-1)+6=0 （2）(x2 －1)2 － 5(x2 －1)+4=0
（3）(x2－x+1)(x2－x+2)=12
17．设x2+3x=y，那么方程x4+6x3+x2－24x－20=0可化为关于y的方程是 。
18．已知(x2+y2)(x2+y2+2)-8=0，求x2+y2的值。
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
1．方程x2-kx-1=0的根的情况是（ ）
（A）方程有两个不相等的实数根 （B）方程有两个相等的实数根
（C）方程没有实数根 （D）方程的根的情况与的取值有关
2．当a，c异号时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D.不能确定
3．若一元二次方程 2x(kx－4)－x2＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是（ ）
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2
4．已知关于x的方程有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式b2-4ac 0，常数项c 0。
5．已知1-是方程x2-2x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值。
6．已知一元二次方程ax2+bx+c=0( a ≠0)，当a，b，c满足什么条件时：
（1）方程的两个根都为零
（2）方程的两个根中只有一个根为零
（3）方程的两个根互为相反数
（4）方程有一个根为1
7．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1-m=0.
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x1，x2是⑴中所得的方程的两个根，求x1x2+x1+x2的值。
8．已知：关于x的方程
（1）求证；这个方程必有两个不等的实数根；
（2）若m-1=1，试证明： （x1，x2是原方程的两个根）
9．若关于x的方程的两根为x1、x2。
（1）用m的代数式来表示；
（2）设，把S用m的代数式表示；
（3）当S=16时，求m的值并求此时方程两根的和与积。
10．已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2-2m-3=0 ① 的两个不相等的实数根中有一个为0，是否存在实数k，使关于x的方程x2-（k-m）x-k-m2+5m-2=0 ② 的两个实数根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
11．设
（1）求k的值；
（2）证明：关于x的方程，必有两异号实根，并求出两根的立方和。
12．已知方程的两个实数根中一个大于1，另一个小于1，求m的取值范围。
13．已知关于x的方程
（1）求证方程必有两个相异实数根；（2）a取何值时，方程有两个正根；
（3）a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大；
（4）a取何值时，方程至少有一个根为零？
列方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性
1． 若连续两个奇数的积是15，则这两个数是____________________.
2．若两数和为-7，积为12，则这两个数是 。
3．一个三角形的两边长为2和4，第三边长是方程2x2-10x+12=0的解，则三角形的周长为
4．某毕业班同学互送钢笔作记念，已知全班共送出支钢笔132支，则该班有人
5．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有条（ ）
（A）6条 （B）7条 （C）8条 （D）9条
6．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是20㎝，那么这个三角形的面积是 。
7．一个直角三角形的两条直角边的长的和为6cm，面积为，则这个三角形的斜边长为 cm。
8．等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2－10x+m=0的两根，则m的值为 ;
9．△ABC的三边长、、满足，，则△ABC的周长等于 ．
10．已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由.
11．某饮料厂今年一月份的产量是500吨，三月份上升到720吨，设平均每月增长的百分率是x，根据题意可得方程（ ）。
A.500（1+2x）=720 B.500+500（1+x）+500（1+x）2=720
C.720（1+x）2=500 D.500（1+x）2=720
12．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）。
（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为 公顷，比2002年底增加了 公顷；在2001，2002，2003这三年中，绿地面积最多的是 年；
（2）为满足城市发展的需要，计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试04，05两绿地面积的年平均增长率。
13．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月的用电量不超过A千瓦·时，那么这个月这户居民只需要交10元用电费，如果超过A千瓦·时，那么这个月除了仍要交10元用电费外，超出部分要按每千瓦·是时元交费。（1）若某户居民2月份用电90千瓦·时，超过规定的A千瓦·时，则超过部分的电费是多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：
月份 用电量（千瓦·时） 交电费总金额（元）
3 80 25
4 45 10
根据上表数据，求该厂规定的A千瓦·时为多少？
14．某商场销售一批进价为2500元的电冰箱，当销售价定为3500元时，平均每天售出8台，且冰箱销售单价每降低100元，平均每天就多销售2台，那么为了多销售电冰箱，使每天的利润增加12.5%，则每台的优惠介应定为多少元？
15．一个长100m宽60m 的游泳池扩建成一个周长为600 m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加x m，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000 m2？列出方程 ，能否求出x的值 （能或不能）。
16．如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
17．用长为24 m的铝合金材料制成如图长方形窗框（不计接缝）。
（1） 当窗框的长取多少时，窗框的面积为12 m2；
（2） 当窗框的长取多少时，窗框的面积为15 m2；
（3） 能制成面积为18 m2的窗框吗？说明理由。
18．如图，客轮沿折线A-B-C，从A出发经B在到C匀速航行，货轮从AC中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批货物送达客轮。两航船同时起航，并同时到达折线A-B-C的某一点E处。已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮的速度是货轮的2倍。
（1）求出E的位置；
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里（结果保留4个有效数字）。
19．阅读下面的例题：
解方程
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2 – x –2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合题意，舍去）
（2）当x＜0时，原方程化为x2 + x –2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2∴原方程的根是x1=2, x2= - 2
（3）请参照例题解方程（6分）
20．如图，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形. 将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n－1）×（n－1）的正方形. 如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止. 请你认真观察思考后回答下列问题：
（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
纸片的边长n 2 3 4 5 6
使用的纸片张数
（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2. ①当n=2时，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1=S2的n值？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由.
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