6.7 角的和差 课件 29张ppt

6.7 角的和差
数学（浙教版）
七年级 上册
第6章 图形的初步认识
学习目标
1．理解角的和差的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述；
2．灵活利用角的和差的数量关系，解答相关问题；
3、理解角平分线的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述；
　
温故知新
1、比较角的大小的方法：
方法一：度量法，即用量角器量出角的度数，通过比较角的度数来比较角的大小．度数大的角大，度数小的角小．
方法二：叠合法．把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧．
2、角的分类：
锐角、直角、钝角、平角、周角．
　
导入新课
给你一张直角三角形纸片，你能通过折叠的方法再折出一个直角来吗？你还能把这张纸片折成一个长方形吗？
讲授新课
知识点一 角的和差
图中有几个角？它们之间有什么关系？
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
它们的关系：
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
类似地，∠AOC－∠AOB= .
∠BOC
A
B
O
C
讲授新课
如图所示：
(1) ∠AOC是哪两个角的和？
(2) ∠AOB是哪两个角的差？
(3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD
的大小关系如何？
B
A
O
C
D
∠AOC =∠AOB +∠BOC.
∠AOB =∠AOC －∠BOC =∠AOD－∠BOD.
∠AOC =∠BOD.
讲授新课
一般地，如果一个角的度数是另两个角的___________，那么这个角叫做_______________；
如果一个角的度数是另两个角的___________，那么这个角叫做_________________．
度数之和
另两个角的和
度数之差
另两个角的差
注意：两个角的和与差仍是一个角．
角的和差表示
如∠γ是∠α与∠β的和，记做∠γ＝∠α+∠β．
如∠β是∠γ与∠α的差，记做∠β＝∠γ－∠α．
讲授新课
典例精析
【例1】如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.
解：∵∠AOB 是平角，
∠AOB＝ ∠AOC+∠BOC.
∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC
＝180°－53°17′
＝179°60′－53°17′
＝126°43′.
O
C
B
A
讲授新课
练一练
2.如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝ °．
1.如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则 ∠AOB＝ °．
75
20
A
B
O
C
图②
A
B
O
C
图①
3.若∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC＝ °．
90或30
O
B
A
C
C
讲授新课
知识点二 利用一副三角板画角度
试一试：如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？
75°
15°
15°
讲授新课
试一试：如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？
105 °
120°
75°
15°
【结论】借助一副三角尺可以画出15°倍数的角.
讲授新课
典例精析
【例2】如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
O
A
D
C
B
解：设∠COD=x，
∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，
∴∠AOD=60°-x，
∴∠AOB=90°+60°-x=150°-x，
∵∠AOB是∠DOC的3倍，
∴150°-x=3x，解得x=37.5°，
∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．
讲授新课
知识点三 角平分线的相关定义与计算
线段中点的定义：
如果线段上的一个点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做这条线段的中点.
这时AM=BM=12AB.（或AB=2AM=2BM）.
?
A
M
B
A
B
C
O
1
2
如图：如果∠1=∠2，
思考：射线OC与∠AOB的位置关系？
讲授新课
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
如图：OC是∠AOB的平分线.
A
B
C
O
1
2
注意：角平分线是一条射线.
讲授新课
A
B
C
O
1
2
如图，OC是∠AOB的角平分线.
∵OC是∠AOB的角平分线
∴∠AOC=∠COB=12∠AOB
或∠AOB=2∠AOC=2∠COB
?
反过来：
∵∠AOC=∠COB=12∠AOB
或∠AOB=2∠AOC=2∠COB
?
∴OC是∠AOB的角平分线
讲授新课
角的????等分线
?
角的角平分线将角两等分，我们还可以将角三等分、四等分.....
如图射线OC、OD将∠AOB分成相等的三个角，射线OC、OD叫∠AOB的三等分线.
∠AOC=∠COD=∠DOB=13∠AOB或∠AOB=3∠AOC=3∠COD=3∠DOB
?
角的角平分线有1条，角的三等分线有2条，角四等分线有
3条，...，角的????等分线有(????-1)条，将角分成相等的????个角.
?
讲授新课
典例精析
【例3】如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB,若∠COB=35°,则∠AOD等于多少度？
A
B
O
D
C
解：由题意可知
∵OC是∠DOB的角平分线，且COB=35°
∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°

又∵∠AOB是平角
∴∠AOD+∠BOD=∠AOB
∠AOD=∠AOB－∠BOD
=180°－70° =110°
讲授新课
练一练
1、如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，∠AOC=80°，
O
A
B
C
D
E
所以∠BOC= ∠AOC= ×80°=40°.
讲授新课
O
A
B
C
D
E
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因为 OD 平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
当堂检测
1．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（　　）
A．90° B．120° C．160° D．180°
解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．故选D．
当堂检测
2．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的大小为（　　）
A．22° B．34° C．56° D．90°
解：∵∠COE是直角，∠COF=34°∴∠EOF=90°﹣34°=56°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=56°﹣34°=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°．故选A．
当堂检测
3.已知∠AOB=3∠BOC，若∠BOC=30°，则∠AOC等于（　　）
A．120° B．120°或60° C．30° D．30°或90°
解：∵∠BOC=30°，∠AOB=3∠BOC，
∴∠AOB=3×30°=90°
（1）当OC在∠AOB的外侧时，
∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120度；
（2）当OC在∠AOB的内侧时，
∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=90°﹣30°=60度．故选：B．
当堂检测
4.过∠AOB的顶点作射线OC，下列条件中：①∠AOC=BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOB=2∠BOC；④∠AOC+∠BOC=∠AOB．其中能判断射线OC为∠AOB的平分线的个数是（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解：①.当射线OC在∠AOB外部时，符合∠AOC=BOC；但OC不是∠AOB的平分线，故①不符合题意；
②.当射线OC在∠AOB外部时，符合∠AOB=2∠AOC；但OC不是∠AOB的平分线，故②不符合题意；
③.当射线OC在∠AOB外部时，符合∠AOB=2∠BOC；但OC不是∠AOB的平分线，故③不符合题意；
④.当射线OC在∠AOB内部时，符合∠AOC+∠BOC=∠AOB；但OC不是∠AOB的平分线，故④不符合题意；故答案为：A.
当堂检测
5. 如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
O
A
B
C
D
解：∵∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠BOC= ∠AOB - ∠AOC
=170°-90°
=80°
∴∠AOD= ∠AOB - ∠BOD
=170°-90°
=80°
∴∠COD= ∠AOB - ∠BOD - ∠AOC =170°-80°-80° =10°
当堂检测
6、如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．
求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．
∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，
∴3x-2x=40°，得x=40°，
∴∠AOC=2x=2×40°=80°，
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
O
A
B
C
D
?如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，
∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
当堂检测
解：
设∠BOC＝2x°，
则∠AOE＝5x°，∠AOD＝8x°.
因为O是直线AB上一点，
所以∠AOB＝180°，
所以∠COE＝(180－7x)°.
因为OE平分∠AOC，
所以∠AOE＝∠COE，
即5x＝180－7x，
解得x＝15，
所以∠AOD＝8×15°＝120°，
所以∠BOD＝60°.
7．如图，O是直线AB上一点，OC，OD是从O点引出的两条射线，OE平分∠AOC，∠BOC?∠AOE : ∠AOD＝2 : 5 : 8，求∠BOD的度数.
课堂小结
1.角的和、差、倍、分关系
2.借助一副三角尺可以画出15°倍数的角.
课堂小结
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
应用格式：
O
B
A
C
角的平分线
∵ OC 是∠AOB 的角平分线，
∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
思想方法
方程思想
分类思想
谢 谢~