(共30张PPT)
4.4.2 三角形相似的判定（2）
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
复习回顾/新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.掌握三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似.
3.通过探索相似三角形判定方法，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法.
复习回顾
我们已经学习了哪几种判定三角形相似的方法
1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2.判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简单说成：有两个角对应相等的两个三角形相似.
新知导入
想一想：怎样利用边判定两个三角形相似？
如果两个三角形两边分别成比例，它们一定相似吗？
试着在练习本上画一画吧！
新知讲解
A
B
C
D
E
F
如图 ，所以△ABC和△DEF不一定相似。
新知讲解
思考：如果两个三角形两边分别成比例，再增加一个条件，它们一定相似吗？ 有哪几种可能的情况？
可以通过增加角相等或者边成比例来判定两个三角形相等。
相等的角可以是其中一边的对角，也可以是两边的夹角.
新知讲解
探究一：探索两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠C=∠C'，
求证：△CAB∽△C'A'B'.
新知讲解
证明：如图，在△ABC的CA边上截取CD=C'A'，过点D作DE∥AB,交CB于点E，则△CDE∽△CAB，
∴ C'B'=CE. 又∵ ∠C=∠C'，
∴△C'A'B'≌△CDE，
∴△CAB∽△C'A'B'.
新知讲解
总结归纳：
三角形相似的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽△A′B′C′ .
新知讲解
50°
)
4cm
A
B
C
3.2cm
2cm
50°
)
E
D
F
1.6cm
想一想
如果△ABC与△DEF两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.
新知讲解
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
B
A
C
B'
A'
C'
【总结归纳】
新知讲解
【例2】下图是用卡钳测量容器内径的示意图. 现量得卡钳上A，D两端点的距离为5cm， 求容器的内径BC.
解：∠AOD=∠BOC
→△AOD∽△BOC.
答：容器的内径BC为10cm.
∴BC=2×5=10(cm).
新知讲解
【例3】已知：如图，点D，E分别在AB，AC上，且
求证：DE∥BC.
解：∠A=∠A
→△ADE∽△ABC.
∴∠ADE=∠B(相似三角形的对应角相等).
∴DE∥BC.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：1.如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ).
C
课堂练习
C
B
A
C
E
D
F
课堂练习
3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论一定正确的是( ).
A．①和②相似
B．①和③相似
C．①和④相似
D．②和④相似
B
课堂练习
4.如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是
( )
A．△PAB∽△PCA
B．△PAB∽△PDA
C．△ABC∽△DBA
D．△ABC∽△DCA
C
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
D
课堂练习
6.如图，在△ABC中，点P在AB上移动，当AC2＝AP·AB时，有( )
A．△APC∽△ACB
B．△APC∽△BPC
C．△BPC∽△ACB
D．△APC∽△ABC
A
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7，AC＝12.
△ABC的角平分线AE交CD于点F.
(1)求证：△ACD∽△ABC；
课堂练习
【综合实践类作业】
(2)若AF＝8，求AE的长度.
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.三角形相似的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.
板书设计
课题：4.4.2 三角形相似的判定（2）
教师板演区
学生展示区
一、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
二、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE，BD，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件错误的是( ) .
A．∠ACD＝∠DAB
B．AD＝DE
C．AD2＝BD·CD
D．AD·AB＝AC·BD
D
作业布置
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，延长BC到点D，使BD＝3CD，若E是AC的中点，则DE的长为( ) .
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
D
作业布置
选做题：
C
作业布置
【综合实践类作业】
4.已知△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 . 求证：△ADE∽△ABC.
A
B
D
C
E
O
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A=90°， ∠ACE+∠A= 90°，
∴ ∠ABD= ∠ACE. 又∵ ∠A= ∠A，∴△ABD∽△ACE，
∵ ∠A= ∠A，
∴ △ADE∽△ABC.
谢谢
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4.4.2 三角形相似的判定（2） 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是浙教版九年级数学上册第4章第4节第2课时的内容。在此之前,学生已学习了判断两个三角形相似的预备定理和判定方法1，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位，它为其他学科和今后高中的学习打下基础。
学习者分析 初中学生好动、好奇、好表现，抓住学生特点，积极采用形象生动、形式多样的教学方法和学生广泛的、积极主动参与的学习方式，激发学生兴趣，有效地培养学生能力，促进学生个性发展。在教学中一方面让学生动手操作，引起学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
教学目标 1.掌握三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似.3.通过探索相似三角形判定方法，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法.
教学重点 掌握三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。
教学难点 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并能通过证明三角形相似解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：我们已经学习了哪几种判定三角形相似的方法 1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简单说成：有两个角对应相等的两个三角形相似.想一想：怎样利用边判定两个三角形相似？如果两个三角形两边分别成比例，它们一定相似吗？ 学生活动1：学生复习之前学习过的知识，回答教师提出的问题。学生思考怎样利用边判定两个三角形相似。活动意图说明：通过复习学过的内容，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探索两边成比例且夹角相等的两个三角形相似教师活动2：教师出示三角形：如图，所以△ABC和△DEF不一定相似。 思考：如果两个三角形两边分别成比例，再增加一个条件，它们一定相似吗？ 有哪几种可能的情况？可以通过增加角相等或者边成比例来判定两个三角形相等。相等的角可以是其中一边的对角，也可以是两边的夹角.探究一：探索两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠C=∠C'，求证：△CAB∽△C'A'B'.证明：如图，在△ABC的CA边上截取CD=C'A'，过点D作DE∥AB,交CB于点E，则△CDE∽△CAB，∴ C'B'=CE. 又∵ ∠C=∠C'，∴△C'A'B'≌△CDE，∴△CAB∽△C'A'B'.总结归纳：三角形相似的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 想一想如果△ABC与△DEF两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.【总结归纳】如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.学生活动2：学生通过画图，回答刚才教师提出的问题。学生在教师的引导下探究两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。学生完成证明过程。学生总结三角形相似的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。学生探究两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：例题讲解教师活动3：【例2】下图是用卡钳测量容器内径的示意图. 现量得卡钳上A，D两端点的距离为5cm， 求容器的内径BC.解：∠AOD=∠BOC所以△AOD∽△BOC.∴BC=2×5=10(cm).答：容器的内径BC为10cm.【例3】已知：如图，点D，E分别在AB，AC上，且求证：DE∥BC.解：∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC.∴∠ADE=∠B(相似三角形的对应角相等).∴DE∥BC.学生活动3：学生在教师的指导下完成课本问题。师生共同完成解题过程。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：4.4.2 三角形相似的判定（2）一、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似二、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C ).2．下列各组条件中，一定能推出△ABC与△DEF相似的是( C )A．∠A＝∠E且∠D＝∠FB．∠A＝∠B且∠D＝∠FC．∠A＝∠E且＝D．∠A＝∠E且＝3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论一定正确的是( B ).A．①和②相似 B．①和③相似C．①和④相似 D．②和④相似4.如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是( C )A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDAC．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA选做题：5.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( D )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.＝ D．＝6.如图，在△ABC中，点P在AB上移动，当AC2＝AP·AB时，有( A ) A．△APC∽△ACB B．△APC∽△BPCC．△BPC∽△ACB D．△APC∽△ABC【综合实践类作业】7.如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7，AC＝12.△ABC的角平分线AE交CD于点F.(1)求证：△ACD∽△ABC；证明：∵AD＝9，BD＝7，∴AB＝AD＋BD＝16，又∵AC＝12，∴＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC.(2)若AF＝8，求AE的长度.解：由(1)可知，△ACD∽△ABC，∴∠ADC＝∠ACB.∵AE平分∠BAC，∴∠DAF＝∠CAE，∴△DAF∽△CAE，∴＝＝＝，又∵AF＝8，∴AE＝.
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE，BD，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件错误的是( D ) .A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，延长BC到点D，使BD＝3CD，若E是AC的中点，则DE的长为( D ) .A. 3 B. 4C. 2D. 1选做题：3.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．若＝＝，BC＝2，则DE的长为( C )A． B． C． D．3【综合实践类作业】4.已知△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 . 求证：△ADE∽△ABC.证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD+∠A=90°， ∠ACE+∠A= 90°，∴ ∠ABD= ∠ACE. 又∵ ∠A= ∠A，∴△ABD∽△ACE， ∵ ∠A= ∠A，∴ △ADE∽△ABC.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？1.三角形相似的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2.两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.
教学反思 本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主,利用多媒体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态，采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程，在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想。
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第四章
课标要求 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6.了解三角形中心的概念 7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 8.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 相似图形是指两个在外形、大小方面具有某种关系的图形，它以全等三角形和相似变换为根底，是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化，它是空间与图形范围中的首要内容，对前后各部分常识起到纽带的作用。本章内容主要包含比例线段，相似三角形，相似三角形的性质及其应用，相似多边形，图形的位似等。这些内容是以比例线段为根底，以相似三角形为中心展开并探究的，并且在物理学、工程设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似三角形的知识，相似三角形有关知识的考查在中考中也占有重要地位，因此学好相似三角形既是进一步学习的需要，也是工作实践的需要。
学情分析 九年级学生已经具有自主学习意识，由于七年级时学过全等三角形，学生在学习过程中容易将全等三角形的定义和相似三角形的定义混在一起，学习时应强调对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。在学习过程中，对应角和对应边这个概念容易出错，作为教师应该耐心说明。在记两个三角形相似时，跟记两个三角形全等一样，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上，这样就比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。
单元目标 （一）教学目标 1.理解比例的基本性质，会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形。 2.了解线段比和成比例线段的概念 理解比例中项的概念。 3.了解相似三角形的概念，探索两个三角形相似的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，会在简单情况下判定两个三角形相似。 4.了解相似三角形的对应角相等，对应边成比例，了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.了解相似多边形的概念，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 6.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。 （二）教学重点、难点 重点： 1.理解比例的基本性质。 2.了解相似三角形的概念，掌握两个三角形相似的判定定理。 3.了解相似三角形的性质。 4.了解相似多边形的概念和图形的位似。 难点： 1.会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形，掌握基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截，所得对应线段成比例。 2.了解黄金分割，会进行有关黄金分割的简单计算。 3.会判定两个三角形相似。 4.了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1比例线段34.2由平行线截得的比例线段14.3相似三角形14.4两个三角形相似的判定34.5相似三角形的性质及其应用34.6相似多边形14.7图形的位似1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 比例线段31.掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.能灵活运用比例的基本性质进行比例式的变形。培养用方程的观点解决问题的思想方法和思维习惯。理解掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质进行简单应用。1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比。 2.理解成比例线段的概念，掌握成比例线段的判定方法。1．会求两条线段的比。 2.会判断几条线段是否成比例。从丰富的实例入手,引导学生进行观察、发现和概括，在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知识。1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比。 2.能对黄金分割进行简单运用。体会数形结合思想在解决数学问题中的作用，在现实情境中体会黄金分割的文化价值，感受数学之美。通过一些具体的例子让学生感受黄金分割的作用，并通过作图让学生感受到黄金分割点的存在。由平行线截得的比例线段1 1.探究基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。 2.能应用定理证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 2.通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 利用换线段、换中间比及分析法探求解题思路方法，培养学生分解根本图形的能力，并利用特殊形式研究问题的方法。 相似三角形1 1.理解掌握相似三角形的定义。 2.掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念。1.了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2.根据相似三角形的定义，得到相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 本节的重点与难点是相似三角形的定义，解决这一难点的关键是正确理解相似三角形的定义，区分全等形与相似形的相同点不同点。 两个三角形相似的判定3 1.掌握三角形相似的判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似。 2.学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题，解决问题的能力。 经历过探索全等三角形判定，通过类比得到相似三角形的判定方法。 掌握判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似，会运用判定定理判定两个三角形相似。1.掌握三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。1.掌握判定方法2，会运用判定方法判定两个三角形相似. 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。通过画图、度量等操作，经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程。1.复习已经学过的三角形相似的两个判定定理。 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。1.掌握三角形相似的第3个判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。类似于判定三角形全等的SSS 方法，探索通过三边关系来判定两个三角形相似。 相似三角形的性质及其应用31.进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理。 2.掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，进一步培养学生类比的教学思想。 掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 2.运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。通过画图，探索相似三角形的周长与面积的性质。能够运用相似三角形的周长与面积的性质解决相关问题，1.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2.进一步检验数学的应用价值.运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系解决实际问题。 相似多边形11.通过图形的收集、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用语言叙述。 2.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能依据相似解决相似多边形的边角问题。 1.类比相似三角形的概念得出相似多边形的概念及表示方法。 2.掌握相似多边形的周长、面积的性质。通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形的定义和相似比。 图形的位似11.理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。 2.会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。经历位似图形性质的探索过程，发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。通过画图一一观察一一操作一一思考的活动过程，认识位似图形。
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