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4.4.3 三角形相似的判定（3） 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节内容是浙教版初中数学九年级上册第4章第4节第3课时的内容，本节课是探索三角形相似条件的第三课时，是在学习了相似三角形的概念，相似三角形的两个判定方法后展开的。因此对定理的理解和掌握情况，将直接影响到后续学习。因为这部分内容与全等三角形有着密切的关系，所以这节课我主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确。这个命题的证明方法比较困难，所以课堂上我主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明这个命题。
学习者分析 学生通过前面的学习已认识了相似图形的性质和判定，针对九年级学生观察、分析、认识问题能力较强的特点，本节课教学时以启发为主，同时辅之以讨论、练习、合作交流等学习活动，达到掌握知识的目的，并逐步培养起学生观察、分析、抽象、概括的能力，为进一步学习位似打下坚实的基础。
教学目标 1.掌握三角形相似的第3个判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。2.会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。3.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
教学重点 掌握三角形相似的第3个判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。
教学难点 会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似，并能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：【想一想】我们已经学过哪些判定三角形相似的方法？方法1：两角分别相等的两个三角形相似。方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？三角形的三条边满足什么条件才能判定两个三角形相似？【思考】相似三角形的性质是什么？相似三角形的对应角相等，对应边成比例.探究：三条边成比例的两个三角形相似.学生活动1：学生思考三角形相似的判定方法，回答教师提出的问题。学生思考相似三角形的性质，通过性质引出探究三条边成比例的两个三角形相似。活动意图说明：通过复习，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究三条边成比例的两个三角形相似教师活动2：教师出示问题：已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，求证：△ABC∽△A'B'C'.证明：如图，在A'B'上截取A'D=AB，作 DE∥B'C' ，交A'C'于点E，则△A'DE∽△A'B'C'，∴ DE=BC，A'E=AC，∴ △ABC≌△A'DE，∴ △ABC∽△A'B'C'.【总结归纳】相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．符号语言：在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC∽△A′B′C′.【方法技巧】利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法： ①把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；②分别计算小、中、大边的比；③由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例。特别提醒：若三个比相等且等于1，则两个三角形全等．学生活动2：学生思考，回答如何证明两个三角形相似。学生在教师的引导下完成证明过程。总结相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．学生通过教师指导理解利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。坚持新课程的理念转换教师的角色，以引导者、参与者的形象介入到学生的学习之中，能有效的调动学习积极性。环节三：例题讲解教师活动3：【例4】如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似，并说明理由.分析：要判断△ABC与△EFD是否相似，从角的方面较难确定. 由于顶点都在格点上，容易通过计算每个三角形的边长，观察边是否对应成比例.【例5】已知：如图，O为△ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，OC上的点，且 .求证：△A'B'C'∽△ABC.分析：由已知容易发现△OA'B'∽△OAB，△OA'C'∽△OAC，△OB'C'∽△OBC，由这三对相似三角形的对应边成比例，我们不难得到△A'B'C'与△ABC的对应边成比例.学生活动3：学生在教师的指导下完成课本问题。师生共同完成解题过程。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：4.4.3 三角形相似的判定（3）一、三边对应成比例的两个三角形相似二、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm,△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似？( C )A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm2.如图， ，则下列结论正确的有( B )①△ABC∽△ADE；②AC平分∠DAE；③∠AFB＝∠AGE；④∠ABF＝∠ADE.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.如图，四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方形边长都是1)，每个网格中均有一个“格点三角形”(三角形的顶点在小正方形的顶点上)，是相似三角形的为( A )A．①③ B．①② C．②③ D．②④选做题：4.一个三角形木架三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有( B ).A．一种 B．二种 C．三种 D．四种5.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有( C )A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【综合实践类作业】6.如图，D，E，F分别是等边三角形ABC三边上的点，AE＝BF＝CD.求证：△ABC∽△DEF.证明：∵△ABC是等边三角形，AE＝BF＝CD，∴BE＝CF＝AD，∠A＝∠B＝∠C.∴△ADE≌△BEF≌△CFD.∴EF＝FD＝ED，即△DEF是等边三角形．又∵△ABC是等边三角形，∴＝＝.∴△ABC∽△DEF.
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.给出4个命题：①三边对应成比例的两个三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的命题有( A )A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④2.在△ABC与△A′B′C′中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，A′B′＝16 cm，B′C′＝12.8 cm，A′C′＝25.6 cm，△A′B′C′与△ABC是否相似？__相似_，理由是三边对应成比例的两个三角形相似．选做题：3.已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.(1)如果DE＝10，那么当EF＝__12.5_，DF＝____15____时，△DEF∽△ABC.(2)如果DE＝10，那么当EF＝___12_____，FD＝_____8___时，△FDE∽△ABC.【综合实践类作业】4.如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米，公路AB与DC平行吗？说出你的理由．解：公路AB与DC平行．理由如下： ∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD＝∠BDC，∴ AB∥DC.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？1.相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．2.利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法： ①把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；②分别计算小、中、大边的比；③由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例。
教学反思 本课时教学可采用类比的方法进行，一方面可类比两个三角形全等的判定方法，另一方面可类比上一课时中有关两个三角形相似的判定方法.教学时应注意突出学生的主体地位，让学生独立完成并相互交流，教师给予引导并同学生一起归纳，以提高学生的推理能力。
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4.4.3 三角形相似的判定（3）
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
复习回顾/新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.掌握三角形相似的第3个判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。
2.会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。
3.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
复习回顾
【想一想】我们已经学过哪些判定三角形相似的方法？
方法1：两角分别相等的两个三角形相似。
方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
三角形的三条边满足什么条件才能判定两个三角形相似？
新知导入
探究：三条边成比例的两个三角形相似.
【思考】相似三角形的性质是什么？
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
新知讲解
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，
求证：△ABC∽△A'B'C'.
新知讲解
证明：如图，在A'B'上截取A'D=AB，作 DE∥B'C' ，
交A'C'于点E，则△A'DE∽△A'B'C'，
新知讲解
∴ DE=BC，A'E=AC，∴ △ABC≌△A'DE，
∴ △ABC∽△A'B'C'.
新知讲解
相似三角形的判定定理3：
【总结归纳】
三边对应成比例的两个三角形相似．
符号语言：
∴△ABC∽△A′B′C′.
在△ABC与△A′B′C′中，
C′
B′
A′
B
C
A
新知讲解
利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法：
①把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；
②分别计算小、中、大边的比；
③由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例。
【方法技巧】
特别提醒：若三个比相等且等于1，则两个三角形全等．
新知讲解
【例4】如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似，并说明理由.
分析：要判断△ABC与△EFD是否相似，从角的方面较难确定. 由于顶点都在格点上，容易通过计算每个三角形的边长，观察边是否对应成比例.
新知讲解
新知讲解
【例5】已知：如图，O为△ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，
OC上的点，且 .求证：△A'B'C'∽△ABC.
分析：由已知容易发现△OA'B'∽△OAB，
△OA'C'∽△OAC，△OB'C'∽△OBC，
由这三对相似三角形的对应边成比例，我们不难得到△A'B'C'与△ABC的对应边成比例.
新知讲解
新知讲解
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm,△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似？( )
A．2 cm，3 cm
B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm
D．6 cm，7 cm
C
2.如图， ，则下列结论正确的有( )
①△ABC∽△ADE；
②AC平分∠DAE；
③∠AFB＝∠AGE；
④∠ABF＝∠ADE.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
课堂练习
B
课堂练习
3.如图，四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方形边长都是1)，每个网格中均有一个“格点三角形”(三角形的顶点在小正方形的顶点上)，是相似三角形的为( )
A．①③
B．①②
C．②③
D．②④
A
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
4.一个三角形木架三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有( ).
A．一种 B．二种
C．三种 D．四种
B
课堂练习
5.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形ADE只算一个)，
这样的格点三角形一共有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
C
课堂练习
【综合实践类作业】
6.如图，D，E，F分别是等边三角形ABC三边上的点，AE＝BF＝CD.求证：△ABC∽△DEF.
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
2.利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法：
①把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；
②分别计算小、中、大边的比；
③由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例。
1.相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．
板书设计
课题：3.8.2 弧长及扇形的面积（2）
教师板演区
学生展示区
一、扇形面积计算公式
二、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.给出4个命题：①三边对应成比例的两个三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的命题有( )
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
A
作业布置
2.在△ABC与△A′B′C′中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，A′B′＝16 cm，B′C′＝12.8 cm，A′C′＝25.6 cm，△A′B′C′与△ABC是否相似？________，
理由是___________________________________________．
相似
三边对应成比例的两个三角形相似
作业布置
选做题：
3.已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.
(1)如果DE＝10，那么当EF＝________，DF＝________时，△DEF∽△ABC.
(2)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△FDE∽△ABC.
12.5
15
12
8
作业布置
【综合实践类作业】
4.如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米，公路AB与DC平行吗？说出你的理由．
作业布置
【综合实践类作业】
谢谢
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第四章
课标要求 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6.了解三角形中心的概念 7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 8.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 相似图形是指两个在外形、大小方面具有某种关系的图形，它以全等三角形和相似变换为根底，是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化，它是空间与图形范围中的首要内容，对前后各部分常识起到纽带的作用。本章内容主要包含比例线段，相似三角形，相似三角形的性质及其应用，相似多边形，图形的位似等。这些内容是以比例线段为根底，以相似三角形为中心展开并探究的，并且在物理学、工程设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似三角形的知识，相似三角形有关知识的考查在中考中也占有重要地位，因此学好相似三角形既是进一步学习的需要，也是工作实践的需要。
学情分析 九年级学生已经具有自主学习意识，由于七年级时学过全等三角形，学生在学习过程中容易将全等三角形的定义和相似三角形的定义混在一起，学习时应强调对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。在学习过程中，对应角和对应边这个概念容易出错，作为教师应该耐心说明。在记两个三角形相似时，跟记两个三角形全等一样，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上，这样就比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。
单元目标 （一）教学目标 1.理解比例的基本性质，会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形。 2.了解线段比和成比例线段的概念 理解比例中项的概念。 3.了解相似三角形的概念，探索两个三角形相似的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，会在简单情况下判定两个三角形相似。 4.了解相似三角形的对应角相等，对应边成比例，了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.了解相似多边形的概念，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 6.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。 （二）教学重点、难点 重点： 1.理解比例的基本性质。 2.了解相似三角形的概念，掌握两个三角形相似的判定定理。 3.了解相似三角形的性质。 4.了解相似多边形的概念和图形的位似。 难点： 1.会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形，掌握基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截，所得对应线段成比例。 2.了解黄金分割，会进行有关黄金分割的简单计算。 3.会判定两个三角形相似。 4.了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1比例线段34.2由平行线截得的比例线段14.3相似三角形14.4两个三角形相似的判定34.5相似三角形的性质及其应用34.6相似多边形14.7图形的位似1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 比例线段31.掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.能灵活运用比例的基本性质进行比例式的变形。培养用方程的观点解决问题的思想方法和思维习惯。理解掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质进行简单应用。1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比。 2.理解成比例线段的概念，掌握成比例线段的判定方法。1．会求两条线段的比。 2.会判断几条线段是否成比例。从丰富的实例入手,引导学生进行观察、发现和概括，在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知识。1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比。 2.能对黄金分割进行简单运用。体会数形结合思想在解决数学问题中的作用，在现实情境中体会黄金分割的文化价值，感受数学之美。通过一些具体的例子让学生感受黄金分割的作用，并通过作图让学生感受到黄金分割点的存在。由平行线截得的比例线段1 1.探究基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。 2.能应用定理证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 2.通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 利用换线段、换中间比及分析法探求解题思路方法，培养学生分解根本图形的能力，并利用特殊形式研究问题的方法。 相似三角形1 1.理解掌握相似三角形的定义。 2.掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念。1.了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2.根据相似三角形的定义，得到相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 本节的重点与难点是相似三角形的定义，解决这一难点的关键是正确理解相似三角形的定义，区分全等形与相似形的相同点不同点。 两个三角形相似的判定3 1.掌握三角形相似的判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似。 2.学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题，解决问题的能力。 经历过探索全等三角形判定，通过类比得到相似三角形的判定方法。 掌握判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似，会运用判定定理判定两个三角形相似。1.掌握三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。1.掌握判定方法2，会运用判定方法判定两个三角形相似. 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。通过画图、度量等操作，经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程。1.复习已经学过的三角形相似的两个判定定理。 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。1.掌握三角形相似的第3个判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。类似于判定三角形全等的SSS 方法，探索通过三边关系来判定两个三角形相似。 相似三角形的性质及其应用31.进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理。 2.掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，进一步培养学生类比的教学思想。 掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 2.运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。通过画图，探索相似三角形的周长与面积的性质。能够运用相似三角形的周长与面积的性质解决相关问题，1.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2.进一步检验数学的应用价值.运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系解决实际问题。 相似多边形11.通过图形的收集、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用语言叙述。 2.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能依据相似解决相似多边形的边角问题。 1.类比相似三角形的概念得出相似多边形的概念及表示方法。 2.掌握相似多边形的周长、面积的性质。通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形的定义和相似比。 图形的位似11.理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。 2.会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。经历位似图形性质的探索过程，发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。通过画图一一观察一一操作一一思考的活动过程，认识位似图形。
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