3.2 实数 同步分层作业（含解析）

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3.2实数 同步分层作业
基础过关
1．下列各数中是无理数的是（　　）
A．2π B． C．0 D．﹣0.1010010001
2．2﹣的相反数是（　　）
A．﹣2﹣ B．2﹣ C．﹣2 D．2+
3．下列实数中，最大的数是（　　）
A．0 B．﹣3 C． D．4
4．如图，点A表示的实数是（　　）
A． B． C． D．
5．的大小在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．如图，在数轴上表示实数+1的点可能是（　　）
A．P B．Q C．R D．S
7．的相反数是　 　，它的绝对值是　 ．
8．比较大小：﹣（﹣3.14）　 　﹣|﹣π|．
9．在实数，，﹣2，﹣3中，最小的数是 　 　．
10．计算：|3.14﹣π|＝　 　．
11.设n为正整数，且，则n的值为 　 　．
12. 把下列各数填入相应的集合内
7.5，，6，，，，﹣π，﹣0.
（1）有理数集合{ 　 ……}
（2）无理数集合{ 　　 ……}
（3）正实数集合{ 　 　……}
（4）负实数集合{ 　 ……}
能力提升
13．如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是AC的中点，则点A表示的数（　　）
A． B． C． D．
14．若a＝2，b＝3，c＝+2，则a，b，c之间的大小关系是（　　）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
15．下列说法中正确的是（　　）
A．带根号的数都是无理数 B．无限小数都是无理数
C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数
16．如果的整数部分为a，的小数部分为b，求＝　　．
17．数轴上A，B两点之间的距离是，点A在数轴上表示的数为，则点B在数轴上表示的数为 　 ．
18．已知实数x，y满足关系式+|y2﹣1|＝0．
（1）求x，y的值；
（2）判断是有理数还是无理数？并说明理由．
19．我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，任意一个实数在数轴上都能找到与之对应的点，比如我们可以在数轴上找到与数字2对应的点．
（1）在如图所示的数轴上，画出一个你喜欢的无理数，并用点A表示；
（2）（1）中所取点A表示的数字是 　 　，相反数是 　 　，绝对值是 　 　，倒数是 　 　，其到点5的距离是 　　；
（3）取原点为O，表示数字1的点为B，将（1）中点A向左平移2个单位长度，再取其关于点B的对称点C，求CO的长．
20.（1）用“＜”，“＞”，“＝”填空：
　 　　 　　 　　 　
（2）由上可知：①|1﹣|＝　 　；
②||＝　 　 ；
③||＝　 　；
（3）计算（结果保留根号）：|1﹣|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|
21.如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 　　；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为 　1﹣　，　1+　；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在数轴上找到表示﹣1的点．（作图过程中标出必要线段长）
培优拔尖
22．若a、b是不相等的无理数，则（　　）
A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数
C．a b一定是无理数 D．不一定是无理数
23．阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜＜3，是因为；
根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　　；
（2）若21＜a＜22，则a的整数部分是　21　；小数部分可以表示为　　；
（3）10+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜10+＜b则a+b＝　 ；
（4）若﹣3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求x﹣y的相反数．
24.已知＝0．
（1）求实数a，b的值；
（2）若的整数部分为x，小数部分为y：
①求x+2y的值；
②已知10﹣＝kx+m，其中k是一个整数，且0＜m＜1，求k﹣m的值．
答案与解析
基础过关
1．下列各数中是无理数的是（　　）
A．2π B． C．0 D．﹣0.1010010001
【点拨】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐项判断即可．
【解析】解：A、2π是无理数，则此项符合题意；
B、是无限循环小数，属于有理数，则此项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，则此项不符合题意；
D、﹣0.1010010001是有限小数，属于有理数，则此项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数，熟记无理数的定义是解题关键．
2．2﹣的相反数是（　　）
A．﹣2﹣ B．2﹣ C．﹣2 D．2+
【点拨】根据相反数的定义解答．
【解析】解：依题意得：2﹣的相反数是﹣（2﹣）＝﹣2+．
故选：C．
【点睛】考查了实数的性质．属于基础题，熟记相反数的定义即可解题．
3．下列实数中，最大的数是（　　）
A．0 B．﹣3 C． D．4
【点拨】根据负数小于0，小于正数，以及无理数的估算，进行判断即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴最大的数是4；
故选：D．
【点睛】本题考查比较实数的大小．熟练掌握负数小于0，小于正数，以及无理数的估算方法是解题的关键．
4．如图，点A表示的实数是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据勾股定理可求得OA的长为，再根据点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．
【解析】解：如图，OB＝＝，
∵OA＝OB，
∴OA＝，
∴点A在数轴上表示的实数是﹣．
故选：D．
【点睛】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．
5．的大小在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【点拨】先计算原式，再运用算术平方根知识进行估算求解．
【解析】解：∵，
∴3＜＜4，
故选：B．
【点睛】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根的知识进行估算、求解．
6．如图，在数轴上表示实数+1的点可能是（　　）
A．P B．Q C．R D．S
【点拨】先判断出+1的范围，然后根据数轴判断即可．
【解析】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴在数轴上表示实数+1的点可能是Q．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的大小，确定出+1的范围是解题的关键．
7．的相反数是　3﹣　，它的绝对值是　3﹣　．
【点拨】分别根据相反数、绝对值的概念即可求解．
【解析】解：根据相反数的概念有的相反数是﹣（）即3﹣；
根据绝对值的定义：的绝对值是．
【点睛】此题主要考查了实数的相反数、绝对值的定义，和有理数的相反数、绝对值的计算方法一样．
8．比较大小：﹣（﹣3.14）　＞　﹣|﹣π|．
【点拨】根据相反数的性质，绝对值的性质把两个数化简，根据正数大于负数比较即可．
【解析】解：﹣（﹣3.14）＝3.14，
﹣|﹣π|＝﹣π．
3.14＞﹣π，
则﹣（﹣3.14）＞﹣|﹣π|，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查的是相反数的概念，实数的大小比较，掌握正数大于负数是解题的关键．
9．在实数，，﹣2，﹣3中，最小的数是 　﹣3　．
【点拨】先估算出﹣，﹣的大小，然后进行比较，即可解答．
【解析】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∵1＜7＜8，
∴1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴﹣3＜﹣＜﹣2＜﹣，
∴在实数，，﹣2，﹣3中，最小的数是﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
10．计算：|3.14﹣π|＝　π﹣3.14　．
【点拨】根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
【解析】解：|3.14﹣π|＝π﹣3.14，
故答案为：π﹣3.14．
【点睛】本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数．
11.设n为正整数，且，则n的值为 　7　．
【点拨】根据算术平方根的定义估算无理数﹣1的大小，进而确定n的值即可．
【解析】解：∵82＝64，92＝81，而64＜65＜81，
∴8＜＜9，
∴7＜﹣1＜8，
∵n为正整数，且n＜﹣1＜n+1，
∴n＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
12. 把下列各数填入相应的集合内
7.5，，6，，，，﹣π，﹣0.
（1）有理数集合{ 　7.5，6，，，﹣0.　……}
（2）无理数集合{ 　，，﹣π　……}
（3）正实数集合{ 　7.5，，6，，，　……}
（4）负实数集合{ 　﹣π，﹣0.　……}
【点拨】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解．
【解析】解：（1）有理数集合{7.5，6，，，﹣0.……}
（2）无理数集合{，，﹣π……}
（3）正实数集合{7.5，，6，，，……}
（4）负实数集合{﹣π，﹣0.……}
故答案为：7.5，6，，，﹣0.；，，﹣π；7.5，，6，，，；﹣π，﹣0.．
【点睛】本题考查了实数的分类及各种数的定义，要求学生熟练掌握实数的分类是解题的关键．
能力提升
13．如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是AC的中点，则点A表示的数（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设点A表示的数是a，求出BC之间的距离，求出AB，即可得出关于a的方程，求出即可．
【解析】解：设点A表示的数是a，
∵在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，
∴B、C之间的距离是BC＝﹣2，
∵B是AC的中点，
∴AB＝BC＝﹣2，
∵B点表示的数是2，A点表示的数是a，
∴2﹣a＝﹣2，
解得：a＝4﹣，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上AB之间的距离是AB＝|xA﹣xB|．
14．若a＝2，b＝3，c＝+2，则a，b，c之间的大小关系是（　　）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【点拨】根据实数的大小得出结论即可．
【解析】解：∵≈1.414，≈2.236，
∴a≈4.472，b≈4.242，c≈3.414，
∴a＞b＞c，
故选：D．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
15．下列说法中正确的是（　　）
A．带根号的数都是无理数 B．无限小数都是无理数
C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数
【点拨】根据无理数的意义，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、带根号的数不都是无理数，例如：是有理数，故A不符合题意；
B、无限不循环小数都是无理数，故B不符合题意；
C、无理数是无限不循环小数，故C符合题意；
D、无理数不都是开方开不尽的数，例如：π也是无理数，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了实数，熟练掌握无理数的意义是解题的关键．
16．如果的整数部分为a，的小数部分为b，求＝　6　．
【点拨】先估算出的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解析】解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部分为3，的小数部分为﹣3，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴a﹣b+＝3﹣（﹣3）+
＝＝3﹣+3+
＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
17．数轴上A，B两点之间的距离是，点A在数轴上表示的数为，则点B在数轴上表示的数为 　或2　．
【点拨】分点B在点A的两侧，分别列式计算即可．
【解析】解：∵A，B两点之间的距离是，点A在数轴上表示的数为，
∴，或，
∴点B在数轴上表示的数为或2，
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，解题的关键是注意分情况讨论．
18．已知实数x，y满足关系式+|y2﹣1|＝0．
（1）求x，y的值；
（2）判断是有理数还是无理数？并说明理由．
【点拨】（1）根据非负数的和等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据开平方，无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解析】解：（1）由题意，得，
解得：；
（2）当x＝2，y＝1时，＝，是无理数．
当x＝2，y＝﹣1时，＝＝2，是有理数．
【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质得出方程组是解题关键．
19．我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，任意一个实数在数轴上都能找到与之对应的点，比如我们可以在数轴上找到与数字2对应的点．
（1）在如图所示的数轴上，画出一个你喜欢的无理数，并用点A表示；
（2）（1）中所取点A表示的数字是 　2　，相反数是 　﹣2　，绝对值是 　2　，倒数是 　　，其到点5的距离是 　5﹣2　；
（3）取原点为O，表示数字1的点为B，将（1）中点A向左平移2个单位长度，再取其关于点B的对称点C，求CO的长．
【点拨】（1）先在数轴上以原点为起始点，以某个单位长度的长为边长画正方形，再连接正方形的对角线，以对角线为半径，原点为圆心画弧即可在数轴上得到一个无理数；
（2）根据（1）中的作图可得出无理数的值，然后根据相反数，绝对值，倒数的概念以及点与点间的距离概念作答；
（3）先在数轴上作出点A平移后得到的点A′，点B，点C，再利用对称性及数轴上两点间的距离的定义，可求出CO的长．
【解析】解：（1）如图所示：
（2）由（1）作图可知，点A表示的数字是2，相反数是﹣2，绝对值是2，倒数是＝，其到点5的距离是5﹣，
故答案为：2；﹣2；2；；5﹣2；
（3）如图，将点A向左平移2个单位长度，得到点A′，
则点A′表示的数字为2﹣2，A′关于点B的对称点为C，
∵点B表示的数字为1，
∴A′B＝BC＝1﹣（2﹣2）＝3﹣，
∴A′C＝2A′B＝6﹣4，
∴CO＝OA′+A′C＝2﹣2+6﹣4＝4﹣，
即CO的长为4﹣2．
【点睛】本题考查无理数在数轴上的表示方法，数轴上两点间的距离的求法，勾股定理以及相反数、绝对值、倒数的概念，掌握基本概念是解题的关键．
20.（1）用“＜”，“＞”，“＝”填空：
　＜　　＜　　＜　　＜　
（2）由上可知：①|1﹣|＝　﹣1　；
②||＝　﹣　；
③||＝　2﹣　；
（3）计算（结果保留根号）：|1﹣|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|
【点拨】（1）根据被开方数越大，它的算术平方根就越大比较即可；
（2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可；
（3）先去掉绝对值符号，再算加减即可．
【解析】解：（1）＜，
故答案为：＜，＜，＜，＜；
（2）①|1﹣|＝﹣1，
②|﹣|＝﹣，
③|﹣|＝﹣＝2﹣，
故答案为：﹣1，﹣，2﹣；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1．
【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值和二次根式的加减，能正确去掉绝对值符号是解（2）（3）的关键．
21.如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 　　；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为 　1﹣　，　1+　；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在数轴上找到表示﹣1的点．（作图过程中标出必要线段长）
【点拨】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长；
（2）依据图2中小正方形对角线长为，AO＝，BO＝，即可得到A，B两点表示的数为和；
（3）先根据大正方形的面积为5，可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上找到表示点．
【解析】解：（1）∵面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即，
故答案为：；
（2）图2中小正方形对角线长为，AO＝﹣1，BO＝+1，
∴A，B两点表示的数为1﹣和1+；
故答案为：1﹣，1+；
（3）如图3，大正方形的面积为5，
∴小长方形的对角线长为，
如图所示，点C表示的数为﹣1．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
培优拔尖
22．若a、b是不相等的无理数，则（　　）
A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数
C．a b一定是无理数 D．不一定是无理数
【点拨】根据有理数和无理数的定义和性质分析即可判定选择项．
【解析】解：A、当a＝2﹣，b＝2+，a+b＝4，a+b是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、当a＝1+，b＝2+，a﹣b＝﹣1，a﹣b是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、当a＝，b＝2，ab＝8ab是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、若a、b是不相等的无理数，则不一定是无理数，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．
23．阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜＜3，是因为；
根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是　3　，小数部分是　　；
（2）若21＜a＜22，则a的整数部分是　21　；小数部分可以表示为　a﹣21　；
（3）10+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜10+＜b则a+b＝　23　；
（4）若﹣3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求x﹣y的相反数．
【点拨】（1）根据信息3可得：，再根据信息2即可得到答案；
（2）根据信息2即可得到答案；
（3）根据信息3可得，从而得到，即可得到答案．
（4）根据信息（3）可得，即5＜＜6，从而得到，再根据x是整数，且0＜y＜1即可得到答案．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分是 3，小数部分是 ，
故答案为：3，．
（2）显然a的整数部分为21，小数部分为a减去它的整数部分，即为a﹣21，
故答案为：21，a﹣21．
（3）∵，
∴，
∴，
∴a＝11，b＝12，
∴a+b＝11+12＝23，
故答案为：23．
（4）∵，
∴5＜＜6，
∴，
又∵x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝2，y＝＝，
∴，
∴x﹣y的相反数是．
【点睛】本题考查了无理数的估值方法，理解题中所给信息并能灵活运用是解决此题的关键．
24.已知＝0．
（1）求实数a，b的值；
（2）若的整数部分为x，小数部分为y：
①求x+2y的值；
②已知10﹣＝kx+m，其中k是一个整数，且0＜m＜1，求k﹣m的值．
【点拨】（1）根据非负数的性质和分母不为0列式，可得a和b的值；
（2）①先估算的值，可得x和y的值，代入计算x+2y可得结论；
②先将x＝4代入，由k是一个整数，可得k＝2，并由已知m的取值可得k的值，代入k﹣m可得结论．
【解析】解：（1）∵＝0，
∴3a﹣b＝0，a2﹣49＝0，a+7≠0，
∴a＝7，b＝21；
（2）①∵4＜＜5，
∴x＝4，y＝﹣4，
∴x+2y＝4+2（﹣4）＝2﹣4；
②∵x＝4，10﹣＝kx+m，
∴10﹣＝4k+m，
∵k是一个整数，
∴4k也是一个整数，
∴8+2﹣＝4k+m，
∵0＜m＜1，
∴m＝2﹣，4k＝8，
∴k＝2，
∴k﹣m＝2﹣（2﹣）＝．
【点睛】本题考查了无理数的估算，非负数的性质和实数的运算，估计无理数是本题的关键，也是一个阅读材料问题，认真阅读，理解题意，从而解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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