4.1 比例线段 同步分层作业（含解析）

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4.1比例线段 同步分层作业
基础过关
1. 下列各组种的四条线段成比例的是（　　）
A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm
2．若，则＝（　　）
A． B． C．7 D．﹣7
3. 如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4. 如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，下列选项错误的是（　　）
A． B． C．BC2＝AB AC D．
5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　）
A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP BA C． D．
6. 若a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项是 　　cm．
7. 若，则＝　　．
8．已知，那么＝　　．
9. 节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台AB长10米，主持人张颖站在舞台AB的一端A处，她要想站在舞台的黄金分割点处，她应从A向前至少走 　　米．（结果精确到0.1米，≈2.236）
10. 已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
11. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6．
（1）求该女士下半身长x；
（2）为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1）
12. 求下列各题中的x．
（1）x是3和4的比例中项；
（2）线段x是2+1与2﹣1的比例中项．
13.已知x：y：z＝3：4：5．求：
（1）．
（2）．
（3）．
14.已知a＝30，b＝60，c＝120．
（1）求a与b的比；
（2）如果a，b，c，d成比例，求d的值；
（3）如果x：y＝y：z，则y叫作x和z的比例中项．那么b是a和c的比例中项吗？为什么？
能力提升
15. 已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
16. 下列比例式中，不能由比例式得到的是（　　）
A． B． C． D．
17. 在一张比例尺1：800000的地图上，量得上海浦东磁悬浮的线路长度为4厘米，那么它的实际长度
是 　　 千米．
18. 如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC．若S1表示以AC为边的正方形的面积，S2表示长为BD（BD＝AB）、宽为BC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为 　 　．
19. 已知，求k2﹣3k﹣4的值．
20. 已知＝（a，b，c，d均不为0），求证：＝．
21. 已知△ABC三边a，b，c满足（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，且a+b+c＝24cm．
（1）求a，b，c的值；
（2）判断△ABC的形状．
22. 已知，求的值．
23.已知AB＝2，点C是AB的黄金分割点，点D在AB上，且AD2＝BD AB，求的值．
培优拔尖
24. 如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则APn的长度是　　．
25. 如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
答案与解析
基础过关
1. 下列各组种的四条线段成比例的是（　　）
A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm
【点拨】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【解析】解：A.3×9≠5×6，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B.3×9≠5×8，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C.3×30＝9×10，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D.3×9≠6×7，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
2．若，则＝（　　）
A． B． C．7 D．﹣7
【点拨】根据已知条件得出a＝b，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．
【解析】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝﹣．
故选：B．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外向之积是解题的关键．
3. 如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【点拨】利用比例的性质对各选项进行判断．
【解析】解：∵2a＝5b，
∴＝，＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
4. 如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，下列选项错误的是（　　）
A． B． C．BC2＝AB AC D．
【点拨】根据黄金分割的定义得＝＝≈0.618，即可解决问题．
【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴＝＝≈0.618，
∴BC2＝AB AC，AC＝BC，＝，
∴选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．
5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　）
A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP BA C． D．
【点拨】由黄金分割的定义得AP2＝BP BA，＝＝，即可求解．
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP2＝BP BA，＝＝，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
6. 若a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项是 　6　cm．
【点拨】根据比例中项的定义可得c2＝ab，代入可求得c．
【解析】解：设c是线段a，b的比例中项，
∵c是a、b的比例中项线段，
∴c2＝ab＝36，
∴c＝6（﹣6舍去）．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查比例中项的定义，掌握比例中项的性质是解题的关键，即如果c是a、b的比例中项则有c2＝ab．
7. 若，则＝　5　．
【点拨】根据比例的性质解答：设＝t，则x、y、z分别用t表示，然后将其代入所求的代数式，消去t，从而解得代数式的值．
【解析】解：设＝t，则
x＝3t，y＝5t，z＝7t．
∴＝＝5；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了比例的基本性质：两个内项之积等于两个外项之积．解答此题时，采用了代入法．
8．已知，那么＝　　．
【点拨】把化成1﹣，再把代入进行计算即可得出答案．
【解析】解：∵，
∴＝1﹣＝1﹣＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
9. 节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台AB长10米，主持人张颖站在舞台AB的一端A处，她要想站在舞台的黄金分割点处，她应从A向前至少走 　3.8　米．（结果精确到0.1米，≈2.236）
【点拨】设至少向前走x米，由黄金比列方程解答即可．
【解析】解：设至少向前走x米，
依题意得，，
解得，x＝15﹣5≈3.8（米）．
故答案为：3.8．
【点睛】本题考查了黄金分割点的相关计算，熟记黄金比是解题关键．
10. 已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
【点拨】（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；
（2）根据比例中项的定义列式求解即可．
【解析】解：（1）设＝＝＝k，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
所以，3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
所以，a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴线段x＝2．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
11. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6．
（1）求该女士下半身长x；
（2）为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1）
【点拨】（1）列式计算即可求解；
（2）设需要穿的高跟鞋是ycm，列方程求解即可．
【解析】解：（1）x＝165×0.6＝99（cm）；
答：该女士下半身x为99cm；
（2）设需要穿的高跟鞋是ycm，
则99+y＝0.618（165+y），
解得：y≈7.8，
答：她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键．
12. 求下列各题中的x．
（1）x是3和4的比例中项；
（2）线段x是2+1与2﹣1的比例中项．
【点拨】（1）根据比例中项的定义，构建方程求解；
（2）根据比例中项的定义，构建方程求解；
【解析】解：（1）∵x2＝ab，a＝3，b＝4，
∴x＝±2．
（2）∵线段x是2+1与2﹣1的比例中项，
∴x2＝（2+1）（2﹣1），
∴x＝±，
∵线段长度为正数，
∴x＝．
【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是掌握比例线段的性质，属于中考常考题型．
13.已知x：y：z＝3：4：5．求：
（1）．
（2）．
（3）．
【点拨】（1）设x＝3k，y＝4k，z＝5k，代入求出即可；
（2）设x＝3k，y＝4k，z＝5k，代入求出即可；
（3）设x＝3k，y＝4k，z＝5k，代入求出即可．
【解析】解：（1）∵x：y：z＝3：4：5，
∴设x＝3k，y＝4k，z＝5k，
∴＝＝＝；
（2）＝＝；
（3）＝＝＝．
【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
14.已知a＝30，b＝60，c＝120．
（1）求a与b的比；
（2）如果a，b，c，d成比例，求d的值；
（3）如果x：y＝y：z，则y叫作x和z的比例中项．那么b是a和c的比例中项吗？为什么？
【点拨】（1）根据a＝30；b＝60，即可求得a：b的值；
（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得，再根据c＝120，即可得出线段d的长；
（3）根据b2＝3600，ac＝30×120＝3600，可得b2＝ac，进而得出b是a和c的比例中项．
【解析】解：（1）∵a＝30；b＝60，
∴a：b＝30：60＝1：2；
（2）∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴，
∵c＝120，
∴，
∴d＝240；
（3）是，理由：
∵b2＝3600，ac＝30×120＝3600，
∴b2＝ac，
∴b是a和c的比例中项．
【点睛】本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位．
能力提升
15. 已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【点拨】根据比例的性质分别判断即可．
【解析】解：1：3＝4：12，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确把握比例的性质是解题关键．
16. 下列比例式中，不能由比例式得到的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据比例的性质逐一判断即可．
【解析】解：∵，
∴ad＝bc．
A、∵ad＝bc，
∴＝，故本选项不符合题意；
B、∵ad＝bc，
∴ad+ab＝bc+ab，
∴a（b+d）＝b（a+c），
∴＝，故本选项不符合题意；
C、由上可知a（b+d）＝b（a+c），
∴＝，故本选项不符合题意；
D、当a＝1，b＝2，c＝4，b＝8，m＝1时，＝＝≠＝，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握相关知识是解题的关键．
17. 在一张比例尺1：800000的地图上，量得上海浦东磁悬浮的线路长度为4厘米，那么它的实际长度是 　32　千米．
【点拨】根据图上距离÷比例尺＝实际距离列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解析】解：它的实际长度是：4÷＝3200000（厘米）＝32（千米）．
故答案为：32．
【点睛】此题考查了比例线段，熟练掌握图上距离、比例尺和实际距离三者之间的关系是解题的关键．
18. 如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC．若S1表示以AC为边的正方形的面积，S2表示长为BD（BD＝AB）、宽为BC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为 　S1＝S2　．
【点拨】根据黄金分割的定义得到AC2＝BC AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝AC2，S2＝BC AB，即可得到S1＝S2．
【解析】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC2＝BC AB，
∵S1表示以AC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为BC的矩形面积，
∴S1＝AC2，S2＝AB BC，
∴S1＝S2．
故答案为：S1＝S2．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
19. 已知，求k2﹣3k﹣4的值．
【点拨】根据等比性质得出＝k，再分两种情况进行讨论，当a+b+c+d≠0时和a+b+c+d＝0时，分别求出k的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解析】解：∵＝＝＝＝k，
∴由等比性质可得：＝k，
当a+b+c+d≠0时，k＝＝，
当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，
∴k＝＝＝﹣2，
∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
20. 已知＝（a，b，c，d均不为0），求证：＝．
【点拨】利用等式的性质证明即可．
【解析】证明：∵＝，
∴﹣2＝﹣2，
∴＝．
【点睛】本题考查比例线段，等式的性质等知识，解题的关键是掌握等式的性质，属于中考常考题型．
21. 已知△ABC三边a，b，c满足（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，且a+b+c＝24cm．
（1）求a，b，c的值；
（2）判断△ABC的形状．
【点拨】（1）设a﹣c＝﹣2k，a+b＝7k，c﹣b＝k，于是得到a＝7k﹣b，c＝k+b，代入a﹣c＝﹣2k和a+b+c＝24，解，得到k＝2，b＝8，求得a＝6，c＝10即可；
（2）根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．
【解析】解：（1）设a﹣c＝﹣2k，a+b＝7k，c﹣b＝k，
∴a＝7k﹣b，c＝k+b，
∴a﹣c＝7k﹣b﹣k﹣b＝﹣2k，
∵a+b+c＝24，
∴7k﹣b+b+k+b＝24，
∴，
解得：k＝2，b＝8，
∴a＝6，c＝10；
（2）∵a2+b2＝62+82＝100＝102＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了比例线段，勾股定理的逆定理，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．
22. 已知，求的值．
【点拨】根据比比例性质解决分式问题．注意分两种情况：a+b+c≠0；a+b+c＝0进行讨论．本题还可以设参数法解答．
【解析】解：解法1：（1）若a+b+c≠0，由等比定理有
若
＝
＝1，
所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
于是有＝＝8．
（2）若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
于是有＝＝﹣1．
解法2：若＝k，
则a+b＝（k+1）c，①
a+c＝（k+1）b，②
b+c＝（k+1）a．③
①+②+③有2（a+b+c）＝（k+1）（a+b+c），
所以（a+b+c）（k﹣1）＝0，
故有k＝1或a+b+c＝0．
当k＝1时，＝＝8．
当a+b+c＝0时，＝＝﹣1．
【点睛】本题考查了等比性质：若，则＝k，（b+d+…+n≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0）．比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．
23.已知AB＝2，点C是AB的黄金分割点，点D在AB上，且AD2＝BD AB，求的值．
【点拨】根据黄金分割的定义得到点D是AB的黄金分割点，而点C是AB的黄金分割点，则AD＝AB＝﹣1，当C、D重合时，易得＝0，当C、D不重合时，AC＝3﹣，CD＝2﹣4，然后计算的值．
【解析】解：∵D在AB上，且AD2＝BD AB，
∴点D是AB的黄金分割点，且AD＝AB＝﹣1，
而点C是AB的黄金分割点，
当C、D重合时，＝0，
当C、D不重合时，AC＝3﹣，
∴CD＝﹣1﹣（3﹣）＝2﹣4，
∴＝＝．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
培优拔尖
24. 如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则APn的长度是　（）n　．
【点拨】根据黄金分割的定义的BP1＝AB，则AP1＝AB﹣BP1＝AB＝，利用同样的方法可得到AP2＝AP1＝（）2，AP3＝（）3，按此规律易得APn的长度＝（）n．
【解析】解：∵线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），
∴BP1＝AB，
∴AP1＝AB﹣BP1＝AB﹣AB＝AB＝，
∵点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），
∴P1P2＝AP1，
∴AP2＝AP1﹣P1P2＝AP1﹣AP1＝AP1＝（）2，
同理可得AP3＝（）3，
∴APn的长度＝（）n．
故答案为（）n．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
25. 如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．
【点拨】（1）若点D为AB边上的黄金分割点，则有．如果设△ABC的边AB上的高为h，根据三角形的面积公式，易得，，即有，根据图形的黄金分割线的定义即可判断；
（2）由于等底同高的两个三角形的面积相等，所以三角形任意一边上的中线都将三角形分成面积相等的两部分，即有，则，从而可知三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；
（3）由于直线CD是△ABC的黄金分割线，所以．要想说明直线EF也是△ABC的黄金分割线，只需证明，即证S△ADC＝S△AEF，S△BDC＝S四边形BEFC即可．因为DF∥CE，所以△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，所以有S△DFC＝S△DFE，所以S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝S△ADF+S△DFE＝S△AEF，S△BDC＝S四边形BEFC．
（4）根据黄金分割线的定义即可作出．本题答案不唯一，作法有无数种．
【解析】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h．
则，，，
∴，．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴，
∴．
故直线CD是△ABC的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，即，
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵DF∥CE，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，
∴S△DFC＝S△DFE，
∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝S△ADF+S△DFE＝S△AEF，S△BDC＝S四边形BEFC．
又∵，
∴．
因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）
（4）画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
（9分）
【点睛】本题考查学生的阅读能力、知识迁移能力、分析问题及解决问题的能力．综合性较强，有一定难度．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
【点拨】（1）根据等边对等角找到三角形∠CDB和∠OCD的关系，列方程求解；
（2）①结合（1）求得各个角的度数，根据题意进行判断；
②根据黄金比求值计算；
③此题要分别考虑OE为底和腰的情况．
【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝AB，
∴OA＝OC＝OE＝DE，
则∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，
设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，
又∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，
∴x+2x＝108，x＝36°．
∴∠CDB＝36°．
（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．
∵OE＝DE，∠CDB＝36°，
∴△DOE是黄金三角形；
∵OC＝OE，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝36°．
∴△COE是黄金三角形；
∵∠COB＝108°，
∴∠COD＝72°；
又∠OCD＝2x＝72°，
∴∠OCD＝∠COD．
∴OD＝CD，
∴△COD是黄金三角形；
②∵△COD是黄金三角形，
∴，
∵OD＝2，
∴OC＝﹣1，
∵CD＝OD＝2，DE＝OC＝﹣1，
∴CE＝CD﹣DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣；
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，
如图所示，
ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；
ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．
【点睛】此题的知识综合性较强，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算．注意根据题目中定义的黄金三角形进行分析计算．
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