4.2 由平行线截得的比例线段 同步分层作业（含解析）

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4.2由平行线截得的比例线段 同步分层作业
基础过关
1．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4. 已知线段a，b，c，求作线段x，使x满足a：b＝c：x的作图中不正确的是（　　）
A．B．C．D．
5. 如图是一张竖格书法纸，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的A，B，C三点都在竖格线上．若线段AB＝3cm，则线段BC的长为（　　）
A．6cm B．6.5cm C．7.5cm D．10.5cm
6. 如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，将A，D1间加一条安全绳（线段AD1），AD1分别交BB1，CC1于点E，F，量得AE＝0.4m，则AD1的长为（　　）
A．0.8m B．1m C．1.2m D．1.4m
7．如图，点D、F在线段AB上，点E、G在线段AC上，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，如果EG＝3，那么AC的长为 　　．
8.如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．
（1）如果AB＝8，BC＝4，EF＝12，求DE的长；
（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．
9.如图，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．
（1）AB＝3，求BC；
（2）EF＝7.5，BE的长．
能力提升
10. 已知线段m，n，求作线段x，使得，下列作图正确的是（　　）
A．B． C． D．
11. AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12. 如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，下列式子错误的是（　　）
A． B． C． D．
13. 如图，点E是AC中点，且BC：CD＝3：2，CG∥DF交AB于点G，则AF：FG＝　　，BG：GF＝　　，BF：FA＝　　．
14. 如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，＝，BF＝6cm，求EF和FC的长．
15. 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24．
（1）求AB的长；
（2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长．
16.如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．
（1）求CG的长；
（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
17.如图，AB∥EF∥CD，E为AD与BC的交点，F在BD上，求证：+＝．
培优拔尖
18. 在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（　　）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
19. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图③，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm．求BD的长．
20.在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当＝时，有＝　　
（2）当＝时，有＝　　；
（3）当＝，有＝　　
在图4中，当＝时，请你猜想的值，用n表示的一般结论 　　（并给出证明）
答案与解析
基础过关
1．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出是解题的关键．
2．如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
【解析】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【点拨】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，故A错误，
，故B错误；
，即，故C正确；
，即，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4. 已知线段a，b，c，求作线段x，使x满足a：b＝c：x的作图中不正确的是（　　）
A．B．C． D．
【点拨】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解析】解：A、作AC∥BD，
则a：b＝c：x，本选项作图中正确，不符合题意；
B、作AC∥BD，
则a：b＝x：c，本选项作图中不正确，符合题意；
C、作AB∥CD，
则a：b＝c：x，本选项作图中正确，不符合题意；
D、作AC∥BD，
则a：b＝c：x，本选项作图中正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5. 如图是一张竖格书法纸，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的A，B，C三点都在竖格线上．若线段AB＝3cm，则线段BC的长为（　　）
A．6cm B．6.5cm C．7.5cm D．10.5cm
【点拨】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得＝，代入计算即可解答．
【解析】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，
∴＝，
即＝，
∴BC＝7.5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
6. 如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，将A，D1间加一条安全绳（线段AD1），AD1分别交BB1，CC1于点E，F，量得AE＝0.4m，则AD1的长为（　　）
A．0.8m B．1m C．1.2m D．1.4m
【点拨】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可．
【解析】解：∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7．如图，点D、F在线段AB上，点E、G在线段AC上，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，如果EG＝3，那么AC的长为 　9　．
【点拨】由平行线分线段成比例定理得＝＝，＝＝，得出AE、CG的长，即可得出结论．
【解析】解：∵DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，EG＝3，
∴＝＝，＝＝，
∴AE＝EG＝2，CG＝EG＝4，
∴AC＝AE+EG+CG＝2+3+4＝9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
8.如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．
（1）如果AB＝8，BC＝4，EF＝12，求DE的长；
（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．
【点拨】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；
（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．
【解析】解：（1）∵l1∥l2∥l3．
∴＝＝2，
∴DE＝2EF＝24；
（2）∵l1∥l2∥l3．
∴＝，
∴BC＝AB＝×6＝9，
∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9.如图，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．
（1）AB＝3，求BC；
（2）EF＝7.5，BE的长．
【点拨】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式＝，把已知数据代入计算即可．
（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式＝，把已知数据代入计算即可．
【解析】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AD＝2，DE＝4，AB＝3，
∴＝，
解得：BC＝6；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，
∴＝，
解得：BE＝5．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
能力提升
10. 已知线段m，n，求作线段x，使得，下列作图正确的是（　　）
A．B． C． D．
【点拨】利用比例的性质得到x：b＝b：2a或b：x＝2a：b，当m∥n时，根据平行线分线段成比例定理可对各选项进行判断．
【解析】解：∵x＝，
∴x：b＝b：2a或b：x＝2a：b，
∴作图正确的是．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
11. AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【解析】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，AE＝AD，
∴，
∴AF：FC＝1：6，
∴的值
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12. 如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，下列式子错误的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用DE∥BC，GF∥AC，得出△BGF∽△BAC，△ADE∽△ABC，△DGM∽△DAE以及平行四边形MECF，进而得出比例式，再对每一项进行判断即可．
【解析】解：∵DE∥BC，GF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，△BGF∽△BAC，△DGM∽△DAE，且四边形MECF是平行四边形．
∴＝，＝，＝，ME＝FC．
∴＝．
所以ABD正确，C错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题关键是灵活运用定理列出比例式．
13. 如图，点E是AC中点，且BC：CD＝3：2，CG∥DF交AB于点G，则AF：FG＝　1：1　，BG：GF＝　3：2　，BF：FA＝　5：2　．
【点拨】根据平行线分线段成比例定理得以及BG：GF＝BC：CD，进行解答即可．
【解析】解：∵CG∥DF，
∴，
∴点E是AC的中点，
∴AE＝EC，
∵AF：FG＝1：1，
∵CG∥DF，
∴BG：GF＝BC：CD＝3：2，
∴BF：FA＝5：2．
故答案为：1：1，3：2，5：2．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解决此题的关键是清楚三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
14. 如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，＝，BF＝6cm，求EF和FC的长．
【点拨】根据平行线分线段成比例定理，由AE∥DF得＝，可计算出EF＝4，则BE＝BF+EF＝10，然后再由DE∥AC得到＝，可计算出CE＝，所以CF＝CE+EF＝．
【解析】解：∵AE∥DF，
∴＝，即＝，
∴EF＝4，
∴BE＝BF+EF＝6+4＝10，
∵DE∥AC，
∴＝，即＝，
∴CE＝，
∴CF＝CE+EF＝．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
15. 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24．
（1）求AB的长；
（2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长．
【点拨】（1）根据l1∥l2∥l3，推出＝＝，代入求出BC即可求出AB；
（2）根据l1∥l2∥l3，得出＝＝，求出OB、OC，根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，代入求出即可．
【解析】（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF＝5：8，AC＝24，
∴＝＝，
∴＝，
∴BC＝15，
∴AB＝AC﹣BC＝24﹣15＝9．
（2）解：∵l1∥l2∥l3
∴＝＝，
∴＝，
∴OB＝3，
∴OC＝BC﹣OB＝15﹣3＝12，
∴＝＝，
∴＝，
∴CF＝4．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．
16.如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．
（1）求CG的长；
（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
【点拨】（1）由EF∥BD，推出＝＝，由FG∥AC，推出＝＝，可得结论．
（2）由EF∥BD，推出＝，可得结论．
【解析】解：（1）∵EF∥BD，
∴＝＝，
∵FG∥AC，
∴＝＝，
∵BG＝4，
∴CG＝6．
（2）∵CD＝2，CG＝6，
∴DG＝CG﹣CD＝4，
∵BG＝4，
∴BD＝BG+DG＝8，
∵＝，
∴＝，
∵EF∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
17.如图，AB∥EF∥CD，E为AD与BC的交点，F在BD上，求证：+＝．
【点拨】根据平行线分线段成比例定理，得到＝和＝，求和化简得到答案．
【解析】解：∵AB∥EF，
∴＝，
∵EF∥CD，
∴＝，
∴+＝+＝1，
∴+＝．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理、找准对应关系是解题的关键．
培优拔尖
18. 在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（　　）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
【点拨】如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．首先证明HG＝MG＝CF，再利用平行线分线段成比例定理构建方程组即可解决问题．
【解析】解：如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．
∵MH∥BC，
∴＝＝＝＝，
∵BE＝EF＝CF，
∴HG＝MG＝CF，
∴＝＝，
∴y+z＝x，
∴＝＝，
∴x+y＝4z，
∴x＝z，y＝z，
∴x：y：z＝5：3：2，
解法二：延长BM到D，使得MD＝BM，连接AD．
∵MA＝MC，∠AMD＝∠CMB，MD＝MB，
∴△AMD≌△CMB（SAS），
∴BC＝AD，∠D＝∠MBC，
∴AD∥CB，
∴＝＝，
∴DG＝3x，BD＝4x，BM＝DM＝2x，
∵＝＝，
∴BH＝x，
∴GH＝x，HM＝x，
∴x：y：z＝5：3：2．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
19. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图③，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm．求BD的长．
【点拨】（1）过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E，由CE∥DA，可求证，∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E，可得AE＝AC，即可求解；
（2）根据（1）中的结论即可求解．
【解析】（1）证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E，
∵CE∥DA，
∴，∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴；
（2）解：∵AD是角平分线，
∴，
∵AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，
∴，
解得BD＝cm．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
20.在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当＝时，有＝　　
（2）当＝时，有＝　　；
（3）当＝，有＝　　
在图4中，当＝时，请你猜想的值，用n表示的一般结论 　　（并给出证明）
【点拨】（1）过D作DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理，可得出AO：AD＝AE：AF，由已知＝，从而得出AE：EF＝2：1，根据＝，即可得出答案；
（2）过D作DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理，可得出AO：AD＝AE：AF，由已知＝，从而得出AE：EF的值，根据＝，即可得出答案；
（3）过D作DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理，可得出AO：AD＝AE：AF，由已知＝，从而得出AE：EF的值，根据＝，即可得出答案；
过D作DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理，可得出AO：AD＝AE：AF，由已知 ＝，从而得出AE：EF＝2：（n﹣1），根据 ＝，即可得出答案．
【解析】解：过D作DF∥BE，如图所示；
∴AO：AD＝AE：AF，
∵D为BC边的中点，
∴CF＝EF＝EC，
（1）∵＝，
∴＝；
故答案为：
（2）∵＝，
∴＝，
∴2AE＝2EF，
∴＝1，
∴＝1，
∴＝，
故答案为：；
（3）∵，
∴＝，
∴3AE＝2EF，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝；
故答案为：
（4）∵＝，
即AE：（AE+2EF）＝1：n，
∴AE+2EF＝nAE，
∴（n﹣1）AE＝2EF，
∴AE：EF＝2：（n﹣1）．
∵＝＝，
∴＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，本题辅助线的作法是解题的关键．
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