4.3 相似三角形 同步分层作业（含解析）

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4.3相似三角形 同步分层作业
基础过关
1．已知△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，AC＝9，则DF＝（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
2．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（　　）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
3．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．△ABC∽△A′B′C′且相似比为，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为，则△ABC与△A″B″C″的相似比为（　　）
A． B． C． D．或
5．如图，△ABC∽△CBD，AB＝4，BD＝6，则BC＝　　．
6．（1）如图1，△ADE∽△ABC，对应边的比例式为 　 　；
（2）如图2，△ADE∽△ABC，对应边的比例式为 　　 ；
（3）如图3，△ADE∽△ACB，对应边的比例式为 　 　.
7．如图，E是AD上的一点，△ABE∽△ADB，且＝，∠AEB＝110°，∠A＝40°
（1）求∠ABD与∠D的度数，
（2）写出△ABE与△ADB的对应边成比例的比例式，并求出相似比．
8．如图，△ABC∽△ACD．
（1）若＝，AD＝4cm，DC＝6cm，求AC和BC的长；
（2）若∠A＝58°，∠ADC＝88°，求∠B的度数．
9．如图，已知△ABC∽△DAC．
（1）若∠B＝36°，∠D＝117°，求∠BAD的度数；
（2）若AD＝4cm，2BC＝3AC，求AB的长．
10．如图，△ADE∽△ABC，AD＝40，BD＝20，BC＝50，∠A＝70°，∠ABC＝30°．
（1）求∠AED和∠ADE的大小；
（2）求DE的长；
（3）BC与DE的位置关系如何？试说明理由．
能力提升
11．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB2＝BC BD B．AB2＝AC CD C．AB AD＝BD BC D．AB AD＝AD CD
12．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　）
A．CD2＝AD DB B．AC2＝BC CD C． D．
13．△ABC的三边长分别为，，2，△DEF的两边长分别为1和，如果△ABC∽△DEF，那么△DEF的第三边长可能是下列数中的（　　）
A． B． C． D．
14．一个直角三角形两条直角边的长分别为4，8，另一个和它相似的直角三角形的一条直角边为12，则另一条直角边的长为（　　）
A．6 B．24 C．6或24 D．6或
15．已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，那么△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为 　　．
16．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，△CBD∽△ACD，若AC＝4，BD＝6，则AD的长为 　　．
17．若一等腰三角形的底角平分线与底边围成的三角形与原图形相似，则等腰三角形顶角为　　度．
18．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，则x的值可以有　　个．
19.要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙一共有 　　种．
20.如图，已知△ABP，点C，D在边AB上，连接PC，PD，使∠ADP＝60°，且△ACP∽△PDB．
（1）请判定△PCD的形状，并说明理由；
（2）若AC＝2，BD＝3，求△ABP的面积．
21.如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．
培优拔尖
22．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（　　）
A． B． C．10 D．
23．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为（　　）
A．113° B．92° C．113°或92° D．92°或134°
24．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）若∠ADP＝32°，求∠FPB；
（2）若AP＝，求BE；
（3）若△PFD∽△BFP，求．
答案与解析
基础过关
1．已知△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，AC＝9，则DF＝（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【点拨】直接根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，AC＝9，
∴＝，即＝，
解得DF＝6．
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的
2．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（　　）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
【点拨】直接利用相似三角形的性质得出＝，进而求出答案．
【解析】解：∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，
∴＝，
解得：AE＝5，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的比是解题关键．
3．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【点拨】利用相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．
【解析】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明∠BAC＝135°．
4．△ABC∽△A′B′C′且相似比为，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为，则△ABC与△A″B″C″的相似比为（　　）
A． B． C． D．或
【点拨】设△ABC、△A′B′C′、△A″B″C″的边长分别为x、y、z，根据其相似比等于边长的比即可解答．
【解析】解：设△ABC、△A′B′C′、△A″B″C″的边长分别为x、y、z，
∵△ABC∽△A′B′C′且相似比为，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为，
∴＝，＝，即x＝，z＝，
∴＝，即△ABC与△A″B″C″的相似比为×＝．
故选：C．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．
5．如图，△ABC∽△CBD，AB＝4，BD＝6，则BC＝　　．
【点拨】利用相似三角形的性质求解．
【解析】解：∵△ABC∽△CBD，
∴，
∴CB2＝AB BD＝24，
∵CB＞0，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．
6．（1）如图1，△ADE∽△ABC，对应边的比例式为 　＝＝　；
（2）如图2，△ADE∽△ABC，对应边的比例式为 　＝＝　；
（3）如图3，△ADE∽△ACB，对应边的比例式为 　＝＝　.
【点拨】（1）利用相似三角形的性质得出答案；
（2）利用相似三角形的性质得出答案；
（3）利用相似三角形的性质得出答案．
【解析】解：（1）如图1，∵△ADE∽△ABC，
∴对应边的比例式为：＝＝；
故答案为：＝＝；
（2）如图2，∵△ADE∽△ABC，
∴对应边的比例式为：＝＝；
故答案为：＝＝；
（3）如图3，∵△ADE∽△ACB，
∴对应边的比例式为：＝＝．
故答案为：＝＝．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
7．如图，E是AD上的一点，△ABE∽△ADB，且＝，∠AEB＝110°，∠A＝40°
（1）求∠ABD与∠D的度数，
（2）写出△ABE与△ADB的对应边成比例的比例式，并求出相似比．
【点拨】（1）由相似三角形的性质得出∠ABD＝∠AEB＝110°，再由三角形内角和定理求出∠D的度数即可；
（2）由相似三角形的性质即可得出答案．
【解析】解：（1）∵△ABE∽△ADB，
∴∠ABD＝∠AEB＝110°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣110°﹣40°＝30°；
（2）∵△ABE∽△ADB，
∴＝＝＝，相似比为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质；熟练掌握相似三角形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键．
8．如图，△ABC∽△ACD．
（1）若＝，AD＝4cm，DC＝6cm，求AC和BC的长；
（2）若∠A＝58°，∠ADC＝88°，求∠B的度数．
【点拨】（1）根据相似三角形对应边的比相等即可得到结论；
（2）根据相似三角形对应角相等即可得到结论．
【解析】解：（1）∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，
∵AD＝4cm，DC＝6cm，
∴AC＝5cm，BC＝cm；
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACB＝∠ADC＝88°，
∵∠A＝58°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝34°．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键．
9．如图，已知△ABC∽△DAC．
（1）若∠B＝36°，∠D＝117°，求∠BAD的度数；
（2）若AD＝4cm，2BC＝3AC，求AB的长．
【点拨】（1）由△ABC∽△DAC，推出∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，可得结论；
（2）利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】解：（1）∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝36°+117°＝153°；
（2）∵△ABC∽△DAC，
∴＝，
∵2BC＝3AC，
∴，
∵AD＝4cm，
∴，
∴AB＝6cm．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，△ADE∽△ABC，AD＝40，BD＝20，BC＝50，∠A＝70°，∠ABC＝30°．
（1）求∠AED和∠ADE的大小；
（2）求DE的长；
（3）BC与DE的位置关系如何？试说明理由．
【点拨】（1）由∠A＝70°，∠ABC＝30°，即可求得∠C的度数，然后由△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED和∠ADE的大小；
（2）由△ADE∽△ABC，AD＝40，BD＝20，BC＝50，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长；
（3）由△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，即可得∠ADE＝∠ABC，继而证得BC∥DE．
【解析】解：（1）∵∠A＝70°，∠ABC＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝80°，
∵△ADE∽△ABC，
∴∠AED＝∠C＝80°，∠ADE＝∠ABC＝30°；
（2）∵AD＝40，BD＝20，
∴AB＝AD+BD＝60，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
解得：DE＝；
（3）BC∥DE．
理由：∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴BC∥DE．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想
能力提升
11．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB2＝BC BD B．AB2＝AC CD C．AB AD＝BD BC D．AB AD＝AD CD
【点拨】根据相似三角形的性质进行计算即可得．
【解析】解：∵△ABC∽△DBA，
∴，
∴，，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　）
A．CD2＝AD DB B．AC2＝BC CD C． D．
【点拨】根据相似三角形的判定定理依次判断即可．
【解析】解：由CD2＝AD DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论；
由AC2＝BC CD，可得AC：BC＝CD：AC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，故B选项正确；
由得不出结论；
由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及．
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和判定，熟知相关判定定理是解题关键．
13．△ABC的三边长分别为，，2，△DEF的两边长分别为1和，如果△ABC∽△DEF，那么△DEF的第三边长可能是下列数中的（　　）
A． B． C． D．
【点拨】本题可根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，来求出△DEF的第三边的长．
【解析】解：设△DEF的第三边长为x，
∵△ABC∽△DEF，
且△ABC的三边长分别为，，2，△DEF的其中的两边长分别为1和，
∴＝＝，
∴x＝，
即：△DEF的第三边长为；
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等
14．一个直角三角形两条直角边的长分别为4，8，另一个和它相似的直角三角形的一条直角边为12，则另一条直角边的长为（　　）
A．6 B．24 C．6或24 D．6或
【点拨】设另一直角边为x，然后分两种情况利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解析】解：设另一直角边为x，
∵两三角形相似，
∴＝或＝，
解得x＝6或x＝24．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．
15．已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，那么△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为 　　．
【点拨】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．
【解析】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，
∴AB：A1B1＝1：5，AB：A2B2＝2：3，
设AB＝2x，则A1B1＝10x，A2B2＝3x，
∴A1B1：A2B2＝10：3，
∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．
故答案为：．
【点睛】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．
16．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，△CBD∽△ACD，若AC＝4，BD＝6，则AD的长为 　2　．
【点拨】依据△CBD∽△ACD，可得∠ACD＝∠B，结合∠A＝∠A，即可得出△ACD∽△ABC，进而得到AC2＝AD AB，可得AD的长．
【解析】解：∵△CBD∽△ACD，
∴∠ACD＝∠B，＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
，即AC2＝AD AB，
∴AC2＝AD （AD+BD），
∵AC＝4，BD＝6，AB＝AD+BD，
∴42＝AD （AD+6），
解得AD＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
17．若一等腰三角形的底角平分线与底边围成的三角形与原图形相似，则等腰三角形顶角为　36　度．
【点拨】根据△ABC∽△BCD，得到∠A＝∠2，在△ABC中根据内角和定理得到等腰三角形顶角为36度．
【解析】解：设∠1＝x，
∵AB＝AC
∴∠2＝x，∠C＝2x，
∵△ABC∽△BCD，
∴∠A＝∠2＝x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴等腰三角形顶角为36°．
【点睛】本题考查相似三角形的性质以及三角形的内角和定理．
18．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，则x的值可以有　2　个．
【点拨】由一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，可得x可能是斜边或4是斜边，继而求得答案．
【解析】解：∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，
∴x可能是斜边或4是斜边，
∴x＝5或．
∴x的值可以有2个．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．
19.要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙一共有 　3　种．
【点拨】根据相似图形的定义，直接判断，求得正确结果．
【解析】解：三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20.如图，已知△ABP，点C，D在边AB上，连接PC，PD，使∠ADP＝60°，且△ACP∽△PDB．
（1）请判定△PCD的形状，并说明理由；
（2）若AC＝2，BD＝3，求△ABP的面积．
【点拨】（1）根据三角形相似结合∠ADP＝60°即可判断；
（2）根据三角形相似得出等式求出等边三角形边PD的长从而得出高，即可得出结果．
【解析】解：（1）△PCD为等边三角形，理由如下：
∵△ACP∽△PDB，
∴∠ACP＝∠PDB，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴△PCD是等腰三角形，
又∵∠ADP＝60°，
∴△PCD是等边三角形；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴，
又∵AC＝2，BD＝3，△PCD的等边三角形，
∴，
∴PD＝（负值已舍），
如图，过点P作PH⊥CD于H，
∵∠CDP＝60°，
∴PH＝PD＝，
∴S＝＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
21.如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．
【点拨】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明；
（2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解．
【解析】（1）证明：∵△AEB∽△DEC，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD，
即AB∥CG，
∵CD＝2AB，CG＝CD，
∴AB＝CG，
∴四边形ABCG是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，
∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，
∵∠GAD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE＝，
即BE＝＝，
∵△AEB∽△DEC，
∴＝＝，
∴CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝3，
∴AG＝BC＝3．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．
培优拔尖
22．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（　　）
A． B． C．10 D．
【点拨】结合题意作出图形，分两种情况分析，利用相似求出相应的边长即可．
【解析】解：如图所示矩形ABEF，
设DF＝x，CE＝y，
∵△DEF∽△BCE，
∴，
即，
∴，
∴DE＝DC+CE＝，故B不符题意；
∴BE＝AD+DF＝，故D不符题意；
如图所示矩形ABEF，
设FC＝x，DF＝y，
∵△DEF∽△BCE，
∴，
即，
∴，
∴FD＝10，故C不符题意；
BF＝FC+BC＝15；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质的应用，三角形的相似的应用是解题关键．
23．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为（　　）
A．113° B．92° C．113°或92° D．92°或134°
【点拨】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC＝AD时，②当DA＝DC时，分别求解即可．
【解析】解：∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A＝46°，
∵△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，
∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，
①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣46°）＝67°，
∴∠ACB＝67°+46°＝113°，
②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，
∴∠ACB＝46°+46°＝92°，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）若∠ADP＝32°，求∠FPB；
（2）若AP＝，求BE；
（3）若△PFD∽△BFP，求．
【点拨】（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求解；
（2）首先证得△PAD≌△EQP，可以证得△BEQ是等腰直角三角形，即可求解；
（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得的值．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
∵∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠FPB＝90°，
∴∠ADP＝∠FPB＝32°；
（2）过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP＝∠A＝90°，
又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，
∴△PAD≌△EQP（AAS），
∴EQ＝AP，AD＝AB＝PQ，
∴AP＝EQ＝BQ＝，
∴BE＝；
（3）∵△PFD∽△BFP，
∴＝，
∵∠A＝∠PBC，∠ADP＝∠FPB，
∴△APD∽△BFP，
∴＝，
∴AP＝BP，
∴＝．
解法二：如图，过点P作PT⊥DF于点T．
∵△PFD∽△BFP，
∵∠BPF＝∠PDT，
∵∠BPF＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠TDP，
∵∠A＝∠DTP＝90°，DP＝DP，
∴△ADP≌△TDP（AAS），
∴PA＝PT，∠APD＝∠DPT，
∵∠BPF+∠APD＝90°，∠FPT+∠DPT＝90°，
∴∠BPF＝∠TPF，
∵∠PTF＝∠PBF＝90°，PF＝PF，
∴△PFT≌△PFB（AAS），
∴PT＝PB，
∴PA＝PB，
∴＝．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确探究三角形相似的性质是解题的关键．
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