4.4 两个三角形相似的判定 同步分层作业（含解析）

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4.4两个三角形相似的判定 同步分层作业
基础过关
1. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，若DE＝5，则线段BC的长是（　　）
A．10 B．15 C．16 D．18
2.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC＝∠ADB，AD＝2，AC＝6，则AB的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．2
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝1，BD＝4，则CD＝（　　）
A．2 B．4 C． D．3
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，连接AE交BD于点F，求BF的长（　　）
A． B．4 C． D．
5. 如图，锐角△ABC的边AB、AC上的高线BD、CE交于点O，连接ED，则图中相似的三角形有（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
6. 直线DE与△ABC的边AB相交于点D，与AC边相交于点E，下列各条件：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④＝；⑤AD AC＝AE AB．能够判断△ADE∽△ABC的是 　 　．
7. 在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①△ABC；②△ACD；③△ADE；④△AEF；⑤△AGH．其中与⑤相似的三角形是 　 　（只填序）．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AC＝3，AB＝4，求AD的长．
9. 如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若AC＝3，AE＝8，求AD．
10. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AC＝3，BC＝4，且AC＝AD，弦CD交直径AB于点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求弦CD的长．
题组B 能力提升练
11. 如图，四边形ABCD的两条不等长对角线AC，BD相交于点O，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OC＝OB：OD＝1：2，则（　　）
A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若BC＝2，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
13 如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14. 如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：
（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；
（2）分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；
（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点 E．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD CE；所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．①②④
15. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论中正确的结论有（　　） ①＝；②AE2＝AD AF；③△ADF≌△ABE；④图中有3对相似三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝10cm，AC＝15cm，点P从点A出发，沿AB方向以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，沿CA方向以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为x（x＞0）s，当△APQ与△CQB相似时，x的值为 　或　．
17. 如图，矩形ABCD的边长AD＝8，AB＝6，E为AB的中点，AC分别与DE，DB相交于点M，N，则MN的长为　　．
18. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R在DE上，且DR：RE＝5：4，BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则BP：PQ：QR＝　 　．
19. 如图，四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFGH都是正方形，且点B、C、F、G在同一直线上，则∠1+∠2＝　　°．
20.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且，BE＝2，CD＝8，CF交AB于点G，则弦CF的长为　　，AG的长为　　．
21.如图，AB为半圆O的直径，CD＝，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，则EF＝　　．
22.如图，在△ABC中，D是边AB上一点．
（1）当∠ACD＝∠B时，
①求证：△ABC～△ACD；
②若AD＝1，BD＝3，求AC的长；
（2）已知，若CD＝2，求BC的长．
23.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D，E分别在近BC，AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时，求AE的长．
24.已知在△BC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC，BC于点D，E．连结AE，BD，AE与BD相交于点F，BF＝5，CE＝2．
（1）求证：①CE＝BE；②△BEF∽△BDC．
（2）求DF的长．
（3）求AB的长．
题组C 培优拔尖练
25. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②DF＝DC；③△AEF∽△CAB；④S四边形CDEF＝，正确的结论有 　　．（填序号）
26. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，即可证明勾股定理．连接CG交AB于点M，连接CE，CH，若CH＝2CE，则的值为 　　．
27. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E．下列结论：①AD2＝AE AB；②3.8≤AE＜10；③当AD＝2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是　 　　．（把你认为正确结论的序号都填上）
28. 综合实践课上，小慧用两张如图①所示的直角三角形纸片：∠A＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，斜边重合拼成四边形，接着在CB，CD上取点E，F，连AE，BF，使AE⊥BF．
（1）若拼成的四边形如图②所示，则的值为 　　；
（2）若拼成的四边形如图③所示，则的值为 　　．
29. 如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是　　．
30. 已知，如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，∠DEF＝∠ABC．将∠DEF与
∠ABC重合在一起，让∠DEF在边BC上以每秒1个单位长度的速度从B向C运动（不含
端点），且在运动过程中满足：DE始终经过点A．EF与AC交于点G．解决下列问题：
（1）求证：△ABE∽△ECG；
（2）当∠DEF运动几秒时，△AEG为等腰三角形；
（3）当线段AG最短时，求△AEG的面积.
31.【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．
答案与解析
基础过关
1. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，若DE＝5，则线段BC的长是（　　）
A．10 B．15 C．16 D．18
【点拨】由BD＝2AD，得＝；由DE∥BC，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△ADE∽△ABC，则＝＝，即可求得BC＝3DE＝15，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵BD＝2AD，
∴AB＝AD+BD＝AD+2AD＝3AD，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝3DE＝3×5＝15，
∴线段BC的长是15，
故选：B．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，求得＝并且证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
2.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC＝∠ADB，AD＝2，AC＝6，则AB的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．2
【点拨】由∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADB，则＝，其中AD＝2，AC＝6，即可求得AB＝2．
【解析】解：∵∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，
∴AB2＝AD AC，
∵AD＝2，AC＝6，
∴AB2＝2×6＝12，
∴AB＝2，
∴AB的长为2，
故选：D．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△ABC∽△ADB是解题的关键．
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝1，BD＝4，则CD＝（　　）
A．2 B．4 C． D．3
【点拨】根据射影定理得到CD2＝AD BD＝4，然后利用算术平方根的定义求解．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴CD2＝AD BD＝1×4＝4，
∴CD＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．要善于合理使用射影定理进行几何计算．
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，连接AE交BD于点F，求BF的长（　　）
A． B．4 C． D．
【点拨】利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解答即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°，AD＝BC＝3，
∴BD＝＝＝5．
∵E为DC的中点，
∴DE＝CD，
∴DE＝AB，
∴．
∴BF＝BD＝．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
5. 如图，锐角△ABC的边AB、AC上的高线BD、CE交于点O，连接ED，则图中相似的三角形有（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【点拨】由∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACE，可证△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6对相似三角形，由相似三角形的判定方法可证△ADE∽△ABC，△BOC∽△EOD，可得结论．
【解析】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠A+∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6对相似三角形，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∵，∠DOE＝∠BOC，
∴△BOC∽△EOD，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
6. 直线DE与△ABC的边AB相交于点D，与AC边相交于点E，下列各条件：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④＝；⑤AD AC＝AE AB．能够判断△ADE∽△ABC的是 　①②④⑤　．
【点拨】利用相似三角形的判定方法依次进行判断可求解．
【解析】解：①∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，故此选项正确；
②DE∥BC，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出△ADE∽△ABC，故此选项正确；
③，缺少夹角相等，故不能判定△ADE∽△ABC，故此选项错误；
④，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，故此选项正确；
⑤AD AC＝AE AB，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，故此选项正确；
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
7. 在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①△ABC；②△ACD；③△ADE；④△AEF；⑤△AGH．其中与⑤相似的三角形是 　①③　（只填序）．
【点拨】由∠AHG＝135°，而∠ACD≠135°，∠AEF≠135°，可判断△ACD与△AGH不相似，△AEF与△AGH不相似，设网格中每个小正方形的边长为1，则AB＝1，GH＝ED＝2，由勾股定理得AH＝CB＝，AD＝2，可知＝＝，＝＝，而∠ABC＝∠EDA＝∠AHG＝135°，可证明△ABC∽△AHG，△ADE∽△GHA，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵∠AHG＝45°+90°＝135°，
∴与△AGH相似的三角形一定有一个钝角为135°，
∵∠ACD≠135°，∠AEF≠135°，
∴△ACD与△AGH不相似，△AEF与△AGH不相似，
设网格中每个小正方形的边长为1，则AB＝1，GH＝ED＝2，
由勾股定理得AH＝CB＝，AD＝2，
∴＝＝，
∵∠ABC＝∠AHG＝135°，
∴△ABC∽△AHG，
∴＝＝，∠EDA＝∠AHG＝135°，
∴△ADE∽△GHA，
故答案为：①③．
【点睛】此题重点考查勾股定理的应用、相似三角形的判定等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且通过计算证明相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AC＝3，AB＝4，求AD的长．
【点拨】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB
∴，
即，
∴AD＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9. 如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若AC＝3，AE＝8，求AD．
【点拨】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可证明．
（2）利用勾股定理求出BE，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，
∴＝＝，∠BAC＝60°，∠BAE＝90°，
∴＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝3，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝6，
在Rt△ABE中，∵∠BAE＝90°，AB＝6，AE＝8，
∴BE＝＝10，
∵△ACD∽△BCE，
∴＝＝，
∴AD＝．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
10. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AC＝3，BC＝4，且AC＝AD，弦CD交直径AB于点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求弦CD的长．
【点拨】（1）由垂径定理可知∠AEC＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根据相似三角形的性质可知AC2＝AE AB，从而可求出AE＝，再由勾股定理以及垂径定理即可求出CD的长度．
【解析】解：（1）∵AC＝AD，AB是⊙O的直径，
∴CD⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BAC＝∠BAC+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠B，
∴△ACE∽△ABC．
（2）由（1）可知：，
∴AC2＝AE AB，
∵AC＝3，BC＝4，
∴由勾股定理可知：AB＝5，
∴AE＝，
∴由勾股定理可知：CE＝，
∴由垂径定理可知：CD＝2CE＝．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，本题属于中等题型．
能力提升
11. 如图，四边形ABCD的两条不等长对角线AC，BD相交于点O，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OC＝OB：OD＝1：2，则（　　）
A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
【点拨】利用已知条件得到即＝，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到＝，而∠AOD＝∠BOC，相等的角的两边不成比例，所以不能判断△AOD与△BOC相似．
【解析】解：∵OA：OC＝OB：OD＝1：2，
即＝，
而∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∵＝，
∴＝，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴不能判断△AOD与△BOC相似．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若BC＝2，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据垂直及各角之间的关系可得△ACE与△ABD是等腰直角三角形，得出，利用相似三角形的判定和性质可得△ADE∽△ABC，，代入求解即可得到答案．
【解析】解：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACE与△ABD是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BC＝2，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握运用各个知识点是解题的关键．
13 如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】设AP＝x，则有PB＝AB﹣AP＝7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．
【解析】解：设AP＝x，则有PB＝AB﹣AP＝7﹣x，
当△PDA∽△CPB时，＝，即＝，
解得：x＝1或x＝6，
当△PDA∽△PCB时，＝，即＝，
解得：x＝，
则这样的点P共有3个，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
14. 如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：
（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；
（2）分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；
（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点 E．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD CE；所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．①②④
【点拨】由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．
【解析】解：由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，故①正确，
∴OP⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠AOD＝∠AOC＝45°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∴∠AOD＝∠OBC＝45°，
∴OD∥BC，故②正确，
∴＝＜1，
∴OE＜EC，故③错误，
连接CD．
∵∠DCE＝∠DCO，∠CDE＝∠COD＝45°，
∴△DCE∽△OCD，
∴＝，
∴CD2＝OD CE，
∵∠AOD＝∠DOC，
∴＝，
∴AD＝CD，
∴AD2＝OD CE，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论中正确的结论有（　　） ①＝；②AE2＝AD AF；③△ADF≌△ABE；④图中有3对相似三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，进而又可得出△ABE∽△AEF，即可得出题中结论．
【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠BAE+∠AEB＝∠FEC+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△CEF∽△BAE，
∴＝，
∵E是BC的中点，
∴＝，
∴＝，故①正确；
由△CEF∽△BAE可得＝，
∴∠EAF＝∠BAE的正切值相同，
∴∠EAF＝∠BAE，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△AEF，
∴＝，
∴AE2＝AB AF，
∵AD＝AB，
∴AE2＝AD AF，故②正确；
∵＝2，＝，
∴，
∴△ADF与△ABE不全等，故③错误；
由以上证得△CEF∽△BAE，△ABE∽△AEF，
∴△CEF∽△AEF，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，其中又涉及正方形的一些性质问题，能够熟练掌握这些定理是解题的关键．
16. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝10cm，AC＝15cm，点P从点A出发，沿AB方向以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，沿CA方向以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为x（x＞0）s，当△APQ与△CQB相似时，x的值为 　或　．
【点拨】以A、P、Q为顶点的三角形能与以C、Q、B为顶点的三角形相似，分两种情况考虑：①当△APQ∽△CQB时；②当△APQ∽△CBQ时，由相似得比例求出x的值即可．
【解析】解：①当△APQ∽△CQB时，
有，
即：，
解得：x＝；
②当△APQ∽△CBQ时，
有，
即：，
解得：x＝或x＝﹣5（舍），
∴x＝或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，一元一次方程的解法，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
17. 如图，矩形ABCD的边长AD＝8，AB＝6，E为AB的中点，AC分别与DE，DB相交于点M，N，则MN的长为　　．
【点拨】由勾股定理求出AC长，则AN＝＝5，证明△AEM∽△CDM，可求出AM长，则MN的长可求出．
【解析】解：∵矩形ABCD的边长AD＝8，AB＝6，
∴AC＝BD＝＝＝10，
∴AN＝＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，
∴△AEM∽△CDM，
∴，
∴，
∴，
∴MN＝AN﹣AM＝5﹣．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，求出AN与AM的长是解题的关键．
18. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R在DE上，且DR：RE＝5：4，BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则BP：PQ：QR＝　7：2：5　．
【点拨】用平行四边形的性质得到平行，可得到PB＝PR，，且DR：RE＝5：4，代入可得到QR和PQ之间的关系，结合BP＝PR＝PQ+QR＝PQ，可得到答案．
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，
∴PB＝PR，，
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ，
∴，
∵DR：RE＝5：4，
∴RE＝DR，
∴＝，
∴QR＝PQ，
又∵BP＝PR＝PQ+QR＝PQ，
∴BP：PQ：QR＝7：2：5，
故答案为：7：2：5．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质及平行四边形的性质，由条件得到QR＝PQ，BP＝PQ，是解题的关键．
19. 如图，四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFGH都是正方形，且点B、C、F、G在同一直线上，则∠1+∠2＝　45　°．
【点拨】首先求出线段AC、AF、AG的长度（用λ表示），求出两个三角形对应边的比，进而证明△ACF∽△GCA，问题即可解决．
【解析】证明：设小正方形的边长为λ，
由勾股定理得：
AC2＝λ2+λ2＝2λ2，
∴AC＝λ；
同理可证：AF＝λ，AG＝λ；
∵＝＝，
即＝＝，
∴△ACF∽△GCA，
∴∠1＝∠CAG；
∵∠ACB＝∠CAF+∠2＝45°，
∴∠1+∠2＝45°．
故答案为：45．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
20.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且，BE＝2，CD＝8，CF交AB于点G，则弦CF的长为　　，AG的长为　　．
【点拨】连接DF，OC，先求出OC＝5，连接DO并延长交CF于点H，证明△DHF∽△CEO，可得＝，可求出FH和DH的长，求出CF和OH长，证明△GHO∽△CEO，可得，可求出OG长，则AG的长可求出．
【解析】解：连接BC，DF，OC，连接DO并延长交CF于点H，
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8，
∴CE＝＝4，
设OC＝x，则OE＝x﹣2，
∵OE2+CE2＝OC2，
∴（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴OC＝5，
∴OE＝5﹣2＝3，
∵，
∴DF＝CD，∠CFD＝∠COB，DH⊥CF，
∴∠FHD＝∠OEC＝90°，
∴△DHF∽△CEO，
∴＝，
∴，
∴FH＝，DH＝，
∴CF＝2FH＝，
OH＝DH﹣OD＝，
∵∠CFD＝∠COB＝∠BOD，∠BOD＝∠GOH，
∴∠GOH＝∠DFH，
∵∠GHO＝∠OEC＝90°，
∴△GHO∽△CEO，
∴，
∴，
∴OG＝，
∴AG＝OA﹣OG＝5﹣＝．
故答案为：，．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
21.如图，AB为半圆O的直径，CD＝，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，则EF＝　2　．
【点拨】连接OE、OF、AC、BF，利用△CED∽△AEB，得，可知AE＝2CE，设CE＝x，则AE＝2x，AC＝x，利用勾股定理列方程可得OE的长度，再证明OF∥BC，证明∠EOF＝90°，从而解决问题．
【解析】解：连接OE、OF、AC、BF，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝∠ABE，
∵∠CED＝∠AEB，
∴△CED∽△AEB，
∴，
∴CE＝AE，
设CE＝x，则AE＝2x，AC＝x，
∵E为BC的中点，
∴BC＝2x，
∴AB＝x＝4，
∴x＝4，
∴AC＝4，
∴OE＝AC＝2，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠OBF，
∵点F为的中点，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠OFB＝∠CBF，
∴OF∥BC，
∴∠FOE＝∠CEO＝90°，
在Rt△OFE中，由勾股定理得，
EF＝＝＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，求出OE的长是解题的关键．
22.如图，在△ABC中，D是边AB上一点．
（1）当∠ACD＝∠B时，
①求证：△ABC～△ACD；
②若AD＝1，BD＝3，求AC的长；
（2）已知，若CD＝2，求BC的长．
【点拨】（1）①由∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ACD；
②由AD＝1，BD＝3，得AB＝4，由相似三角形的性质得＝，则AC＝＝2；
（2）由AB＝AC＝2AD，CD＝2，得＝＝，而∠A＝∠A，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ACD，于是得＝＝，则BC＝CD＝2．
【解析】解：（1）①证明：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ABC∽△ACD．
②∵AD＝1，BD＝3，
∴AB＝AD+BD＝1+3＝4，
∵△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴AC＝＝＝2，
∴AC的长是2．
（2）∵AB＝AC＝2AD，CD＝2，
∴＝＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴＝＝，
∴BC＝CD＝×2＝2，
∴BC的长是2．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明△ABC∽△ACD是解题的关键．
23.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D，E分别在近BC，AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时，求AE的长．
【点拨】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
（2）利用相似三角形的判定和性质，列出比例式，求解即可．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠CDE＝∠C，
∴△ABD∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得：BD＝12.5，
∴CD＝BC﹣BD＝32﹣12.5＝19.5，
∵DE∥AB，
∴＝，即＝，
解得：AE＝．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确记忆三角形相似的条件和性质．
24.已知在△BC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC，BC于点D，E．连结AE，BD，AE与BD相交于点F，BF＝5，CE＝2．
（1）求证：①CE＝BE；②△BEF∽△BDC．
（2）求DF的长．
（3）求AB的长．
【点拨】（1）①由等腰三角形的性质可得结论；
②利用相似三角形的判定可得结论；
（2）由相似三角形的性质可得，即可求解；
（3）通过证明△BEF∽△AEB，可得，即可求解．
【解析】（1）证明：①∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝2；
②∵∠BEF＝∠BDC＝90°，∠EBF＝∠CBD，
∴△BEF∽△BDC；
（2）解：∵△BEF∽△BDC，
∴，
∴＝，
∴BD＝8，
∴DF＝8﹣BF＝3；
（3）解：∵BF＝5，CE＝2＝BE，
∴EF＝＝＝，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴∠CAE＝∠BAE，
又∵∠CAE＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BAE，
又∵∠AEB＝∠FEB，
∴△BEF∽△AEB，
∴，
∴，
∴AB＝10．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的有关知识，熟练运用相似三角形的判定是解题关键．
培优拔尖
25. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②DF＝DC；③△AEF∽△CAB；④S四边形CDEF＝，正确的结论有 　①②③④　．（填序号）
【点拨】依据△AEF∽△CBF，即可得出CF＝2AF；过D作DM∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF＝DC；依据∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出S四边形CDEF＝．
【解析】解：∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE＝AD＝BC，
∴，
∴CF＝2AF，故①正确；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF＝DC，故②正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故③正确；
如图，连接CE，
由△AEF∽△CBF，可得，
设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，
∴△ACE的面积为3s，
∵E是AD的中点，
∴△CDE的面积为3s，
∴四边形CDEF的面积为5s，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
26. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，即可证明勾股定理．连接CG交AB于点M，连接CE，CH，若CH＝2CE，则的值为 　　．
【点拨】过C作CN⊥AB于N，判定△ACE∽△BCH，即可得到＝＝；设AC＝a，再根据勾股定理以及面积法即可得到AB与CN的长，进而得出AN的长；再根据△CNM∽△GBM，即可得到MN和BM的长，进而得到的值．
【解析】解：如图所示，过C作CN⊥AB于N，
由题可得，∠CAE＝∠CBH＝90°，∠ACE＝∠BCH＝45°，
∴△ACE∽△BCH，
∴＝＝，
设AC＝a，则BC＝2a，AB＝a，CN＝＝a，
Rt△ACN中，AN＝＝a，
∴BN＝a﹣a＝a，
∵∠CNM＝∠GBM＝90°，∠CMN＝∠GMB，
∴△CNM∽△GBM，
∴＝＝＝，
∴MN＝BN＝a，BM＝NB＝a，
∴AM＝AN+MN＝a，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，利用勾股定理或相似三角形的对应边成比例进行计算．
27. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E．下列结论：①AD2＝AE AB；②3.8≤AE＜10；③当AD＝2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是　 　①④　．（把你认为正确结论的序号都填上）
【点拨】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②依据相似三角形对应边成比例即可求得；
③由AD＝2时，求得DC＝10，然后根据对应边相等则两三角形全等，即可证得；
④分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．
【解析】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B
∴∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∴AD2＝AE AB，
故①正确，
②∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△CDE∽△BAD，
∵BC＝16，
设BD＝y，CE＝x，
∴，
∴，
整理得：y2﹣16y+64＝64﹣10x，
即（y﹣8）2＝64﹣10x，
∴0＜x≤6.4，
∵AE＝AC﹣CE＝10﹣x，
∴3.6≤AE＜10．
故②不正确．
③作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，
∵BC＝16，
∴CG＝BC＝8，
∴AG＝6，
（1）当点D在G点左侧时，如图1所示，
∵AD＝2，
∴DG＝2，
∴CD＝CG+DG＝8+2＝10，
∴AB＝CD，
∴△ABD与△DCE全等；
（2）当点D在G点右侧时，如图2所示，
∵AD＝2，
∴DG＝2，
∴CD＝CG﹣DG＝8﹣2＝6，
∴AB≠CD，
∴△ABD与△DCE不全等；
故③错误；
④当∠AED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC＝∠AED，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADC＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，
BD＝8．
当∠CDE＝90°时，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝α且cosα＝．AB＝10，
∴cosB＝，
∴BD＝12.5．
故④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义以及不等式的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
28. 综合实践课上，小慧用两张如图①所示的直角三角形纸片：∠A＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，斜边重合拼成四边形，接着在CB，CD上取点E，F，连AE，BF，使AE⊥BF．
（1）若拼成的四边形如图②所示，则的值为 　　；
（2）若拼成的四边形如图③所示，则的值为 　　．
【点拨】（1）通过证明△BFC∽△AEB，然后利用相似三角形的性质列比例式求解；
（2）连接AC，BD交于点G，利用勾股定理及面积法求得BD和AG的长，然后通过证明△BDF∽△ACE，利用相似三角形的性质列比例式求解．
【解析】解：（1）如图，
由题意可得：CD＝AB＝3，AD＝BC＝2，且∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴∠FBC+∠ABF＝90°，
又∵AE⊥BF，
∴∠EAB+∠ABF＝90°，
∴∠FBC＝∠EAB，
∴△BFC∽△AEB，
∴＝，
故答案为：；
（2）连接AC，BD交于点G，设BD与AE交于点O，
由题意，AB＝BC＝3，AD＝CD＝2，
∴BD垂直平分AC，
在Rt△ABD中，BD＝＝，
∴AB AD＝BD AG，
∴×3×2＝×AG，
解得：AG＝，
∴AC＝2AG＝，
∵AE⊥BF，BD⊥AC
∴∠DBF+∠EOB＝90°，∠CAE+∠DOA＝90°，∠CDB+∠DCA＝90°，
又∵∠EOB＝∠DOA，
∴∠DBF＝∠CAE，
∵∠DCB＝90°，
∴∠ACE+∠DCA＝90°，
∴∠ACE＝∠CDB，
∴△BDF∽△ACE，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，准确识图，理解矩形的性质，通过添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
29. 如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是　6≤AP＜8　．
【点拨】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．
【解析】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜8；
如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤8；
如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，
∴CP＝2，AP＝6，
∴此时，6≤AP＜8；
综上所述，要有4种不同的剪法，使得过点P沿直线剪下一个与△ABC相似，则AP长的取值范围是6≤AP＜8．
故答案为：6≤AP＜8．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
30. 已知，如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，∠DEF＝∠ABC．将∠DEF与
∠ABC重合在一起，让∠DEF在边BC上以每秒1个单位长度的速度从B向C运动（不含
端点），且在运动过程中满足：DE始终经过点A．EF与AC交于点G．解决下列问题：
（1）求证：△ABE∽△ECG；
（2）当∠DEF运动几秒时，△AEG为等腰三角形；
（3）当线段AG最短时，求△AEG的面积.
【点拨】（1）根据三角形的外角的性质得到∠CEG＝∠BAE，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）首先由∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AGE＞∠C，可得AE≠AG，然后分别从AE＝EG与AG＝EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）设BE＝x，AP＝y，根据△ABE∽△ECG得到比例式，求出y关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠DEF＝∠ABC，
∴∠DEF+∠CEG＝∠AEC＝∠ABC+∠BAE，
∴∠CEP＝∠BAE，
又∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ECG；
（2）解：∵∠DEF＝∠B＝∠C，且∠AGE＞∠C，
∴∠AGE＞∠DEF，
∴AE≠AG；
当AE＝EG时，则△ABE≌△ECG，
∴CE＝AB＝6，
∴BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝2；
当AG＝EG时，则∠GAE＝∠GEA，
∴∠GAE+∠BAE＝∠GEA+∠CEG，
即∠CAB＝∠CEA，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴＝，
∴CE＝＝＝，
∴BE＝8﹣＝；
∴BE＝2或．
故当∠DEF运动2或秒时，△AEG为等腰三角形；
（3）解：设BE＝x，AG＝y，
由（1）得△ABE∽△ECG，
∴＝，
∵CG＝AC﹣AG＝6﹣y，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，
∴＝，
即y＝x2﹣x+6＝（x﹣4）2+，
∴当x＝4时，y有最小值为，
∴当BE为4时，AG有最小值是，
∵BE＝4，BC＝8，
∴点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵△ABE∽△ECG，
∴EG⊥AC，
∴EG＝＝＝，
∴△AEG的面积＝AG EG＝××＝．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及二次函数的性质，掌握相似三角形的性质定理和判定定理、根据相似三角形的性质得到二次函数的解析式、根据二次函数的性质求出函数的最值是解题的关键．
31.【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．
【点拨】（1）证明△ADC∽△ACB，得出，则可得出结论；
（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段，则BF2＝BE BC，求出BC，则可求出AD．
（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段，则DE＝EF，可求出DG，则答案可求出．
【解析】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE BC，
∴BC＝＝，
∴AD＝．
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴DE2＝EF EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵，
∴DG＝，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
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