4.5 相似三角形的性质及其应用 同步分层作业（含解析）

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4.5相似三角形的性质及其应用 同步分层作业
基础过关
1. 儿童乐园中，有两块相似三角形的场地，且相似比为2：3，面积的差为30m2．则这两个三角形地块的①周长比为2：3；②面积比为2：3；③面积之和为78m2；④对应高的比为2：3，其中结论正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2. 如图，已知厚度为xcm的零件外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量出零件的内孔直径AB，如果，且量得CD＝3cm，则零件厚度x为（　　）
A． B．2cm C．1cm D．
3. 如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝12米；②沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得ED＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），那么凉亭AB的高为（　　）
A．6.3米 B．6.4米 C．6.5米 D．6.6米
4. 如图，已知△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是（　　）mm．
A．48 B．80 C．20 D．46
5. 如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆30m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上7cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（　　）
A．3m B．4m C．5m D．6m
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（　　）
A．4 B．6 C．2 D．3
7. 如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（　　）
A．2a B． C．3a D．
8. 小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 　　米．
9. 已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为12，则△DEF的面积为 　3　．
10. 如果两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为 　40　cm．
11.点G是△ABC的重心，GD∥AB，交边BC于点D，如果GD＝2，那么AB的长是 　6　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，则AB长为　6　．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝7cm，点I为三角形的重心，HI⊥BC于点H，则HI＝　　cm．
14．如图，AD∥BC，CD∥AE，DE交BC于点F，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE．
（2）若DE＝6，AE＝9，求AB的长．
15．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）若EF＝CF，△AEF的面积等于2，求△CBF的面积．
16．如图一块三角形土地的底边BC＝100m，高线AH＝80m，现要沿着底边BC修建一座底面是矩形DEFG的大楼，设矩形DEFG的一边长DE＝x（m）．
（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少（用关于x的代数式表示）；
（2）试用关于x代数式表示大楼底面矩形DEFG的面积S；
（3）当DE为多少时，大楼底面的面积最大？最大值是多少？
能力提升
17. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
18. 凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC，若物体到焦点的距离HF1与焦点到凸透镜中心线DB的距离OF之比为3：2，则该物体缩小为原来的（　　）
A． B． C． D．
19. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，BE＝5，则△AEG的面积与四边形BFGE的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
20. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若BC＝2，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
21. 如图，⊙O上的四个点A，B，C，D，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝2，AE＝3，则CD的长为（　　）
A． B． C．6 D．3
22. 已知点G是△ABC的重心，连结BG，过点G作GD∥AB交BC于点D，若△BDG的面积为1，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
23．如图，在 ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为　　cm2．
24. 如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AC，交BC，AB于D，E，EF∥BC交AC于点F，若AC＝8，BC＝11，则四边形CDEF的周长为 　 　．
25. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且，BE＝2，CD＝8，CF交AB于点G，则弦CF的长为　　，AG的长为　　．
26. 如图1，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一动点，点D为弧CB的中点，连接AC并延长交BD的延长线于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）连接AD，分别与OC、BC交于点F、H．
①如图2，当CO⊥AB时，求的值；
②当△CFH是等腰三角形时，求∠CAB的度数．
培优拔尖
27. 如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，OE＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．如图，已知△ABC≌△DCE≌△GEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BG，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝3，则图中三个阴影部分的面积和为 　 　．
29.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连接AE，BD交于点F．
（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．
（2）若＝2，求的值；
（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连接AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，△ABG的面积为S2，求的最大值．
30．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠ADP＝∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．
31．[知识点]三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心．
[解决问题]如图①，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE交于点G，求证：；
[归纳]用文字语言叙述[解决问题]反映的关于三角形重心的性质；
[应用]如图②，在△ABC中，D是边BC的中点，G是△ABC的重心，过点G的直线分别交边AB、AC于点E、F，若AB＝5，AC＝3，BE＝2，则CF＝　　．
答案与解析
基础过关
1. 儿童乐园中，有两块相似三角形的场地，且相似比为2：3，面积的差为30m2．则这两个三角形地块的①周长比为2：3；②面积比为2：3；③面积之和为78m2；④对应高的比为2：3，其中结论正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】利用相似三角形的性质得出面积比，进而求出两三角形面积，即可得出答案．
【解析】解：∵两个相似三角形地块，相似比为2：3，
∴周长比为2：3，对应高的比为2：3，面积比为：4：9，故①④符合题意；②不符合题意；
∵面积的差为30m2，
∴设较小三角形面积为xm2，
则较大三角形面积为：（x+30）m2，
故，
解得x＝24，
检验得：x＝24是原方程根，
故x+30＝54，
即它们的面积之和为24+54＝78（m2），故③符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出两三角形面积比是解题关键．
2. 如图，已知厚度为xcm的零件外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量出零件的内孔直径AB，如果，且量得CD＝3cm，则零件厚度x为（　　）
A． B．2cm C．1cm D．
【点拨】根据相似三角形的判定和性质，求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．
【解析】解：∵＝＝2，∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△COD，
∴＝2，
∵CD＝3cm，
∴AB＝6cm，
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x为：（10﹣6）÷2＝2（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
3. 如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝12米；②沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得ED＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），那么凉亭AB的高为（　　）
A．6.3米 B．6.4米 C．6.5米 D．6.6米
【点拨】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【解析】解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则＝，即＝，
解得：AB＝6.4．
故树高为6.4米．
故选：B．
【点睛】此题考查的是相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似是解题关键．
4. 如图，已知△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是（　　）mm．
A．48 B．80 C．20 D．46
【点拨】设正方形的边长为x，表示出AK的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【解析】解：设正方形的边长为xmm，
则AK＝AD﹣x＝80﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝48mm，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AK的长度，然后列出比例式是解题的关键．
5. 如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆30m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上7cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（　　）
A．3m B．4m C．5m D．6m
【点拨】先证明△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，即可求出电线杆EF的高．
【解析】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∴＝，
∵AM＝0.7m，AN＝30m，BC＝0.07m，
∴EF＝＝＝3（m）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比解题是关键．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（　　）
A．4 B．6 C．2 D．3
【点拨】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，＝，
∴＝，即＝，
解得，CD＝6，
∴＝，
解得，BD＝4，
∴BC＝＝＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（　　）
A．2a B． C．3a D．
【点拨】通过证明△ACD∽△BCA，可得＝（）2，即可求解．
【解析】解：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝（）2，
∴＝，
∴S△ABC＝4a，
∴S△ABD＝3a，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
8. 小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 　　米．
【点拨】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解析】解：设楼高为x米，
根据题意得，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
9. 已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为12，则△DEF的面积为 　3　．
【点拨】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可．
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，
∴，
∵△ABC的面积为12，
∴，
∴S△DEF＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
10. 如果两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为 　40　cm．
【点拨】根据相似三角形周长比等于面积比的算术平方根列式计算．
【解析】解：设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，
∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴＝，
解得x＝40，
故答案为：40．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键．
11.点G是△ABC的重心，GD∥AB，交边BC于点D，如果GD＝2，那么AB的长是 　6　．
【点拨】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．
【解析】解：延长AG交BC与F，
∵点G是△ABC的重心，
∴FG：FA＝1：3，
∵GD∥AB，
∴△DGF∽△BAF，
∴DG：BA＝FG：FA＝1：3，
∴DG＝2，
∴AB＝3DG＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，则AB长为　6　．
【点拨】延长CG交AB于D，如图，根据三角形重心的定义和性质得到CD为斜边AB上的中线，CG＝2DG，则可求出CD，然后根据直角三角形斜边上的中线性质确定AB的长．
【解析】解：延长CG交AB于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD为斜边AB上的中线，CG＝2DG，
∴DG＝CG＝1，
∴CD＝CG+DG＝2+1＝3，
∴AB＝2CD＝6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝7cm，点I为三角形的重心，HI⊥BC于点H，则HI＝　　cm．
【点拨】如图，BI的延长线与AC交于D，根据I是重心即可得到AD＝DC，，利用△BHI∽△BCD的性质，即可求解．
【解析】解：如图，BI的延长线与AC交于D，
点I为三角形的重心，AC＝5cm，BC＝7cm，
∴，，
∵∠ACB＝90°，HI⊥BC，
∴HI∥AC，
∴△BHI∽△BCD，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形重心性质，三角形相似的判定和性质；关键在于知道三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心将中线分成的线段比为1：2．
14．如图，AD∥BC，CD∥AE，DE交BC于点F，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE．
（2）若DE＝6，AE＝9，求AB的长．
【点拨】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，可得∠A＝∠C＝∠EDB，可得结论；
（2）由相似三角形的性质可得，即可求解．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，CD∥AE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠BDE，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：∵△ADE∽△DBE，
∴，
∴，
∴BE＝4，
∴AB＝AE﹣BE＝5．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
15．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）若EF＝CF，△AEF的面积等于2，求△CBF的面积．
【点拨】（1）证明△ABC∽△MDE即可；
（2）证明△AFE∽△BFC得到，再代入求值即可求解．
【解析】解：（1）∵
∴△ABC∽△MDE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
（2）由（1）知△ABC∽△MDE，
∴∠E＝∠C，
又∵∠AFE＝∠BFC，
∴△AFE∽△BFC，
∴
∵，S△AEF＝2，
∴
∴S△CBF＝8
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
16．如图一块三角形土地的底边BC＝100m，高线AH＝80m，现要沿着底边BC修建一座底面是矩形DEFG的大楼，设矩形DEFG的一边长DE＝x（m）．
（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少（用关于x的代数式表示）；
（2）试用关于x代数式表示大楼底面矩形DEFG的面积S；
（3）当DE为多少时，大楼底面的面积最大？最大值是多少？
【点拨】（1）DE＝x，则MH＝x，AM＝AH﹣MH＝80﹣x，证明△ADG∽△ABC，利用相似比可求出DG的长；
（2）根据矩形的面积公式易得S＝﹣x2+100x（0＜x＜80）；
（3）利用二次函数的最值问题求解．
【解析】解：（1）DE＝x，则MH＝x，AM＝AH﹣MH＝80﹣x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴DG＝（﹣x+100）m；
（2）S＝DE DG
＝x（﹣x+100）
＝﹣x2+100x（0＜x＜80）；
（3）S＝﹣x2+100x
当x＝﹣＝40时，S最大值＝＝2000，
即DE为40m时，大楼底面的面积最大，最大值是2000m2．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．也考查了二次函数的应用．
能力提升
17. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【点拨】由DE∥AC，推出△DEO∽△CAO，可得＝（）2＝，推出DE：AC＝BE+BC＝1：5，推出BE：EC＝1：4，根据等高模型即可解决问题．
【解析】解：∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴＝（）2＝，
∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，
∴BE：EC＝1：4，
∴S△BED：S△DEC＝1：4，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，掌握等高模型解决问题．
18. 凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC，若物体到焦点的距离HF1与焦点到凸透镜中心线DB的距离OF之比为3：2，则该物体缩小为原来的（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先证出四边形OBCG为矩形，得到OB＝CG，再根据△AHF1∽△BOF1，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
【解析】解：∵BC∥l，CG⊥l，BO⊥l，
∴四边形OBCG为矩形，
∴OB＝CG，
∵物体到焦点的距离HF1与焦点到凸透镜中心线DB的距离OF之比为3：2，
∴，
∵AH⊥HO，BO⊥HO，∠AF1H＝∠BF1O，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴，
∴，
∴物体被缩小到原来的倍，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．
19. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，BE＝5，则△AEG的面积与四边形BFGE的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据AAS可以证明△AED≌△BFA，然后即可得到AE＝BF，再根据勾股定理可以得到AF的长，然后根据相似三角形的判定和性质可以得到△AGE和△ABF的面积之比，然后即可得到△AEG的面积与四边形BFGE的面积之比．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠EAD＝∠FBA＝90°，
∴∠BAF+∠BFA＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AGE＝90°，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠BFA＝∠AED，
在△AED和△BFA中，
，
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴AE＝BF，
∵AE＝15，BE＝5，
∴BF＝15，AB＝20，
∴AF＝＝＝25，
∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠EAG＝∠FAB，
∴△AGE∽△ABF，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴△AEG的面积与四边形BFGE的面积之比是：9：（25﹣9）＝9：16，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若BC＝2，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据垂直及各角之间的关系可得△ACE与△ABD是等腰直角三角形，得出，利用相似三角形的判定和性质可得△ADE∽△ABC，，代入求解即可得到答案．
【解析】解：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACE与△ABD是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BC＝2，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握运用各个知识点是解题的关键．
21. 如图，⊙O上的四个点A，B，C，D，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝2，AE＝3，则CD的长为（　　）
A． B． C．6 D．3
【点拨】通过证明△CDE∽△CAD，可得，即可求解．
【解析】解：∵CE＝2，AE＝3，
∴AC＝5，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵∠CAB＝∠BDC，
∴∠CAD＝∠BDC，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∴CD×CD＝2×5，
∴CD＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．
22. 已知点G是△ABC的重心，连结BG，过点G作GD∥AB交BC于点D，若△BDG的面积为1，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
【点拨】连接CG并延长交AB于E，如图，利用三角形重心性质得到CG＝2EG，则利用平行线分线段成比例得到＝＝2，再根据三角形面积公式得到S△GDC＝2S△BDG＝2，则S△BCG＝3，接着求出S△BEG＝，从而得到S△BCE＝，然后利用CE为中线得到S△ABC．
【解析】解：连接CG并延长交AB于E，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG＝2EG，
∵DG∥AB，
∴＝＝2，
∴S△GDC＝2S△BDG＝2，
∴S△BCG＝1+2＝3，
而EG＝CG，
∴S△BEG＝S△BCG＝，
∴S△BCE＝+3＝，
∵CE为中线，
∴S△ABC＝2S△BCE＝2×＝9．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式．
23．如图，在 ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为　15　cm2．
【点拨】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC；由平行线的性质可得∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，从而可判定△AEF∽△CBF，从而可得比例式，根据AE＝2DE及△AEF的面积为4cm2，由等高三角形的性质及相似三角形的性质可求得答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∵AE＝2DE，
∴AE＝AD，
∴＝＝＝，
∴＝，＝＝，
∵S△AEF＝4（cm2），
∴S△AFB＝S△AEF×＝4×＝6（cm2），
S△CBF＝×S△AEF＝×4＝9（cm2），
∴S△ABC＝S△AFB+S△CBF＝6+9＝15（cm2），
故答案为：15．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
24. 如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AC，交BC，AB于D，E，EF∥BC交AC于点F，若AC＝8，BC＝11，则四边形CDEF的周长为 　18　．
【点拨】连接BP并延长交AC于点G，由△ABC的重心点P可知BP：BG＝2：3，然后得到BD：BC＝ED：AC＝2：3，从而求得ED和FC的长，然后得到CD：BC＝1：3，再结合EF∥BC求得四边形CDEF是平行四边形，最后求得四边形CDEF的周长．
【解析】解：连接BP并延长交AC于点G，
∵△ABC的重心点P，
∴PG：BG＝1：3，
∴BP：BG＝2：3，
∵ED∥AC，
∴△BDP∽△BCG，△BEP∽△BAG，
∴，，
∴，，
∵AC＝8，BC＝11，
∴，，
∵EF∥BC，ED∥AC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴四边形CDEF的周长为．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解题的关键是由△ABC的重心得到相关线段长度的比值．
25. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且，BE＝2，CD＝8，CF交AB于点G，则弦CF的长为　　，AG的长为　　．
【点拨】连接DF，OC，先求出OC＝5，连接DO并延长交CF于点H，证明△DHF∽△CEO，可得＝，可求出FH和DH的长，求出CF和OH长，证明△GHO∽△CEO，可得，可求出OG长，则AG的长可求出．
【解析】解：连接BC，DF，OC，连接DO并延长交CF于点H，
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8，
∴CE＝＝4，
设OC＝x，则OE＝x﹣2，
∵OE2+CE2＝OC2，
∴（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴OC＝5，
∴OE＝5﹣2＝3，
∵，
∴DF＝CD，∠CFD＝∠COB，DH⊥CF，
∴∠FHD＝∠OEC＝90°，
∴△DHF∽△CEO，
∴＝，
∴，
∴FH＝，DH＝，
∴CF＝2FH＝，
OH＝DH﹣OD＝，
∵∠CFD＝∠COB＝∠BOD，∠BOD＝∠GOH，
∴∠GOH＝∠DFH，
∵∠GHO＝∠OEC＝90°，
∴△GHO∽△CEO，
∴，
∴，
∴OG＝，
∴AG＝OA﹣OG＝5﹣＝．
故答案为：，．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
26. 如图1，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一动点，点D为弧CB的中点，连接AC并延长交BD的延长线于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）连接AD，分别与OC、BC交于点F、H．
①如图2，当CO⊥AB时，求的值；
②当△CFH是等腰三角形时，求∠CAB的度数．
【点拨】（1）由AB为⊙O的直径，得∠ACB＝∠BCE＝90°，根据D为中点，可得∠1＝∠2，再利用等角的余角相等可得∠3＝∠E，即可证明；
（2）①过F作FG⊥AC于G，由D为中点得∠1＝∠2，根据△AOC、△CFG是等腰直角三角形，可知CF＝OF，由OF+OF＝r，可表示出OF的长，再根据△AOF∽△ADB，即可解决问题；
②分CF＝CH或FH＝FC或HC＝HF三种情形，分别利用三角形内角和为180°进行计算．
【解析】（1）证明：如图1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∵D为中点，
∴CD＝BD，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠3＝∠BCE＝90°，
∴∠2+∠E＝90°，
∴∠1+∠3＝∠2+∠E，
∴∠3＝∠E，
∴CD＝ED；
（2）解：①如图，过F作FG⊥AC于G，
∵D为中点，
∴，
∴∠1＝∠2，
∵CO⊥AB，FG⊥AC，
∴OF＝FG，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠CFG＝90°﹣∠OCA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴FG＝CG＝OF，
∴CF＝＝＝，
∵OF+CF＝r，
∴OF+OF＝r，
∴OF＝，
∵r＝OA，
∴＝1+，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠2＝∠2，∠AOF＝∠ADB＝90°，
∴△AOF∽△ADB，
∴，
∴；
②解：当△CFH是等腰三角形时，如图2，
当CF＝CH时，∠3＝∠5，
∵∠5＝∠4，
∴∠3＝∠4，
由②知，∠1＝∠2，
∴△AOF∽△ACH，
∴∠AOF＝∠ACH＝∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠CAB＝∠OAC＝45°；
当HC＝HF，如图2，
∴∠HCF＝∠HFC，
设∠1＝∠2＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝2x，
∴∠CFH＝∠AOF+∠ACF＝3x，
∴∠HCF＝3x，
∴∠ACB＝5x＝90°，
∴x＝18°，
∴∠CAB＝2x＝36°；
当CF＝HF时，同理可得∠HCF＝90°﹣2x，
∴2（90°﹣2x）+3x＝180°，
解得x＝0（舍），
综上：∠CAB＝45°或36°．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，证明△AOF∽△ADB是解题的关键，要求学生有较强的识图和逻辑思维能力，属于中考压轴题．
培优拔尖
27. 如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，OE＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】由四边形ABCD是正方形，得AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，进而可得DAP≌△ABQ，则∠P＝∠Q，即可判断出①正确；
证明△DAO∽△APO，根据相似三角形的性质即可判断②错误；
根据全等三角形的性质可推出S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即可判断③正确；
根据相似三角形的性质以及三角函数的定义即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，
故①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE OP，
故②错误；
在△CQF与△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF，
故③正确，
∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴＝，
∴BE＝，
∴QE＝，
∵△QOE∽△PAD，
∴＝，
∴OE＝，
故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
28．如图，已知△ABC≌△DCE≌△GEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BG，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝3，则图中三个阴影部分的面积和为 　39　．
【点拨】根据全等三角形对应角相等，可以证明AC∥DE∥GF，再根据全等三角形对应边相等BC＝CE＝EF，然后利用平行线分线段成比例定理求出GF＝3PC，KE＝2PC，所以PC＝DK，设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，表示出△DQK的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积．
【解析】解：∵△ABC≌△DCE≌△GEF，
∴∠ACB＝∠DEC＝∠GFE，BC＝CE＝EF，
∴AC∥DE∥GF，
∴，，
∴KE＝2PC，GF＝3PC，
又∵DK＝DE﹣KE＝3PC﹣2PC＝PC，
∴△DQK≌△CQP（相似比为1）
设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，
则xh＝3，整理得xh＝6，
S△BPC＝x 2h＝xh＝6，
S四边形CEKQ＝×3x 2h﹣3＝3xh﹣3＝3×6﹣3＝18﹣3＝15，
S△EFG＝×3x 2h＝3xh＝18，
∴三个阴影部分面积的和为：6+15+18＝39．
故答案为：39
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，本题主要利用全等三角形的性质，找出阴影部分的图形边的关系和三角形的面积公式的解题的关键．
29。如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连接AE，BD交于点F．
（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．
（2）若＝2，求的值；
（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连接AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，△ABG的面积为S2，求的最大值．
【点拨】（1）由勾股定理可求AE的长，通过证明△ABF∽△EDF，可得＝，可求AF的长；
（2）由正方形的性质可得BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO＝AB，由锐角三角函数可求OF＝AO＝AB，即可求解；
（3）分别求出S1，S2，即可求解．
【解析】解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，
∴DE＝，
∴AE＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF，
∴＝，
∴AF＝2EF，
又∵AF+EF＝，
∴AF＝；
（2）如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，
∴AO＝DO＝BO＝AB，
∵＝2，
∴OF＝AO＝AB，
∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，
∴；
（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，
∵＝x，
∴DE＝xa，
∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，
∵△ABF∽△EDF，
∴＝x，
∴DF＝x BF，
∴S△ABF＝×a2，
∵GF＝2BG，
∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，
∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴S△ABG＝S△CBG，
∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×，
∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+，
∴当x＝时，的最大值为．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
30．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠ADP＝∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．
【点拨】（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；
（2）首先证得△PAD≌△EQP，可以证得△BEQ是等腰直角三角形，可以证得∠EBQ＝45°，即可证得∠CBE＝45°；
（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得的值．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
∵∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠EPB＝90°，
∴∠ADP＝∠EPB；
（2）解：过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP＝∠A＝90°，
又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，
∴△PAD≌△EQP，
∴EQ＝AP，AD＝AB＝PQ，
∴AP＝EQ＝BQ，
∴∠CBE＝∠EBQ＝45°；
（3）解：＝．
理由：∵△PFD∽△BFP，
∴＝
∵∠ADP＝∠EPB，∠CBP＝∠A
∴△DAP∽△PBF
∴＝
∴PA＝PB
∴当＝时，△PFD∽△BFP．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确探究三角形相似的性质是解题的关键．
31．[知识点]三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心．
[解决问题]如图①，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE交于点G，求证：；
[归纳]用文字语言叙述[解决问题]反映的关于三角形重心的性质；
[应用]如图②，在△ABC中，D是边BC的中点，G是△ABC的重心，过点G的直线分别交边AB、AC于点E、F，若AB＝5，AC＝3，BE＝2，则CF＝　　．
【点拨】[解决问题]连接DE，根据题意得到DE∥AC且，证明△ACG∽△DEG，得到，即可得证．
[归纳]三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一．
[应用]如图②中．过点D作DH∥AB交AC于H．交EF于N．利用平行线分线段成比例定理求解．
【解析】[解决问题]证明：连接DE，如图，
∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE∥AC且，
∴∠ACG＝∠DEG，∠GAC＝∠GDE，
∴△ACG∽△DEG，
∴，
即，
∴．
[归纳]解：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一．
[应用]解：如图②中．过点D作DH∥AB交AC于H．交EF于N．
∵AB＝5，BE＝2，
∴AE＝3，
∵DH∥AB，
∴，＝，
∴DH＝，CH＝AH＝，DN＝AE＝，
∴NH＝1，
∵NH∥AB，
∴，
∴＝，
∴FH＝，
∴CF＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似型的综合应用，主要考查了三角形的重心，相似三角形的性质与判定，解题的关键是掌握三角形的重心．
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