4.6 相似多边形 同步分层作业（含解析）

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4.6相似多边形 同步分层作业
基础过关
1. 已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（　　）
A． B． C． D．
2. 已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（　　）
A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm
3. 两个相似五边形，一组对应边的长分别为4cm和6cm，若它们的面积之和为260cm2，则较大五边形的面积是（　　）
A．100cm2 B．180cm2 C．75cm2 D．30cm2
4. 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
5. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（　　）
A．a＝2 B．m＝2n C．x＝2 D．∠α＝60°
6. 如图，已知四边形ABFE∽四边形EFCD，AB＝2，EF＝3，则DC的长是（　　）
A．6 B． C． D．4
7. 如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（　　）
A．120° B．87° C．75° D．60°
8如图所示，长为10，宽为8的矩形中．截去一个矩形（图中阴影部分）．如果剩下矩形与原矩形相似，那么截去短形的面积是（　　）
A． B． C． D．
9. 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠a的度数是　　．
10.两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为36cm2，则较大的多边形的面积为 　　．
11.在一张比例尺为1：30000的地图上，一多边形地区的周长为70cm，面积为340cm2，那么该地区的实际周长为　　km，面积为　　km2．
12.已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为　　；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是　　．
13.如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比．
（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积．
14.如图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的短边，点F在AB上，3AE＝2AD．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）若两个矩形的面积之和为650cm2，求矩形ABCD的面积．
15.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点．
（1）试说明四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH与 ABCD相似吗？说明理由．
能力提升
16. 如图，选项中与它相似的是（　　）
A． B． C．D．
17. 把一根铁丝首尾相接围成一个长为3cm，宽为2cm的矩形ABCD，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形A′B′C′D′，使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，则这根铁丝需增加（　　）
A．3.5cm B．5cm C．7cm D．10cm
18. 如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　）
A． B． C． D．
19. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，四边形ABEF是正方形，矩形ABCD∽矩形ECDF，则DF：AD的值为 　　．
20.如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为　　时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？
21. 如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
培优拔尖
22. 小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，如图所示，关于两个矩形，下列说法正确的是（　　）
A．两个矩形相似 B．两个矩形不一定相似
C．两个矩形一定不相似 D．无法判断两个矩形是否相似
23 如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（　　）
A． B． C． D．
24. 善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？
问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝4，AD＝2，MN是中位线（如图①）．根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似；
（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形　 　；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）
问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？
（1）从特殊平行线入手探究．梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形　 　；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）
（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝4，AD＝2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P，Q在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由；
（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定　 　（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似．若存在，则确定这条平行线位置的条件是＝　 　．（不妨设AD＝a，BC＝b，AB＝c，CD＝d．不要求证明）
25．矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；
（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？
（2）若使AD＝+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．
答案与解析
基础过关
1. 已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，由此即可判断．
【解析】解：A、因为3：4≠4：5，故A不符合题意；
B、因为3：4≠4：8，故B不符合题意；
C、因为3：6＝4：8，故C符合题意；
D、因为3：6≠4：9，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查相似多边形的判定，关键是掌握相似多边形的判定方法．
2. 已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（　　）
A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm
【点拨】根据相似多边形面积之比等于相似比的平方求出相似比，根据相似多边形周长之比等于相似比去周长比，列式计算即可．
【解析】解：两个相似多边形的面积比是9：16，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的周长比是3：4，
设较大多边形的周长为为xcm，
由题意得，18：x＝3：4，
解得，x＝24，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
3. 两个相似五边形，一组对应边的长分别为4cm和6cm，若它们的面积之和为260cm2，则较大五边形的面积是（　　）
A．100cm2 B．180cm2 C．75cm2 D．30cm2
【点拨】两个相似五边形的一组对应边的长分别是4cm，6cm，则相似比为2：3，设较大的五边形的面积为xcm2，则较小的五边形的面积为（260﹣x）cm2，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方列式计算即可．
【解析】解：∵两个相似五边形的一组对应边的长分别是4cm，6cm，
∴这两个相似五边形的相似比为2：3，
设较大的五边形的面积为xcm2，依据它们的面积之和为260cm2，
∴m+m＝260，
解得x＝180，
即较大的五边形的面积为180cm2．
故选：B．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方．
4. 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【点拨】根据相似多边形的性质求解即可．
【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴相似比＝＝＝2，
故选：C．
【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型．
5. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（　　）
A．a＝2 B．m＝2n C．x＝2 D．∠α＝60°
【点拨】根据相似图形的对应角相等，对应边的比相等得到答案．
【解析】解：∵两个四边形相似，
∴相似比为：2：4＝1：2，
∴：a＝x：4＝m：n＝1：2，
解得：a＝2，x＝2，2m＝n，
则∠α＝360°﹣45°﹣90°﹣165°＝60°，
综上所述：只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，牢记相似多边形的对应角相等，对应边的比也相等．
6. 如图，已知四边形ABFE∽四边形EFCD，AB＝2，EF＝3，则DC的长是（　　）
A．6 B． C． D．4
【点拨】根据四边形ABFE∽四边形EFCD列出比例式解答即可．
【解析】解：∵四边形ABFE∽四边形EFCD，
∴，
∵AB＝2，EF＝3，
∴，
解得DC＝．
故选：C．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据性质列出正确的比例式．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
7. 如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（　　）
A．120° B．87° C．75° D．60°
【点拨】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．
【解析】解：∵两个四边形相似，
∴∠1＝138°，
∵四边形的内角和等于360°，
∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
8如图所示，长为10，宽为8的矩形中．截去一个矩形（图中阴影部分）．如果剩下矩形与原矩形相似，那么截去短形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解析】解：如图，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则＝，
设DF＝xcm，得到：＝，
解得：x＝6.4，
则剩下的矩形面积是：6.4×8＝（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查了相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
9. 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠a的度数是　100°　．
【点拨】利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠B＝∠B′＝70°，
∴∠C′＝360°﹣130°﹣60°﹣70°＝100°
∴∠α＝∠C′＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．
10.两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为36cm2，则较大的多边形的面积为 　64cm2　．
【点拨】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．
【解析】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的面积比是9：16，
∵较小多边形的面积为36cm2，
∴较大多边形的面积为64cm2，
故答案为：64cm2．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
11.在一张比例尺为1：30000的地图上，一多边形地区的周长为70cm，面积为340cm2，那么该地区的实际周长为　21　km，面积为　30.6　km2．
【点拨】利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【解析】解：地图与该地区的实际图形相似，相似比就是比例尺为1：30000，周长的比就是相似比，
设实际周长是xcm，则70：x＝1：30000，解得：x＝2100000cm＝21km，
面积的比等于相似比的平方，则设实际面积是ycm2，得到340：y＝（1：30000）2
解得y＝3.06×1011cm2＝30.6km2，
∴地区的实际周长为21km，面积为30.6km2．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
12.已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为　49　；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是　　．
【点拨】根据相似形的对应边的比相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
【解析】解：∵两个相似多边形的相似比为5：7，较小的一个多边形的周长为35．
∴较大的一个多边形的周长为35×＝49；
∵面积之比等于相似比的平方，即＝．
则较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是4×＝．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
13.如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比．
（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积．
【点拨】（1）设原矩形的长边是a，短边是b，根据原矩形的长：宽＝剩下矩形的长：宽，可列出a2﹣ab﹣b2＝0，用公式法解关于a的方程，即可得出结论；
（2）根据（1）中结论和相似多边形的性质，棵求出AD的长，再利用矩形的面积公式，即可求出矩形ABCD的面积．
【解析】解：（1）设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是a﹣b，
根据题意得：a：b＝b：（a﹣b），
∴a2﹣ab﹣b2＝0，
用公式法解关于a的方程得：a1＝b，a2＝b（不符合题意，舍去），
∴原矩形的长和宽的比为；
（2）由（1）得：，
∵AB＝4，
∴，
∴．
【点评】本题考查相似多边形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及公式法解一元二次方程，掌握相似多边形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
14.如图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的短边，点F在AB上，3AE＝2AD．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）若两个矩形的面积之和为650cm2，求矩形ABCD的面积．
【点拨】（1）根据相似多边形的性质得到＝，∠DAB＝∠EAG，证明△DAE∽△BAG，根据相似三角形的对应角相等证明结论；
（2）根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列出方程，解方程即可．
【解析】（1）证明：∵矩形AGFE∽矩形ABCD，
∴＝，∠DAB＝∠EAG，
∴∠DAB﹣∠EAB＝∠EAG﹣∠EAB，即∠DAE＝∠BAG，
∴△DAE∽△BAG，
∴∠1＝∠2．
（2）解：∵3AE＝2AD，
∴＝，
∴＝（）2＝，
∴＝，
解得：S矩形ABCD＝450（cm2）．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点．
（1）试说明四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH与 ABCD相似吗？说明理由．
【点拨】（1）根据三角形中位线定理得到EF＝HG，FE∥HG，根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据平行线的性质定理、相似多边形的判定定理证明．
【解析】证明：（1）∵E、F分别是OA、OB的中点，
∴FE＝AB，FE∥AB，
G、H分别是OC、OD的中点，
∴HG＝CD，HG∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴EF＝HG，FE∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）由（1）得，FE∥AB，
∴∠OEF＝∠OAB，
同理∠OEH＝∠OAD，
∴∠HEF＝∠DAB，
同理，∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA，
＝＝＝＝，
∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD．
【点评】本题考查的是相似多边形的判定、三角形中位线定理，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．
能力提升
16. 如图，选项中与它相似的是（　　）
A． B． C．D．
【点拨】求出四边形的四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可．
【解析】解：已知四边形的四条边之比为1：：：2，
A、四条边之比为2：2：2：4＝1：：：2，且对应角相等，与所给四边形相似，符合题意；
B、四条边之比为2：：：4≠1：：：2，与所给四边形不相似，不符合题意；
C、四条边之比为：2：2：≠1：：：2，与所给四边形不相似，不符合题意；
D、四条边之比为：2：：4≠1：：：2，与所给四边形不相似，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的定义：对应边的比相等，对应角相等，则这两个多边形是相似多边形，是解题的关键．
17. 把一根铁丝首尾相接围成一个长为3cm，宽为2cm的矩形ABCD，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形A′B′C′D′，使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，则这根铁丝需增加（　　）
A．3.5cm B．5cm C．7cm D．10cm
【点拨】由图形知，扩张后的长方形宽为4cm，设长为xcm，根据相似长方形的性质列式计算求得x＝6，再计算即可求解．
【解析】解：原长方形的长和宽分别为3cm和2cm，由图形知，扩张后的长方形宽为4cm，设长为xcm，
∵矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
∴，
∴x＝6，
经检验，x＝6是分式方程的解，
∴扩张后的长方形长为6cm，
原长方形的周长为2×（2+3）＝10（cm），扩张后长方形的周长为2×（4+6）＝20（cm），
20﹣10＝10，
∴这根铁丝需增加10cm．
故选：D．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解是解题的关键．
18. 如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值
【解析】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键．
19. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，四边形ABEF是正方形，矩形ABCD∽矩形ECDF，则DF：AD的值为 　　．
【点拨】根据相似多边形的性质可得＝，设正方形ABEF的边长为x，EC＝y，那么＝，求出x＝y，代入DF：AD＝计算即可．
【解析】解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，
∴＝，
设正方形ABEF的边长为x，EC＝y，
则＝，
∴x2﹣yx﹣y2＝0，
∴x＝，
∵x＞0，y＞0，
∴x＝y，
∴DF：AD＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边的比相等．
20.如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为　1.5或9　时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？
【点拨】根据相似多边形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【解析】解：当＝时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝1.5，
当＝时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝9，
故答案为：1.5或9．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
21. 如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
【点拨】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等；
（2）如果两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，对应边成比例．就可以求出x的值．
【解析】解：（1）不相似，理由如下：
AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，
而≠，
∴图中两个矩形不相似；
（2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则＝，
则：＝，
解得x＝1.5，
或＝，
解得x＝9．
综上所述，x＝1.5或9时，图中的两个矩形相似．
【点评】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立．
培优拔尖
22. 小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，如图所示，关于两个矩形，下列说法正确的是（　　）
A．两个矩形相似 B．两个矩形不一定相似
C．两个矩形一定不相似 D．无法判断两个矩形是否相似
【点拨】根据相似多边形对应边比值相等，即可得出判定方法，只要判断出对应边的比值即可得出答案．
【解析】解：∵小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，
∴设原矩形长为x，宽为y，花边宽度为a，
两矩形相似时：＝，
根据比例性质可知，≠，
∴两个矩形一定不相似，
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，利用对应边比值得出是解题很关键．
23 如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】此题考查相似多边形的判定问题，其对应角相等，对应边成比例．
【解析】解：由题意得，A中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
C，D中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；
而B中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形．
故选：B．
【点评】考查了相似多边形的性质，关键是熟练掌握相似多边形的性质及判定
24. 善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？
问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝4，AD＝2，MN是中位线（如图①）．根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似；
（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形　不相似　；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）
问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？
（1）从特殊平行线入手探究．梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形　不相似　；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）
（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝4，AD＝2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P，Q在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由；
（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定　存在　（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似．若存在，则确定这条平行线位置的条件是＝　　．（不妨设AD＝a，BC＝b，AB＝c，CD＝d．不要求证明）
【点拨】两个梯形相似，因而两个梯形的对应腰的相等，对应底的比相等；这个图形中判定相似要同时满足这几个条件．反之，若相似则两个梯形的对应腰的相等，对应底的比相等．
【解析】解：问题一：（1）两个梯形的腰相等，
即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，
因而这两个梯形一定不相似；
（2）不相似．
问题二：（1）不相似；
（2）梯形APQD与梯形PBCQ相似，
∴＝，即＝
解得：PQ＝4．
∵＝＝＝．
又∵AP+PB＝6，
∴AP＝2
（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，
则，，
∵AD＝a，BC＝b，
∴PQ＝＝，
∴＝＝．
【点评】本题考查了多边形相似的性质，对应边的比相等，反之，相似图形的判定方法是对应角相等，对应边的比相等．
25．矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；
（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？
（2）若使AD＝+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．
【点拨】（1）先根据矩形EFCD∽矩形CBAD可得出两矩形的对应边成比例，再AD＝2CF＝2x，把CD、AB的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出AD的值；
（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似，则DC必与AD对应，ED必与DC对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出ED的长，进而可得出AE的长，进而可得出结论．
【解析】解：（1）∵矩形EFCD∽矩形CBAD，
∴＝，（2分）
又∵CD＝AB＝2，可设AD＝2CF＝2x，
∴＝，（2分）
则：x＝，
故：AD＝2．（1分）
（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似；
则DC必与AD对应，ED必与DC对应，
有：＝，
∴DC2＝AD ED，（1分）
又∵DC＝2cm，AD＝+1cm，
∴ED＝＝＝﹣1（cm）
∴AE＝AD﹣（﹣1）＝2，（2分）
而AE＝2＞﹣1＝ED，
依据对称性考虑，必定存在当AE＝﹣1时，使矩形EFBA与矩形ABCD相似的情形，
综上所述：当AE＝﹣1或2时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似；
且该两种情形中，E刚好是边AD的两个黄金分割点．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例．
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