4.7图形的位似 同步分层作业 （含解析）

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4.7图形的位似 同步分层作业
基础过关
1. 如图四个图中，△ABC均与△A′B′C′相似，且对应点交于一点，则△ABC与△A′B′C′成位似图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 如图，△ABC 与△DEF位似，其位似中心为点O，且，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．36
3. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，BC＝2，则EF的长度为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
4. 如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若BE＝OB，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
5. 下列说法正确的个数是（　　）
①位似图形一定是相似图形； ②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形的面积比等于位似比的平方；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似图形，且位似比相等；⑤两个位似图形上的对应线段必平行；⑥位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若＝2，△ABC的周长为14，则△DEF的周长为 　　．
7. 如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为 　　．
8. 下面每组图形中都有两个图形
（1）哪一组中的每两个图形是位似图形？
（2）作出位似图形的位似中心
9.如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3）．
（1）以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1，使它与△ABC位似，且相似比为2：1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）直接写出△OAB与△OA1B1的面积比是 　 　．
10.已知四边形ABCD及点O，试以点O为位似中心，将如图所示四边形放大为原来的2倍．
能力提升
11. 如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（　　）
A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
12. 如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（　　）
A．点O B．点P C．点Q D．点R
13. 如图，A，B、C是直角坐标系中的三个点，点A的坐标为（﹣1，1），C（0，3），BC＝1，BC⊥y轴．现以坐标原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，点A与点A′对应，点C的对应点C′纵坐标为﹣1，则下列点的坐标正确的是（　　）
A．A′（﹣3，3） B．A′ C．B′ D．B′
14. 如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（3，3），若S△AOB＝2，则S△CDB＝　　．
12. 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是 　 　．
培优拔尖
16. 如图，已知△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣1，0），若点B的对应点B'的横坐标为5，则点B的横坐标为 　 　．
17. 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C在x轴上，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点A的纵坐标是n，则点A1的纵坐标是 　 　．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，2），以点O为位似中心，在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2；再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2 以此类推，则点B2023的坐标为 　 　．
19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且B（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似图形的特征，并结合点B的坐标变换回答下列问题：
①若点A的坐标为（2.5，3），则点A′的坐标为 　　．
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 　　．
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积（用含m的代数式表示）．
20.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
答案与解析
基础过关
1. 如图四个图中，△ABC均与△A′B′C′相似，且对应点交于一点，则△ABC与△A′B′C′成位似图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据位似图形的概念判断即可．
【解析】解：图1、图3、图4是位似图形，
图2的对应边不平行，不是位似图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似图形的概念，两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，则两个图形是位似图形．
2. 如图，△ABC 与△DEF位似，其位似中心为点O，且，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．36
【点拨】根据位似比等于三角形的相似比，再结合面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解析】解∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，，
∴
∴，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积是36．
故选：D．
【点评】本题主要考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
3. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，BC＝2，则EF的长度为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【点拨】先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，相似比为1：2，然后根据相似三角形的性质求解．
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，
∴△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴BC：EF＝1：2，
即2：EF＝1：2，
解得EF＝4，
即EF的长度为4．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点；位似比等于相似比．
4. 如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若BE＝OB，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用位似变换的性质推出△ABC∽△DEF，AB∥DE，可得＝，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解析】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴＝，
∵BE＝OB，
∴＝＝，
∴＝（）2＝．
故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5. 下列说法正确的个数是（　　）
①位似图形一定是相似图形； ②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形的面积比等于位似比的平方；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似图形，且位似比相等；⑤两个位似图形上的对应线段必平行；⑥位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】由位似图形是特殊相似图形以及位似图形的性质，即可求得答案．
【解析】解：①位似图形一定是相似图形，故正确；
②相似图形不一定是位似图形，故错误；
③两个位似图形的面积比等于位似比的平方，故正确；
④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似图形，且位似比相等．故正确；
⑤两个位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上，故错误；
⑥位似图形上两对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故错误，
故选：C．
【点评】此题考查了位似图形的性质，注意掌握位似图形的性质与相似图形的关系是关键．
6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若＝2，△ABC的周长为14，则△DEF的周长为 　7　．
【点拨】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AC∥DF，证明△AOC∽△DOF，根据相似三角形的性质解答即可．
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，
∴△AOC∽△DOF，
∴＝＝2，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝2，
∵△ABC的周长为14，
∴△DEF的周长为7，
故答案为：7．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
7. 如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为 　28　．
【点拨】根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，AB∥A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，根据相似三角形的性质得到＝＝，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【解析】解：∵，
∴OA：OA′＝2：7，
∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'是位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴＝＝，
∴四边形ABCD的周长：四边形A'B'C′D'的周长＝2：7，
∵四边形ABCD的周长是8，
∴四边形A'B'C′D'的周长为28，
故答案为：28．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
8. 下面每组图形中都有两个图形
（1）哪一组中的每两个图形是位似图形？
（2）作出位似图形的位似中心
【点拨】（1）根据位似变换的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形判断即可；
（2）根据位似中心一定在对应点的连线上确定即可．
【解析】解：（1）是位似图形的有第（1）、（3）、（5）这3组；
（2）位似中心如图：
【点评】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，找出对应点连接是解题关键．
9.如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3）．
（1）以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1，使它与△ABC位似，且相似比为2：1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）直接写出△OAB与△OA1B1的面积比是 　1：4　．
【点拨】（1）根据位似的性质作图，即可得出答案．
（2）根据相似三角形的性质可得答案．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
点A1（﹣2，﹣4），B1（﹣6，﹣2），C1（﹣4，﹣6）．
（2）由题意可得，△OAB与△OA1B1相似，相似比为1：2，
∴△OAB与△OA1B1的面积比是1：4．
故答案为：1：4．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
10.已知四边形ABCD及点O，试以点O为位似中心，将如图所示四边形放大为原来的2倍．
【点拨】根据以点O为位似中心，将如图所示四边形放大为原来的2倍，则找到各点的对应点，顺次连接即可．
【解析】解：如图所示：
【点评】本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
能力提升
11. 如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（　　）
A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
【点拨】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
【解析】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质．
12. 如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（　　）
A．点O B．点P C．点Q D．点R
【点拨】连接AA'，CC'交于点O，即可得到位似中心．
【解析】解：如图，连接AA'，CC'交于点O，
∴位似中心是点O．
故选：A．
【点评】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
13. 如图，A，B、C是直角坐标系中的三个点，点A的坐标为（﹣1，1），C（0，3），BC＝1，BC⊥y轴．现以坐标原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，点A与点A′对应，点C的对应点C′纵坐标为﹣1，则下列点的坐标正确的是（　　）
A．A′（﹣3，3） B．A′ C．B′ D．B′
【点拨】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
【解析】解：如图，点A的坐标为（﹣1，1），C（0，3），BC＝1，则B（1，3）．
∵C（0，3），点C的对应点C′纵坐标为﹣1，
∴两个图形△ABC和△A′B′C′的位似比为﹣，
∴A'的坐标为：（，﹣），B'的坐标为：（﹣，﹣1），
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
14. 如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（3，3），若S△AOB＝2，则S△CDB＝　8　．
【点拨】根据位似变换的概念得到△AOB∽△CDB，根据两点间的距离公式分别求出OB、BD，进而求出△AOB与△CDB的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【解析】解：∵△AOB与△CDB关于点B位似，
∴△AOB∽△CDB，
∵B（1，1），D（3，3），
∴OB＝＝，BD＝＝2，
∴△AOB与△CDB的相似比为1：2，
∴△AOB与△CDB的面积比为1：4，
∵S△AOB＝2，
∴S△CDB＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是 　（﹣3，﹣2）或（3，2）　．
【点拨】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解析】解：∵△A′B′O与△ABO位似，以原点O为位似中心，且相似比为1：2，B（﹣6，﹣4），
∴点B的对应点B′的坐标是（﹣6×，﹣4×）或（﹣6×（﹣），﹣4×（﹣）），即（﹣3，﹣2）或（3，2），
故答案为：（﹣3，﹣2）或（3，2）．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
培优拔尖
16. 如图，已知△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣1，0），若点B的对应点B'的横坐标为5，则点B的横坐标为 　﹣4　．
【点拨】过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，得到△BCE∽△B′CF，根据相似三角形的性质求出△ABC和△A'B'C的相似比，进而求出EC，根据坐标与图形性质解答即可．
【解析】解：过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，
则BE∥B′F，
∴△BCE∽△B′CF，
∴＝，
∵点C的坐标为（﹣1，0），点B'的横坐标为5，
∴CF＝6，
∵△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，
∴△ABC和△A'B'C的相似比为1：2，即＝，
∴＝，
解得：EC＝3，
∴点B的横坐标为﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
17. 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C在x轴上，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点A的纵坐标是n，则点A1的纵坐标是 　﹣2n　．
【点拨】根据两个三角形的相似比是1：2计算即可．
【解析】解：根据题意知，△ABC与△A1B1C的位似，且相似比是1：2，
∵点A的纵坐标是n，
∴点A1的纵坐标是|2n|，
因为点A位于第一象限，
所以n＞0．
因为点A1的位于第三象限，
所以点A1的纵坐标是﹣2n．
故答案为：﹣2n．
【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的竖直距离等于对应边的比是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，2），以点O为位似中心，在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2；再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2 以此类推，则点B2023的坐标为 　（﹣22023，﹣22024）　．
【点拨】结合位似图形的性质，确定点Bn的变化规律，即可获得答案．
【解析】解：根据题意，点B的坐标为（1，2），在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2，
则B1（﹣2，﹣4），
再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2，
则B2（4，8），
……
所以，点，
故点B2023的坐标为（﹣22023，﹣22024）．
故答案为：（﹣22023，﹣22024）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形、位似图形、点的坐标规律等知识，结合位似图形的性质确定点Bn的变化规律是解题关键．
19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且B（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似图形的特征，并结合点B的坐标变换回答下列问题：
①若点A的坐标为（2.5，3），则点A′的坐标为 　　．
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 　　．
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积（用含m的代数式表示）．
【点拨】（1）①观察点B点和B′点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A′的坐标（5，6）；
②易得△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；
（2）根据三角形相似的性质求解．
【解析】解：（1）①∵点B（3，1），B′（6，2），
∴位似比为2，
∴点A（，3），则A′的坐标（5，6）；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；
故答案为：（5，6），1：2；
（2）∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，
∴＝，
而△ABC的面积为m，
∴△A′B′C′的面积＝4m．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
20.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
【点拨】（1）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把F点的横纵坐标都乘以即可得到点C的坐标，然后利用正方形的性质写出点A的坐标；
（2）直接利用位似图形的性质，结合相似比得出AD的长，再根据平行于三角形一边交其它两边得到的三角形与原三角形相似的判定定理得出△OAD∽△OBG；进而得出OA的长，接下来结合OA的长得到OB的长，再根据平面直角坐标系即可得到点C的坐标．
【解析】解：（1）∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴点C的坐标为（，1），
∴正方形ABCD的边长为1，
∴点A的坐标为（，0）．
（2）∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝．
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2．
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，
∴＝．
解得OA＝1．
∴OB＝3，
∴点C的坐标为（3，2）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
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