浙教版数学八年级下册一课一练（解析版）
第二章一元二次方程2.2一元二次方程的解法
一．选择题（共10小题）
1．方程x2﹣9=0的解是（ ）
A．x=3
B．x=9
C．x=±3
D．x=±9
2．如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（ ）
A．3
B．﹣3
C．0
D．1
3．已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（ ）
A．n=0
B．m，n同号
C．n是m的整数倍
D．m，n异号
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0方程可变形为（ ）
A．（x+1）2=4
B．（x﹣1）2=4
C．（x+1）2=6
D．（x﹣1）2=6
5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=9
B．（x﹣2）2=9
C．（x+2）2=1
D．（x﹣2）2=1
6．方程x（x﹣1）=2的两根为（ ）
A．x1=0，x2=1
B．x1=0，x2=﹣1
C．x1=1，x2=2
D．x1=﹣1，x2=2
7．方程（x﹣5）（x+2）=1的解为（ ）
A．5
B．﹣2
C．5和﹣2
D．以上结论都不对
8．一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是（ ）
A．﹣1
B．3
C．﹣1和3
D．1和2
9．一元二次方程x2﹣2x=0的解是（ ）
A．0
B．2
C．0，﹣2
D．0，2
10．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）21世纪教育网版权所有
A．a＜2
B．a＞2
C．a＜﹣2
D．a＜2且a≠1
二．填空题（共15小题）
11．方程8x2﹣72=0解为 ．
12．一元二次方程x2=4的解是 ．
13．一元二次方程x2﹣6x+9=0的实数根是 ．
14．用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a= ；b= ；c= ．21教育网
15．方程x2﹣3x+2=0的根是 ．
16．方程x2﹣3x=0的根为 ．
17．将代数式2x2+4x﹣1化为a（x+p）2+q的形式为 ．
18．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 ．
19．若把代数式x2+2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ．
20．若m＞n＞0，m2+n2=4mn，则的值等于 ．
21．方程2x2+4x+1=0的解是x1= ；x2= ．
22．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为 ．
23．方程x2﹣2x=0的解为 ．
24．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是 ．
25．如果关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m= ．
三．解答题（共5小题）
26．用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0．
27．解方程：x（x﹣2）=x．
28．已知方程=1的解是a，求关于y的方程y2+ay=0的解．
29．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
30．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0．
（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式；21cnjy.com
（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为时，求θ的值．21·cn·jy·com
【答案】
【解析】
（1）由方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0为一元二次方程，所以a≠0；要证明方程总有两个实数根，即证明当a取不等于1的实数时，△＞0，而△=（2﹣3a）2﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）2，即可得到△≥0．www.21-cn-jy.com
（2）先利用求根公式求出两根3，，再代入，可得到a=2，则m=1，n=3，直线l：y=x+3，这样就可得到坐标原点O关于直线l的对称点，代入反比例函数，即可确定反比例函数的解析式；2·1·c·n·j·y
（3）延长PQ，AO′交于点G，设P（0，p），则Q（﹣，p）．四边形APQO'的面积=S△APG﹣S△QGO′=，这样可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，这样就可求出θ．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）证明：∵方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，即a≠1．
∴△=（2﹣3a）2﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）2，而（3a﹣4）2≥0，
∴△≥0．
所以当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的两根，
∴m+n=﹣，mn=．
∵，=，
∴﹣=，
∴a=2，即可求得m=1，n=3．
∴y=x+3，则A（﹣3，0），B（0，3），
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（﹣3，3），把（﹣3，3）代入反比例函数，得k=﹣9，21·世纪*教育网
所以反比例函数的解析式为y=﹣；
（3）解：设点P的坐标为（0，P），延长PQ和AO′交于点G．
∵PQ∥x轴，与反比例函数图象交于点Q，
∴四边形AOPG为矩形．
∴Q的坐标为（﹣，p），
∴G（﹣3，P），
当0°＜θ＜45°，即p＞3时，
∵GP=3，GQ=3﹣，GO′=p﹣3，GA=p，
∴S四边形APQO′=S△APG﹣S△QGO′=×p×3﹣×（3﹣）×（p﹣3）=9﹣，
∴=9﹣，
∴p=．（合题意）
∴P（0，）．则AP=6，OA=3，
所以∠PAO=60°，∠θ=60°﹣45°=15°；
当45°≤θ＜90°，则p＜﹣3，
用同样的方法也可求得p=，这与p＜﹣3相矛盾，舍去．
所以旋转角度θ为15°．
题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了反比例函数的性质和一些几何图形的性质．
浙教版数学八年级下册一课一练（解析版）
第二章一元二次方程2.2一元二次方程的解法答案
一．选择题（共10小题）
1．方程x2﹣9=0的解是（ ）
A．x=3
B．x=9
C．x=±3
D．x=±9
2．如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（ ）
A．3
B．﹣3
C．0
D．1
【答案】A
【解析】
求出方程的解，根据已知x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根得出方程的另一个根即可．
解：ax2=c，
x2=，
x=±，
∵x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，
∴该方程的另一个根是x=3，
故选A．
本题考查了用直接开平方法解一元二次方程的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．
3．已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（ ）
A．n=0
B．m，n同号
C．n是m的整数倍
D．m，n异号
【答案】D
【解析】
首先求出x2的值为﹣，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．
解：mx2+n=0，
x2=﹣，
∵x2≥0，
∴﹣≥0，
∴≤0，
∴mn异号，
故选：D．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号．21*cnjy*com
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0方程可变形为（ ）
A．（x+1）2=4
B．（x﹣1）2=4
C．（x+1）2=6
D．（x﹣1）2=6
5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=9
B．（x﹣2）2=9
C．（x+2）2=1
D．（x﹣2）2=1
【答案】A
【解析】
移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．
解：x2+4x﹣5=0，
x2+4x=5，
x2+4x+22=5+22，
（x+2）2=9，
故选A．
本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．
6．方程x（x﹣1）=2的两根为（ ）
A．x1=0，x2=1
B．x1=0，x2=﹣1
C．x1=1，x2=2
D．x1=﹣1，x2=2
【答案】D
【解析】
解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答．
解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2=0，
a=1，b=﹣1，c=﹣2
△=1+8=9＞0
∴x=
解得x1=﹣1，x2=2．故选D．
本题考查了公式法解方程，公式法是所有一元二次方程都适用的方法．
7．方程（x﹣5）（x+2）=1的解为（ ）
A．5
B．﹣2
C．5和﹣2
D．以上结论都不对
【答案】D
【解析】
先把原方程化成一般形式，再代入求根公式x=，进行计算即可．
解：∵（x﹣5）（x+2）=1，
∴x2﹣3x﹣11=0，
∵a=1，b=﹣3，c=﹣11，
∴x==；
故选D．
此题考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，x=，注意△≥0．
8．一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是（ ）
A．﹣1
B．3
C．﹣1和3
D．1和2
9．一元二次方程x2﹣2x=0的解是（ ）
A．0
B．2
C．0，﹣2
D．0，2
【答案】D
【解析】
先提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
解：原方程化为：x（x﹣2）=0，
解得x1=0，x2=2．故选D．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
10．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．a＜2
B．a＞2
C．a＜﹣2
D．a＜2且a≠1
【答案】D
【解析】
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×（a﹣1）=4﹣4a+4=8﹣4a＞0，
解得a＜2，
又∵方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0为一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
即a≠1，
故选D．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
二．填空题（共15小题）
11．方程8x2﹣72=0解为 ．
【答案】x=±3．
【解析】
首先移项，把﹣72移到等号右边，再两边同时除以8，然后开方即可．
解：8x2﹣72=0，
8x2=72，
x2=9，
x=±3，
故答案为：x=±3．
此题主要考查了用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 21*cnjy*com
12．一元二次方程x2=4的解是 ．
【答案】x1=2，x2=﹣2．
【解析】
利用直接开平方法，将方程两边直接开平方即可．
解；x2=4，
两边直接开平方得：
x=±2，
∴x1=2，x2=﹣2，
故答案为：x1=2，x2=﹣2．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．【出处：21教育名师】
13．一元二次方程x2﹣6x+9=0的实数根是 ．
【答案】x1=x2=3．
【解析】
先把左边直接配方，得（x﹣3）2=0，直接开平方即可．
解：配方，得（x﹣3）2=0，
直接开平方，得x﹣3=0，
∴方程的解为x1=x2=3，
故答案为x1=x2=3．
本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
14．用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a= ；b= ；c= ．www.21-cn-jy.com
15．方程x2﹣3x+2=0的根是 ．
【答案】1或2
【解析】
由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．【版权所有：21教育】
解：因式分解得，（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得x1=1，x2=2．
故答案为：1或2
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
16．方程x2﹣3x=0的根为 ．
【答案】x1=0，x2=3
【解析】
根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．
解：因式分解得，x（x﹣3）=0，
解得，x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．21教育网
17．将代数式2x2+4x﹣1化为a（x+p）2+q的形式为 ．
【答案】2（x+1）2﹣3．
【解析】
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：由2x2+4x﹣1=2（x2+2x）﹣1=2[（x+1）2﹣1]﹣1=2（x+1）2﹣3．
故答案是：2（x+1）2﹣3．
本题考查了配方法的应用．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
18．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 ．
【答案】4
【解析】
已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．
解：∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，
∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，
则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．
故答案为：4．
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19．若把代数式x2+2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ．
【答案】﹣5
【解析】
根据配方法的步骤把x2+2x﹣3变形为（x+1）2﹣4，得出m=﹣1．k=﹣4，则m+k=﹣5．
解：∵x2+2x﹣3=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4，
∴m=﹣1，k=﹣4，
∴m+k=﹣5．
故答案为：﹣5．
此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的变形，熟记公式结构，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．21教育名师原创作品
20．若m＞n＞0，m2+n2=4mn，则的值等于 ．
【答案】2．
【解析】
根据已知条件求得m+n=，m﹣n=；然后将所求的代数式转化为含有m+n、m﹣n的形式的代数式，并将m+n=，m﹣n=代入求值即可．
解：∵m＞n＞0，m2+n2=4mn，
∴（m+n）2=6mn，（m﹣n）2=2mn，
∴m+n=，m﹣n=，
∴===2；
故答案是：2．
本题考查了完全平方公式的运用．解答此题的技巧在于根据已知条件将m+n、m﹣n用所求代数式的分母mn表示的形式，便于约分，从而求得的值．21·世纪*教育网
21．方程2x2+4x+1=0的解是x1= ；x2= ．
22．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为 ．
【答案】6+
【解析】
求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．
解：方程x2﹣12x+31=0，
变形得：x2﹣12x=﹣31，
配方得：x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，
开方得：x﹣6=±，
解得：x=6+或x=6﹣，
当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，
则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．
故答案为：6+
此题考查了解一元二次方程﹣公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
23．方程x2﹣2x=0的解为 ．
【答案】x1=0，x2=2
【解析】
把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或 x﹣2=0，求出方程的解即可．
解：x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0或 x﹣2=0，
x1=0 或x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．21·cn·jy·com
24．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是 ．
25．如果关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m= ．
【答案】9
【解析】
因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△=b2﹣4ac=0，根据判别式列出方程求解即可．
解：∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即（﹣6）2﹣4×1×m=0，
解得m=9
故答案为：9
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
三．解答题（共5小题）
26．用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0．
【答案】
【解析】
借助完全平方公式，将原方程变形为，开方，即可解决问题．
解：∵2x2﹣4x﹣3=0，
∴，
∴，
∴x﹣1=±，
∴．
该题主要考查了用配方法来解一元二次方程的问题；准确配方是解题的关键．
27．解方程：x（x﹣2）=x．
【答案】
【解析】
先移项得到x（x﹣2）﹣x=0，然后利用因式分解法解方程．
解：x（x﹣2）﹣x=0，
x（x﹣2﹣1）=0，
x=0或x﹣2﹣1=0，
所以x1=0，x2=3．
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
28．已知方程=1的解是a，求关于y的方程y2+ay=0的解．
【答案】
【解析】
先解分式方程确定a的值为2，再把a=2代y2+ay=0的得y2+2y=0，然后利用因式分解法解此方程．2·1·c·n·j·y
解：把方程=1两边乘以x﹣1，得x﹣1=1，
解得x=2，经检验x=2是原方程的解，
∴a=2
把a=2代y2+ay=0的得y2+2y=0，
y（y+2）=0，
∴y1=0，y2=﹣2．
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了分式方程的解．
29．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
【答案】
【解析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，
解得：k＜；
（2）由k为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2k为完全平方数，
则k的值为2．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．
30．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0．
（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式；21世纪教育网版权所有
（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为时，求θ的值．2-1-c-n-j-y
【答案】
【解析】
（1）由方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0为一元二次方程，所以a≠0；要证明方程总有两个实数根，即证明当a取不等于1的实数时，△＞0，而△=（2﹣3a）2﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）2，即可得到△≥0．【来源：21cnj*y.co*m】
（2）先利用求根公式求出两根3，，再代入，可得到a=2，则m=1，n=3，直线l：y=x+3，这样就可得到坐标原点O关于直线l的对称点，代入反比例函数，即可确定反比例函数的解析式；
（3）延长PQ，AO′交于点G，设P（0，p），则Q（﹣，p）．四边形APQO'的面积=S△APG﹣S△QGO′=，这样可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，这样就可求出θ．
（1）证明：∵方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，即a≠1．
∴△=（2﹣3a）2﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）2，而（3a﹣4）2≥0，
∴△≥0．
所以当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的两根，
∴m+n=﹣，mn=．
∵，=，
∴﹣=，
∴a=2，即可求得m=1，n=3．
∴y=x+3，则A（﹣3，0），B（0，3），
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（﹣3，3），把（﹣3，3）代入反比例函数，得k=﹣9，21cnjy.com
所以反比例函数的解析式为y=﹣；
（3）解：设点P的坐标为（0，P），延长PQ和AO′交于点G．
∵PQ∥x轴，与反比例函数图象交于点Q，
∴四边形AOPG为矩形．
∴Q的坐标为（﹣，p），
∴G（﹣3，P），
当0°＜θ＜45°，即p＞3时，
∵GP=3，GQ=3﹣，GO′=p﹣3，GA=p，
∴S四边形APQO′=S△APG﹣S△QGO′=×p×3﹣×（3﹣）×（p﹣3）=9﹣，
∴=9﹣，
∴p=．（合题意）
∴P（0，）．则AP=6，OA=3，
所以∠PAO=60°，∠θ=60°﹣45°=15°；
当45°≤θ＜90°，则p＜﹣3，
用同样的方法也可求得p=，这与p＜﹣3相矛盾，舍去．
所以旋转角度θ为15°．
题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了反比例函数的性质和一些几何图形的性质．
