浙教版数学八年级下册一课一练（解析版）
第二章一元二次方程2.4一元二次方程根与系数的关系
一．选择题（共10小题）
1．已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
2．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．3
B．﹣3
C．1
D．﹣1
3．已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，且+﹣2的值为整数，则整数k的最大值为（ ）2·1·c·n·j·y
A．﹣2
B．﹣3
C．2
D．3
4．若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，则下列等式成立的是（ ）
A．x1+x2=1，x1?x2=﹣2
B．x1+x2=﹣1，x1?x2=2
C．x1+x2=1，x1?x2=2
D．x1+x2=﹣1，x1?x2=﹣2
5．设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2012
B．2013
C．2014
D．2015
6．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）
A．2
B．1
C．﹣1
D．0
7．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．﹣4
D．4
8．已知x=﹣2是一元二次方程x2+2x+a=0的一个解，则此方程的另一个解是（ ）
A．x=0
B．x=﹣2
C．x=2
D．x=﹣14
9．已知m，n是方程的两根，则代数式的值为（ ）
A．3
B．5
C．9
D．±3
10．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0的两个实数根，且x12+x22+3x1x2=5，则a的值是（ ）21世纪教育网版权所有
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
二．填空题（共16小题）
11．已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2= ．
12．设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ．
13．已知a、b是方程x2﹣x﹣2=0的两个不相等实数根，则a?b的值是 ．
14．已知x=4是一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根，则另一个根为 ．
15．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，则的值为 ．
16．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0的一个根是0，则另一个根是 ．
17．已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则 ．
18．以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ．
19．若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ．
20．如果x1，x2是方程2x2﹣3x﹣6=0的两个根，那么x1+x2= ；x1?x2= ．
21．若一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，则+= ．
22．关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m= ．
23．若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2= ．
24．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= ．
25．已知关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，且+=3，则k的值为 ．
26．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是 ．21cnjy.com
三．解答题（共4小题）
27．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
28．已知方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．21·cn·jy·com
29．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．www.21-cn-jy.com
（1）若+=1，求的值；
（2）求+﹣m2的最大值．
30．先阅读并完成第（1）题，再利用其结论解决第（2）题．
（1）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1?x2=．这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”．利用此定理，可以不解方程就得出x1+x2和 x1?x2的值，进而求出相关的代数式的值．
请你证明这个定理．
（2）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2），21教育网
请求出+…的值．
浙教版数学八年级下册一课一练（解析版）
第二章一元二次方程2.4一元二次方程根与系数的关系答案
一．选择题（共10小题）
1．已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
2．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．3
B．﹣3
C．1
D．﹣1
【答案】A
【解析】
直接根据根与系数的关系求解即可．
解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，
∴x1+x2=3．
故选：A．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．21cnjy.com
3．已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，且+﹣2的值为整数，则整数k的最大值为（ ）
A．﹣2
B．﹣3
C．2
D．3
【答案】A
【解析】
由x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x1+x2与x1x2，将+﹣2通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后，把表示出x1+x2与x1x2代入，整理后根据此式子的值为整数，即可求出实数k的整数值．
解：∵x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2=，且16k2﹣16k（k+1）≥0，即k＜0
∴+﹣2=﹣2=﹣2=，
由此式子的值为整数，得到k=﹣5，﹣3，﹣2，0，1，3．
则整数k的最大值为﹣2．
故选：A．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
4．若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，则下列等式成立的是（ ）
A．x1+x2=1，x1?x2=﹣2
B．x1+x2=﹣1，x1?x2=2
C．x1+x2=1，x1?x2=2
D．x1+x2=﹣1，x1?x2=﹣2
【答案】D
【解析】
利用根与系数的关系，求解即可．
解：∵方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣1，x1?x2=﹣2，
故选：D．
本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
5．设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2012
B．2013
C．2014
D．2015
【答案】C
【解析】
先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，
∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，
∴a2+2a+b=a+b+2015，
∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根
∴a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．
故选C．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．2-1-c-n-j-y
6．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）
A．2
B．1
C．﹣1
D．0
7．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．﹣4
D．4
【答案】D
【解析】
根据根与系数的关系直接解答．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．
故选：D．
本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．2·1·c·n·j·y
8．已知x=﹣2是一元二次方程x2+2x+a=0的一个解，则此方程的另一个解是（ ）
A．x=0
B．x=﹣2
C．x=2
D．x=﹣14
【答案】A
【解析】
设一元二次方程x2+2x+a=0的另一个解为x2，根据根与系数的关系得到﹣2+x2=﹣，然后解方程即可．21·世纪*教育网
解：设一元二次方程x2+2x+a=0的另一个解为x2，
根据根与系数的关系得，﹣2+x2=﹣，
∴x2=0．
故选A．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=． 21*cnjy*com
9．已知m，n是方程的两根，则代数式的值为（ ）
A．3
B．5
C．9
D．±3
10．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0的两个实数根，且x12+x22+3x1x2=5，则a的值是（ ）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
【答案】D
【解析】
先根据判别式的意义得到a≤﹣1，再根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=﹣a，由x12+x22+3x1x2=5变形得到（x1+x2）2+x1x2=5，则4﹣a=5，然后解一次方程．
解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4×（﹣a）≥0，解得a≤﹣1，
x1+x2=2，x1x2=﹣a，
∵x12+x22+3x1x2=5，
∴（x1+x2）2+x1x2=5，
∴4﹣a=5，
∴a=﹣1．
故选D．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判别式．21·cn·jy·com
二．填空题（共16小题）
11．已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2= ．
【答案】3
【解析】
根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，代入计算即可．
解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x1、x2，
∴x1+x2=3，
故答案为：3．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．【版权所有：21教育】
12．设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ．
【答案】3
【解析】
利用根与系数的关系x1+x2=﹣解答并填空即可．
解：∵方程x2+3x﹣1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=3，
∴x1+x2=﹣=﹣=3．
故答案是：3．
考查了一元二次方程的根与系数的关系．解答该题需要熟记公式：x1+x2=﹣．
13．已知a、b是方程x2﹣x﹣2=0的两个不相等实数根，则a?b的值是 ．
【答案】﹣2．
【解析】
由a，b是方程x2﹣x﹣2=0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系即可求出两根之积．
解：∵a、b是方程x2﹣x﹣2=0的两个不相等实数根，
∴a?b=﹣2．
故答案为：﹣2．
此题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当方程有解，即b2﹣4ac≥0时，设方程的解分别为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．
14．已知x=4是一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根，则另一个根为 ．
【答案】﹣1
【解析】
另一个根为t，根据根与系数的关系得到4+t=3，然后解一次方程即可．
解：设另一个根为t，
根据题意得4+t=3，
解得t=﹣1，
即另一个根为﹣1．
故答案为﹣1．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．【来源：21cnj*y.co*m】
15．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，则的值为 ．
【答案】﹣3
【解析】
由方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得x1+x2=3，x1+x2=﹣1，又由=，代入求解即可求得答案．
解：∵方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=3，x1+x2=﹣1，
∴==﹣3．
故答案为：﹣3．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及分式的加减运算．此题难度不大，解题的关键是掌握：若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q性质的应用．
16．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0的一个根是0，则另一个根是 ．
17．已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则 ．
【答案】1或5．
【解析】
x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答．
解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知，
∵，而由知，x1，x2异号．
故=﹣，令x1=3k，x2=﹣2k，
则得，
从上面两式消去k，得，
即m2﹣6m+5=0，
解之得m1=1，m2=5．
故答案为：1或5．
本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．
18．以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ．
【答案】x2﹣4x﹣21=0．
【解析】
先计算出﹣3+7=4，﹣3×7=﹣21，然后根据根与系数的关系写出满足条件的方程．
解：∵﹣3+7=4，﹣3×7=﹣21，
∴﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程为x2﹣4x﹣21=0．
故答案为x2﹣4x﹣21=0．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．21教育名师原创作品
19．若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ．
【答案】﹣1
【解析】
根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．
解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，
∴k2=1，
解得k=1或﹣1；
∵方程有两个实数根，△＞0，
∴当k=1时，△＜0，舍去，
故k的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．
20．如果x1，x2是方程2x2﹣3x﹣6=0的两个根，那么x1+x2= ；x1?x2= ．
【答案】，3．
【解析】
直接根据根与系数的关系求解．
解：根据题意得x1+x2=﹣=，x1?x2==﹣3．
故答案为，3．
考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
21．若一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，则+= ．
【答案】﹣1
【解析】
欲求+的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再代入数值计算即可．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2=1，x1x2=﹣1，
∴+===﹣1．
故答案为：﹣1．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
22．关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m= ．
23．若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2= ．
【答案】10
【解析】
根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．www-2-1-cnjy-com
解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，
∴α+β=2，αβ=﹣3，
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．
故答案是：10．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
24．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= ．
【答案】8
【解析】
根据m+n=﹣=﹣2，m?n=﹣5，直接求出m、n即可解题．
解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，
∵m2+2m﹣5=0
∴m2=5﹣2m
m2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8
故答案为：8．
此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．
25．已知关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，且+=3，则k的值为 ．
【答案】﹣2
【解析】
首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把+=3转换为=3，然后利用前面的等式即可得到关于k的方程，解方程即可求出结果．
解：∵关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣6，x1x2=k，
∵+==3，
∴=3，
∴k=﹣2．
故答案为：C
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题．
26．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】﹣2或﹣．
【解析】
先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．
解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，
∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．
①如果x1﹣2=0，那么x1=2，
将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，
整理，得k2+4k+4=0，
解得k=﹣2；
②如果x1﹣x2=0，
那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，
解得k=﹣．
又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．
解得：k≥﹣．
所以k的值为﹣2或﹣．
故答案为：﹣2或﹣．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．
三．解答题（共4小题）
27．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】
【解析】
（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1?x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；
（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．
解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，
∴x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1?x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，
解得：m=﹣4或m=6；
当m=﹣4时原方程无解，
∴m=6；
（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，
∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，
解得：m=2，
∴方程变为x2﹣6x+9=0，
解得：x1=x2=3，
∵3+3＜7，
∴不能构成三角形；
②当7为腰时，设x1=7，
代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，
解得：m=10或4，
当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，
解得：x=7或15
∵7+7＜15，不能组成三角形；
当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，
解得：x=3或7，
此时三角形的周长为7+7+3=17．
本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．
28．已知方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．21世纪教育网版权所有
【答案】
【解析】
先根据方程有两个实数根判断出k的取值范围，设出方程的两个实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系建立起关系式，再根据这两个实数根的平方和比两根的积大21可列出关于k的方程，求出k的值，再把k的值代入原方程即可解答．www.21-cn-jy.com
解：∵方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，
∴△=4（k﹣2）2﹣4（k2+4）≥0，
∴k≤0，
设方程的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2=﹣2（k﹣2）…①，x1?x2=k2+4…②，
∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x12+x22=x1?x2+21，
即（x1+x2）2﹣3x1?x2=21，
把①、②代入得，4（k﹣2）2﹣3（k2+4）=21，
∴k=17（舍去）或k=﹣1，
∴k=﹣1，
∴原方程可化为x2﹣6x+5=0，
解得x1=1，x2=5．
此题比较复杂，考查的是一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解答此题的关键是先判断出k的取值范围，再根据根与系数的关系解答．【出处：21教育名师】
29．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．21*cnjy*com
（1）若+=1，求的值；
（2）求+﹣m2的最大值．
【答案】
【解析】
（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值；
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，
∴+===1
解得：m1=，m2=（不合题意，舍去）
∴=﹣2．
（2）+﹣m2
=﹣m2
=﹣2（m﹣1）﹣m2
=﹣（m+1）2+3．
当m=﹣1时，最大值为3．
此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．
30．先阅读并完成第（1）题，再利用其结论解决第（2）题．
（1）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1?x2=．这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”．利用此定理，可以不解方程就得出x1+x2和 x1?x2的值，进而求出相关的代数式的值．
请你证明这个定理．
（2）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2），21教育网
请求出+…的值．
【答案】
【解析】
（1）首先利用求根公式x=求得该方程的两个实数根，然后再来求得x1+x2=﹣，x1?x2=；
（2）由根与系数的关系得an+bn=n+2，an?bn=﹣2n2，所以（an﹣2）（bn﹣2）=anbn﹣2（an+bn）+4=﹣2n2﹣2（n+2）+4=﹣2n（n+1），
则=﹣（﹣），然后代入即可求解．
解：（1）根据求根公式x=知，
x1=，x2=，
故有x1+x2=+=﹣，x1?x2=×=；
（2）∵根与系数的关系知，an+bn=n+2，an?bn=﹣2n2，
∴（an﹣2）（bn﹣2）=anbn﹣2（an+bn）+4=﹣2n2﹣2（n+2）+4=﹣2n（n+1），
∴=﹣（﹣），
∴+…
=﹣[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
=﹣×（﹣）
=﹣．
本题考查了根与系数的关系．在证明韦达定理时，借用了求根公式x=．
