浙教版数学八年级下册一课一练第四章平行四边形
4.2平行四边形及性质（解析版）
一．选择题（共15小题）
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABE=∠AEB，AE∥DF，DC是∠ADF的角平分线．下列说法正确的是（ ）21教育名师原创作品
①BE=CF ②AE是∠DAB的角平分线 ③∠DAE+∠DCF=120°．
A．① B．①② C．①②③ D．都不正确
2．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．3 B．4 C．6 D．8
3．如图，在?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
4．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）www.21-cn-jy.com
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，?ABCD中，下列说法一定正确的是（ ）
A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB=BC
6．平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A．相等
B．互相平分
C．互相垂直
D．互相垂直且相等
7．下列图形中，∠2大于∠1的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，?AOCB的顶点C的坐标为（3，4），点A的坐标为（6，0），则顶点B的坐标为（ ）21教育网
A．（6，4） B．（7，4） C．（8，4） D．（9，4）
9．如图，在?ABCD中，E是BC边上的一点，BE：EC=1：2，AE交BD于F，则△BEF与△DAF的周长之比是（ ） 21*cnjy*com
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
10．已知?ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠B的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
11．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BD于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）【出处：21教育名师】
A．10 B．16 C．18 D．20
12．如图，双曲线y=（k＞0，x＞0）经过?OABC的对角线的交点D，已知边OC在y轴上，且OC⊥CA于点C，若OC=3，CB=5，则k等于（ ）21世纪教育网版权所有
A．3 B．6 C．12 D．15
13．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=（ ）2·1·c·n·j·y
A．4 B．6 C．8 D．不能确定
14．如图，在?ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（ ）【版权所有：21教育】
A．2 B．3 C．4 D．5
15．如图，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是（ ）21*cnjy*com
A．∠E=∠CDF B．EF=DF C．AD=2BF D．BE=2CF
二．填空题（共12小题）
16．已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为6，则另一条对角线长为 ．21·cn·jy·com
17．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，若△PEF的面积为3，那么△PDC与△PAB的面积和等于 ．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，?MNEF的两条对角线ME、NF交于原点O，点F的坐标是（3，2），则点N的坐标是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），则C点坐标为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
21．如图，在平行四边形ABDC中，点M是CD的中点，AM与BC相交于点N，那么S△ABN：S△MCN等于 ．
22．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD= cm．
23．已知平行四边形的周长为100cm，两邻边之差为30cm，则平行四边形的较短边的长为 cm．
24．如图，?ABCD中，AD=10，AD边上的高为8，对角线交点为O，直线EF经过O，与AB、CD分别交于点E、F；直线GH经过点O，与AD、BC分别交于点G、H；直线MN经过点O，与AD、BC分别交于点M、N，则图中阴影部分的面积为 ．
25．如图，在?ABCD中，AC⊥DC，且AD=10，AB=8，则OC= ．
26．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作PF⊥BC于点F，交AD于点E，交BA的延长线于点P．若PE=EO=2，PA=3，则△OBC的面积等于 ．
27．如图，在?ABCD中，G是CD上一点，连接BG且延长交AD的延长线于点E，AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，则∠BFD= ．
三．解答题（共3小题）
28．已知：如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．21·世纪*教育网
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．
29．如图，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．
30． 如图，已知?ABCD水平放置在平面直角坐标系xOy中，若点A，D的坐标分别为（﹣2，5），（0，1），点B（3，5）在反比例函数y=（x＞0）图象上．21cnjy.com
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）将?ABCD沿x轴正方向平移10个单位后，能否使点C落在反比例函数y=的图象上？并说明理由．2-1-c-n-j-y
浙教版数学八年级下册一课一练第四章平行四边形
4.2平行四边形及性质（解析版）答案
一．选择题（共15小题）
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABE=∠AEB，AE∥DF，DC是∠ADF的角平分线．下列说法正确的是（ ）
①BE=CF ②AE是∠DAB的角平分线 ③∠DAE+∠DCF=120°．
A．① B．①② C．①②③ D．都不正确
2．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可．
解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF，
∵△ABC的面积是24，BC=4CF
∴BC×hBC=×4CF×hCF=24，
∴CF×hCF=12，
∴阴影部分的面积是×12=6，
故选C．
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度．
3．如图，在?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
【答案】D
【解析】
根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
解：∵?ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴=，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴=．
故选：D．
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．
4．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ） 21*cnjy*com
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
解：∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴BO==5，
∴BD=2BO=10，
故选：C．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
5．如图，?ABCD中，下列说法一定正确的是（ ）
A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB=BC
6．平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A．相等
B．互相平分
C．互相垂直
D．互相垂直且相等
【答案】B
【解析】
根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．
解：平行四边形的对角线互相平分，
故选：B．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
7．下列图形中，∠2大于∠1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据平行线的性质以及平行四边形的性质，对顶角的性质、三角形的外角的性质即可作出判断．
解：A、∠1=∠2，故选项错误；
B、根据三角形的外角的性质可得∠2＞∠1，选项正确；
C、根据平行四边形的对角相等，得：∠1=∠2，故选项错误；
D、根据对顶角相等，则∠1=∠2，故选项错误；
故选：B．
本题考查了行线的性质以及平行四边形的性质，对顶角的性质、三角形的外角的性质，正确掌握性质定理是关键．21教育名师原创作品
8．如图，在平面直角坐标系中，?AOCB的顶点C的坐标为（3，4），点A的坐标为（6，0），则顶点B的坐标为（ ）
A．（6，4） B．（7，4） C．（8，4） D．（9，4）
【答案】D
【解析】
根据平行四边形的性质可得BC=AO=6，再根据C点坐标可得B点坐标．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AO，
∵点A的坐标为（6，0），
∴CB=AO=6，
∵C的坐标为（3，4），
∴点B的坐标为（9，4），
故选：D．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等．
9．如图，在?ABCD中，E是BC边上的一点，BE：EC=1：2，AE交BD于F，则△BEF与△DAF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【答案】B
【解析】
已知BE：EC=1：2，由平行四边形的对边相等即可求得BE、AD的比例关系；易证得△ADF∽△EBF，则BE、AD的比例关系即为两个三角形的相似比，根据相似三角形的周长比比等于相似比即可得解．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC①，AD=BC②；
已知BE：EC=1：2，即BE：BC=1：3，由②可得BE：AD=1：3；
由①知：△ADF∽△EBF，
∴L△BEF：L△DAF=BE：AD=1：3．
故选：B．
此题主要考查了平行四边形和相似三角形的性质；相似三角形的对应边的比等于相似比，周长比等于相似比．
10．已知?ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠B的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【答案】D
【解析】
根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质即可求解．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°
∵∠A+∠C=80°，
∴∠A=40°，
∴∠B=140°，
故选D．
本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的性质是解题的关键．
11．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BD于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，结合△CDE的周长为10，即可求得平行四边形ABCD的周长．21世纪教育网版权所有
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵△CDE的周长为10，
即CD+DE+EC=10，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．21·世纪*教育网
故选D．
此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
12．如图，双曲线y=（k＞0，x＞0）经过?OABC的对角线的交点D，已知边OC在y轴上，且OC⊥CA于点C，若OC=3，CB=5，则k等于（ ）
A．3 B．6 C．12 D．15
【答案】B
【解析】
利用平行四边形的性质结合勾股定理得出AC的长，再利用反比例函数的性质求出答案．
解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴CO=AB，CO∥AB，
∵OC⊥CA于点C，OC=3，CB=5，
∴∠CAB=90°，则AC==4，
∵?OABC的对角线的交点D，
∴D点的坐标为：（3，2），
故k=xy=6．
故选：B．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，得出D点坐标是解题关键．
13．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．不能确定
【答案】C
【解析】
过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8．
故选：C．
此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
14．如图，在?ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得BC=AD=6，CD=AB=4，AD∥BC，得∠ADE=∠DEC，又由DE平分∠ADC，可得∠CDE=∠DEC，根据等角对等边，可得EC=CD=4，所以求得BE=BC﹣EC=2．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，CD=AB=4，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴EC=CD=4，
∴BE=BC﹣EC=2．
故选A．
此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理．注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形．
15．如图，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠E=∠CDF B．EF=DF C．AD=2BF D．BE=2CF
【答案】D
【解析】
首先根据平行四边形的性质可得CD∥AB，再根据平行线的性质可得∠E=∠CDF；首先证明△DCF≌△EBF可得EF=DF；根据全等可得CF=BF=BC，再利用等量代换可得AD=2BF；根据题意不能证明AD=BE，因此BE不一定等于2CF．【出处：21教育名师】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠E=∠CDF，（故A成立）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥BE，
∴∠C=∠CBE，
∵BE=AB，
∴CD=EB，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△DCF≌△EBF（AAS），
∴EF=DF，（故B成立）；
∵△DCF≌△EBF，
∴CF=BF=BC，
∵AD=BC，
∴AD=2BF，（故C成立）；
∵AD≠BE，
∴2CF≠BE，（故D不成立）；
故选：D．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
二．填空题（共12小题）
16．（2015?西安模拟）已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为6，则另一条对角线长为 ．www.21-cn-jy.com
【答案】6或6
【解析】
利用等腰直角三角形的性质以及正方形的判定方法得出此平行四边形是正方形，即可得出答案．
解：∵一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，
∴此图形的邻边相等，且对角都是90°，故此平行四边形是正方形，
∵一条对角线的长为6，
∴另一条对角线长为：6．
同理可得出：另外一种情况：这个平行四边形的四个角分别为45°，135°，45°，135°．
此时另外一条对角线的长度为6．
故另一条对角线长为6或6．
故答案为：6或6．
此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质，得出此平行四边形是正方形是解题关键．
17．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，若△PEF的面积为3，那么△PDC与△PAB的面积和等于 ．21cnjy.com
18．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为 ．21教育网
【答案】3
【解析】
利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB即可得出答案．
解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，
∴∠ECD=∠ECB，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠DEC=∠ECB，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
∵AD=2AB，
∴AD=2CD，
∴AE=DE=AB=3．
故答案为：3．
此题主要考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE是解题关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，?MNEF的两条对角线ME、NF交于原点O，点F的坐标是（3，2），则点N的坐标是 ．
【答案】（﹣3，﹣2）
【解析】
根据平行四边形是中心对称的特点可知，点F点N关于原点对称，所以F的坐标为（﹣3，﹣2）．
解：∵在平行四边形ABCD中，F点与N点关于原点对称，
∴N点坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），则C点坐标为 ．
【答案】（2，3）
【解析】
连接OB，AC，根据O，B，的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标．
解：连接OB，AC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（3，1），
∴P的坐标（1.5，0.5），
∵A（1，﹣2），
∴C的坐标为（2，3），
故答案为：（2，3）．
此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，解题的关键是正确的添加辅助线，难度一般．
21．如图，在平行四边形ABDC中，点M是CD的中点，AM与BC相交于点N，那么S△ABN：S△MCN等于 ．
22．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD= cm．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】4
【解析】
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则BC比AB长7cm，所以根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长．
解：∵平行四边形的周长为20cm，
∴AB+BC=10cm；
又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，
∴BC﹣AB=2cm，
解得：AB=4cm，BC=6cm．
∵AB=CD，
∴CD=4cm
故答案为：4．
此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．
23．已知平行四边形的周长为100cm，两邻边之差为30cm，则平行四边形的较短边的长为 cm．
【答案】10
【解析】
如图：因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得AB=CD，AD=BC，又因为平行四边形的周长等于100 cm，两邻边之差为30cm，所以可求得这个平行四边形较长的边长的长．【版权所有：21教育】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形的周长等于100 cm，
∴AB+CD+AD+BC=100cm，
∴AB+BC=50cm，
∵AD﹣AB=30cm，
∴BC=40cm，AB=10cm，
∴平行四边形的较短边的长是10cm，
故答案为10．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．注意解此题需要利用方程思想．
24．如图，?ABCD中，AD=10，AD边上的高为8，对角线交点为O，直线EF经过O，与AB、CD分别交于点E、F；直线GH经过点O，与AD、BC分别交于点G、H；直线MN经过点O，与AD、BC分别交于点M、N，则图中阴影部分的面积为 ．21*cnjy*com
【答案】40
【解析】
利用平行四边形的性质，得出：△GOM≌△HON，△DOF≌△BOE，△AEO≌△CFO，进而得出图中阴影部分的面积为：S四边形ABCD，即可得出答案．2·1·c·n·j·y
解：由题意可得：△GOM≌△HON，△DOF≌△BOE，△AEO≌△CFO，
则S△GOM=S△HON，S△DOF=S△BOE，S△AEO=S△CFO，
故图中阴影部分的面积为：S四边形ABCD=×8×10=40．
故答案为：40．
此题主要考查了平行四边形的性质，得出图中阴影部分的面积为：S四边形ABCD是解题关键．
25．如图，在?ABCD中，AC⊥DC，且AD=10，AB=8，则OC= ．
【答案】3
【解析】
首先根据平行四边形的性质可得DC=AB=8，CO=AC，再根据勾股定理计算出AC的长，进而可得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=8，CO=AC，
∵AC⊥DC，
∴AC===6，
∴CO=6=3，
故答案为：3．
此题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，关键是掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分．
26．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作PF⊥BC于点F，交AD于点E，交BA的延长线于点P．若PE=EO=2，PA=3，则△OBC的面积等于 ．
【答案】4
【解析】
首先求出△AOE≌△COF（ASA），进而得出EO=FO，AE=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出BF的长，即可得出△OBC的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=CO，BO=DO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO，AE=FC，
∵PE=EO=2，
∴FO=2，
∵AE∥BF，PF⊥BC，
∴△PAE∽△PBF，∠PEA=90°，
∴=，
∴AE==，
∴=，
解得：BF=3，
则BC=4，
故△OBC的面积为：FO×BC=×2×4=4．
故答案为：4．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质和全等三角形的判定与性质等知识，正确得出△AOE≌△COF是解题关键．
27．如图，在?ABCD中，G是CD上一点，连接BG且延长交AD的延长线于点E，AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，则∠BFD= ．
【答案】80°
【解析】
根据平行四边形的对角相等可得∠A=∠C，对边相等可得AB=CD，再利用三角形的内角和定理求出∠ABE，然后求出四边形BGDF是平行四边形，最后利用平行四边形的邻角互补列式计算即可得解．2-1-c-n-j-y
解：在在?ABCD中，∠A=∠C=50°，AB=CD，
∵∠E=30°，
∴∠ABE=180°﹣50°﹣30°=100°，
∵AF=CG，
∴BF=DG，
又∵BF∥DG，
∴四边形BGDF是平行四边形，
∴∠BFD=180°﹣∠ABE=180°﹣100°=80°．
故答案为：80°．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
28．已知：如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．21·cn·jy·com
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．
【答案】
【解析】
（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．
（1）证明：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知识，得出BE=DE是解题关键．
29．如图，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．
【答案】
【解析】
（1）通过证明△ODF与△OBE全等即可求得．
（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2，然后平行线分线段成比例定理即可求得．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF与△OBE中
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BO=DO；
（2）解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=45°，
∴∠DBA=∠A=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠G=∠A=45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OE=OF，
∴GF=OF=OE，
即2FG=EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF=FG=1，
∴DG==，
∵AB∥CD，
∴=，
即=，
∴AD=2，
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行线分行段定理．
30． 如图，已知?ABCD水平放置在平面直角坐标系xOy中，若点A，D的坐标分别为（﹣2，5），（0，1），点B（3，5）在反比例函数y=（x＞0）图象上．www-2-1-cnjy-com
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）将?ABCD沿x轴正方向平移10个单位后，能否使点C落在反比例函数y=的图象上？并说明理由．
