浙教版数学八年级下册一课一练第四章平行四边形
4.3中心对称（解析版）
一．选择题（共15小题）
1．下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（ ）
A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心
B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段
C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分
D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分
2．能同时把矩形的面积和周长分成相等两部分的直线有（ ）条．
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对称点
B．BO=B′O′
C．∠ACB=∠C′A′B′
D．△ABC≌△A′B′C′
4．（2013秋?云梦县校级期末）下列命题中：
①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的个数为（ ）www.21-cn-jy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对称点
B．BO=B′O
C．AB∥A′B′
D．∠ACB=∠C′A′B′
6．如图，△ABC是一个中心对称图形的一部分，O点是对称中心，点A和点B是一对对应点，∠C=90°，那么将这个图形补成一个完整的图形是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
7．如图：下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC与E、F两点，则阴影部分的面积是（ ）2-1-c-n-j-y
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图是一个以O为对称中心的中心对称图形，若∠A=30°，∠C=90°，AC=1，则AB的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．4 B． C． D．
13．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对称点
B．BO=B′O
C．AB∥A′B′
D．∠ACB=∠C′A′B′
二．填空题（共12小题）
16．下列说法：
①成中心对称的两个图形全等；
②图形的旋转不改变图形的形状、大小；
③成中心对称的两个图形，对称点的连线被对称中心平分，
其中正确的个数为 ．
17．如图，已知△ABC与△ADE是成中心对称的两个图形，点A是对称中心，点B的对称点为点 D ．
18．如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB=3，则△DOC中CD边上的高是 ．21教育网
19．将5个边长都为1cm的正方形按如图所示的样子摆放，点A．B．C．D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分的面积的和为 cm2．21cnjy.com
20．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是 ．
21．已知三点A、B、O．如果点A′与点A关于点O对称，点B′与点B关于点O对称，那么线段AB与A′B′的关系是 ．21·cn·jy·com
22．在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有 个．21·世纪*教育网
23．如图△ABC与△DEF关于O点成中心对称．则线段BC与EF的关系是 ．
24．中心对称是 个图形的特殊位置关系，中心对称图形是 个具有特殊性质的图形；把中心对称的 个图形看成 ，就是一个 ，把中心对称图形被过对称中心的任意直线分成的两部分看成 ，这两个图形就 ．21世纪教育网版权所有
25．关于中心对称的两个图形的性质是：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连 都经过 ，而且被对称中心所 ．
（2）关于中心对称的两个图形是 ．
26．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．
27．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB′的长 ． 21*cnjy*com
三．解答题（共3小题）
28．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．
（1）根据图形直接写出点C的坐标： ；
（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．【来源：21cnj*y.co*m】
29．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．2·1·c·n·j·y
30．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
浙教版数学八年级下册一课一练第四章平行四边形
4.3中心对称（解析版）答案
一．选择题（共15小题）
1．下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（ ）
A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心
B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段
C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分
D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分
2．能同时把矩形的面积和周长分成相等两部分的直线有（ ）条．
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】D
【解析】
矩形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点，因此，经过对称中心的任意一条直线可以把矩形分成周长相等的两部分．2-1-c-n-j-y
解：能把矩形分成周长相等的两部分的直线有无数条．
过对角线的交点（或对称中心或两组对边中垂线的交点）的任意一条直线可以把矩形分成周长相等的两部分．
故选：D．
本题考查了矩形的性质，属于基础题，关键是掌握矩形是中心对称图形．
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对称点
B．BO=B′O′
C．∠ACB=∠C′A′B′
D．△ABC≌△A′B′C′
【答案】C
【解析】
根据中心对称的性质解答．
解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点A与点A′是对称点，BO=B′O′，△ABC≌△A′B′C′，∠ACB=∠A′B′C′，
∴结论∠ACB=∠C′A′B′错误．
故选C．
本题考查了中心对称的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．（2013秋?云梦县校级期末）下列命题中：
①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的个数为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对称点
B．BO=B′O
C．AB∥A′B′
D．∠ACB=∠C′A′B′
【答案】D
【解析】
根据成中心对称的图形的性质：“中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可作出正确判断．www.21-cn-jy.com
解：A、正确；
B、正确；
C、根据OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′，得到△AOB≌△A′OB′．则∠ABO=∠A′B′O，则AB∥A′B′，正确；【来源：21·世纪·教育·网】
D、两个角不是对应角，错误．
故选D．
考查了中心对称的图形的性质，注意弄清对应点、对应角、对应线段．
6．如图，△ABC是一个中心对称图形的一部分，O点是对称中心，点A和点B是一对对应点，∠C=90°，那么将这个图形补成一个完整的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】A
【解析】
作出图形，根据中心对称的性质可得AC′=BC，BC′=AC，然后根据两组对比分别相等的四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
解：如图，∵O点是对称中心，△A′B′C′是△ABC关于点O的对称图形，
∴AC′=BC，BC′=AC，
∴四边形ABC′A是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴平行四边形ABC′A是矩形．
故选A．
本题考查了中心对称，平行四边形的判定，矩形的判定，根据中心对称的性质得到相等的对应边是解题的关键，作出图形更形象直观．
7．如图：下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
解：∵A．此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B：此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C．此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；
D：此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．
8．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：从左数第一、四个是轴对称图形，也是中心对称图形．第二是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形．
故选B．
本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
9．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC与E、F两点，则阴影部分的面积是（ ）21教育名师原创作品
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
首先证明△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，
在△EDO和△FBO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴S△DEO=S△BFO，
阴影面积=三角形BOC面积=×2×2=1．
故选：A．
本题主要考查正方形的性质和三角形的判定，不是很难，会把两个阴影面积转化到一个图形中去．
12．如图是一个以O为对称中心的中心对称图形，若∠A=30°，∠C=90°，AC=1，则AB的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】
在直角△ABC中根据AO=，得出AO的长，进而得出AB的长．
解：∵在Rt△AOC中，∠A=30°，∠C=90°，AC=1，
∴AO===，
∴BA=2AO=．
故选：D．
本题主要考查了中心对称图形的性质以及锐角三角函数的应用，根据已知得出AO的长是解题关键．
13．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，结合选项所给的图形即可得出答案．
解：①既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
②是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
③既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
④是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．
综上可得共有两个符合题意．
故选：B．
本题考查轴对称及中心对称的定义，属于基础题，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念是关键．
14．下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对称点
B．BO=B′O
C．AB∥A′B′
D．∠ACB=∠C′A′B′
【答案】D
【解析】
根据中心对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：观察图形可知，
A、点A与点A′是对称点，故本选项正确；
B、BO=B′O，故本选项正确；
C、AB∥A′B′，故本选项正确；
D、∠ACB=∠A′C′B′，故本选项错误．
故选D．
本题考查了中心对称，熟悉中心对称的性质是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
16．（2014春?沛县期中）下列说法：
①成中心对称的两个图形全等；
②图形的旋转不改变图形的形状、大小；
③成中心对称的两个图形，对称点的连线被对称中心平分，
其中正确的个数为 ．
【答案】3
【解析】
如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．
中心对称的性质有①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，根据以上内容即可判断．
解：①成中心对称的两个图形全等，正确，
②图形的旋转不改变图形的形状、大小，正确；
③成中心对称的两个图形，对称点的连线被对称中心平分，正确．
故答案为：3．
本题考查了中心对称，注意：（1）如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．21教育网
（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等．21cnjy.com
17．如图，已知△ABC与△ADE是成中心对称的两个图形，点A是对称中心，点B的对称点为点 D ．
【答案】D
【解析】
根据中心对称的定义结合图形点B、D是对称点．
解：∵△ABC与△ADE是成中心对称的两个图形，
∴点B的对称点为点D．
故答案为：D．
本题考查了中心对称，是基础题，准确识图是解题的关键．
18．如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB=3，则△DOC中CD边上的高是 ．21·cn·jy·com
19．将5个边长都为1cm的正方形按如图所示的样子摆放，点A．B．C．D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分的面积的和为 cm2．2·1·c·n·j·y
【答案】1
【解析】
根据中心对称的性质，每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
解：∵点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，
∴每一个阴影部分的面积等于正方形的，
∴四块阴影部分的面积的和=12=1cm2．
故答案为：1．
本题考查了中心对称的性质，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质并判断出每一个阴影部分的面积等于正方形的是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
20．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是 ．
【答案】B
【解析】
根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解．
解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
本题考查中心对称的知识，掌握好中心对称图形的概念是解题的关键．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 21*cnjy*com
21．已知三点A、B、O．如果点A′与点A关于点O对称，点B′与点B关于点O对称，那么线段AB与A′B′的关系是 ．【出处：21教育名师】
【答案】关于点O对称
【解析】
根据中心对称的概念可知线段AB、A′B′上的对应点都关于点O对称进行解答．
解：∵点A′与点A关于点O对称，点B′与点B关于点O对称，
∴线段AB与A′B′关于点O对称．
故答案为：关于点O对称．
本题考查了中心对称，是基础题，熟记概念是解题的关键．
22．在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有 个．
【答案】2
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断．
解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个：矩形、菱形．
故答案为：2．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
23．如图△ABC与△DEF关于O点成中心对称．则线段BC与EF的关系是 ．
【答案】平行且相等．
【解析】
根据△ABC与△DEF关于O点成中心对称，得出对应边之间的关系即可得出答案．
解：∵△ABC与△DEF关于O点成中心对称．
∴线段BC与EF的关系是：平行且相等．
故答案为：平行且相等．
此题主要考查了中心对称的性质，正确记忆中心对称的对应边关系是解决问题的关键．
24．中心对称是 个图形的特殊位置关系，中心对称图形是 个具有特殊性质的图形；把中心对称的 个图形看成 ，就是一个 ，把中心对称图形被过对称中心的任意直线分成的两部分看成 ，这两个图形就 ．
【答案】两，一，两，一个整体，中心对称图形，两个图形，中心对称．
【解析】
根据中心对称及中心对称图形的定义及性质即可完成填空．
解：中心对称是两个图形的特殊位置关系，中心对称图形是一个具有特殊性质的图形；把中心对称的两个图形看成一个整体，就是一个中心对称图形，把中心对称图形被过对称中心的任意直线分成的两部分看成两个图形，这两个图形就中心对称．
故答案为：两，一，两，一个整体，中心对称图形，两个图形，中心对称．
本题考查中心对称及中心对称图形的定义与性质的内容，属于基础题，掌握基本的概念与性质是解答此题的关键．
25．关于中心对称的两个图形的性质是：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连 都经过 ，而且被对称中心所 ．
（2）关于中心对称的两个图形是 ．
26．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【解析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．21*cnjy*com
解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×24=12．
故答案为：12．
本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
27．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB′的长 ．
【答案】2
【解析】
利用中心对称图形关于A为对称中心，得出两图形全等，即可解决．
解：∵此图是中心对称图形，A为对称中心，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴∠B=∠B′，∠C=∠C′，AC=AC′
∵∠C=90°，∠B=30°，AC=1，
∴AB′=2AC′=2．
故答案为：2．
此题主要考查了中心对称图形的性质，以及在直角三角形中30°，所对的直角边是斜边的一半．
三．解答题（共3小题）
28．（2014春?宜春期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．
（1）根据图形直接写出点C的坐标： ；
（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．
【答案】
【解析】
（1）根据点B、D的坐标求出点C的横坐标与纵坐标，然后写出即可；
（2）连接OC、BD得到矩形的中心，然后根据平分矩形面积的直线比过中心作出直线m即可，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
解：（1）∵B（6，0）、D（0，4），
∴点C的横坐标是6，纵坐标是4，
∴点C的坐标为（6，4）；
故答案为：（6，4）；
（2）直线m如图所示，
对角线OC、BD的交点坐标为（3，2），
设直线m的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线m的解析式为y=﹣x+6．
本题考查了中心对称，矩形的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟记过矩形的中心的直线把矩形的面积分成面积相等的两份是解题的关键．21·世纪*教育网
29．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．【版权所有：21教育】
【答案】
【解析】
（1）根据平行四边形的性质可知：重心是两条对角线的交点．
（2）两模块分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．
（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点．（1分）
如图，平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，
经过点O与对边相交的任何一条线段都以点O为中点（如图中线段PQ），
因此点O是各条线段的公共重心，也是?ABCD的重心．
（2）把模板分成两个矩形，连接各自的中心；
把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．
本题考查了中心对称与重心之间的关系，有一定难度，注意掌握一些特殊图形的性质．
30．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【答案】
【解析】
（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；
（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．
（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB=AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB=CD，
∴AC=CD；
（2）解：∠F=∠MCD．
理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，
∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，
∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，
设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，
∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，
∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，
∴∠F=∠MCD．
此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键．21世纪教育网版权所有
