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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第四章
课标要求 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6.了解三角形中心的概念 7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 8.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 相似图形是指两个在外形、大小方面具有某种关系的图形，它以全等三角形和相似变换为根底，是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化，它是空间与图形范围中的首要内容，对前后各部分常识起到纽带的作用。本章内容主要包含比例线段，相似三角形，相似三角形的性质及其应用，相似多边形，图形的位似等。这些内容是以比例线段为根底，以相似三角形为中心展开并探究的，并且在物理学、工程设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似三角形的知识，相似三角形有关知识的考查在中考中也占有重要地位，因此学好相似三角形既是进一步学习的需要，也是工作实践的需要。
学情分析 九年级学生已经具有自主学习意识，由于七年级时学过全等三角形，学生在学习过程中容易将全等三角形的定义和相似三角形的定义混在一起，学习时应强调对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。在学习过程中，对应角和对应边这个概念容易出错，作为教师应该耐心说明。在记两个三角形相似时，跟记两个三角形全等一样，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上，这样就比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。
单元目标 （一）教学目标 1.理解比例的基本性质，会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形。 2.了解线段比和成比例线段的概念 理解比例中项的概念。 3.了解相似三角形的概念，探索两个三角形相似的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，会在简单情况下判定两个三角形相似。 4.了解相似三角形的对应角相等，对应边成比例，了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.了解相似多边形的概念，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 6.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。 （二）教学重点、难点 重点： 1.理解比例的基本性质。 2.了解相似三角形的概念，掌握两个三角形相似的判定定理。 3.了解相似三角形的性质。 4.了解相似多边形的概念和图形的位似。 难点： 1.会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形，掌握基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截，所得对应线段成比例。 2.了解黄金分割，会进行有关黄金分割的简单计算。 3.会判定两个三角形相似。 4.了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1比例线段34.2由平行线截得的比例线段14.3相似三角形14.4两个三角形相似的判定34.5相似三角形的性质及其应用34.6相似多边形14.7图形的位似1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 比例线段31.掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.能灵活运用比例的基本性质进行比例式的变形。培养用方程的观点解决问题的思想方法和思维习惯。理解掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质进行简单应用。1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比。 2.理解成比例线段的概念，掌握成比例线段的判定方法。1．会求两条线段的比。 2.会判断几条线段是否成比例。从丰富的实例入手,引导学生进行观察、发现和概括，在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知识。1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比。 2.能对黄金分割进行简单运用。体会数形结合思想在解决数学问题中的作用，在现实情境中体会黄金分割的文化价值，感受数学之美。通过一些具体的例子让学生感受黄金分割的作用，并通过作图让学生感受到黄金分割点的存在。由平行线截得的比例线段1 1.探究基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。 2.能应用定理证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 2.通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 利用换线段、换中间比及分析法探求解题思路方法，培养学生分解根本图形的能力，并利用特殊形式研究问题的方法。 相似三角形1 1.理解掌握相似三角形的定义。 2.掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念。1.了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2.根据相似三角形的定义，得到相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 本节的重点与难点是相似三角形的定义，解决这一难点的关键是正确理解相似三角形的定义，区分全等形与相似形的相同点不同点。 两个三角形相似的判定3 1.掌握三角形相似的判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似。 2.学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题，解决问题的能力。 经历过探索全等三角形判定，通过类比得到相似三角形的判定方法。 掌握判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似，会运用判定定理判定两个三角形相似。1.掌握三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。1.掌握判定方法2，会运用判定方法判定两个三角形相似. 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。通过画图、度量等操作，经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程。1.复习已经学过的三角形相似的两个判定定理。 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。1.掌握三角形相似的第3个判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。类似于判定三角形全等的SSS 方法，探索通过三边关系来判定两个三角形相似。 相似三角形的性质及其应用31.进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理。 2.掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，进一步培养学生类比的教学思想。 掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 2.运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。通过画图，探索相似三角形的周长与面积的性质。能够运用相似三角形的周长与面积的性质解决相关问题，1.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2.进一步检验数学的应用价值.运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系解决实际问题。 相似多边形11.通过图形的收集、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用语言叙述。 2.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能依据相似解决相似多边形的边角问题。 1.类比相似三角形的概念得出相似多边形的概念及表示方法。 2.掌握相似多边形的周长、面积的性质。通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形的定义和相似比。 图形的位似11.理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。 2.会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。经历位似图形性质的探索过程，发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。通过画图一一观察一一操作一一思考的活动过程，认识位似图形。
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4.5.1 相似三角形的性质 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 “相似三角形的性质”是浙教版九年级数学上册第4章的重点内容之一，本节课是在学完相似三角形的定义及判定的根底上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。它是全等三角形性质的拓展，也是研究相似多边形的根底，这些性质是解决有关实际问题的重要工具。
学习者分析 从七年级上册开始到现在，学生已经经历了一些平面图形的认识与探究活动，尤其是全等三角形性质的探究等活动，让学生初步积累了一定的合情推理的经验与能力，这是学生顺利完成本节学习内容的一个有利条件。
教学目标 1.进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理.2.掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题. 3.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，进一步培养类比的教学思想.
教学重点 进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理，理解重心的概念。
教学难点 1.掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题. 2.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，进一步培养类比的教学思想。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：【想一想】我们已经学过哪些判定三角形相似的方法？方法1：两角分别相等的两个三角形相似。方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。方法3：三边对应成比例的两个三角形相似。根据相似三角形的定义，我们可得到相似三角形的两个基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.它们的应用非常广泛.学生活动1：学生复习已经学过的判定三角形相似的方法，回答教师提出的问题。学生思考相似三角形的性质。活动意图说明：通过复习学过的知识，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究相似三角形对应线段的比教师活动2：教师出示课本问题：【例1】如图，△A'B'C'∽△ABC，相似比为.求这两个三角形的角平分线A'D'与AD的比.分析：要求角平分线A'D'与AD的比，可以先证明△A'B'D'∽△ABD或△A'C'D'∽△ACD，然后根据相似三角形的对应边成比例得出结果.解：∵△A'B'C'∽△ABC，∴∠B'=∠B，∠B'A'C'=∠BAC.∵ A'D'，AD分别是△A'B'C'与△ABC的角平分线，∴∠B'A'D'=∠B'A'C'，∠BAD=∠BAC，∴∠B'A'D'= ∠BAD，∴△A'B'D'∽△ABD，【做一做】已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为AD与A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的一条中线.求AD与A'D'的比.分析：与例1类似，要求AD与A'D'的比，可以先证明△ABD∽△A'B'D'，然后根据相似三角形的对应边成比例得出结果.解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'， ∵ AD，A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线，∴BD= BC，B'D'= B'C'， ∴△ABD∽△A'B'D'，【总结归纳】相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.一般的，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比。学生活动2：学生思考，回答课本中的问题。学生在教师的引导下总结解题过程。学生完成课本做一做练习题。学生在教师的引导下总结相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.活动意图说明：学生在教师引导下探索相似三角形性质的应用，坚持新课程的理念转换教师的角色，以引导者、参与者的形象介入到学生的学习之中，能有效的调动学习积极性。环节三：例题讲解【例2】已知：如图，BD，CE是△ABC的两条中线，P是它们的交点.求证：证明：如图，连结DE.∵BD，CE是△ABC的两条中线，∴ DE=BC，DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，∴△DEP∽△BCP.例2中，如果再作BC边上的中线，这条中线与AC边上的中线BD的交点也必定分BD成1：2的两条线段，也就是点P.这就证明了三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段.学生活动3：学生在教师的指导下完成课本问题。师生共同完成解题过程。学生总结重心的定义。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：4.5.1 相似三角形的性质一、相似三角形对应线段的比二、三角形的重心三、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.（1）两个相似三角形的相似比为1:2, 则对应高的比为__1：2____， 则对应中线的比为__1：2__.（2）两个相似三角形对应中线的比为1:4 ，则对应高的比为____1：4__ .2.△ABC 与△A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B'C'边上的高 A'D' 为（ D ）cm.A. 3 B. 4 C. 12 D. 163.已知△ABC∽△DEF，BG、EH是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm. 求EH的长.解：∵ △ABC∽△DEF， 解得EH＝3.2(cm).答：EH的长为3.2cm.4.下列说法正确的是( D ).A．一条线段的黄金分割点有且只有一个B．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到中点距离的两倍C．两边对应成比例且有一角对应相等的两个三角形相似D．相似三角形对应线段(对应角平分线、对应中线、对应高)的比等于相似比选做题：5.在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ的值为( C ).A．2 B．4 C．1 D.36. 若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4∶9，则△ABC与△DEF的相似比为( C ).A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．16∶81【综合实践类作业】7.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC，交DE于点G.如果AE＝3，EC＝1，AD＝2，BD＝4，求AF∶AG的值．解：∵AE＝3，EC＝1，AD＝2，BD＝4，∴AC＝4，AB＝6.∴AB∶AE＝AC∶AD＝2.又∵∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.又∵AF为△ABC的角平分线，AG为△AED的角平分线，∴AF∶AG＝AC∶AD＝2.
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.已知△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′是它们的对应角平分线，且AD＝8cm，A′D′＝3cm，则△ABC与△A′B′C′对应高的比为（ B ）．A. 3：8 B. 8∶3 C. 1∶3 D. 1∶82. 两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线为10，那么另一个三角形对应的中线为（ B ）．A. 2 B. 4或25 C. 2或4 D. 4选做题：3.如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为(B ).A．15 B．20 C．25 D．30【综合实践类作业】4. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB.（1）求证：△BDE∽△EFC.证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE.∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC.∴△BDE∽△EFC.（2）设＝，若BC＝12，求线段BE的长；解：∵EF∥AB，∴＝＝.∵EC＝BC－BE＝12－BE，∴＝，解得BE＝4.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.2.相似三角形对应线段的比等于相似比。3.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.4.三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段.
教学反思 在教学过程中采取引导发现法进行教学，充分发挥教师的主导作用与学生的主体作用，加强知识发生过程的教学，环环紧扣、层层深入，逐步引导学生观察、比较、分析，用探索、发现的方法，使学生在掌握知识的同时，逐步形成技能。
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4.5.1 相似三角形的性质
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
复习回顾/新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理.
2.掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.
3.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，进一步培养类比的教学思想.
复习回顾
【想一想】我们已经学过哪些判定三角形相似的方法？
方法1：两角分别相等的两个三角形相似。
方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
方法3：三边对应成比例的两个三角形相似。
新知导入
根据相似三角形的定义，我们可得到相似三角形的两个基本性质：
它们的应用非常广泛.
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
新知讲解
【例1】如图，△A'B'C'∽△ABC，相似比为 .求这两个三
角形的角平分线A'D'与AD的比.
分析：要求角平分线A'D'与AD的比，
可以先证明△A'B'D'∽△ABD或
△A'C'D'∽△ACD，然后根据相似
三角形的对应边成比例得出结果.
新知讲解
解：∵△A'B'C'∽△ABC，∴∠B'=∠B，∠B'A'C'=∠BAC.
∵ A'D'，AD分别是△A'B'C'与△ABC的角平分线，
∴∠B'A'D'= ∠B'A'C'，∠BAD= ∠BAC，
∴∠B'A'D'= ∠BAD，
∴△A'B'D'∽△ABD，
新知讲解
【做一做】已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 AD与A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的一条中线.求AD与A'D'的比.
A'
B'
C'
A
B
C
D
D'
分析：与例1类似，要求AD与A'D'的比，可以先证明△ABD∽△A'B'D'，然后根据相似三角形的对应边成比例
得出结果.
新知讲解
A'
B'
C'
A
B
C
D
D'
解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，
∵ AD，A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线，
∴BD= BC，B'D'= B'C'，
∴△ABD∽△A'B'D'，
新知讲解
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
【总结归纳】
一般的，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比。
新知讲解
【例2】已知：如图，BD，CE是△ABC的两条中线，P是它们的交点.
求证：
证明：如图，连结DE.
∵BD，CE是△ABC的两条中线，∴ DE BC.
∴∠EDB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，
∴△DEP∽△BCP.
∥
=
新知讲解
例2中，如果再作BC边上的中线，这条中线与AC边上的中线BD的交
点也必定分BD成1：2的两条线段，也就是点P.
这就证明了三角形的三条中线相交于一点.
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.（1）两个相似三角形的相似比为1:2, 则对应高的比为_________， 则对应中线的比为_________.
（2）两个相似三角形对应中线的比为1:4 ，则对应高的比为______ .
1：2
1：2
1：4
2.△ABC 与△A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，
则 B'C'边上的高 A'D' 为（ ）cm.
A. 3
B. 4
C. 12
D. 16
课堂练习
D
课堂练习
A
G
B
C
D
E
F
H
3.已知△ABC∽△DEF，BG、EH是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm. 求EH的长.
解：∵ △ABC∽△DEF，
解得EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
课堂练习
4.下列说法正确的是( ).
A．一条线段的黄金分割点有且只有一个
B．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到中点距离的两倍
C．两边对应成比例且有一角对应相等的两个三角形相似
D．相似三角形对应线段(对应角平分线、对应中线、对应高)的比等于相似比
D
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ的值为( ).
A．2 B．4
C．1 D . 3
C
A
B
C
D
E
F
P
Q
课堂练习
6. 若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4∶9，则△ABC与△DEF的相似比为( ).
A．2∶3
B．3∶2
C．4∶9
D．16∶81
C
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC，交DE于点G.如果AE＝3，EC＝1，AD＝2，BD＝4，求AF∶AG的值．
解：∵AE＝3，EC＝1，AD＝2，BD＝4，
∴AC＝4，AB＝6.∴AB∶AE＝AC∶AD＝2.
又∵∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.
又∵AF为△ABC的角平分线，AG为△AED的角平分线，
∴AF∶AG＝AC∶AD＝2.
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
2.相似三角形对应线段的比等于相似比.
3.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
4.三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段.
板书设计
课题：4.5.1 相似三角形的性质
教师板演区
学生展示区
一、相似三角形对应线段的比
二、三角形的重心
三、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.已知△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′是它们的对应角平分线，且AD＝8cm，A′D′＝3cm，则△ABC与△A′B′C′对应高的比为（ ）．
A. 3：8
B. 8∶3
C. 1∶3
D. 1∶8
B
作业布置
2. 两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线为10，那么另一个三角形对应的中线为（ ）．
A. 2
B. 4或25
C. 2或4
D. 4
B
作业布置
选做题：
3.如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( ).
A．15
B．20
C．25
D．30
B
作业布置
【综合实践类作业】
4. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB.
（1）求证：△BDE∽△EFC.
证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE.
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC.
∴△BDE∽△EFC.
作业布置
【综合实践类作业】
谢谢
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