第五章一次函数专题5.1 函数-重难点题型（含解析）

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函数6大题型
【知识点1 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．
【知识点2 求函数的值】
(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型1 常量与变量】
【例1】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
【变式1-1】．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数y＝　 　（用含n的代数式表示），其中变量是　 　．
【变式1-2】按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．
（1）题中有几个变量？
（2）你能写出两个变量之间的关系吗？
【变式1-3】在烧开水时，水温达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：
（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？
（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？
（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？
（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？
（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？
【题型2 判断函数关系】
【例2】（2021春 海淀区期末）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：
①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数，④S是h的函数．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【变式2-1】（2021春 开福区校级月考）下列式子中，y不是x的函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝|x| C．y＝2x+1 D．（x≥0）
【变式2-2】（2021春 邯郸期末）下列不能表示y是x的函数的是（　　）
A．
x 0 5 10 15
y 3 3.5 4 4.5
B．
C．
D．
x 1 3 5 7
y 2 ﹣1 4 0.2
【变式2-3】（2021春 贵港期末）下列各曲线中能表示y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【题型3 函数的关系式】
【例3】（2020春 兰州期末）如图所示，在一个边长为12cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，请写出y与x的关系式；
（3）当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？
【变式3-1】（2021春 宁津县期末）如图，△ABC的边BC长12cm，乐乐观察到当顶点A沿着BC边上的高AD所在直线上运动时，三角形的面积发生变化．在这个变化过程中，如果三角形的高为x（cm），那么△ABC的面积y（cm2）与x（cm）的关系式是　 　．
【变式3-2】（2021春 垦利区期末）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化
（1）在上述变化过程中，自变量是　 　；因变量是　 　．
（2）用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．
请将表格补充完整：
行驶路程x（千米） 100 200 300 400
油箱内剩油量y（升） 　 　 40 　 　 24
（3）试写出y与x的关系式　 　．
（4）这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？
【变式3-3】如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形填写下表：
链条节数（节） 2 3 4
链条长度（cm） 　 　 　 　 　 　
（2）如果x节链条的总长度是y，求y与x之间的关系式；
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成链接（安装到自行车上）后，总长度是多少cm？
【题型4 求函数的值】
【例4】（2020春 万州区期末）若定义f（x）＝3x﹣2，如f（﹣2）＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8．下列说法中：①当f（x）＝1时，x＝1；②对于正数x，f（x）＞f（﹣x）均成立；③f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0；④当且仅当a＝2时，f（a﹣x）＝a﹣f（x）．其中正确的是　 　．（填序号）
【变式4-1】（2021 碑林区校级模拟）变量x，y的一些对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 1 0 1 …
根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（　　）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2021 达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为 　 　．
【变式4-3】（2008 防城港）已知x为实数．y、z与x的关系如表格所示：根据上述表格中的数字变化规律，解答下列问题：
（1）当x为何值时，y＝430？
（2）当x为何值时，y＝z？
x y z
… … …
3 30×3+70 2×1×8
4 30×4+70 2×2×9
5 30×5+70 2×3×10
6 30×6+70 2×4×11
… … …
【知识点3 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【题型5 函数的图象】
【例5】（2021 三元区校级开学）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．
其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】（2021春 番禺区校级期中）小新骑车去学校，骑了一会后车子出了故障，修了一会，然后继续骑车去学校．如果用横坐标表示时间t，纵坐标表示路程s，下列各图能较好地反映s与t之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2021春 任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　）
A．小明家和学校距离1200米
B．小华乘公共汽车的速度是240米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80米/分
【变式5-3】（2021 沙坪坝区校级开学）夏季是雷雨高发季节，为缓解暴雨带来的洪灾问题，某村在道路内侧新建了一个排水渠排水（横截面如图），某天突发暴雨，排水渠开始积水，水位上涨，暴雨停歇后，排水渠继续排水至积水全部排出，假设排水速度为5v，进水速度为7v，下列图象中，能反映以上过程排水渠中水位高度h与时间t的关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【题型6 动点问题的函数图象】
【例6】（2021春 济南期中）如图1，在长方形ABCD中，点P从B点出发沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m个单位匀速运动．在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图2所示，则m、a、b的值分别是（　　）
A．m＝1，a＝5，b＝11 B．m＝1，a＝4，b＝12
C．m＝1.5，a＝5，b＝12 D．m＝1，a＝4，b＝11
【变式6-1】（2021春 怀安县期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠DCB＝30°，动点E从B点出发，沿B﹣C﹣D﹣A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数图象用图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2021春 平顶山期末）如图①，四边形ABCD是长方形，动点E从B出发，以1厘米/秒的速度沿着B→C→D→A运动至点A停止．记点E的运动时间为t（秒），△ABE的面积为S（平方厘米），其中S与t的函数关系如图②所示，那么下列说法错误的是（　　）
A．AB＝3厘米
B．长方形ABCD的周长为10厘米
C．当t＝3秒时，S＝3平方厘米
D．当S＝1.5平方厘米时，t＝6秒
【变式6-3】（2021春 南海区期末）如图，在正方形ABMF中剪去一个小正方形CDEM，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→E→F的路线绕多边形的边匀速运动到点F时停止，则△APF的面积S随着时间t变化的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
函数-重难点题型
【知识点1 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．
【知识点2 求函数的值】
(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型1 常量与变量】
【例1】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
【解题思路】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系．再根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．
【解答过程】解：由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝x，
∵∠BAC＝45°，
∴S阴影AM×hAM2，
则yx2，0＜x≤10，
其中的常量为，变量为重叠部分的面积y与MA的长度x．
【变式1-1】．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数y＝　 　（用含n的代数式表示），其中变量是　 　．
【解题思路】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
【解答过程】解：第一个图需棋子4；
第二个图需棋子4+3＝7；
第三个图需棋子4+3+3＝10；
…
第n个图需棋子4+3（n﹣1）＝（3n+1）枚．
其中变量是n，y．
故答案为：3n+1；y，n．
【变式1-2】按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．
（1）题中有几个变量？
（2）你能写出两个变量之间的关系吗？
【解题思路】由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6+4（x﹣1）＝4x+2．
【解答过程】解：（1）观察图形：x＝1时，y＝6，x＝2时，y＝10；x＝3时，y＝14；…
可见每增加一张桌子，便增加4个座位，
因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）＝4x+2个座位．
故可坐人数y＝4x+2，
故答案为：有2个变量；
（2）能，由（1）分析可得：函数关系式可以为y＝4x+2．
【变式1-3】在烧开水时，水温达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：
（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？
（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？
（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？
（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？
（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？
【解题思路】（1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断；
（2）根据表格中数据得出水的温度变化即可；
（3）根据表格中数据得出水的温度变化即可；
（4）根据表格中数据得出水的温度，进而可得出时间为9分钟时，水的温度；
（5）根据表格中数据得出水的温度变化规律即可；
（6）根据表格中数据得出答案即可．
【解答过程】解：（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；
（2）水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；
（3）时间推移2分钟，水的温度增加14度，到10分钟时恒定；
（4）时间为8分钟，水的温度是86℃，时间为9分钟，水的温度是93℃；
（5）根据表格，时间为16分钟和18分钟时水的温度均为100℃；
（6）为了节约能源，应在10分钟后停止烧水．
【题型2 判断函数关系】
【例2】（2021春 海淀区期末）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：
①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数，④S是h的函数．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解题思路】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可判断函数．
【解答过程】解：因为这是球形容器，
①S是V的函数，故符合题意，
②V不是S的函数，故不符合题意，
③h不是S的函数，故不符合题意，
④S是h的函数．故符合题意．
故选：B．
【变式2-1】（2021春 开福区校级月考）下列式子中，y不是x的函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝|x| C．y＝2x+1 D．（x≥0）
【解题思路】利用函数的定义：给定一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与其对应可得答案．
【解答过程】解：A、y＝x2，y是x的函数，故此选项不合题意；
B、y＝|x|，y是x的函数，故此选项不合题意；
C、y＝2x+1，y是x的函数，故此选项不合题意；
D、y＝±，y不是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式2-2】（2021春 邯郸期末）下列不能表示y是x的函数的是（　　）
A．
x 0 5 10 15
y 3 3.5 4 4.5
B．
C．
D．
x 1 3 5 7
y 2 ﹣1 4 0.2
【解题思路】根据函数的定义，一个x只能对应一个y，函数的表示方法有列表法，图像法，和解析式法，根据此定义判断即可．
【解答过程】解：A和D选项是用列表法表示的函数，一个x只对应了一个y，
∴y是x的函数，
∴A选项，D选项不合题意，
B选项从图象上看，一个x对应了两个y的值，不符合函数定义，
∴B选项符合题意，
C选项是用图象表示的函数关系，一个x只对应一个y，
∴y是x的函数，
∴C选项不合题意，
故选：B．
【变式2-3】（2021春 贵港期末）下列各曲线中能表示y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数的定义判断．
【解答过程】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数．
∴A、C、D选项y是x的函数，但B选项中，x的每一个确定的值，y有两个值与之对应，那么B选项y不是x的函数．
故选：B．
【题型3 函数的关系式】
【例3】（2020春 兰州期末）如图所示，在一个边长为12cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，请写出y与x的关系式；
（3）当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？
【解题思路】（1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量；
（2）根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小正方形的面积，即可解答；
（3）根据当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，x增大，x2也随之增大，﹣4x2则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小．
【解答过程】解：（1）∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，
∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量；
（2）由题意可得：y＝122﹣4x2＝144﹣4x2．
（3）由（2）知：y＝144﹣4x2，
当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，x增大，x2也随之增大，﹣4x2则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小，
当x＝1cm时，y有最大值，140（cm2）．
当x＝5cm时，y有最小值，y最小＝144﹣4×52＝44（cm2）．
∴当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积由140cm2变到44cm2
【变式3-1】（2021春 宁津县期末）如图，△ABC的边BC长12cm，乐乐观察到当顶点A沿着BC边上的高AD所在直线上运动时，三角形的面积发生变化．在这个变化过程中，如果三角形的高为x（cm），那么△ABC的面积y（cm2）与x（cm）的关系式是　 　．
【解题思路】利用三角形的面积公式即可得到关系式．
【解答过程】解：∵△ABC的面积BC x12 x＝6x，
∴y与x的关系式为：y＝6x．
故答案为：y＝6x．
【变式3-2】（2021春 垦利区期末）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化
（1）在上述变化过程中，自变量是　 　；因变量是　 　．
（2）用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．
请将表格补充完整：
行驶路程x（千米） 100 200 300 400
油箱内剩油量y（升） 　 　 40 　 　 24
（3）试写出y与x的关系式　 　．
（4）这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？
【解题思路】（1）根据已知得出即可；
（2）根据题意列出算式，即可求出答案；
（3）根据题意得出y＝56﹣0.08x即可；
（4）把x＝350和y＝8分别代入，即可求出答案．
【解答过程】解：（1）在上述变化过程中，自变量是汽车行驶路程；因变量是邮箱内剩油量，
故答案为：汽车行驶路程，邮箱内剩油量；
（2）56﹣0.08×100＝48，56﹣0.08×300＝32，
（3）y与x的关系式是y＝56﹣0.08x，
故答案为：y＝56﹣0.08x；
（4）当x＝350时，y＝56﹣0.08×350＝28，
所以汽车行驶350千米时剩油28升；
当y＝8时，56﹣0.08x＝8，
解得：x＝600，
所以汽车行驶600千米时剩油8升．
【变式3-3】如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形填写下表：
链条节数（节） 2 3 4
链条长度（cm） 　4.2　 　5.9　 　7.6　
（2）如果x节链条的总长度是y，求y与x之间的关系式；
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成链接（安装到自行车上）后，总长度是多少cm？
【解题思路】（1）根据图形找出规律计算4节链条的长度即可；
（2）由（1）写出表示链条节数的一般式；
（3）根据（2）计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8．
【解答过程】解：（1）根据图形可得出：
2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8＝4.2，
3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2＝5.9，
4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3＝7.6．
故答案为：4.2，5.9，7.6；
（2）由（1）可得x节链条长为：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8；
∴y与x之间的关系式为：y＝1.7x+0.8；
（3）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8，故这辆自行车链条的总长为1.7×80＝136厘米，
所以80节这样的链条总长度是136厘米．
【题型4 求函数的值】
【例4】（2020春 万州区期末）若定义f（x）＝3x﹣2，如f（﹣2）＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8．下列说法中：①当f（x）＝1时，x＝1；②对于正数x，f（x）＞f（﹣x）均成立；③f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0；④当且仅当a＝2时，f（a﹣x）＝a﹣f（x）．其中正确的是　①②④　．（填序号）
【解题思路】根据函数的定义，计算即可判断；
【解答过程】解：∵f（x）＝1，
∴3x﹣2＝1，
∴x＝1，故①正确，
f（x）﹣f（﹣x）＝3x﹣2﹣（﹣3x﹣2）＝6x，
∵x＞0，
∴f（x）＞f（﹣x），故②正确，
f（x﹣1）+f（1﹣x）＝3（x﹣1）﹣2+3（1﹣x）﹣2＝﹣4，
故③错误，
∵f（a﹣x）＝3（a﹣x）﹣2＝3a﹣3x﹣2，
a﹣f（x）＝a﹣（3x﹣2），
∵a＝2，
∴f（a﹣x）＝a﹣f（x）．
故答案为①②④．
【变式4-1】（2021 碑林区校级模拟）变量x，y的一些对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 1 0 1 …
根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】据表格数据得到函数为y，把x＝﹣5代入求得即可．
【解答过程】解：根据表格数据可知，当x＝﹣1时，y＝1；当x＝1时，y＝1；当x＝﹣2时，y；当x＝2时，y；
可得函数的解析式为y，
当x＝﹣5时，y．
故选：B．
【变式4-2】（2021 达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为 　2　．
【解题思路】将x＝3代入y＝|x|﹣1（x≤4）求解．
【解答过程】解：∵3＜4，
∴把x＝3代入y＝|x|﹣1得y＝3﹣1＝2，
故答案为2．
【变式4-3】（2008 防城港）已知x为实数．y、z与x的关系如表格所示：根据上述表格中的数字变化规律，解答下列问题：
（1）当x为何值时，y＝430？
（2）当x为何值时，y＝z？
x y z
… … …
3 30×3+70 2×1×8
4 30×4+70 2×2×9
5 30×5+70 2×3×10
6 30×6+70 2×4×11
… … …
【解题思路】由图片中的信息可得出：当x为n（n≥3）时，y应该表示为30×n+70，z就应该表述为2×（n﹣2）（5+n）；那么由此可得出（1）（2）中所求的值．
【解答过程】解：∵y＝30×x+70，z＝2×（x﹣2）（5+x）
（1）当x＝12时，y＝30×12+70＝430；
（2）∵y＝z，
即30×x+70＝2×（x﹣2）（5+x），
解得：x＝﹣3或15．
【知识点3 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【题型5 函数的图象】
【例5】（2021 三元区校级开学）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．
其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案．
【解答过程】解：火车的长度是150米，故①错误；
在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；
整个火车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5＝25（秒），故③正确；
隧道长是：35×30﹣150＝1050﹣150＝900（米），故④错误．
正确结论有②③共2个．
故选：B．
【变式5-1】（2021春 番禺区校级期中）小新骑车去学校，骑了一会后车子出了故障，修了一会，然后继续骑车去学校．如果用横坐标表示时间t，纵坐标表示路程s，下列各图能较好地反映s与t之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】通过小新先运动然后停止运动然后再运动对比图象求解．
【解答过程】解：小新开始骑车去学校，所以S随t增大而增大，
车子出故障后S不随时间变化而变化，
最后恢复运动，S继续随时间增大而增大，
观察图象，C满足题意．
故选：C．
【变式5-2】（2021春 任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　）
A．小明家和学校距离1200米
B．小华乘公共汽车的速度是240米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80米/分
【解题思路】根据已知信息和函数图象的数据，一次解答每个选项
【解答过程】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米，故A正确；
根据图象，小华乘公共汽车，从出发到到达学校共用了13﹣8＝5（分钟），所以公共汽车的速度为1200÷5＝240（米/分），故B正确；
小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：50相遇，故C正确；
小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D错误．
故选：D．
【变式5-3】（2021 沙坪坝区校级开学）夏季是雷雨高发季节，为缓解暴雨带来的洪灾问题，某村在道路内侧新建了一个排水渠排水（横截面如图），某天突发暴雨，排水渠开始积水，水位上涨，暴雨停歇后，排水渠继续排水至积水全部排出，假设排水速度为5v，进水速度为7v，下列图象中，能反映以上过程排水渠中水位高度h与时间t的关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意可知在暴雨前水渠中水位高度h为0，在下暴雨过程中，由于进水速度大于排水速度，所以水渠中水位高度h逐渐增高，当暴雨停歇后，只排水，所以函数图形为先缓，后陡．据此判断即可．
【解答过程】解：在下暴雨过程中，由于进水速度大于排水速度，所以水渠中水位高度h逐渐增高，当暴雨停歇后，只排水，所以函数图形为先缓，后陡．
故选项B符合题意．
故选：B．
【题型6 动点问题的函数图象】
【例6】（2021春 济南期中）如图1，在长方形ABCD中，点P从B点出发沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m个单位匀速运动．在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图2所示，则m、a、b的值分别是（　　）
A．m＝1，a＝5，b＝11 B．m＝1，a＝4，b＝12
C．m＝1.5，a＝5，b＝12 D．m＝1，a＝4，b＝11
【解题思路】由图象可知，CD的长度，当t＝6时，S△ABP＝16，求出BC的长；当t＝a时，S△ABP＝8，则点P此时在BC的中点处，从而得出a和m的值，当t＝b时，S△ABP＝4，从而求得b的值；
【解答过程】解：从图象可知，当6≤t≤8时，△ABP面积不变，
即6≤t≤8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位，
∴CD＝2×（8﹣6）＝4，
∴AB＝CD＝4，
当t＝6时（点P运动到点C），S△ABP＝16，
∴AB BC＝16，即16，
∴BC＝8，
∴长方形的长为8，宽为4，
当t＝a时，S△ABP＝84×BP，
即点P此时在BC的中点处，
∴PCBC8＝4，
∴2（6﹣a）＝4，
∴a＝4，
∵BP＝PC＝4，
∴m＝BP÷a＝4÷4＝1，
当t＝b时，S△ABPAB AP＝4，
∴4×AP＝4，AP＝2，
∴b＝13﹣2＝11，
∴m＝1，a＝4，b＝11，
故选：D．
【变式6-1】（2021春 怀安县期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠DCB＝30°，动点E从B点出发，沿B﹣C﹣D﹣A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数图象用图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，当点E在DC上运动时，三角形的面积不变，当点E在AD上运动时三角形的面积不等减小，然后计算出三角形的最大面积即可得出答案．
【解答过程】解：当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，最大面积34＝3；
当点E在DC上运动时，三角形的面积为定值3．
当点E在AD上运动时三角形的面不断减小，当点E与点A重合时，面积为0．
故选：D．
【变式6-2】（2021春 平顶山期末）如图①，四边形ABCD是长方形，动点E从B出发，以1厘米/秒的速度沿着B→C→D→A运动至点A停止．记点E的运动时间为t（秒），△ABE的面积为S（平方厘米），其中S与t的函数关系如图②所示，那么下列说法错误的是（　　）
A．AB＝3厘米
B．长方形ABCD的周长为10厘米
C．当t＝3秒时，S＝3平方厘米
D．当S＝1.5平方厘米时，t＝6秒
【解题思路】通过图②发现：t＝2、5、7时，△ABE的面积为S的变化趋势发生变化得到长方形的长和宽，从而判断出A、B选项正确；t＝3秒时点E在DA上运动根据三角形面积公式可判断C正确；S＝1.5平方厘米时，点E可能在BC上，也可能在DA上，求出此时的t值即可．
【解答过程】解：∵0≤t≤2时，△ABE的面积S越来越大，
∴0≤t≤2时，动点E在BC上运动，
∴BC＝2×1＝2（厘米）．
∵2≤t≤5时，△ABE的面积S不变，
∴0≤t≤2时，动点E在CD上运动，
∴CD＝AB＝（5﹣2）×1＝3（厘米）．
∴A选项正确，不符合题意．
长方形ABCD的周长＝（3+2）×2＝10（厘米），
∴B选项正确，不符合题意．
∵2＜3＜5，
∴当t＝3秒时，动点E在CD上运动，S＝3×2÷2＝3（平方厘米），
∴B选项正确，不符合题意．
∵S＝1.5＜3，
∴S＝1.5平方厘米时，点E在BC或DA上，
当点E在DA上时，
t×31.5，
解得：t＝1，
当点E在DA上时，
（t﹣3﹣2）1.5，
解得：t＝6，
∴S＝1.5平方厘米时，t＝6或1．
∴D选项错误，符合题意．
故选：D．
【变式6-3】（2021春 南海区期末）如图，在正方形ABMF中剪去一个小正方形CDEM，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→E→F的路线绕多边形的边匀速运动到点F时停止，则△APF的面积S随着时间t变化的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】根据点P在AB、BC、CD、DE、EF上时，△APF的面积S与时间t的变化趋势确定函数图象．
【解答过程】解：当点P在AB上时，△APF的底AF不变，高增大，所以△APF的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在BC上时，△APF的底AF不变，高不变，所以△APF的面积S不变；
当点P在CD上时，△APF的底AF不变，高减小，所以△APF的面积S随着时间t的增大而减小；
当点P在DE上时，△APF的底AF不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在EF上时，△APF的底AF不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而减小．
故选：C．
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