第五章一次函数专题5.2 一次函数与正比例函数-重难点题型（含解析）

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一次函数与正比例函数6大题型
【知识点1 一次函数和正比例函数的概念】
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。
【题型1 一次函数的概念】
【例1】（2021春 娄星区期末）在下列函数中：①y＝﹣8x；②；③；④y＝﹣8x2+5；⑤y＝﹣0.5x﹣1，一次函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2020秋 肥西县校级月考）下列函数：（1）y＝3x；（2）y＝2x﹣1；（3）；（4）y＝x2﹣1；（5）中，是一次函数的有（　　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1-2】（2021春 汉阴县期末）在①y＝﹣8x：②y：③y1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】下列语句中，y与x是一次函数关系的有（　　）个
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系
（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；
（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系．
A．1 B．4 C．3 D．2
【题型2 利用一次函数的概念求值】
【例2】（2021春 昭通期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（　　）
A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0
【变式2-1】（2021春 雨花区期中）若函数y＝（m+2）x|m|﹣1﹣5是一次函数，则m的值为（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1
【变式2-2】（2021春 杨浦区期末）如果y＝kx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是 　 　．
【变式2-3】已知y＝（k﹣1）x|k|+（k2﹣4）是一次函数．
（1）求k的值；
（2）求x＝3时，y的值；
（3）当y＝0时，x的值．
【题型3 正比例函数的概念】
【例3】（2021春 萝北县期末）若y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数m＝　 　．
【变式3-1】函数y＝（k+1）是正比例函数，则常数k的值为　 　．
【变式3-2】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为　 　．
【变式3-3】已知函数y＝2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a＝　 ．
【知识点2 正比例函数和一次函数解析式的确定】
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
【题型4 用待定系数法求一次函数解析式】
【例4】已知y+2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当y＝1时，求x的值．
【变式4-1】已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值．
【变式4-2】直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，﹣4）．
（1）求直线AB的解析式．
（2）若直线CD与AB平行，且直线CD与y轴的交点与B点相距2个单位，则直线CD的解析式为　 　．
【变式4-3】已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时y的值是﹣1，当x＝﹣1时y的值是5．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）若点P（m，n）是此函数图象上的一点，﹣3≤m≤2，求n的最大值．
【题型5 用待定系数法求正比例函数解析式】
【例5】（2020秋 青山区期中）已知正比例函数过点A（2，﹣4），点P在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B（0，4）且三角形ABP的面积为8．
求：（1）过点A的正比例函数关系式；
（2）点P的坐标．
【变式5-1】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为 　．
【变式5-2】若y＝y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9，当x＝3时y的值．
【变式5-3】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（﹣2，2），且一次函数的图象与y轴相交于点Q（0，4）．
（1）求这两个函数的解析式．
（2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象．
（3）求出△POQ的面积．
【题型6 一次函数解析式与三角形面积问题】
【例6】（2021春 赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线AB交y轴于点A，直线AC与x轴交于点C，直线AB与x轴交于点B，已知A（0，4），B（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S△ABC＝12，求点C的坐标．
【变式6-1】（2021春 阿荣旗期末）已知：一次函数的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若直线AB上的有一点C，且S△BOC＝2，求点C的坐标．
【变式6-2】（2020秋 泰兴市期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【变式6-3】（2021春 雄县期末）如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，﹣2），点B的坐标为（4，2），点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合）．直线l2：y＝kx+2k经过点P，并与l1交于点M，过点P作PN⊥l2，交l1于点N．
（1）求l1的函数表达式；
（2）当k时，
①求点M的坐标；
②求S△APM．
一次函数与正比例函数-重难点题型
【知识点1 一次函数和正比例函数的概念】
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。
【题型1 一次函数的概念】
【例1】（2021春 娄星区期末）在下列函数中：①y＝﹣8x；②；③；④y＝﹣8x2+5；⑤y＝﹣0.5x﹣1，一次函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据一次函数的解析式y＝kx+b（k≠0）判定一次函数即可．
【解答过程】解：∵一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
y＝﹣8x，yx+1，y＝﹣0.5x﹣1符合一次函数解析式形式，
∴一次函数有①②⑤，
故选：C．
【变式1-1】（2020秋 肥西县校级月考）下列函数：（1）y＝3x；（2）y＝2x﹣1；（3）；（4）y＝x2﹣1；（5）中，是一次函数的有（　　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【解题思路】直接利用一次函数的定义分析得出答案．
【解答过程】解：（1）y＝3x是正比例函数，也是一次函数；
（2）y＝2x﹣1是一次函数；
（3）y的分母含有自变量x，不是一次函数；
（4）y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数；
（5）y是正比例函数，也是一次函数．
是一次函数的有3个，
故选：B．
【变式1-2】（2021春 汉阴县期末）在①y＝﹣8x：②y：③y1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据一次函数的定义解答即可．
【解答过程】解：在①y＝﹣8x：②y：③y1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有①y＝﹣8x；⑤y＝0.5x﹣3．
故选：B．
【变式1-3】下列语句中，y与x是一次函数关系的有（　　）个
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系
（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；
（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系．
A．1 B．4 C．3 D．2
【解题思路】根据一次函数的定义逐个判断即可．
【解答过程】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系，是一次函数；
圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数；
一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系，是一次函数；
某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数，
所以共3个一次函数，
故选：C．
【题型2 利用一次函数的概念求值】
【例2】（2021春 昭通期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（　　）
A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0
【解题思路】依据一次函数的定义可知|k﹣1|＝1且k﹣2≠0，从而可求得k的值．
【解答过程】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数，
∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，
解得：k＝0．
故选：A．
【变式2-1】（2021春 雨花区期中）若函数y＝（m+2）x|m|﹣1﹣5是一次函数，则m的值为（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1
【解题思路】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）求解．
【解答过程】解：∵|m|﹣1＝1，
∴m＝±2，
又∵m+2≠0，
∴m≠﹣2，
∴m＝2，
故选：B．
【变式2-2】（2021春 杨浦区期末）如果y＝kx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是 　k≠﹣1　．
【解题思路】根据一次函数的定义条件直接解答即可．
【解答过程】解：∵y＝kx+x+k是一次函数，
∴k+1≠0．
故答案为：k≠﹣1．
【变式2-3】已知y＝（k﹣1）x|k|+（k2﹣4）是一次函数．
（1）求k的值；
（2）求x＝3时，y的值；
（3）当y＝0时，x的值．
【解题思路】（1）直接利用一次函数的定义得出k的值即可；
（2）利用（1）中所求，再利用x＝3时，求出y的值即可；
（3）利用（1）中所求，再利用y＝0时，求出x的值即可．
【解答过程】解：（1）由题意可得：|k|＝1，k﹣1≠0，
解得：k＝﹣1；
（2）当x＝3时，y＝﹣2x﹣3＝﹣9；
（3）当y＝0时，0＝﹣2x﹣3，
解得：x．
【题型3 正比例函数的概念】
【例3】（2021春 萝北县期末）若y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数m＝　2　．
【解题思路】依据正比例函数的定义求解即可．
【解答过程】解：∵y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，
∴m+2≠0，m2﹣4＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【变式3-1】函数y＝（k+1）是正比例函数，则常数k的值为　1　．
【解题思路】根据正比例函数的定义可得出关于k的方程，即可得出k的值．
【解答过程】解：k+1≠0，k2＝1，
∴k＝1．
故填1．
【变式3-2】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为　y＝25x　．
【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可．
【解答过程】解：由题意，得
25﹣m＝0，
解得m＝25，
该函数的表达式为y＝25x，
故答案为：y＝25x．
【变式3-3】已知函数y＝2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a＝　　．
【解题思路】根据正比例函数的定义进行选择即可．
【解答过程】解：∵函数y＝2x2a+b+a+2b是正比例函数，
∴2a+b＝1，a+2b＝0，
解得a，
故答案为．
【知识点2 正比例函数和一次函数解析式的确定】
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
【题型4 用待定系数法求一次函数解析式】
【例4】已知y+2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当y＝1时，求x的值．
【解题思路】（1）已知y+2与x﹣1成正比例，即可以设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；
（2）在解析式中令y＝1即可求得x的值．
【解答过程】解：（1）设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入得：4+2＝k（3﹣1）
解得：k＝3，
则函数的解析式是：y+2＝3（x﹣1）
即y＝3x﹣5；
（2）当y＝1时，3x﹣5＝1．解得x＝2．
【变式4-1】已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值．
【解题思路】（1）根据y﹣1与x+2成正比例，设y﹣1＝k（x+2），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出关系式；
（2）把点（m﹣1，m+1）代入一次函数解析式求出m的值即可．
【解答过程】解：（1）根据题意：设y﹣1＝k（x+2），
把x＝﹣1，y＝3代入得：3﹣1＝k（﹣1+2），
解得：k＝2．
则y与x函数关系式为y＝2（x+2）+1＝2x+5；
（2）把点（m﹣1，m+1）代入y＝2x+5得：m+1＝2（m﹣1）+5
解得m＝﹣2．
【变式4-2】直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，﹣4）．
（1）求直线AB的解析式．
（2）若直线CD与AB平行，且直线CD与y轴的交点与B点相距2个单位，则直线CD的解析式为　y＝2x﹣2或y＝2x﹣6　．
【解题思路】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）找出在y轴上与B点相距2个单位的点的坐标，再结合直线CD与AB平行，即可得出直线CD的解析式．
【解答过程】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（2，0）、B（0，﹣4）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣4．
（2）在y轴上与B点相距2个单位的点的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）．
又∵直线CD与AB平行，
∴直线CD的解析式为y＝2x﹣2或y＝2x﹣6．
故答案为：y＝2x﹣2或y＝2x﹣6．
【变式4-3】已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时y的值是﹣1，当x＝﹣1时y的值是5．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）若点P（m，n）是此函数图象上的一点，﹣3≤m≤2，求n的最大值．
【解题思路】（1）把x＝2，y＝﹣1代入函数y＝kx+b，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据函数的性质得出m＝﹣3时n最大，代入求出即可．
【解答过程】解：（1）依题意得：，
解得：，
所以一次函数的解析式是y＝﹣2x+3；
（2）∵由（1）可得，y＝﹣2x+3，
∴k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，
又∵点P （m，n ） 是此函数图象上的一点，﹣3≤m≤2，
∴把m＝﹣3代入得出n的最大值是﹣2×（﹣3）+3＝9，
即n的最大值是9．
【题型5 用待定系数法求正比例函数解析式】
【例5】（2020秋 青山区期中）已知正比例函数过点A（2，﹣4），点P在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B（0，4）且三角形ABP的面积为8．
求：（1）过点A的正比例函数关系式；
（2）点P的坐标．
【解题思路】（1）设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把A（2，﹣4）代入即可求出k的值；
（2）设出P点坐标，再分x＜0与x＞0两种情况进行讨论．
【解答过程】解：（1）设正比例函数为y＝kx（k≠0），
∵A（2，﹣4），
∴﹣4＝2k，解得k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为：y＝﹣2x．
（2）设P（x，﹣2x）
如图1所示，当x＜0时，S△ABP＝S△PBO+S△ABO＝﹣4x÷2+4×2÷2＝8，
解得x＝﹣2，
∴P（﹣2，4）；
②如图2所示，
当x＞0时 S△ABP＝S△PBO﹣S△ABO＝4x÷2﹣4×2÷2＝8，
解得x＝6．
∴P（6，﹣12）．
综上所述，P点坐标为（﹣2，4），（6，﹣12）．
【变式5-1】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为　y＝25x　．
【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可．
【解过程答】解：由题意，得
25﹣m＝0，
解得m＝25，
该函数的表达式为y＝25x，
故答案为：y＝25x．
【变式5-2】若y＝y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9，当x＝3时y的值．
【解题思路】设y1＝ax，y2＝k（x﹣3），由当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9可得关于a、k的两个等式，联立方程组即可求出a，k，得出y关于x的函数关系式，再把x＝3代入，求解即可．
【解答过程】解：设y1＝ax，y2＝k（x﹣3），
∴y＝ax+k（x﹣3）．
由当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9可得，
，
解得：，
∴y与x之间的关系式为：y＝﹣x﹣2（x﹣3），即y＝﹣3x+6；
∴当x＝3时，y＝﹣3×3+6＝﹣3．
【变式5-3】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（﹣2，2），且一次函数的图象与y轴相交于点Q（0，4）．
（1）求这两个函数的解析式．
（2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象．
（3）求出△POQ的面积．
【解题思路】（1）设正比例函数解析式为y＝mx，一次函数解析式为y＝nx+4，将（﹣2，2）代入可得出两个解析式．
（2）运用两点法确定直线所在的位置．
（3）面积|OQ| |P横坐标|，由此可得出面积．
【解答过程】解：设正比例函数解析式为y＝mx，一次函数解析式为y＝nx+4，
将（﹣2，2）代入可得2＝﹣2m，2＝﹣2n+4，
解得：m＝﹣1，n＝1，
∴函数解析式为：y＝﹣x；y＝x+4．
（2）根据过点（﹣2.2）及（0，4）可画出一次函数图象，根据（0，0）及（﹣2，2）可画出正比例函数图象．
（3）面积|OQ| |P横坐标|2×4＝4．
【题型6 一次函数解析式与三角形面积问题】
【例6】（2021春 赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线AB交y轴于点A，直线AC与x轴交于点C，直线AB与x轴交于点B，已知A（0，4），B（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S△ABC＝12，求点C的坐标．
【解题思路】（1）利用待定系数法求直线AB的关系式；
（2）根据S△ABC＝12，可求出OC，进而确定点C坐标．
【解答过程】解：（1）设直线AB的关系式为y＝kx+b，
将A（0，4），B（2，0）代入得，
b＝4，2k+b＝0，
即k＝﹣2，b＝4，
∴直线AB的关系式为y＝﹣2x+4；
（2）∵S△ABC＝12，
∴BC OA＝12，
又∵OA＝4，OB＝2，
∴BC＝6，
∴OC＝BC﹣OB＝6﹣2＝4，
∴点C（﹣4，0）．
【变式6-1】（2021春 阿荣旗期末）已知：一次函数的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若直线AB上的有一点C，且S△BOC＝2，求点C的坐标．
【解题思路】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；
（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC＝2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．
【解答过程】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．
（2）设点C的坐标为（x，y），
∵S△BOC＝2，
∴ 2 |x|＝2，
解得x＝±2，
∴y＝2×2﹣2＝2或y＝2×（﹣2）﹣2＝﹣6，
∴点C的坐标是（2，2）或（﹣2，﹣6）．
【变式6-2】（2020秋 泰兴市期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【解题思路】（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）先确定D点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD进行计算．
【解答过程】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得，
解得．
所以一次函数解析式为yx；
（2）把x＝0代入yx，
得y，
所以D点坐标为（0，），
所以△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD
21
．
【变式6-3】（2021春 雄县期末）如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，﹣2），点B的坐标为（4，2），点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合）．直线l2：y＝kx+2k经过点P，并与l1交于点M，过点P作PN⊥l2，交l1于点N．
（1）求l1的函数表达式；
（2）当k时，
①求点M的坐标；
②求S△APM．
【解题思路】（1）设l1的函数表达式为y＝k1x+b（k≠0），把点A与点C的坐标代入即可求出l1函数表达式；
（2）①把k的值代入求出l2表达式，与l1联立方程组求解，即可得到点M的坐标；
②把y＝2代入l2求出x的值，得到点P的坐标，求出点M到AP的距离，即可求出△APM的面积．
【解答过程】解：（1）设l1的函数表达式为y＝k1x+b（k≠0），
将点A（0，2）和C（6，﹣2）代入得：
，
解得，
∴l1的表达式为yx+2；
（2）①当k时，
l2的表达式为yx，
联立得：
，
解得，
则交点M（1，）；
②当y＝2时，有2x，
解得：x，
∴P（，2），
∴点M到直线AP的距离是2，
∴S△APM．
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