第五章一次函数专题5.3 一次函数的图象与性质-重难点题型（含解析）

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一次函数的图象与性质6大题型
【知识点1 一次函数与正比例函数的图象】
1、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
2、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
k的符号 b的符号 函数图像 图像特征
k>0 b>0 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
b<0 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
k<0 b>0 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
b<0 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
【题型1 一次函数的图象】
【例1】（2021 萧山区模拟）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-1】函数y＝ax+b﹣2的图象如图所示，则函数y＝﹣ax﹣b的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2019 杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-3】函数y＝|x﹣2|的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【题型2 正比例函数的图象】
【例2】如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【变式2-1】（2020秋 达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（　　）
A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d
【变式2-2】（2021秋 茂名期中）直线y＝2kx的图象如图所示，则y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2021春 新田县期末）如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn，如果△OA1B1的面积记的作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2021＝　 　．
．
【知识点2 一次函数与正比例函数的性质】
1.一般地，正比例函数有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
2.一般地，一次函数有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
【题型3 一次函数的性质】
【例3】（2021 萧山区一模）已知y﹣3与x+5成正比例，且当x＝﹣2时，y＜0，则y关于x的函数图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【变式3-1】（2021 黄州区校级自主招生）已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设s＝a﹣2b，则s的取值范围是（　　）
A． B．﹣3＜s≤3 C．﹣6＜s D．
【变式3-2】（2021春 忠县期末）已知一次函数y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限，且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式3-3】（2021 渝中区模拟）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数y＝（a﹣2）x+a+1不经过第三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【题型4 一次函数图象与系数的关系】
【例4】（2021春 鄢陵县期末）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝（2﹣m）x+3图象上两点，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则m的取值范围为　 　．
【变式4-1】如图，平面直角坐标系中，若点A（3，0）、B（4，1）到一次函数y＝kx+4（k≠0）图象的距离相等，则k的值为　 　．
【变式4-2】（2020 成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与直线x＝﹣k，y＝﹣k分别交于点A，B．直线x＝﹣k与y＝﹣k交于点C．记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．
（1）当k＝﹣2时，区域W内的整点个数为　 　；
（2）若区域W内没有整点，则k的取值范围是　 　．
【变式4-3】已知一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣2）．求
（1）当m，n为何值时，y值随x的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方？
（2）当m，n为何值时，此一次函数也是正比例函数？
（3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，设此一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，并求出△AOB的面积（O为坐标原点）
【题型5 一次函数图象上点的坐标特征】
【例5】已知一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣2）．求
（1）当m，n为何值时，y值随x的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方？
（2）当m，n为何值时，此一次函数也是正比例函数？
（3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，设此一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，并求出△AOB的面积（O为坐标原点）
【变式5-1】如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是，求点P的坐标．
【变式5-2】如图，直线y＝kx+6与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标（8，0），点A的坐标为（6，0）．点P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）．
（1）求k的值；
（2）在点P运动的过程中，求出△OPA的面积S与x的函数关系式．
（3）若△OPA的面积为，求此时点P的坐标．
【变式5-3】（2021春 青县期末）如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点．
（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．
【题型6 一次函数图象与几何变换】
【例6】已知一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣4，﹣2）和点B（2，4）
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB平移，使其经过原点O，则线段AB扫过的面积为　　．
【变式6-1】若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（　　）
A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1
【变式6-2】（2018春 沙坪坝区校级期末）如图：一次函数yx+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．
（1）求点B的坐标；
（2）求四边形ABCO的面积；
（3）求直线CD的解析式．
【变式6-3】（2018 沙坪坝区模拟）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点A（2，﹣3）．直线y＝x+b沿y轴平行移动，与x轴、y轴分别交于点B、C，与直线OA交于点D．
（1）若点D在线段OA上（含端点），求b的取值范围；
（2）当点A关于直线BC的对称点A'恰好落在y轴上时，求△OBD的面积．
一次函数的图象与性质-重难点题型
【知识点1 一次函数与正比例函数的图象】
1、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
2、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
k的符号 b的符号 函数图像 图像特征
k>0 b>0 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
b<0 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
k<0 b>0 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
b<0 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
【题型1 一次函数的图象】
【例1】（2021 萧山区模拟）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．
【解答过程】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），
∴﹣a＞0，﹣c＜0，
∴函数y＝﹣cx﹣a的图象经过二、一、四象限．
故选：B．
【变式1-1】函数y＝ax+b﹣2的图象如图所示，则函数y＝﹣ax﹣b的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】根据一次函数的图象的性质确定a和b的符号，进而解答即可．
【解答过程】解：由函数y＝ax+b﹣2的图象可得：a＜0，b﹣2＝0，
∴a＜0，b＝2＞0，
所以函数y＝﹣ax﹣b的大致图象经过第一、四、三象限，
故选：C．
【变式1-2】（2019 杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断．
【解答过程】解：A、由图可知：直线y1＝ax+b，a＞0，b＞0．
∴直线y2＝bx+a经过一、二、三象限，故A正确；
B、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．
∴直线y2＝bx+a经过一、四、三象限，故B错误；
C、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．
∴直线y2＝bx+a经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；
D、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＜0，
∴直线y2＝bx+a经过二、三、四象限，故D错误．
故选：A．
【变式1-3】函数y＝|x﹣2|的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】由绝对值的性质知，该图象的函数值y≥0，且函数图象经过点（2，0），由此得到正确的函数图象．
【解答过程】解：∵y＝|x﹣2|≥0．
∴选项A、D错误．
又∵函数图象经过点（2，0），
∴选项B错误，选项C正确．
故选：C．
【题型2 正比例函数的图象】
【例2】如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【解题思路】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．
【解答过程】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．
则b＞c＞a，
即a＜c＜b．
故选：D．
【变式2-1】（2020秋 达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（　　）
A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d
【解题思路】根据一次函数图象的性质分析．
【解答过程】解：由图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，
且a＞b，c＞d，
故选：B．
【变式2-2】（2021秋 茂名期中）直线y＝2kx的图象如图所示，则y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据正比例函数t＝2kx的图象可以判断k的正负，从而可以判断k﹣2与1﹣k的正负，从而可以得到y＝（k﹣2）x+1﹣k图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答过程】解：由题意知2k＜0，即k＜0，
则k﹣2＜0，1﹣k＞0，
∴y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象经过第一，二，四象限，
故选：A．
【变式2-3】（2021春 新田县期末）如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn，如果△OA1B1的面积记的作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2021＝　4041　．
【解题思路】四边形An﹣1AnBnBn﹣1是梯形，算出梯形的下底AnBn，上底An﹣1Bn﹣1，高是1，取n＝2021，用梯形的面积公式即可．
【解答过程】解：由题意得：An（n，n），Bn（n，3n），
∴AnBn＝3n﹣n＝2n，
同理：An﹣1Bn﹣1＝2（n﹣1），
∴，
∴S2021＝2×2021﹣1＝4041，
故答案为4041．
【知识点2 一次函数与正比例函数的性质】
1.一般地，正比例函数有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
2.一般地，一次函数有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
【题型3 一次函数的性质】
【例3】（2021 萧山区一模）已知y﹣3与x+5成正比例，且当x＝﹣2时，y＜0，则y关于x的函数图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【解题思路】由y﹣3与x+5成正比例，可设y﹣3＝k（x+5），整理得：y＝kx+5k+3．把x＝﹣2代入得不等式，可解得k＜﹣1，再判断5k+3的符号即可．
【解答过程】解：∵y﹣3与x+5成正比例，
∴设y﹣3＝k（x+5），整理得：y＝kx+5k+3．
当x＝﹣2时，y＜0，
即﹣2k+5k+3＜0，整理得3k+3＜0，
解得：k＜﹣1．
∵k＜﹣1，
∴5k+3＜﹣2，
∴y＝kx+5k+3的图象经过第二、三、四象限．
故选：D．
【变式3-1】（2021 黄州区校级自主招生）已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设s＝a﹣2b，则s的取值范围是（　　）
A． B．﹣3＜s≤3 C．﹣6＜s D．
【解题思路】根据题意得出a＞0，b≥0，即可推出得，从而求得s的取值范围．
【解答过程】解：∵过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0，
将（2，3）代入直线y＝ax+b，
3＝2a+b，
b＝3﹣2a
∴，
解得，
s＝a﹣2b＝a﹣2×（3﹣2a）＝5a﹣6，
a＝0时，s＝﹣6，
a，s，
故﹣6＜s．
故选：C．
【变式3-2】（2021春 忠县期末）已知一次函数y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限，且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解题思路】由一次函数y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限求出a的取值范围，把分式方程解出，再根据式方程有整数解，a的取值范围确定a的值，最后算出结果．
【解答过程】解：∵y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限，
∴，
∴﹣1≤a＜5．
，
整理得，2，
10＝2（2﹣x）+ax，
（2﹣a）x＝﹣6，
x，
∵分式方程有整数解，﹣1≤a＜5，
∴a＝﹣1、0、1、3、4，
∴（﹣1）+0+1+3+4＝7．
故选：B．
【变式3-3】（2021 渝中区模拟）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数y＝（a﹣2）x+a+1不经过第三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解题思路】根据关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据一次函数y＝（a﹣2）x+a+1不经过第三象限，可以得到a的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a的取值范围，从而可以写出满足条件的a的整数值，然后相加即可．
【解答过程】解：由不等式组，得x＜3，
∵关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，
∴﹣10，
解得﹣3＜a≤1，
∵一次函数y＝（a﹣2）x+a+1不经过第三象限，
∴a﹣2＜0且a+1≥0，
∴﹣1≤a＜2，
又∵﹣3＜a≤1，
∴﹣1≤a≤1，
∴整数a的值是﹣1，0，1，
∴所有满足条件的整数a的值之和是：﹣1+0+1＝0，
故选：C．
【题型4 一次函数图象与系数的关系】
【例4】（2021春 鄢陵县期末）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝（2﹣m）x+3图象上两点，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则m的取值范围为　m＞2　．
【解题思路】根据（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，得出y随x的增大而减小，再根据2﹣m＜0，求出其取值范围即可．
【解答过程】解：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
即：或，
也就是，y随x的增大而减小，
因此，2﹣m＜0，解得，m＞2，
故答案为：m＞2．
【变式4-1】如图，平面直角坐标系中，若点A（3，0）、B（4，1）到一次函数y＝kx+4（k≠0）图象的距离相等，则k的值为　k＝±1　．
【解题思路】根据一次函数y＝kx+4（k≠0）图象一定过点（0，4），点A（3，0）、B（4，1）到一次函数y＝kx+4（k≠0）图象的距离相等，可分为两种情况进行解答，即，
①当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB平行时，②当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB不平行时分别进行解答即可．
【解答过程】解：一次函数y＝kx+4（k≠0）图象一定过（0，4）点，
①当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB平行时，如图1，
设直线AB的关系式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（4，1）代入得，
，解得，k＝1，b＝﹣3，
∴一次函数y＝kx+4（k≠0）中的k＝1，
②当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB不平行时，如图2，
则：直线y＝kx+4（k≠0）一定过点C，点C的坐标为（4，0），代入得，
4k+4＝0，解得，k＝﹣1，
因此，k＝1或k＝﹣1．
故答案为：k＝±1．
【变式4-2】（2020 成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与直线x＝﹣k，y＝﹣k分别交于点A，B．直线x＝﹣k与y＝﹣k交于点C．记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．
（1）当k＝﹣2时，区域W内的整点个数为　6　；
（2）若区域W内没有整点，则k的取值范围是　0＜k≤1或k＝2　．
【解题思路】（1）将k＝﹣2代入解析式，求得A、B、C三点坐标，并作出图形，便可求得W区域内的整数点个数；
（2）分三种情况解答：当k＜0时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当0＜k≤1时，W内点的横坐标在k到0之间，无整点，进而得0＜k≤1时，W内无整点；当1＜k≤2时，W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为（﹣1，﹣k）和（﹣1，﹣k﹣1），当k不为整数时，其上必有整点，但k＝2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点；当k＞2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k﹣1），线段长度为k+1＞3，故必有整点．
【解答过程】解：（1）直线l：y＝kx﹣1＝﹣2x﹣1，直线x＝﹣k＝2，y＝﹣k＝2，
∴A（2，﹣5），B（，2），C（2，2），
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），
故答案为6；
（2）当k＜0时，则x＝﹣k＞0，y＝﹣k＞0，
∴区域内必含有坐标原点，故不符合题意；
当0＜k≤1时，W内点的横坐标在﹣1到0之间，不存在整点，故0＜k≤1时W内无整点；
当1＜k≤2时，W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M（﹣1，﹣k）和N（﹣1，﹣k﹣1），MN＝1，此时当k不为整数时，其上必有整点，但k＝2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点；
当k＞2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k﹣1），线段长度为k+1＞3，故必有整点．
综上所述：0＜k≤1或k＝2时，W内没有整点．
故答案为：0＜k≤1或k＝2．
【变式4-3】已知一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣2）．求
（1）当m，n为何值时，y值随x的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方？
（2）当m，n为何值时，此一次函数也是正比例函数？
（3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，设此一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，并求出△AOB的面积（O为坐标原点）
【解题思路】（1）根据一次函数的性质结合一次函数单调递减，即可得出关于m、n的一元一次不等式，解不等式即可得出m、n的取值范围；
（2）由此一次函数也是正比例函数，可得出关于m、n的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）代入m、n的值，再根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A、B的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答过程】解：（1）∵y值随x的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方，
∴6+3m＜0，解得m＜﹣2，
n﹣2＜0，解得n＜2；
（2）∵此一次函数也是正比例函数，
∴n﹣2＝0且6+3m≠0，
解得n＝2且m≠﹣2；
（3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，一次函数的解析式为y＝3x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣4）；
当y＝0时，x，
∴点A的坐标为（，0）．
∴S△AOBOA OB4．
【题型5 一次函数图象上点的坐标特征】
【例5】已知一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣2）．求
（1）当m，n为何值时，y值随x的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方？
（2）当m，n为何值时，此一次函数也是正比例函数？
（3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，设此一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，并求出△AOB的面积（O为坐标原点）
【解题思路】（1）根据一次函数的性质结合一次函数单调递减，即可得出关于m、n的一元一次不等式，解不等式即可得出m、n的取值范围；
（2）由此一次函数也是正比例函数，可得出关于m、n的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）代入m、n的值，再根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A、B的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答过程】解：（1）∵y值随x的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方，
∴6+3m＜0，解得m＜﹣2，
n﹣2＜0，解得n＜2；
（2）∵此一次函数也是正比例函数，
∴n﹣2＝0且6+3m≠0，
解得n＝2且m≠﹣2；
（3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，一次函数的解析式为y＝3x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣4）；
当y＝0时，x，
∴点A的坐标为（，0）．
∴S△AOBOA OB4．
【变式5-1】如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是，求点P的坐标．
【解题思路】（1）把x＝0，y＝0分别代入函数解析式，即可求得相应的y、x的值，则易得点OA、OB的值，然后根据三角形面积公式求得即可；
（2）由B、A的坐标易求：OB＝3，OA．然后由三角形面积公式得到S△ABPAP OB，则AP＝3，由此可以求得m的值
【解答过程】解：（1）由x＝0得：y＝3，即：B（0，3）．
由y＝0得：2x+3＝0，解得：x，即：A（，0），
∴OA，OB＝3，
∴△AOB的面积：3；
（2）由B（0，3）、A（，0）得：OB＝3，OA，
∵S△ABPAP OB，
∴AP，
解得：AP＝3．
∴P点坐标为（1.5，0）或（﹣4.5，0）．
【变式5-2】如图，直线y＝kx+6与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标（8，0），点A的坐标为（6，0）．点P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）．
（1）求k的值；
（2）在点P运动的过程中，求出△OPA的面积S与x的函数关系式．
（3）若△OPA的面积为，求此时点P的坐标．
【解题思路】（1）直接把点E的坐标代入直线y＝kx+6求出k的值即可；
（2）过点P作PD⊥OA于点D，用x表示出PD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）把△OPA的面积为代入（2）中关系式，求出x的值，把x的值代入直线yx+6即可得出结论．
【解答过程】解：（1）∵直线y＝kx+6与x轴交于点E，且点E的坐标（8，0）
∴8k+6＝0，
解得k，
∴yx+6；
（2）过点P作PD⊥OA于点D，
∵点P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点
∴PDx+6．
∵点A的坐标为（6，0）
∴S6×（x+6）
x+18；
（3）∵△OPA的面积为，
∴x+18，
解得x，
将x代入yx+6得y，
∴P（，）．
【变式5-3】（2021春 青县期末）如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点．
（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．
【解题思路】（1）根据三角形的面积公式S△OPAOA y，然后把y转换成x，即可求得△OPA的面积S与x的函数关系式；
（2）把s＝10代入S＝﹣4x+40，求得x的值，把x的值代入y＝﹣x+10即可求得P的坐标．
【解答过程】解（1）∵A（8，0），
∴OA＝8，
SOA |yP|8×（﹣x+10）＝﹣4x+40，（0＜x＜10）．
（2）当S＝10时，则﹣4x+40＝10，解得x，
当x时，y10，
∴当△OPA的面积为10时，点P的坐标为（，）．
【题型6 一次函数图象与几何变换】
【例6】已知一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣4，﹣2）和点B（2，4）
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB平移，使其经过原点O，则线段AB扫过的面积为　12　．
【解题思路】（1）将A、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）先利用平移规律求出直线AB平移后的解析式，进而求出线段AB扫过的面积．
【解答过程】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣4，﹣2）和点B（2，4），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+2；
（2）设直线AB平移后的解析式为y＝x+n，
将原点（0，0）代入，得n＝0，
∴直线AB平移后的解析式为y＝x，
∴将直线AB向下平移2个单位得到直线A′B′，
如图，则A′（﹣4，﹣4），B′（2，2），
∴平行四边形AA′B′B的面积＝2×（4+2）＝12．
即线段AB扫过的面积为12．
故答案为12．
【变式6-1】若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（　　）
A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1
【解题思路】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线x＝1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与y轴交点关于直线x＝1的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可．
【解答过程】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），
∴点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3），
代入直线y＝2x+b，可得
4+b＝3，
解得b＝﹣1，
一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），
（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1），
代入直线y＝kx+3，可得
2k+3＝﹣1，
解得k＝﹣2．
故选：D．
【变式6-2】（2018春 沙坪坝区校级期末）如图：一次函数yx+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．
（1）求点B的坐标；
（2）求四边形ABCO的面积；
（3）求直线CD的解析式．
【解题思路】（1）构建方程组即可解决问题；
（2）求出A、C两点坐标，根据S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB计算即可；
（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．由题意可知点C′在直线CD上，求出点C′坐标，利用待定系数法即可解决问题；
【解答过程】解：（1）由，解得，
∴B（3，3）．
（2）由题意A（0，2），C（2，0），
∴S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB2×32×3＝6．
（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．
∵△BCC′是等腰直角三角形，∠BCD＝45°，
∴点C′在直线CD上，
由（2）可知，C（2，0）．
∵B（3，3），
由旋转的性质可知，C′（6，2），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线CD的解析式为yx﹣1．
【变式6-3】（2018 沙坪坝区模拟）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点A（2，﹣3）．直线y＝x+b沿y轴平行移动，与x轴、y轴分别交于点B、C，与直线OA交于点D．
（1）若点D在线段OA上（含端点），求b的取值范围；
（2）当点A关于直线BC的对称点A'恰好落在y轴上时，求△OBD的面积．
【解题思路】（1）将O点和A点的坐标分别代入y＝x+b，即可求得b的值，从而求得b的取值范围；
（2）根据直线y＝x+b易求得OB＝OC，即可得出∠OCB＝45°，根据轴对称的性质易求得∠ACD＝45°．即可求得∠ACO＝90°，从而求得C的纵坐标为﹣3，得出C的坐标为（0，﹣3），即可求得直线y＝x﹣3，然后联立方程求得交点D的坐标，根据三角形面积公式即可求得△OBD的面积．
【解答过程】解：（1）当点D和点O重合时，
将点O（0，0）代入y＝x+b中，得b＝0，
当点D和点A重合时，
将点A（2，﹣3）代入y＝x+b中，得﹣3＝2+b，即b＝﹣5，
∴b的取值范围是﹣5≤b≤0；
（2）将点A（2，﹣3）代入y＝kx中，得﹣3＝2k，即k，
∴直线OA的解析式为yx，
在y＝x+b中，令y＝0，则x＝﹣b，
∴B（﹣b，0），即OB＝|b|，
∴OB＝OC，
又∵∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵点A关于直线BC的对称点A'恰好落在y轴上，
∴CD垂直平分AA′，
∴CA＝CA′，
∴∠ACD＝∠OCB＝45°，
∴∠ACO＝90°，
∴OC＝|yA|＝3，
∴OB＝OC＝3，即C（0，﹣3），
将点C（0，﹣3）代入y＝x+b中，得﹣3＝0+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
由得，
∴D（，），
∴S△OBDOB |yD|3．
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