第五章一次函数专题5.4 一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型（含解析）

一次函数与方程、不等式的关系6大题型
【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【题型1 一次函数的与一元一次方程】
【例1】（2020秋 包河区期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程kx+b＝0的解；
（2）代数式k+b的值；
（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．
【变式1-1】（2021秋 泰兴市校级期末）已知一次函数y＝kx+1与yx+b的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b＝0的解．
【变式1-2】一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？
【变式1-3】已知一次函数y＝kx﹣6的图象如图
（1）求k的值；
（2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝﹣3x+3的图象（要求：先列表，再描点，最后连线）；
（3）根据图象写出关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．
【题型2 一次函数的与一元一次不等式（数形结合）】
【例2】（2021春 高明区期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c（d﹣b），其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【变式2-1】（2021 安徽模拟）已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y2＝x﹣3．当x＜2时，y1＞y2，则k的取值范围是（　　）
A．﹣2≤k≤1且k≠0 B．k≤﹣2
C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0
【变式2-2】（2021春 盐湖区校级期末）我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2
C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2
【变式2-3】（2021春 中山市期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：
①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；
③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；
④d﹣b＝3（a﹣c）．
其中正确的有（　　）
A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③
【题型3 一次函数的与一元一次不等式（取值范围）】
【例3】（2021春 海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）已知直线l3：y3＝kx+1，当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，直接写出k的取值范围．
【变式3-1】（2021春 茌平区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
【变式3-2】（2021春 海珠区期末）已知一次函数y1＝ax+b的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数y2＝bx+a的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点A（1，4）
（1）当a，b为何值时，y1和y2的图象重合；
（2）当0＜a＜4，且在x＜1时，则y1＞y2成立．求b的取值范围；
【变式3-3】（2020春 赣县区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数yx的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数yx的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）直接写出关于x的不等式0x＜kx+b的解集．
【题型4 一次函数与一元一次不等式（面积问题）】
【例4】（2021春 诸城市期末）如图，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3）；直线y＝1﹣mx分别与x轴交于点C，与直线AB交于点D，已知关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x．
（1）分别求出k，b，m的值；
（2）求S△ACD．
【变式4-1】（2021春 东辽县期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；
（3）求△ADC的面积．
【变式4-2】（2020春 宁化县校级月考）如图，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P（a，2）．
（1）求出不等式2x≤kx+3的解集；
（2）求出△OAP的面积．
【变式4-3】已知一次函数y1＝﹣2x﹣3与y2x+2．
（1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（2）根据图象，不等式﹣2x﹣3x+2的解集为　 　；
（3）求两图象和y轴围成的三角形的面积．
【题型5 一次函数的与一元一次不等式（求点的坐标）】
【例5】如图，直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），且MN=5.
（1）求直线MN的解析式；
（2）根据图象，写出不等式kx+b≥0的解集；
（3）若点P在x轴上，且点P到直线y＝kx+b的距离为，直接写出符合条件的点P的坐标．
【变式5-1】（2021春 顺德区期末）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．
（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是　 　；
（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．
①求点B的坐标；
②求a的值．
【变式5-2】（2020秋 南京期末）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，直接写出当x在什么范围内，不等式2x﹣4＞kx+b．
【变式5-3】在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2．
（1）求点B的坐标及k的值；
（2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．
【知识点2 一次函数与二元一次方程】
（1）每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
（2）解二元一次方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自変量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线的交点坐标.
【题型6 一次函数与二元一次方程】
【例6】（2021 济南二模）中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹（方阵）表示二元一次方程组的方法，发展到现代就是用矩阵式来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）．据此，则矩阵式所对应两直线交点坐标是　 　．
【变式6-1】如图，直线y＝﹣2x+6与直线y＝mx+n相交于点M（p，4）．
（1）求p的值；
（2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解；
（3）判断直线y＝3nx+m﹣2n是否也过点M？并说明理由．
【变式6-2】（2021秋 文成县期末）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P，
（1）求出两条直线的函数关系式；
（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解；
（3）求出图中△APB的面积．
【变式6-3】（2020秋 西安期末）学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题：
（1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？
（2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？
（3）如果全共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？
一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型
【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【题型1 一次函数的与一元一次方程】
【例1】（2020秋 包河区期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程kx+b＝0的解；
（2）代数式k+b的值；
（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．
【解题思路】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可
（3）利用函数图象写出函数值为﹣3时对应的自变量的值即可．
【解答过程】解：（1）当x＝2时，y＝0，
所以方程kx+b＝0的解为x＝2；
（2）当x＝1时，y＝﹣1，
所以代数式k+b的值为﹣1；
（3）当x＝﹣1时，y＝﹣3，
所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1．
【变式1-1】（2021秋 泰兴市校级期末）已知一次函数y＝kx+1与yx+b的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b＝0的解．
【解题思路】首先将（2，5）点代入一次函数解析式求出k，b的值，进而解方程得出答案．
【解答过程】解：∵一次函数y＝kx+1与yx+b的图象相交于点（2，5），
∴5＝2k+1，52+b，
解得：k＝2，b＝6，
则kx+b＝0为：2x+6＝0，
解得：x＝﹣3．
【变式1-2】一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？
【解题思路】先求出函数的解析式，再把y＝4代入，即可求出x．
【解答过程】解：把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得：
，
解得：k＝1，b＝1，
即y＝x+1，
当y＝4时，x+1＝4，
解得：x＝3，
∴方程kx+b＝4的解为x＝3．
【变式1-3】已知一次函数y＝kx﹣6的图象如图
（1）求k的值；
（2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝﹣3x+3的图象（要求：先列表，再描点，最后连线）；
（3）根据图象写出关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．
【解题思路】（1）将点（4，0）代入y＝kx﹣6，利用待定系数求出k的值；
（2）利用描点法画出一次函数y＝﹣3x+3的图象；
（3）根据图象写出它们的交点坐标，即可得到关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．
【解答过程】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣6的图象过点（4，0），
∴4k﹣6＝0，
∴k；
（2）列表：
描点：在平面直角坐标系中描出两点（0，3）、（1，0），
连线：过点（0，3）、（1，0）画直线，得出一次函数y＝﹣3x+3的图象；
（3）一次函数y＝kx﹣6与y＝﹣3x+3的图象交于点（2，﹣3），
则关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解为x＝2．
【题型2 一次函数的与一元一次不等式（数形结合）】
【例2】（2021春 高明区期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c（d﹣b），其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【解题思路】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答过程】解：由图象可得，
对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确；
a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；
4a+b＝4c+d可以得到a﹣c（d﹣b），故④正确；
故选：B．
【变式2-1】（2021 安徽模拟）已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y2＝x﹣3．当x＜2时，y1＞y2，则k的取值范围是（　　）
A．﹣2≤k≤1且k≠0 B．k≤﹣2
C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0
【解题思路】解不等式kx+3＞x﹣3，根据题意得出k﹣1＜0且2且k≠0，解此不等式即可．
【解答过程】解：∵一次函数y1＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y2＝x﹣3，当x＜2时，y1＞y2，
∴kx+3＞x﹣3，
∴kx﹣x＞﹣6，
∴k﹣1＜0且2且k≠0，
当k﹣1＜0时，2时，k≥﹣2，
所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0；
当k＝1时，也成立，
故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0，
故选：A．
【变式2-2】（2021春 盐湖区校级期末）我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2
C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2
【解题思路】由若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，则或，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集．
【解答过程】解：∵若ab＞0．则有或，
∴若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，则或．
当，由图得：，此时该不等式无解．
当，由图得：，此时不等式组的解集为﹣0.5＜x＜2．
综上：﹣0.5＜x＜2．
故选：B．
【变式2-3】（2021春 中山市期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：
①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；
③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；
④d﹣b＝3（a﹣c）．
其中正确的有（　　）
A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③
【解题思路】仔细观察图象：①根据函数图象直接得到结论；
②观察函数图象可以直接得到答案；
③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；
④根据两直线交点可以得到答案．
【解答过程】解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y2＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确，
由图象可得当x＜3时，一次函数y1＝ax+b图象在y2＝cx+d的图象上方，
∴ax+b＞cx+d的解集是x＜3，故③说法不正确；
∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b＝3c+d
∴3a﹣3c＝d﹣b，
∴d﹣b＝3（a﹣c）．故④说法正确，
故选：C．
【题型3 一次函数的与一元一次不等式（取值范围）】
【例3】（2021春 海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）已知直线l3：y3＝kx+1，当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，直接写出k的取值范围．
【解题思路】（1）由直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A，故可联立方程组：得，故A（3，4）．
（2）根据函数图象，可知：当y1＞y2时，x＜3．
（3）当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，故当x＜3，y3﹣y2＞0恒成立，得1≤k≤2．
【解答过程】解：（1）由题意得：
解得：
∴A（3，4）．
（2）如图，当y1＞y2时，x＜3．
（3）当x＜3，y3＞y2恒成立，则x＜3，y3﹣y2＞0恒成立．
∵y3＝kx+1，y2＝2x﹣2，
∴y3﹣y2＝（kx+1）﹣（2x﹣2）＝（k﹣2）x+3．
∴若x＜3，y3﹣y2＞0恒成立，则[（k﹣2）x+3]min＞0．
当k﹣2＝0，即k＝2，[（k﹣2）x+3]min＝3＞0．
当k﹣2＞0，即k＞2，[（k﹣2）x+3]min不存在．
当k﹣2＜0，即k＜2，[（k﹣2）x+3]min＝3（k﹣2）+3≥0，故k≥1．
综上：1≤k≤2．
【变式3-1】（2021春 茌平区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
【解题思路】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象以及点A坐标即可求解．
【解答过程】解：（1）解方程组，得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；
∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC的面积6×3＝9；
【变式3-2】（2021春 海珠区期末）已知一次函数y1＝ax+b的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数y2＝bx+a的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点A（1，4）
（1）当a，b为何值时，y1和y2的图象重合；
（2）当0＜a＜4，且在x＜1时，则y1＞y2成立．求b的取值范围；
【解题思路】（1）把A（1，4）代入y1＝ax+b求得a+b＝4，得到b＝4﹣a，于是得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
【解答过程】解：（1）∵y1＝ax+b的图象过点A（1，4），
∴a+b＝4，
∴b＝4﹣a，
∴y1＝ax+（4﹣a），y2＝（4﹣a）x+a，
∵y1和y2的图象重合，
∴a＝4﹣a，
∴a＝2，b＝2；
即当a＝2，b＝2时，y1和y2的图象重合；
（2）∵a+b＝4，如图1，
∴a＝4﹣b，
∴y1＝（4﹣b）x+b，
y2＝bx+（4﹣b），
∵0＜a＜4，0＜4﹣b＜4且x＜1时，y1＞y2成立，
∴由图象得4﹣b＜b，
∴2＜b＜4；
【变式3-3】（2020春 赣县区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数yx的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数yx的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）直接写出关于x的不等式0x＜kx+b的解集．
【解题思路】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求解析式；
（2）先求得C的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得M的值；
（3）找出直线yx落在y＝kx+b的下方且在x轴上方的部分对应的x的取值范围即可．
【解答过程】解：（1）∵正比例函数yx的图象经过点B（a，2），
∴2a，解得，a＝﹣3，
∴B（﹣3，2），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），B（﹣3，2），
∴，解得，
∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+8；
（2）∵一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C，
∴C（﹣4，0），
∵正比例函数yx的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，
∴平移后的函数的解析式为yx﹣m，
∴0（﹣4）﹣m，解得m；
（3）∵一次函y＝kx+b与正比例函数yx的图象交于点B（﹣3，2），
且一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C（﹣4，0），
∴关于x的不等式0x＜kx+b的解集是﹣3＜x＜0．
【题型4 一次函数与一元一次不等式（面积问题）】
【例4】（2021春 诸城市期末）如图，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3）；直线y＝1﹣mx分别与x轴交于点C，与直线AB交于点D，已知关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x．
（1）分别求出k，b，m的值；
（2）求S△ACD．
【解题思路】（1）首先利用待定系数法确定直线的解析式，然后根据关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x得到点D的横坐标为，再将x代入yx+3，得：y，将x，y代入y＝1﹣mx求得m＝1即可；
（2）先确定直线与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【解答过程】解：（1）∵直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3），
，
解得：k，b＝3，
∵关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x，
∴点D的横坐标为，
将x代入yx+3，得：y，
∴D（，），
将x，y代入y＝1﹣mx，
解得：m＝1；
（2）如图，过点D作DH⊥AC于H，则DH
对于y＝1﹣x，令y＝0，得：x＝1，
∴点C的坐标为（1，0），
∴S△ACD AC DH[1﹣（﹣2）]．
【变式4-1】（2021春 东辽县期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；
（3）求△ADC的面积．
【解题思路】（1）根据点A的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，联立直线AB、CD的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点C的坐标；
（2）根据直线AB、CD的上下位置关系结合点C的坐标，即可得出不等式2x﹣4＞kx+5的解集；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ADC的面积．
【解答过程】解：（1）∵直线y＝kx+5经过点A（5，0），
∴5k+5＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5．
联立直线AB、CD的解析式成方程组，
，解得：，
∴点C的坐标为（3，2）．
（2）观察函数图象可知：当x＞3时，直线y＝2x﹣4在直线y＝﹣x+5的上方，
∴不等式2x﹣4＞kx+5的解集为x＞3．
（3）当y＝2x﹣4＝0时，x＝2，
∴点D的坐标为（2，0），
∴S△ACD（xA﹣xD） yC（5﹣2）×2＝3．
【变式4-2】（2020春 宁化县校级月考）如图，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P（a，2）．
（1）求出不等式2x≤kx+3的解集；
（2）求出△OAP的面积．
【解题思路】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征先求出a的值，然后观察函数图象，写出直线y＝kx+3在直线y＝2x上方所对应的自变量的取值范围即可；
（2）先求出直线l2的解析式，再求出A点坐标，然后利用三角形面积公式求解．
【解答过程】解：（1）把P（a，2）代入y＝2x得2a＝2，解得a＝1，则P（1，2），
当x≤1时，2x≤kx+3，
所以不等式2x≤kx+3的解集为x≤1；
（2）把P（1，2）代入y＝kx+3得k+3＝2，解得k＝﹣1，
所以直线l2的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），
所以△OAP的面积2×3＝3．
【变式4-3】已知一次函数y1＝﹣2x﹣3与y2x+2．
（1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（2）根据图象，不等式﹣2x﹣3x+2的解集为　x＜﹣2　；
（3）求两图象和y轴围成的三角形的面积．
【解题思路】（1）先求出直线y1＝﹣2x﹣3，y2x+2与x轴和y轴的交点，再画出两函数图象即可；
（2）直线y1＝﹣2x﹣3的图象落在直线y2x+2上方的部分对应的x的取值范围就是不等式﹣2x﹣3x+2的解集；
（3）根据三角形的面积公式求解即可．
【解答过程】解：（1）函数y1＝﹣2x﹣3与x轴和y轴的交点分别是（﹣1.5，0）和（0，﹣3），
y2x+2与x轴和y轴的交点分别是（﹣4，0）和（0，2），
其图象如图：
（2）观察图象可知，函数y1＝﹣2x﹣3与y2x+2交于点（﹣2，1），
当x＜﹣2时，直线y1＝﹣2x﹣3的图象落在直线y2x+2的上方，即﹣2x﹣3x+2，
所以不等式﹣2x﹣3x+2的解集为x＜﹣2；
故答案为x＜﹣2；
（3）∵y1＝﹣2x﹣3与y2x+2与y轴分别交于点A（0，﹣3），B（0，2），
∴AB＝5，
∵y1＝﹣2x﹣3与y2x+2交于点C（﹣2，1），
∴△ABC的边AB上的高为2，
∴S△ABC5×2＝5．
【题型5 一次函数的与一元一次不等式（求点的坐标）】
【例5】如图，直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），且MN=5.
（1）求直线MN的解析式；
（2）根据图象，写出不等式kx+b≥0的解集；
（3）若点P在x轴上，且点P到直线y＝kx+b的距离为，直接写出符合条件的点P的坐标．
【解题思路】（1）把点M、N的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值；
（2）直线y＝kx+b在x轴及其上方的部分对应的x的取值范围即为所求；
（3）作△OMN的高OA．根据三角形的面积公式求出OA，则点P的坐标是（0，0）；在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线y＝kx+b的距离也为．
【解答过程】解：（1）∵直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），
所以，
解得：，
∴直线MN的解析式为：yx+4；
（2）根据图形可知，当x≤3时，y＝kx+b在x轴及其上方，即kx+b≥0，
则不等式kx+b≥0的解集为x≤3；
（3）如图，作△OMN的高OA．
∵S△OMNMN OAOM ON，
∴OA，
∴点P的坐标是（0，0）；
在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线y＝kx+b的距离也为，
所以点P的坐标是（0，0）或（6，0）．
【变式5-1】（2021春 顺德区期末）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．
（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是　x＞﹣2　；
（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．
①求点B的坐标；
②求a的值．
【解题思路】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式kx+b＞0的解集；
（2）①由题意可以求得k、b的值，然后将x＝1代入y1＝kx+b即可求得点B的坐标；
②根据点B也在函数y2＝﹣4x+a的图象上，从而可以求得a的值．
【解答过程】解：（1）∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2；
（2）①∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，
∴，得，
∴一次函数y1＝2x+4，
∵不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1，
∴点B的横坐标是x＝1，
当x＝1时，y1＝2×1+4＝6，
∴点B的坐标为（1，6）；
②∵点B（1，6），
∴6＝﹣4×1+a，得a＝10，
即a的值是10．
【变式5-2】（2020秋 南京期末）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，直接写出当x在什么范围内，不等式2x﹣4＞kx+b．
【解题思路】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解；
（3）关于x的不等2x﹣4＞kx+b的解集就是函数y＝kx+b的图象在下边的部分自变量的取值范围．
【解答过程】解：（1）根据题意得，
解得，
则直线AB的解析式是y＝﹣x+5；
（2）根据题意得，
解得：，
则C的坐标是（3，2）；
（3）根据图象可得不等式的解集是x＞3．
【变式5-3】在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2．
（1）求点B的坐标及k的值；
（2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．
【解题思路】（1）对于y＝﹣2x+1，计算自变量为﹣2时的函数值可得到B点坐标，然后把B点坐标代入y＝x+k可得到k的值；
（2）先确定两直线与y轴的交点A、C的坐标，然后利用三角形面积公式求解；
（3）观察函数图象，写出直线y＝﹣2x+1在直线y＝x+k上方所对应的自变量的范围即可．
【解答过程】解：（1）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+1＝5，则B（﹣2，5）．
把B（﹣2，5）代入y＝x+k得﹣2+k＝5，解得k＝7；
（2）当x＝0时，y＝﹣2x+1＝1，则C（0，1）；
当x＝0时，y＝x+7＝7，则A（0，7）
所以AC＝7﹣1＝6，
所以S△ABC6×2＝6；
（3）x＜﹣2．
【知识点2 一次函数与二元一次方程】
（1）每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
（2）解二元一次方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自変量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线的交点坐标.
【题型6 一次函数与二元一次方程】
【例6】（2021 济南二模）中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹（方阵）表示二元一次方程组的方法，发展到现代就是用矩阵式来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）．据此，则矩阵式所对应两直线交点坐标是　（2，5）　．
【解题思路】根据题意得出方程组，求出方程组的解，再得出答案即可．
【解答过程】解：根据题意得：
，
①+②，得x＝2，
把x＝2代入①，得8﹣y＝3，
解得：y＝5，
所以方程组的解为，
∴两直线交点坐标是（2，5），
故答案为：（2，5）．
【变式6-1】如图，直线y＝﹣2x+6与直线y＝mx+n相交于点M（p，4）．
（1）求p的值；
（2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解；
（3）判断直线y＝3nx+m﹣2n是否也过点M？并说明理由．
【解题思路】（1）根据直线y＝﹣2x+6经过点M，即可求出p．
（2）由图象可知交点的坐标就是方程组的解．
（3）先求出m+n＝4，用代入法可以解决．
【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣2x+6经过点M（p，4），
∴4＝﹣2p+6，
∴p＝1．
（2）由图象可知方程组的解为，
（3）结论：直线y＝3nx+m﹣2n经过点M，理由如下：
∵点M（1，4）在直线y＝mx+n上，
∴m+n＝4，
∴当x＝1，时，y＝3nx+m﹣2n＝m+n＝4，
∴直线y＝3nx+m﹣2n经过点M．
【变式6-2】（2021秋 文成县期末）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P，
（1）求出两条直线的函数关系式；
（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解；
（3）求出图中△APB的面积．
【解题思路】（1）由图可得两函数与坐标轴的交点坐标，用待定系数法可求出它们的函数解析式；
（2）联立两个一次函数的解析式，所得方程组的解即为P点坐标．
（3）△ABP中，以AB为底，P点横坐标的绝对值为高，可求出△ABP的面积．
【解答过程】解：（1）设直线l1的解析式是y＝kx+b，已知l1经过点（0，3），（1，0），
可得：，解得，
则函数的解析式是y＝﹣3x+3；
同理可得l2的解析式是：y＝x﹣2．
（2）点P的坐标可看作是二元一次方程组的解．
（3）易知：A（0，3），B（0，﹣2），P（，）；
∴S△APBAB |xP|5．
【变式6-3】（2020秋 西安期末）学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题：
（1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？
（2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？
（3）如果全共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？
【解题思路】（1）当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象即可得出答案．
（2）由图象比较收费y1、y2，即可得出答案．
（3）当有50人时，比较收费y1、y2，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象知为30人；
（2）由图象知：当有30人以下时，y1＜y2，所以选择甲旅行社合算；
（3）由图象知：当有50人参加时，y1＞y2，所以选择乙旅行社合算；