2.2 切线长定理 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
浙教版九年级下册
2.2 切线长定理
第二章 直线与圆的位置关系
问题1: 经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？
·O
·O
·O
P·
P·
P·
问题2: 经过圆外一点P，如何做已知⊙O的切线？
尺规作图
·
A
B
P
直径对直角
直角对直径
∟
温故知新：
O·
P
O
A
B
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，
叫做这点到圆的切线长。
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。
切线和切线长是两个不同的概念：
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
已知：如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：连接 OA、OB.
∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点 A，B 是切点.
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠OAP = ∠OBP = 90°.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
O
P
A
B
几何语言:
PA、PB与⊙O分别相切于点A、B
PA = PB
切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
∠APO =∠BPO
1.若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论？
O
A
P
B
M
OP是AB的垂直平分线
新的结论：
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
C
例1 如图,点O是 所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A,B.已知∠ACB=80°，OC=100cm.求点C到⊙O的切线长(结果精确 到 1 cm).
如图,连结OA,OB.
∵AC，BC分别与⊙O相 切于点A，B，
∴AC=BC (过圆外一点所作的圆的两条切线长相等).
又∵OA = OB，OC=OC，
∴△OAC ≌ △OBC.
∴∠ACO= ∠BCO= ∠ACB= ×80° = 40°.
在 Rt△OAC 中，∠OAC=90°，
∴ =cos 40°，
∴AC=OC× cos 40°= 100× cos 40°≈78(cm).
学以致用：
例2 如图, ⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA,NB分别切⊙O于点A，B.延长MA,NB,相交于点P.已知∠APB = 60°，AP=24 cm，求两切点间的距离和 的长
如图,连结 AB,OA,OB,OP.
∵MP，NP 分别切⊙O 于点 A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP=BP
又∵∠APB=60°，∴△ABP为等边三角形∴AB=AP=24cm.
∵OA = OB,∴OP平分∠APB,
解：
∴∠OPA = 30°,∴OA=AP× tan 30°=24× = (cm).
而∠AOB=360°- 2×90°- 60°= 120°，
∴
在解决有关圆的切线长问题时，往往需要构建以下三个基本图形：
A
P
O
B
（1）连接圆心和切点，得到直角；
A
P
O
B
（2）连接两切点，构建等腰三角形；
A
P
O
B
（3）连接圆心和圆外一点，得到角平分线。
归纳总结：
1、已知⊙O的半径为5，P是⊙O外一点，PO=10，求点P到⊙O的切线长和两切点间的劣弧长。
夯实基础，稳扎稳打
O
P
A
B
∟
5
10
α
sinα=
∠α=300
cos300=
AP=OP COS300=10×
.
∠AOB=1200
LAB
=
.
=
.
2、已知：在⊙O中，弦AB垂直平分半径ON,过点A、B的切线相交于点M， 求证△ABM为等边三角形。
O
A
B
M
N
α
sinα=
.
sinα=
.
∠α=300
∠MBA=600
AM=BM
△ABM为等边三角形
3 如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，
∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB ，OC＝OC
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
∴DE∥OC．
连续递推，豁然开朗
方法二：
证明：连接BD，
∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB.
∴OC⊥BD.
∵BE为⊙O的直径，
∴DE⊥BD.
∴DE∥OC．
4.如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点。以OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D,交AC于点E.已知AB=5,AC=4,求BD的长和的半径
A
B
D
C
C
BD=BC=
r
r
4-r
2
tanA=tanA
=
r=
.
r2+22=(4-r)2
r=
.
△ADC∽△ACB
=
r=
.
5.如图所示，四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和⊙O分别相切于点E,F,G,H.若四边形ABCD的周长为20，则AB+CD= .
x
x
y
y
m
m
n
n
10
思维拓展，更上一层
MB＝MP，NC＝NP.
6.已知：如图，A是☉O外一点，AB、AC分别与☉O相切于点B、C.
P是 上任意一点，过点P作☉O的切线，交AB于点M,交AC于点N,
BC
求证：△AMN的周长是一个定值，并求出这个定制
AB、AC分别与☉O相切于点B、C.
∴△AMN的周长等于2AB，是一个定值.
过点P作☉O的切线，交AB于点M,交AC于点N
AB=AC
谢谢
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